物理二
筆記整理
李威儀
薛丁格和海森保對量子力學各自提供一個公式。前者使用複數函數來表達,後者使用矩陣。兩者的本質是一樣的、是等價的。
薛丁格函數定義為 \[\psi(x,t)=Ae^{i(kx-wt)}=A\left(\cos(kx-wt)+i\sin(kx-wt)\right)\]
其中 \(A\) 是一個實數。因此
一般的物質波,會由好幾個薛丁格函數湊合組成,因此 \(|\psi(x,t)|^2\) 的值一般不是常數。如一個物質波的波函數組成就是單純的 \(\psi(x,t)\) ,那他在任意點的出現機率都是 \(|\psi(x,t)|^2=A^2\) 為常數,也就是說他在各處被觀察到的機率都同。
薛丁格函數的實數部份或非實數部份都有跟波有關的函數,可以定義: \[\begin{align}\lambda&=2\pi/k \\ f&=w/(2\pi) \\ p&=h/\lambda \\ E&=hf \end{align}\]
自行亂湊,可以發現兩件事情:\[\begin{align}-i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial x}&=p\psi(x,t)\\i\hbar \frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}&=E\psi(x,t)\end{align}\]
以微分算子的觀點來看:(重要) \[\begin{align}p&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \\ E&=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \end{align}\]
然後我們還知道總能量等於動能加上位能,因此可以腦補出 \(E\psi(x,t)=\frac{p^2}{2m}\psi(x,t)+U\psi(x,t)\) ,再腦補一下就有創世紀的一維薛丁格方程: \[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+U\psi(x,t)=i\hbar\frac {\partial\psi(x,t)}{\partial t}\]
我們可以定義令一個函數 \(\psi^*(x,t)=\overline{\psi(x,t)}=Ae^{-i(kx-wt)}\) ,然後可以規定 \[\left|\psi(x,t)\right|^2=\psi^*(x,t)\psi(x,t)\]
承接 20-1 ,只要定義位能為常數就可以了,當然定義為零嘛!直接附上解答不解釋:當一個粒子的動量為 \(p=\hbar k\) 和能量 \(E=\hbar w=hf\) 時, \[E=\hbar w=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\]
以一維空間中,粒子出現(被觀察到)的位置的期望值為例,該值為 \(\overline x=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)\) ,其中 \(P(x)=|\psi(x,t)|^2\) 表示粒子在 \(x\) 被觀察到的機率。可以把 \(\psi^*(x,t)\psi(x,t)\) 代替 \(|\psi(x,t)|^2\) 。 \[\begin{align}\overline{x}&= \int_{-\infty}^{\infty}x\psi^*(x,t)\psi(x,t)\mathrm dx\\ \overline{p}&=\int_{-\infty}^{\infty}p\psi^*(x,t)\psi(x,t)\mathrm dx\\ \overline E&=\int_{-\infty}^{\infty}E\psi(x,t)^*\psi(x,t)\mathrm dx\end{align}\]
可以得到 \(\overline p=h/\lambda\) 和 \(E=hf\) ,以上都和古典物理相符(這裡有點倒果為因的味道)。 \(\overline x\) 應為零。
因為方程式 \(\overline E=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,t)E\psi(x,t)\mathrm dx\) 沒辦法直接計算期望動能,除了用 20-3 的方法之外,還可以這樣做:\[\begin{align}\psi(x,t) &= \chi(x)\Gamma(t) \\ \psi^*(x,t) &= \chi(x)\Gamma^*(t) \end{align}\]
其中 \(\Gamma^*(t) = \overline {\Gamma(t)}\) ,是 \(\Gamma(t)\) 的共軛複數。
我們知道總能量是位能和動能的總和,亦即 \(E=p^2/(2m)+U\) 。將兩邊同乘 \(\psi(x,t)\) 得到 \[i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2} + U\psi(x,t)\]
代入 \(\psi(x,t)=\chi(x)\Gamma(t)\) 然後移動一下未知數,使得偏微分變成正微分,得到 \[\frac{-h^2}{2m}\frac{1}{\chi(x)}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+U=i\hbar\frac{1}{\Gamma(t)}\frac{\mathrm d\Gamma(t)}{\mathrm dt}\]
等號拆開,再腦補變成 \[\begin{align} \frac{-h^2}{2m}\frac{1}{\chi(x)}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2} +U &=G \\ i\hbar\frac{1}{\Gamma(t)}\frac {\mathrm{d}\Gamma(t)}{\mathrm{d}t} &=G \end{align}\]
嘗試解 \[i\hbar\frac{1}{\Gamma(t)}\frac {\mathrm{d}\Gamma(t)}{\mathrm{d}t} =G\]
得到 \[\Gamma(t)=e^{-iGt/\hbar}\]
