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title: 數字系統
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# 數字系統

:::info
電腦內部資料是以0和1來儲存的，這種只有0和1兩種狀態的系統，成為二進位系統；本文將就二進位系統探討其轉換、四則及邏輯運算。
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## 進制
### 十進位制(Decimal)
十進位制是一種滿10進位，基底為十的數字系統，由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等十個數字組成，為日常生活中普遍使用的數制。例127810，其基底通常被省略，亦即1278。

### 二進位制(Binary)
二進位制是一種滿2進位，基底為二的數字系統，由0和1兩個數字所組成，為電腦最基本的數字系統。通常表示時會在數字前加一"B"以便於識別，例`B1101`或110~2~。

### 八進位制(Octal)
八進位制為逢8進位的數字系統，由0，1，2，3，4，5，6，7所組成，通常於數字前加"＆"或"＆O"字母符號識別，例如`&O467`或456~8~。。

### 十六進位制(Hexadecimal)
十六進位制為逢16進位的數字系統，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F所組成，其中A表十進位的10，B表 11，依次類推，其識別方式是於數前加`＆H`，例如`&H123C`或123C~16~。

## 數字系統的轉換
### 非十進位轉成十進位
將整數與小數部分分開處理
- 整數是以n進位數值，乘上相對的n正次方值
- 小數是以n進位數值，乘上相對的n負次方值

例如：
101~2~=1 x 2^0^ + 0 x 2^1^ + 1 x 2^2^ = 5~10~
0.11~2~=1 x 2^-1^ + 0 x 2^-2^ = 0.75~10~

### 十進位數轉換成非十進位
使用短除法，從底下往上依序取餘數

### x進位數轉換成y進位數
先將x進位數換成**十進位數**，再轉換成y進位數

### 隨堂練習

請問D02A~16~+5487~10~等於多少?
(1) 1100 0101 1001 1001~2~
(2) 162631~8~
(3) 58787~16~
(4) F599~16~

> Tips: 將所有數字都換成十進位

Ans: (2)

## <a id="complement"> 補數系統</a>
`補數(Complement)`是指兩數字加起來等於某數時，則二數互為某數的補數。
例如3的10補數為7，7的10補數為3。

在電腦基礎運作的二進制運算中，為了達成減法、除法運算，運用了補數。

減法就是加上某數的補數，而除法就是連續加上加上某數的補數。

### 一補數（1's complement）
在一補數系統中，-3的表示方法是
1. 首先先將 3 以二進位表示：0011
2. 先算出一補數，把每個 1 寫成 0、每個 0 寫成 1，得到 `1100`

### 使用一補數進行減法運算
運算方法：
1. 將`被減數`轉成一的補數
2. 兩數相加，若有溢位，將該位元加回最小位數(`LSD: Least Significant Digit`)即得到正確結果

例如：4 - 3 = 0100~2~ + 1100~2~ = (1)0000~2~ = 0001~2~ = 1

然而，在一補數系統中，0 居然可以被同時表示成正零（+0)和負零（−0)，這造成了一些系統問題。

於是就發明了2的補數系統來解決。

### 二補數（2's complement）
在二補數系統中，負整數表示方法是：
1. 首先以二進位表示
2. 將`被減數`以`一補數`表示，把每個 1 寫成 0、每個 0 寫成 1，得到 1100
3. 將最小位數再加上一個1

二補數常用來表示有號數，第一個位元用來記錄正負號
- 正號表示成 0
- 負號表示成 1

正數和0的二補數就是該數字本身；負數的二補數則是將其對應正數按位元取反再加1。

#### 使用二補數進行減法運算

運算方法：
1. 將`被減數`轉成二的補數
2. 兩數相加，若有溢位，捨棄最高位元，即可得到答案

例如 4 - 3 = 0100~2~ + 1101~2~ = (1)0001~2~ = 0001~2~ = 1

## 進階閱讀
https://hackmd.io/@sysprog/binary-representation

###### tags: `電腦科學概論`