Chapter 25: 半導體材料

tags: 物理二 筆記整理 李威儀

這裡會跟 Chapter 23 很像。但是記得那個章節都是在討論導體而不是半導體，這裡將會把 Chpater 23 的觀念用在半導體上，並做出一些修正。

本質半導體 Intrinisic Conductor

本質半導體的意思是純的半導體，沒有任何雜質的半導體，是理想的半導體。

在絕對溫度零度時，本質半導體所有的電子都在 Fermi Energy 以下的 Energy band 。但在絕對溫度非零時，少部份電子會有動能，因此可以填入超過 Fermi Energy ，甚至可以躍升到 Condiction band 。這呼應之前說的，溫度越高半導體躍容易導電。

• Fermi Energy 定義為絕對溫度零度時，電子可以填滿的最高能量。

本質半導體的電子密度

我們可以定義

$N_e$ 為單位體積之下，電子位於導帶的數目。根據上圖，可以推導出積分式子，其中

$g(E)$ 表示在能量為

$E$ 時，量子的密度；

$F(E)$ 表示能量為

$E$ 時，電子能夠填入該能量對應的量子的機率。

$$N_e(E)={\int }_{\mathrm{導}\mathrm{帶}\mathrm{底}\mathrm{端}\mathrm{的}\mathrm{能}\mathrm{量}}^{\mathrm{導}\mathrm{帶}\mathrm{頂}\mathrm{端}\mathrm{的}\mathrm{能}\mathrm{量}}g(E)F(E)\mathrm{d}E$$

以前提過量子的密度

$g(E)$ 和

$\sqrt{E}$ 成正比，呈

$g(E)=C_e\sqrt{E}$ ，並且

$C_e={\displaystyle \frac{(2m{)}^{3/2}{a}^3}{2{\hslash }^3{\pi }^2}}$ 。

但那是金屬良導體的情況，在考慮半導體的情況下時，會把電子質量

$m$ 以等效質量

$m^{\ast }$ 代替。

在半導體的情況下，自由電子的最低能量並不是

$0$ ，那是金屬導體的情況。對半導體來說，自由電子的最低能量應該是導帶的最低能量（

$E_g$）。當電子的能量超過導帶的最低能量時，他就變成可導電的電子，是自由電子。

$$g(E)=C_e(E-E_g{)}^{1/2}$$

因為導帶較高能量處，幾乎不會被電子佔據，剛才的式子可以轉化成這樣：

$$N_e=\int g(E)F(E)\mathrm{d}E\approx {\int }_{E_g}^{\mathrm{\infty }}g(E)F(E)\mathrm{d}E$$

最終得出結論

$$N_e=\frac{1}{4}{\left(\frac{2m^{\ast }{k}_{B}T}{{\hslash }^2\pi }\right)}^{3/2}\exp \left(\frac{E_F-E_g}{k_{B}T}\right)$$

實際例子

例如對矽來說，其等效質量

$m^{\ast }=0.31m_e$ 、

$E_g=1.1\mathrm{eV}$ 、

$E_F=E_g/2$ ，那麼在

$300\mathrm{K}$ 的環境下，

$N_e=2.6\times {10}^{15}/{\mathrm{m}}^3$ 。意思是說美一立方公尺的矽晶體來說，會有

$2.6\times {10}^{15}$ 個自由電子。一般導體大約會有

${10}^{28}$ 個自由電子，因此可以知道矽晶體室溫之下，沒有外加電場時的導電程度遠遠不及良導體。

本質半導體的電洞密度

要研究電洞密度的出現機率，其實就是電子出現機率相反。當電子躍升到導帶時，原本的位置就會出現電洞。也就是說如果

$F(E)=0$ 則電洞出現機率

$F_h(E)=1$ ，反之

$F(E)=1$ 則

$F_h(E)=1$ 。一般式為

$F_h(E)=1-F(E)$ 。

同樣可以定義電洞密度

$$N_h={\int }_{\mathrm{價}\mathrm{帶}\mathrm{最}\mathrm{低}\mathrm{能}\mathrm{量}}^{\mathrm{價}\mathrm{帶}\mathrm{最}\mathrm{高}\mathrm{能}\mathrm{量}}{g}_h(E)F_h(E)\mathrm{d}E\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{g}_h(E)F_h(E)\mathrm{d}E$$

我們知道

$g(E)={\displaystyle \frac{(2m^{\ast }{)}^{3/2}{a}^3}{2{\hslash }^3{\pi }^2}}{E}^{1/2}$ ，於是

$g_h(E)={\displaystyle \frac{(2m_h^{\ast }{)}^{3/2}{a}^3}{2{\hslash }^3{\pi }^2}}(-E{)}^{1/2}$ 。

因為電洞的能量總是負的，開根號的時候曲個負值。最後總結：

$$N_h=\frac{1}{4}{\left(\frac{2m_h^{\ast }{k}_{B}T}{{\hslash }^2\pi }\right)}^{3/2}\exp \left(\frac{-E_F}{k_{B}T}\right)$$

