OMC220D 思考過程

公式解説とは全然違う方法で解いていたので書き留めておく。

$$\lfloor \frac{k^2}{10000}\rfloor =n⟺\lceil 100\sqrt{n}\rceil \le k<\lceil 100\sqrt{n+1}\rceil (0\le n)$$

であるから、

$$\begin{array}{rcl}\sum _{k=1}^{10000}\lfloor \frac{k^2}{10000}\rfloor & =& 10000+\sum _{k=0}^{9999}k(\lceil 100\sqrt{k+1}\rceil -\lceil 100\sqrt{k}\rceil )\\ & =& 10000+9999\lceil 100\sqrt{10000}\rceil -\sum _{k=1}^{9999}\lceil 100\sqrt{k}\rceil \\ & =& 100000000-\sum _{k=1}^{9999}\lceil 100\sqrt{k}\rceil \end{array}$$

となる。

求める値は、

$$\begin{array}{rcl}& & 100000000-\sum _{k=1}^{9999}\lceil 100\sqrt{k}\rceil +\sum _{k=1}^{10000}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor \\ & =& 100000000+\lfloor 100\sqrt{10000}\rfloor +\sum _{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil \\ & =& 100010000+\sum _{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil \end{array}$$

となるから、あとは

${\displaystyle \sum _{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil }$ を求めればよい。

$\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil$ は

$-1$ または

$0$ である。

$\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil =0$ となるには

$100\sqrt{k}$ が整数でなければならず、即ち

$k$ が平方数でなければならない。^[1]

そのような

$k$ は

$1$ 以上

$9999$ 以下の範囲に

$\lfloor \sqrt{9999}\rfloor =99$ 個存在するから、

$$\begin{array}{rcl}\sum _{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil & =& -(9999-99)\\ & =& -9900\end{array}$$

となる。

よって、答えは

$$\begin{array}{rcl}& & 100010000+\sum _{k=1}^{9999}\lfloor 100\sqrt{k}\rfloor -\lceil 100\sqrt{k}\rceil \\ & =& 100010000-9900\\ & =& \mathbf{100000100}\end{array}$$

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1. ここで、

   $k$ が平方数でなければ
   $\sqrt{k}$ が無理数になることを用いた。 ↩︎