Chapter 18: 原子模型

tags: 物理二 筆記整理 李威儀

18-1 原子結構簡介

J.J. 湯木生發現電子，提出原子的西瓜模型。這是有名的陰極射線實驗。

陰極射線實驗

在一個橢圓玻璃管內填入稀薄惰氣，可以觀察帶電粒子的移動軌跡，因為惰氣和帶電粒子撞擊發出的螢光可以肉眼觀察。

湯木生將金屬板作為陰極，加熱後，會發射出一種粒子束。這個電子束會正常情況下會直線移動，但受到電壓和磁場的影響造成路徑偏移，所以這個粒子束帶電，而且電量可以輕易被計算出來。如此，這個粒子的質量也可以被算出來。

湯木生發現這個粒子的質量遠比氫原子小，所以認為這是一種次原子粒子。湯木生提出西瓜模型。

拉賽福推翻湯木生

拉賽福是湯木生的學生。

拉賽福透過有名的

$\alpha$ 粒子散射實驗得知，原子的正電荷集中原子中心，稱為原子核。因此出現了原子行星模型。

18-2 波爾氫原子模型

原子行星模型違反古典物理。

• 電子繞原子核伴隨電場與磁場的改變，會放出電磁波而失去能量，然後墜入原子核。原子會崩壞。
• 電子會放出連續的電磁波。但現實上放出的電磁波是不連續的。

波爾氫原子模型不完全正確。

波爾氫原子模型不能算是真正的量子力學領域，有些觀念還是繼承自古典物理。真正的量子物理，要到德布洛伊。

波爾的三個假設

以下是波爾的氫原子模型假設。三個假設都違反古典物理。波爾的假設是透過實驗反推湊出來的。

• 電子的角動量可以量子化

  $L=mvr=n\hslash$ 。重要！
  • 角動量、質量、速度都是是指電子
  • 半徑是指電子繞行原子核的軌道半徑
  • $\hslash ={\displaystyle \frac{h}{2\pi }}$
  • $n\in \mathbb{N}$

• 電子在某些軌道上不會放出電磁波，意思就是不會失去能量，所以電子可以一直旋轉，原子不會崩壞。軌道有能量高低之分。

• 電子只有在高能軌道降遷當低能軌道上，才會放出電磁波。

將下面三個公式合併。

• 國中教的電磁力

  $F={\displaystyle \frac{kQq}{r^2}}={\displaystyle \frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}$ 。
  • 後面那個比較冷門，是
    $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ 的代數替換，但近代物理常用，這裡採用後者。
  • 因為電子汗青原子核的電量一樣，
    $Qq$ 可以轉換為
    $e^2$ 。

• 高中教的向心力

  $F={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$ 。

• 剛剛提到的波爾假設

  $L=mvr=n\hslash$ 。

結合起來得到完美成果

$$r=n^2\frac{4\pi {\hslash }^2{\epsilon }_0}{m{e}^2}$$

至此，原子的能階被定義出來了。可以發現電子的軌道半徑，和其量子數平方成正比。

• $r_1=1\times {\displaystyle \frac{4\pi {\hslash }^2{\epsilon }_0}{m{e}^2}}$
• $r_2=4\times {\displaystyle \frac{4\pi {\hslash }^2{\epsilon }_0}{m{e}^2}}$
• $r_3=9\times {\displaystyle \frac{4\pi {\hslash }^2{\epsilon }_0}{m{e}^2}}$
• 依此類推

通常把後面那陀用另一個代數替換來簡化書寫，定義

$r_0={\displaystyle \frac{4\pi {\hslash }^2{\epsilon }_0}{m{e}^2}}$ 然後

$r_n=n^2{r}_0$ 。

波爾的角動量量子化非常關鍵，這造成電子的能量量子化。記得電子的能量就是位能和動能的總和。把位能和動能透過波爾的假設做代數替換：

• 位能
  $={\displaystyle \frac{-kQq}{r^2}}={\displaystyle \frac{-Qq}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}$
• 動能
  $={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$
• 波爾的假設
  $L=mvr=n\hslash$

最終得到電子的總能量

$$E=\frac{-e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}$$

要計算個能階的電子的能量，只要替換

$r_n=n^2{r}_o$ 。電子的總能量對於計算放出來的光子頻率非常重要。兩個電子總能量的差距，就是放出來的光子的能量。