代換 \(\Gamma(t)=e^{-iGt/\hbar}\) 到 \[E=i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=i\hbar \chi(x)\frac{\mathrm d \Gamma(t)}{\mathrm d t}\]
發現 \(G=E\) 。於是 \(\Gamma(t)=e^{-iEt/\hbar}\) 。
函數 \(\chi(x)\) 是無法解的,因為每個波動函數的 \(\chi(x)\) 都不一樣。
以下方程式不牽涉到時間: \[\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+U\chi(x)=E\chi(x)\]
注意只有特定 \(E\) 值才能滿足上式,量子化成功。
請注意 \(\chi(x)\) 和 \(\dfrac{\mathrm d\chi(x)}{\mathrm dx}\) 都要滿足連續且一對一或多對一。不要出現斷點或無限的情況。
在一維空間中有區段 \([0,a]\) 為零位能,其他地方都是無限大位能(因此動能為 \(0\)),粒子不會出現在這些地方。在零位能區間中因為我們知道基本薛丁格一維函數 \[\frac{-h^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+U\chi(x)=E\chi(x)\]
而且位能 \(U=0\) ,可以腦補出 \[\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\chi(x)=0\]
最終 \[\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}=-k^2\chi(x)\]
會微分方程的話,可以知道公式解:( \(s\) 和 \(t\) 是兩個未知的實數常數 ) \[\chi(x)=(s+t)\cos kx + i(s-t)\sin kx\]
為了保持 \(\chi(x)\) 連續且處處可微,必須規定
由上式可知 \(s+t=0\) ,故實際上 \(\chi(x)=i(s-t)\sin kx\)。又由下式知 \((s-t)\sin ka=0\) ,因為 \(s-t\) 不可能是零了,所以 \(\sin ka=0\),是以 \(k=n\pi/a\) 且 \(n\in\mathbb N\) 。注意因為 \(k=2\pi/\lambda\) 所以不能是零。
倒數第二步,我們得到 \[\chi(x)=i(s-t)\sin \frac{n\pi x}{a}\]
透過機率總和為 \(1\) 的方式,我們試著解 \[\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 \mathrm dx&= \int_{-\infty}^{\infty} \chi(x)\Gamma(t)\chi(x)\Gamma^*(t) \mathrm dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \chi^2(x) \mathrm dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(i(s-t)\sin \frac{n\pi x}{a}\right)^2 \mathrm dx\\ &=1 \end{align}\]
得出 \(i(s-t) = \sqrt{\dfrac{2}{a}}\) 。
最後的最後我們得到 \[\chi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \\ E_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}\]
定義 \(E_0\) 來簡化: \[\begin{align} E_n&=n^2E_0 \\ E_0&=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2} \end{align}\]
我們注意到即使 \(E_0\) 也不為零,跟古典物理不太一樣,但放在巨觀下,其實觀察不出來這樣的差別。
最後以 \(n=1\) 為例, \(\overline x=a/2\)、\(\overline E=E_0\) 且 \(\overline p=0\) ,動量為零合理,這粒子不會趨向往左跑或往右跑。
在某些情況下,若 \(t\) 為固定值,會乾脆以 \(\psi(x)=\chi(x)\) 來簡寫,此時 \(\psi(x)\) 是實數函數,可以比較大小且有正有負。下圖中 \(\psi\) 實際上是 \(\psi(x)=\chi(x)\) 。
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\(E=\dfrac{kx^2}{2}+\dfrac{p^2}{2m}\) 化為 \[E\chi(x)=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+\frac{kx^2}{2}\chi(x)\]
這個方程式很難解,老師直接跳過步驟了。結論是能量也被量子化了。這裡 \(n\in\mathbb N\) 。 \[E_n=\hbar\left(n-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac k m}\]
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方程式也是很難解,跳過步驟。在有限高位能井中,粒子可能跑到井外但機率較低,這也是穿隧應。
在有隔板阻礙的情況下,其機率函數在隔板厚度期間以指數下降,很快會趨近於零,因此現實生活很難觀察到穿隧。衰減是指數函數 \(e^{-x\sqrt{2m(U_0-E)}/h}\) ,其中 \(U_0\) 是器壁厚度。巨觀世界粒子質量 \(m\) 極大,器壁 \(U_0\) 很厚,所以衰減非常快,穿隧效應幾乎不可能發生。
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這是一種利用量子穿隧效應探測物質表面結構的顯微鏡。這個顯微鏡的探針非常尖,針尖的地方只有一個原子。當針尖靠近待測原子表面時,若距離只有約一奈米,則待測原子的電子很可能引發穿隧效應,跑到針尖去。
這裡的穿隧效應的器壁並不是真實的容器,而是在暗示難以掙脫的位能的意思,而這裡的位能就是指電子核的電位能。顯微鏡探針是導體製成的,當電子穿隧時,可以造成電流,且電流強度和距離有劇烈的指數反向關係。透過兩種方式,可以測量物體的表面原子構造: