# OMC220D 思考過程 [公式解説](https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/7444)とは全然違う方法で解いていたので書き留めておく。 $$\lfloor \frac{k^2}{10000} \rfloor=n \iff \lceil 100\sqrt{n}\rceil\leq k\lt \lceil 100\sqrt{n+1}\rceil (0\leq n)$$ であるから、 $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{10000}\lfloor \frac{k^2}{10000} \rfloor &=& 10000+\sum_{k=0}^{9999}k(\lceil 100\sqrt{k+1}\rceil-\lceil 100\sqrt{k}\rceil)\\ &=&10000+9999\lceil 100\sqrt{10000}\rceil-\sum_{k=1}^{9999}\lceil 100\sqrt{k}\rceil\\ &=&100000000-\sum_{k=1}^{9999}\lceil 100\sqrt{k}\rceil \end{eqnarray} $$ となる。 求める値は、 $$ \begin{eqnarray} &&100000000-\sum_{k=1}^{9999}\lceil 100\sqrt{k}\rceil+\sum_{k=1}^{10000}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor\\ &=&100000000+\lfloor 100\sqrt{10000}\rfloor+\sum_{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil\\ &=&100010000+\sum_{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil \end{eqnarray}$$ となるから、あとは $\displaystyle{\sum_{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil}$ を求めればよい。 $\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil$ は $-1$ または $0$ である。$\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil=0$ となるには $100\sqrt{k}$ が整数でなければならず、即ち $k$ が平方数でなければならない。[^1] そのような $k$ は $1$ 以上 $9999$ 以下の範囲に $\lfloor \sqrt{9999}\rfloor=99$ 個存在するから、 $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil&=&-(9999-99)\\ &=&-9900 \end{eqnarray} $$ となる。 よって、答えは $$ \begin{eqnarray} &&100010000+\sum_{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor-\lceil 100\sqrt{k}\rceil\\ &=&100010000-9900\\ &=&\mathbf{100000100} \end{eqnarray}$$ [^1]:ここで、$k$ が平方数でなければ $\sqrt{k}$ が無理数になることを用いた。