Chapter 20: 量子力學的處理方法

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20-1 薛丁格波動函數

薛丁格和海森保對量子力學各自提供一個公式。前者使用複數函數來表達，後者使用矩陣。兩者的本質是一樣的、是等價的。

一維薛丁格波動函數

薛丁格函數定義為

$$\psi (x,t)=A{e}^{i(kx-wt)}=A(\cos (kx-wt)+i\sin (kx-wt))$$

其中

$A$ 是一個實數。因此

• $|\psi (x,t)|=|A|$
• $|\psi (x,t){|}^2=A^2$

一般的物質波，會由好幾個薛丁格函數湊合組成，因此

$|\psi (x,t){|}^2$ 的值一般不是常數。如一個物質波的波函數組成就是單純的

$\psi (x,t)$ ，那他在任意點的出現機率都是

$|\psi (x,t){|}^2=A^2$ 為常數，也就是說他在各處被觀察到的機率都同。

薛丁格函數的實數部份或非實數部份都有跟波有關的函數，可以定義：

$$\begin{array}{rl}\lambda & =2\pi /k\\ f& =w/(2\pi )\\ p& =h/\lambda \\ E& =hf\end{array}$$

自行亂湊，可以發現兩件事情：

$$\begin{array}{rl}-i\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}& =p\psi (x,t)\\ i\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}& =E\psi (x,t)\end{array}$$

以微分算子的觀點來看：（重要）

$$\begin{array}{rl}p& =-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}\\ E& =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\end{array}$$

然後我們還知道總能量等於動能加上位能，因此可以腦補出

$E\psi (x,t)=\frac{p^2}{2m}\psi (x,t)+U\psi (x,t)$ ，再腦補一下就有創世紀的一維薛丁格方程：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}+U\psi (x,t)=i\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}$$

${\psi }^{\ast }(x,t)$ 函數

我們可以定義令一個函數

${\psi }^{\ast }(x,t)=\overline{\psi (x,t)}=A{e}^{-i(kx-wt)}$ ，然後可以規定

$${|\psi (x,t)|}^2={\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)$$

20-2 薛丁格方程式用於自由粒子

承接 20-1 ，只要定義位能為常數就可以了，當然定義為零嘛！直接附上解答不解釋：當一個粒子的動量為

$p=\hslash k$ 和能量

$E=\hslash w=hf$ 時，

$$E=\hslash w=\frac{p^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$$

20-3 期望值

以一維空間中，粒子出現（被觀察到）的位置的期望值為例，該值為

$\bar{x}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xP(x)$ ，其中

$P(x)=|\psi (x,t){|}^2$ 表示粒子在

$x$ 被觀察到的機率。可以把

${\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)$ 代替

$|\psi (x,t){|}^2$ 。

$$\begin{array}{rl}\bar{x}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)\mathrm{d}x\\ \bar{p}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}p{\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)\mathrm{d}x\\ \bar{E}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E\psi (x,t{)}^{\ast }\psi (x,t)\mathrm{d}x\end{array}$$

可以得到

$\bar{p}=h/\lambda$ 和

$E=hf$ ，以上都和古典物理相符（這裡有點倒果為因的味道）。

$\bar{x}$ 應為零。

20-4 變數分離

定義

$\psi (x,t)=\chi (x)\mathrm{\Gamma }(t)$

因為方程式

$\bar{E}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }^{\ast }(x,t)E\psi (x,t)\mathrm{d}x$ 沒辦法直接計算期望動能，除了用 20-3 的方法之外，還可以這樣做：

$$\begin{array}{rl}\psi (x,t)& =\chi (x)\mathrm{\Gamma }(t)\\ {\psi }^{\ast }(x,t)& =\chi (x){\mathrm{\Gamma }}^{\ast }(t)\end{array}$$

其中

${\mathrm{\Gamma }}^{\ast }(t)=\overline{\mathrm{\Gamma }(t)}$ ，是

$\mathrm{\Gamma }(t)$ 的共軛複數。

步驟一：準備

我們知道總能量是位能和動能的總和，亦即

$E=p^2/(2m)+U$ 。將兩邊同乘

$\psi (x,t)$ 得到

$$i\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}+U\psi (x,t)$$

步驟二：分離兩個變數

代入

$\psi (x,t)=\chi (x)\mathrm{\Gamma }(t)$ 然後移動一下未知數，使得偏微分變成正微分，得到

$$\frac{-h^2}{2m}\frac{1}{\chi (x)}\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}+U=i\hslash \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(t)}\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }(t)}{\mathrm{d}t}$$

步驟三：拆開等號

等號拆開，再腦補變成

$$\begin{array}{rl}\frac{-h^2}{2m}\frac{1}{\chi (x)}\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}+U& =G\\ i\hslash \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(t)}\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }(t)}{\mathrm{d}t}& =G\end{array}$$

步驟四：解

$\mathrm{\Gamma }(t)$

嘗試解

$$i\hslash \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(t)}\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }(t)}{\mathrm{d}t}=G$$

得到

$$\mathrm{\Gamma }(t)=e^{-iGt/\hslash }$$

步驟五：解

$G$

代換

$\mathrm{\Gamma }(t)=e^{-iGt/\hslash }$ 到

$$E=i\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=i\hslash \chi (x)\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }(t)}{\mathrm{d}t}$$

發現

$G=E$ 。於是

$\mathrm{\Gamma }(t)=e^{-iEt/\hslash }$ 。

函數

$\chi (x)$ 是無法解的，因為每個波動函數的

$\chi (x)$ 都不一樣。

Time independent Schrodinger equation

以下方程式不牽涉到時間：

$$\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}+U\chi (x)=E\chi (x)$$
注意只有特定

