# Chapter 20: 量子力學的處理方法
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## 20-1 薛丁格波動函數

薛丁格和海森保對量子力學各自提供一個公式。前者使用複數函數來表達，後者使用矩陣。兩者的本質是一樣的、是等價的。

### 一維薛丁格波動函數

薛丁格函數定義為 $$\psi(x,t)=Ae^{i(kx-wt)}=A\left(\cos(kx-wt)+i\sin(kx-wt)\right)$$

其中 $A$ 是一個實數。因此

* $|\psi(x,t)|=|A|$
* $|\psi(x,t)|^2=A^2$

一般的物質波，會由好幾個薛丁格函數湊合組成，因此 $|\psi(x,t)|^2$ 的值一般不是常數。如一個物質波的波函數組成就是單純的 $\psi(x,t)$ ，那他在任意點的出現機率都是 $|\psi(x,t)|^2=A^2$ 為常數，也就是說他在各處被觀察到的機率都同。

薛丁格函數的實數部份或非實數部份都有跟波有關的函數，可以定義： $$\begin{align}\lambda&=2\pi/k \\ f&=w/(2\pi) \\ p&=h/\lambda \\ E&=hf \end{align}$$

自行亂湊，可以發現兩件事情：$$\begin{align}-i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial x}&=p\psi(x,t)\\i\hbar \frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}&=E\psi(x,t)\end{align}$$

以微分算子的觀點來看：**（重要）** $$\begin{align}p&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \\ E&=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \end{align}$$

然後我們還知道總能量等於動能加上位能，因此可以腦補出 $E\psi(x,t)=\frac{p^2}{2m}\psi(x,t)+U\psi(x,t)$ ，再腦補一下就有創世紀的一維薛丁格方程： $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+U\psi(x,t)=i\hbar\frac {\partial\psi(x,t)}{\partial t}$$

### $\psi^*(x,t)$ 函數

我們可以定義令一個函數 $\psi^*(x,t)=\overline{\psi(x,t)}=Ae^{-i(kx-wt)}$ ，然後可以規定 $$\left|\psi(x,t)\right|^2=\psi^*(x,t)\psi(x,t)$$

## 20-2 薛丁格方程式用於自由粒子

承接 20-1 ，只要定義位能為常數就可以了，當然定義為零嘛！直接附上解答不解釋：當一個粒子的動量為 $p=\hbar k$ 和能量 $E=\hbar w=hf$ 時， $$E=\hbar w=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$$

## 20-3 期望值

以一維空間中，粒子出現（被觀察到）的位置的期望值為例，該值為 $\overline x=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)$ ，其中 $P(x)=|\psi(x,t)|^2$ 表示粒子在 $x$ 被觀察到的機率。可以把 $\psi^*(x,t)\psi(x,t)$ 代替 $|\psi(x,t)|^2$ 。 $$\begin{align}\overline{x}&= \int_{-\infty}^{\infty}x\psi^*(x,t)\psi(x,t)\mathrm dx\\ \overline{p}&=\int_{-\infty}^{\infty}p\psi^*(x,t)\psi(x,t)\mathrm dx\\ \overline E&=\int_{-\infty}^{\infty}E\psi(x,t)^*\psi(x,t)\mathrm dx\end{align}$$

可以得到 $\overline p=h/\lambda$ 和 $E=hf$ ，以上都和古典物理相符（這裡有點倒果為因的味道）。 $\overline x$ 應為零。

## 20-4 變數分離

#### 定義 $\psi(x,t)=\chi(x)\Gamma(t)$

因為方程式 $\overline E=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,t)E\psi(x,t)\mathrm dx$ 沒辦法直接計算期望動能，除了用 20-3 的方法之外，還可以這樣做：$$\begin{align}\psi(x,t) &= \chi(x)\Gamma(t) \\ \psi^*(x,t) &= \chi(x)\Gamma^*(t) \end{align}$$

其中 $\Gamma^*(t) = \overline {\Gamma(t)}$ ，是 $\Gamma(t)$ 的共軛複數。

#### 步驟一：準備

我們知道總能量是位能和動能的總和，亦即 $E=p^2/(2m)+U$ 。將兩邊同乘 $\psi(x,t)$ 得到 $$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2} + U\psi(x,t)$$

#### 步驟二：分離兩個變數

代入 $\psi(x,t)=\chi(x)\Gamma(t)$ 然後移動一下未知數，使得偏微分變成正微分，得到 $$\frac{-h^2}{2m}\frac{1}{\chi(x)}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+U=i\hbar\frac{1}{\Gamma(t)}\frac{\mathrm d\Gamma(t)}{\mathrm dt}$$

#### 步驟三：拆開等號

等號拆開，再腦補變成 $$\begin{align} \frac{-h^2}{2m}\frac{1}{\chi(x)}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2} +U &=G \\ i\hbar\frac{1}{\Gamma(t)}\frac {\mathrm{d}\Gamma(t)}{\mathrm{d}t} &=G \end{align}$$

#### 步驟四：解 $\Gamma(t)$

嘗試解 $$i\hbar\frac{1}{\Gamma(t)}\frac {\mathrm{d}\Gamma(t)}{\mathrm{d}t} =G$$

得到 $$\Gamma(t)=e^{-iGt/\hbar}$$

#### 步驟五：解 $G$

代換 $\Gamma(t)=e^{-iGt/\hbar}$ 到 $$E=i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=i\hbar \chi(x)\frac{\mathrm d \Gamma(t)}{\mathrm d t}$$

