Chapter 19: 量子力學的基本假設

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19-1 德布洛伊

德布洛伊雙假設

凡物質都是波動，稱物質波。

• 物質波的波長
  $\lambda =\frac{h}{p}$ 繼承自普朗克的理論
• 物質波的頻率
  $f=\frac{E}{h}$ 還是繼承自普朗克的理論。

19-2 電子繞射

同一道波，行徑的路徑相差波長的整數倍，就會建設放大。如果對著金屬板發射電子波束，而兩層金屬原子平面之間的距離做適當調整，就可以使電子束行進的距離有適當的差距，造成建設干涉。

透過觀察建設干涉，可以算出波動的波長。在電子束反射實驗中，如果一道波動在相鄰的兩層（注意不一定相鄰，但相鄰最常發生）原子平面做反射，行徑的距離會造成的差距為

$2d\sin \theta$ ，其中

$d$ 是兩層金屬原子平面的間隔距離，

$\theta$ 不是入射角（法線夾角），而是指電子束和金屬板的夾角。

也就是說，如果

$2d\sin \theta =n\lambda$ ，就會有建設干涉。

在發射電子束之前，要先將電子加上電壓加速，讓電子以一定的速度射出去。觀察反射的電子束強度（電流），發現在加到 54V 的時候，反射電流最強，再加壓下去反而電流變弱了。這非常關鍵，這是電子波動性的證明（重要） 。

這是因為，將 54V 電壓帶入計算，會得出電子的物質波波長

$\lambda =0.167\text{ nm}$ ，這是已知的原子間距，也就是說，這是電子的繞射所致。如果電壓再加強，電子的物質波波長會減少，繞射會變得不明顯，觀察到的電流就會變低。

透過基本的換算，可以算出電子的物質波波長。

• 已知基本的
  $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}$
• 電子的能量（動能）
  $E_k=eV$
• 於是電子的物質波波長
  $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2meV}}}$ ，重要

透過調整電子束入射角

$\theta$ 也會影響電子的反射電流，這當然也可以用來說明的電子的波動性質。真實實驗中，

${50}^{\circ }$ 的角度可以觀察到最強的電流。

因為電子的物質波波長非常短，電子對原子等等小東西的結構更敏感。一般可見光的波長大，因此電子顯微鏡跟複式顯微鏡相比解析度非常高。這還是物質的波動性質的作特性。

19-3 不準確原理

根據物質波方程式，粒子的位置和動量無法同時被定義。並且有

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}={\displaystyle \frac{\hslash }{2}}$ 的限制。李威儀老師的版本是

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{2\pi }}=\hslash$ 。

物質波

定義

$\psi (x,t)$ 為一個粒子的波動函數。這個函數牽涉到虛數。

• $x$ 是粒子的位置。
• $t$ 是時間點。

函數值

$|\psi (x,t){|}^2$ 表示粒子在那個位置那個時間被觀察到的機率。請注意絕對值不能省略，因為

$\psi$ 函數是複數函數。並且

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\psi (x,t{)}^2\mathrm{d}V=1$$

假設在正

$x$ 方向等速前進的粒子，其單純的

$\psi (x,t)$ 函數是正弦函數

$A\sin (kx-wt)$ 。

• 其波長為非常確定的值
  $\lambda =2\pi /k$ 。其中
  $k$ 是
  $2\pi$ 範圍內波動的數量
  $2\pi /\lambda$，也就是波數。
• 其速度為非常確定的值
  $v=w/k$ 。故其動量也非常確定，
  $\mathrm{\Delta }p=0$
• 其角速度大小為
  $2\pi w$ 。
• 其頻率為
  $2\pi w$

此粒子在各處出現的機率都相等，即

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\infty }$ ，但是自然世界沒有這樣的粒子。現實世界的物質波，都是非常複雜的眾多三角函數的合成體，不在討論範圍內。

19-4 群速

現實世界的粒子，其

$\psi (x,t)$ 函數是很多正弦函數的組合。如果將眾粒子視為一個物質，那這個物質也可以視為其波函數的組合。

當各種正弦函數組合在一起時，會逐漸趨近一個函數。此函數的推算出來的波包速度稱為群速，可以對應古典物理的物質速度，簡言之，波包就是古典物理世界的物質。