# Chapter 26: 半導體元件
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## 緒論

### Work Function

一個金屬的 Work Function （$\phi$） 定義為光電子的最小束縛能。因此金屬受到光照射之後，光電子躍出的最大動能為 $$E_{max}=hf-\phi$$

下圖的 $V_0$ 表示在不同金屬的光電流強度相同的前提下，為了抗衡光電流所需要施加的電壓。由圖中可知金屬銫的 Work Function 比金屬銅低。

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### Fermi Energy

一個金屬的 Fermi energy （$E_F$）是指非自由電子（也就是受原子核束縛的電子）所在的最高能階。一個金屬的 Fermi level 至 vacuum level（自由電子所在的量子位置）的差值，決定了這個金屬的 Work Function

### Contact Potential：以銅與銫放置在一起的情況為例

因為金屬銫的 Work Function 比金屬銅低，因此金屬銫的 Fermi level 比較接近 Vacuum Level ；或者另一種說法是，銫金屬因為電子比較多，最外層電子（座落在 Fermi Level 的電子）擁有比銅還要高的能量。

當金屬銫與銅放置在一起時，金屬銫的電子會傾向流動到金屬銅內部，也就是由高能流向低能來達成平衡。可以理解為銫金屬的電位比銅金屬低，因此電子由銫流向銅。最終形成金屬銫帶正電、金屬銅帶負電的情況。當達到電流平衡時，可以斷言此時金屬銫與銅擁有相同的 Fermi level 。

達成電流平衡後，因為銫金屬帶正電，銅金屬帶負電，可以理解為產生一個由銫指向銅電場。這個電位差的差值以符號表示為 $V_C$ ，稱為 Contact Potential 。

這個原理可以適用於金屬導體與半導體，但不是用絕緣體，因為絕緣體的電子無法自由移動。

## Diode 二極體

一個二極體是將 N 型半導體和 P 型半導體連接在一起的材料。如下圖所示。

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### 物理學解釋

N 型半導體是帶有較多電子的半導體， P 型半導體是帶有較多電洞的半導體。兩者連接後，電子由 N 流向 P ，導致 N 型半導體帶有正電荷，P 型半導體帶有負電荷。

* 於是形成一個由 N 指向 P 的電場。
* 達成電流平衡後，兩塊半導體擁有相同的 Fermi level 。

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達成電流平衡後，定義 $V_C$ 為兩塊半導體之間的電位差。將一個電子由 P 搬運至 N 所需要的能量為 $E=|e|~V_C= E_{F_N} - E_{F_P}$ 。

* 如果定義 P 型半導體的的電位 $V_P=0$ ，則 $V_N=V_C$ 。
* 如果定義 N 型半導體的的電位 $V_N=0$ ，則 $V_P=-V_C$ 。

一個半導體的 $V_C$ 取決於：

* 半導體材料中電洞和電子的密度（材料不純度）。通常知道這個大概就能知道 Fermi level 和 $V_C$ 了。
* 溫度。

在常見矽半導體中， $V_C$ 大約落在 $0.6$ 到 $0.9\mathrm V$ 。絕對不會大於 $1.1\mathrm V$ 因為，這是矽的 gap （$V_g$）。

### 達成電流動態平衡後的電子流動解釋

電子流達成平衡後，從 P 型半導體流向 N 型半導體，和從 N 型半導體流向 P 型半導體的電流強度相等。

#### P 流向 N

電子從 P 流向 N 的數量，和電子在 P 型半導體的濃度有關係。令自由電子的在 P 型半導體內的濃度為 $N_e$ ，則有以下式子。其中 $N_C$ 是一個常數。 $$\begin{aligned}N_e&=N_c \exp \left(\frac{-(E_g-E_F)}{k_BT}\right) \\ \\ &= \dfrac 1 4 \left(\frac {2m^*_ek_BT}{\hbar^2\pi}\right) \exp \left(\frac{-(E_g-E_F)}{k_BT}\right) \end{aligned}$$

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定義 $I_{PN}$ 為從 P 流向 P 的電子流。因為 P 型半導體帶有負電而 N 型帶有正電，電子從 P 流向 N 是從高位能流向低位能，是比較容易的。總之可以確定 $I_{PN} \propto N_e$ ，因此 $$I_{PN}\propto \exp\left(\frac {-E_1}{k_BT}\right)$$

#### N 流向 P

之前說到電子在 N 型半導體內部是比較多的，因為 N 型半導體是帶有額外電子的半導體。但是因為 N 型半導體在電流平衡後帶有正電，因此電子相當於是從低位能往高位能跑，必須跨過一個能階障礙 $E_b = |e|V_c=E_g-E_F$ 才行。