發現 $G=E$ 。於是 $\Gamma(t)=e^{-iEt/\hbar}$ 。

函數 $\chi(x)$ 是無法解的，因為每個波動函數的 $\chi(x)$ 都不一樣。

#### Time independent Schrodinger equation

以下方程式不牽涉到時間： $$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+U\chi(x)=E\chi(x)$$
注意只有特定 $E$ 值才能滿足上式，量子化成功。

## 20-5 函數的滿足

請注意 $\chi(x)$ 和 $\dfrac{\mathrm d\chi(x)}{\mathrm dx}$ 都要滿足連續且一對一或多對一。不要出現斷點或無限的情況。

## 20-6 無限位能井

在一維空間中有區段 $[0,a]$ 為零位能，其他地方都是無限大位能（因此動能為 $0$），粒子不會出現在這些地方。在零位能區間中因為我們知道基本薛丁格一維函數 $$\frac{-h^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+U\chi(x)=E\chi(x)$$

而且位能 $U=0$ ，可以腦補出 $$\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\chi(x)=0$$

最終 $$\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}=-k^2\chi(x)$$

會微分方程的話，可以知道公式解：( $s$ 和 $t$ 是兩個未知的實數常數 ) $$\chi(x)=(s+t)\cos kx + i(s-t)\sin kx$$

為了保持 $\chi(x)$ 連續且處處可微，必須規定

* $\chi(0)=0$
* $\chi(a)=0$

由上式可知 $s+t=0$ ，故實際上 $\chi(x)=i(s-t)\sin kx$。又由下式知 $(s-t)\sin ka=0$ ，因為 $s-t$ 不可能是零了，所以 $\sin ka=0$，是以 $k=n\pi/a$ 且 $n\in\mathbb N$ 。注意因為 $k=2\pi/\lambda$ 所以不能是零。

倒數第二步，我們得到 $$\chi(x)=i(s-t)\sin \frac{n\pi x}{a}$$

透過機率總和為 $1$ 的方式，我們試著解 $$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 \mathrm dx&= \int_{-\infty}^{\infty} \chi(x)\Gamma(t)\chi(x)\Gamma^*(t) \mathrm dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \chi^2(x) \mathrm dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(i(s-t)\sin \frac{n\pi x}{a}\right)^2 \mathrm dx\\ &=1 \end{align}$$

得出 $i(s-t) = \sqrt{\dfrac{2}{a}}$ 。

最後的最後我們得到 $$\chi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \\ E_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}$$

定義 $E_0$ 來簡化： $$\begin{align} E_n&=n^2E_0 \\ E_0&=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2} \end{align}$$

我們注意到即使 $E_0$ 也不為零，跟古典物理不太一樣，但放在巨觀下，其實觀察不出來這樣的差別。

最後以 $n=1$ 為例， $\overline x=a/2$、$\overline E=E_0$ 且 $\overline p=0$ ，動量為零合理，這粒子不會趨向往左跑或往右跑。

在某些情況下，若 $t$ 為固定值，會乾脆以 $\psi(x)=\chi(x)$ 來簡寫，此時 $\psi(x)$ 是實數函數，可以比較大小且有正有負。下圖中 $\psi$ 實際上是 $\psi(x)=\chi(x)$ 。

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## 20-7 彈力位能量子化與穿隧效應

### 簡諧運動

$E=\dfrac{kx^2}{2}+\dfrac{p^2}{2m}$ 化為 $$E\chi(x)=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\chi(x)}{\mathrm dx^2}+\frac{kx^2}{2}\chi(x)$$

這個方程式很難解，老師直接跳過步驟了。結論是能量也被量子化了。這裡 $n\in\mathbb N$ 。 $$E_n=\hbar\left(n-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac k m}$$

* $\sqrt{k/m}=w$ (角速率)
* 能量間隔是 $\hbar w=hf$ ，和黑體實驗一樣。
* 能量最小值 $E_0 = \frac 1 2 hf$

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* 這個簡諧運動可能超出 $x_\mathrm{max}$ ，違反古典物理。這必須用穿隧效應解釋。
* 貌似在平衡點出現機率最大，違反古典物理，但可以用巨觀觀點解釋 $n$ 很大。

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### 有限高位能井

方程式也是很難解，跳過步驟。在有限高位能井中，粒子可能跑到井外但機率較低，這也是穿隧應。

### 穿隧效應 (Tunneling)

在有隔板阻礙的情況下，其機率函數在隔板厚度期間以指數下降，很快會趨近於零，因此現實生活很難觀察到穿隧。衰減是指數函數 $e^{-x\sqrt{2m(U_0-E)}/h}$ ，其中 $U_0$ 是器壁厚度。巨觀世界粒子質量 $m$ 極大，器壁 $U_0$ 很厚，所以衰減非常快，穿隧效應幾乎不可能發生。
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### Scanning Tunneling Microscope

這是一種利用量子穿隧效應探測物質表面結構的顯微鏡。這個顯微鏡的探針非常尖，針尖的地方只有一個原子。當針尖靠近待測原子表面時，若距離只有約一奈米，則待測原子的電子很可能引發穿隧效應，跑到針尖去。

這裡的穿隧效應的器壁並不是真實的容器，而是在暗示難以掙脫的位能的意思，而這裡的位能就是指電子核的電位能。顯微鏡探針是導體製成的，當電子穿隧時，可以造成電流，且電流強度和距離有劇烈的指數反向關係。透過兩種方式，可以測量物體的表面原子構造：

* 水平移動針尖，測量電流變化。電流大的時候表示探針靠近原子，是為凸點（有原子）；反之為凹點（無原子）。
* 透過針尖水平尖垂直移動來固定固定電流，然後透過針尖的垂直位移量，來計算物體表面的凹凸情況。