本質半導體的電子密度與電洞密度討論

• 電子密度

  $N_e$ 和電洞密度
  $N_h$ 取決於 Fermi energy
  $E_F$ 。

• $N_e\cdot N_h$ 是常數，意思是和
  $E_F$ 無關。
  $$N_e{N}_h=\frac{1}{2}{\left(\frac{k_{B}T\sqrt{m_e^{\ast }{m}_h^{\ast }}}{{\hslash }^2\pi }\right)}^3\exp \left(\frac{-E_g}{k_{B}T}\right)$$

• 對於 intrinsictic semiconductor 來說，

  $N_e=N_h$ 。

本質半導體的 Fermi Level 位置

由前面提到的兩個方程式，可以推導 Fermi level 的位置。

• $N_e$ 的公式。
• $N_e{N}_h$ 的乘積，而且
  $N_e=N_h$
  $$\{\begin{array}{l}{N}_e={\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{2m_e^{\ast }{k}_{B}T}{{\hslash }^2\pi }}\right)}^{3/2}\exp \left({\displaystyle \frac{E_F-E_g}{k_{B}T}}\right)\\ \\ {N_e}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{k_{B}T\sqrt{m_e^{\ast }{m}_h^{\ast }}}{{\hslash }^2\pi }}\right)}^3\exp \left({\displaystyle \frac{-E_g}{k_{B}T}}\right)\end{array}$$

結論：

$$E_F=\frac{1}{2}{E}_g+\frac{3}{4}{k}_{B}T\ln \left(\frac{m_h^{\ast }}{m_e^{\ast }}\right)$$

絕對零度時，

$E_F=E_g/2$ 。但即使是在室溫之下，電洞和電子的等效質量質量差不多，因此還是

$E_F\approx E_g/2$ 。

非本質半導體 Extrinsic Conductor

刻意或非刻意加入雜質，可以使半導體導電特性改變。這類半導體稱為非本質半導體。

• 在矽晶體中加入鋁，可能使自由電子數量下降，造成電洞。稱為 P 型半導體。
• 在矽晶體中加入硼，可以造成額外的自由電子。稱為 N 型半導體。

先前在本質半導體討論中說道

$N_e=N_h$ ，加入雜質將使這個等式不成立。

Tpye-N SemiConductor

以磷原子加入矽晶體為例。磷原子額外帶來的電子，只要吸收非常小的能量

$E$ ，就可以掙脫成為自由電子。因此可以料想的到，這個額外電子的能量

$E_D$ 十分靠近 Conduction band ，離其下界很近。

要計算這個

$E$ ，可以借這這條公式。這個公式衍申自量子力學氫原子模型。其中

$k=12$ 且

$m_e$ 應採用

$m_e^{\ast }=0.3m_e$ 。

$$E=\frac{e^4{m}_e}{8(k{\epsilon }_0{)}^2{h}^2}$$

常溫下，

$E\approx 0.029\mathrm{eV}$ 。非常小。

Type-P SemiConductor

以鋁原子加矽晶體為例。產生的電洞可以容納一個電子。這個電洞的能量

$E_A$ 位於 Valence band 上界一點點。因此只要溫度略為離開絕對零度，很容易有電子吸收能量，從價帶跳到這個電洞當中。

Extrinsic Conductor 的 Fermi Energy

這兩條公式依然適用。

$$N_e(E)={\int }_{\mathrm{導}\mathrm{帶}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{下}\mathrm{界}}^{\mathrm{導}\mathrm{帶}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{上}\mathrm{界}}g(E)F(E)\mathrm{d}E\approx {\int }_{E_g}^{\mathrm{\infty }}g(E)F(E)\mathrm{d}E$$

$$N_h(E)={\int }_{\mathrm{價}\mathrm{帶}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{下}\mathrm{界}}^{\mathrm{價}\mathrm{帶}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{上}\mathrm{界}}{g}_h(E)F_h(E)\mathrm{d}E\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{g}_h(E)F_h(E)\mathrm{d}E$$

根據電中性理論，可以知道負電荷和正電荷在半導體中的密度相等。

$N_e=N_h+{N_D}^{+}$ 。

• $N_e$ 表示這塊非本質半導體的實際自由電子密度。
• $N_h$ 要考量雜質電洞的密度（例如尚未得到電子的鋁原子），也要考慮矽陰離子本身。
• ${N_D}^{+}$ 表示電子已經掙脫的雜質正離子密度（例如電子已掙脫的硼離子）。

對於第三點（以硼為例），知道硼離子的密度，可以衍申

${N_D}^{+}=N_D(1-F(E_D))$ 。

• $E_D$ 是硼元素的密度。
• $E_D$ 表示那個距離導帶很近的能量，由 N 型半導體創造。
• $F(E)$ 表示當能量為
  $E$ 時，硼元素被電子佔據的機率。

N 型半導體在低溫或常溫時的 Fermi energy

低溫或常溫時，

$E_F\approx {\displaystyle \frac{E_g+E_D}{2}}$ 。因為此時主要跳到導帶上的電子都是來自

$E_D$ 區域，形同 Valence band 上界就在

$E_D$ 。把本質半導體的討論和推演得重複一遍可以得到這樣的結果。

N 型半導體在高溫（上千度）時的 Fermi energy

此時能夠從價帶跳到導帶的電子越來越多，數量上超過來自

$E_D$ 的電子。因此這個情況下的 Fermi energy 變得很像本質半導體的情況，大約在

${\displaystyle \frac{E_g}{2}}$ 。