定義在 N 型半導體中，電子能夠跨過能階障礙的機率為 $p$ ，則 $$p=\exp\left(\frac{-|e|V_c}{k_BT}\right)$$

定義 $I_{NP}$ 為從 N 流往 P 的電子流強度，則 $$\begin{aligned}I_{NP}& \propto \exp\left(\frac{-(E_2+|e|V_c)}{k_BT}\right) \\ \\ &= \exp\left(\frac{-E_1}{k_BT}\right) \end{aligned}$$

#### 結論

總之得到 $I_{PN}=I_{NP}$ 。

* $I_{PN}$ 與 $V_c$ 無關。因此如果施加外加電場，不會有任何影響。
* $I_{NP}$ 與 $V_c$ 有關。因此如果施加外加電場，就可以增加 $I_{NP}$ ，造成淨電流。

### 施加外加電場的情況

* 施加電子流予 N 型半導體，可以幫助 N 型半導體內的電子，更容易克服 $V_c$ 障礙，往 P 型半導體流動。因此可以實際上在半導體內造成電子流。
* 反之，會讓半導體內電子流減弱。但因為沒有施加外加電壓的情況下，半導體內的電子流動已經是淨平衡，電流本身就是（趨近）零。所以加上負電壓的結果，半導體內部電流還是（趨近）零。

## Bipolar Junction Transistor, BJT 雙極電晶體

BJT 半導體可以作為電流增強裝置。這裡僅以 NPN 型 BJT 電晶體做解說。

### NPN 和 PNP

一個 BJT 由三個半導體區塊組成，兩種主流的 BJT 是 NPN 型電晶體和 PNP 型電晶體。

* 一個 NPN 型電晶體由一個極薄的 P 型半導體夾在兩塊 N 型半導體之間組成。
* 一個 PNP 型電晶體由一個極薄的 N 型半導體夾在兩塊 P 型半導體之間組成。

這三塊半導體各有專有的名稱：

* 夾在中間的極薄的半導體，稱為 Base 。這塊半導體只會加上一點點雜質，所以其額外造成的電洞或電子很少。
* 兩側的半導體之一，連接外加電壓負極者稱為 Emitter 。
* 兩側的半導體之一，連接外部電壓正極者稱為 Collector 。

這三塊半導體合稱 EBC ，各自可以接上一根導線。一般來說：

* B 會接地。
* E 會接上外部電壓負極。
* C 會接上外部電壓正極。

### NPN 型電晶體

一個 NPN 型半導體達成初步電子平衡後，兩側的 N 型半導體帶有正電荷，中間的 P 型半導體帶有負電荷。其電位如下圖，兩側 N 與 P 之間有電位差 $V_C$ 。

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當接上外部電壓後，電位形式如下圖。

* 因為 B 接地，常識定義其電位 $V_B=0$ 。
* E 接上負極後電位降低，剩下 $V_C-V_{EB}$ ，其中 $V_{EB}$ 為 EB 之間外加電場造成的電位差。
* C 接上正極後電位提高，變成 $V_C+V_{BC}$ ，其中 $V_{BC}$ 為 BC 之間外加電場造成的電位差。
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定義電流變數如下：

* $I_E$ 為半導體 E 促成的電流。
* $I_P$ 為半導體 P 促成的電流。因為 P 很薄而且雜質很少，可以視為 $I_P\approx 0$ 。
* $I_C$ 為半導體 C 促成的電流。

那麼流入 E 端流出的電子流 $I_{\text{in}}$ ，強度大致為 $I_{\text{in}}=I_E+I_P \approx I_E$ 。從 C 端流出的電子流 $I_{\text{out}}$，強度視來自 E 、穿過 P 、來到 C 的電子流強度而定。通常定義 $I_{\text{out}}=\alpha I_{\text{in}}$ ，而 $\alpha$ 表示流電子流強度和流入電子流強度的比率。

$\alpha$ 的值視下列情況而定。一般來說會將 $\alpha$ 控制在 $0.9$ 至 $0.998$ 之間。

* 電子自 E 進入 P 後，克服能量障礙進入 C 的比率。若電子不能克服能量障礙，會因為接地而流失。
* 電子自 E 進入 P 然後到 C 所需的時間。

$\alpha$ 的值與 B 和 E 之間的電位差 $V_{BE}$ 息息相關。 $V_{BE}$ 直接決定了 $I_{\text{in}}$ 的值，而 $I_{\text{in}}$ 和 $I_{\text{out}}$ 決定 $\alpha$ 。