$E$ 值才能滿足上式，量子化成功。

20-5 函數的滿足

請注意

$\chi (x)$ 和

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\chi (x)}{\mathrm{d}x}}$ 都要滿足連續且一對一或多對一。不要出現斷點或無限的情況。

20-6 無限位能井

在一維空間中有區段

$[0,a]$ 為零位能，其他地方都是無限大位能（因此動能為

$0$），粒子不會出現在這些地方。在零位能區間中因為我們知道基本薛丁格一維函數

$$\frac{-h^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}+U\chi (x)=E\chi (x)$$

而且位能

$U=0$ ，可以腦補出

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}\chi (x)=0$$

最終

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}=-k^2\chi (x)$$

會微分方程的話，可以知道公式解：(

$s$ 和

$t$ 是兩個未知的實數常數 )

$$\chi (x)=(s+t)\cos kx+i(s-t)\sin kx$$

為了保持

$\chi (x)$ 連續且處處可微，必須規定

• $\chi (0)=0$
• $\chi (a)=0$

由上式可知

$s+t=0$ ，故實際上

$\chi (x)=i(s-t)\sin kx$。又由下式知

$(s-t)\sin ka=0$ ，因為

$s-t$ 不可能是零了，所以

$\sin ka=0$，是以

$k=n\pi /a$ 且

$n\in \mathbb{N}$ 。注意因為

$k=2\pi /\lambda$ 所以不能是零。

倒數第二步，我們得到

$$\chi (x)=i(s-t)\sin \frac{n\pi x}{a}$$

透過機率總和為

$1$ 的方式，我們試著解

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\psi (x,t){|}^2\mathrm{d}x& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (x)\mathrm{\Gamma }(t)\chi (x){\mathrm{\Gamma }}^{\ast }(t)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\chi }^2(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{(i(s-t)\sin \frac{n\pi x}{a})}^2\mathrm{d}x\\ & =1\end{array}$$

得出

$i(s-t)=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{a}}}$ 。

最後的最後我們得到

$$\begin{gathered} {\chi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \\ {E}_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\frac{n^2{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{a}^2} \end{gathered}$$

定義

$E_0$ 來簡化：

$$\begin{array}{rl}{E}_n& =n^2{E}_0\\ E_0& =\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{a}^2}\end{array}$$

我們注意到即使

$E_0$ 也不為零，跟古典物理不太一樣，但放在巨觀下，其實觀察不出來這樣的差別。

最後以

$n=1$ 為例，

$\bar{x}=a/2$、

$\bar{E}=E_0$ 且

$\bar{p}=0$ ，動量為零合理，這粒子不會趨向往左跑或往右跑。

在某些情況下，若

$t$ 為固定值，會乾脆以

$\psi (x)=\chi (x)$ 來簡寫，此時

$\psi (x)$ 是實數函數，可以比較大小且有正有負。下圖中

$\psi$ 實際上是

$\psi (x)=\chi (x)$ 。

20-7 彈力位能量子化與穿隧效應

簡諧運動

$E={\displaystyle \frac{k{x}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{p^2}{2m}}$ 化為

$$E\chi (x)=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2\chi (x)}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{k{x}^2}{2}\chi (x)$$

這個方程式很難解，老師直接跳過步驟了。結論是能量也被量子化了。這裡

$n\in \mathbb{N}$ 。

$$E_n=\hslash (n-\frac{1}{2})\sqrt{\frac{k}{m}}$$

• $\sqrt{k/m}=w$ (角速率)
• 能量間隔是
  $\hslash w=hf$ ，和黑體實驗一樣。
• 能量最小值
  $E_0=\frac{1}{2}hf$

• 這個簡諧運動可能超出
  $x_{\max }$ ，違反古典物理。這必須用穿隧效應解釋。
• 貌似在平衡點出現機率最大，違反古典物理，但可以用巨觀觀點解釋
  $n$ 很大。

有限高位能井

方程式也是很難解，跳過步驟。在有限高位能井中，粒子可能跑到井外但機率較低，這也是穿隧應。

穿隧效應 (Tunneling)

在有隔板阻礙的情況下，其機率函數在隔板厚度期間以指數下降，很快會趨近於零，因此現實生活很難觀察到穿隧。衰減是指數函數

$e^{-x\sqrt{2m(U_0-E)}/h}$ ，其中

$U_0$ 是器壁厚度。巨觀世界粒子質量

$m$ 極大，器壁

$U_0$ 很厚，所以衰減非常快，穿隧效應幾乎不可能發生。

Scanning Tunneling Microscope

這是一種利用量子穿隧效應探測物質表面結構的顯微鏡。這個顯微鏡的探針非常尖，針尖的地方只有一個原子。當針尖靠近待測原子表面時，若距離只有約一奈米，則待測原子的電子很可能引發穿隧效應，跑到針尖去。

這裡的穿隧效應的器壁並不是真實的容器，而是在暗示難以掙脫的位能的意思，而這裡的位能就是指電子核的電位能。顯微鏡探針是導體製成的，當電子穿隧時，可以造成電流，且電流強度和距離有劇烈的指數反向關係。透過兩種方式，可以測量物體的表面原子構造：

• 水平移動針尖，測量電流變化。電流大的時候表示探針靠近原子，是為凸點（有原子）；反之為凹點（無原子）。
• 透過針尖水平尖垂直移動來固定固定電流，然後透過針尖的垂直位移量，來計算物體表面的凹凸情況。