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機率與統計

機率

實驗experiment

機率實驗包含:
步驟procedures 模型model 觀察observations

結果outcome
實驗中可能的實驗結果

樣本空間sample space
所有可能的結果的集合以S表示

事件event
對實驗結果的某種敘述
可以看成outcome的集合以及sample space的子集
例如:出現正面

事件空間event space
包含所有可能事件的集合
probability是一個集合的函數,自變數為事件
P(事件)

公理axioms

以數條公理作為理論的基石
無法被證明只能被檢驗特定的條件是否滿足

機率三公理

P(A)>=0 任何事件的機率大約等於零
P(S)=1 樣本空間發生的機率等於一
A1’A2… 互斥
=》P(A1UA2…)=P(A1)+P(A2)…

條件機率conditional probability

有一個機率分布，因某件事情發生後機率分布改變，此機率稱為條件機率
P(X|Y)=P(X)/P(Y)
X為事件(所關心的事件)
Y為條件(觀察到的事件)

若outcome與Y不相交，則P(O|Y)=0
若事件中有不在條件內之元素，則事件只需計算在條件內之元素
P(X|Y)=P(X∩Y)/P(Y)

條件事件關鍵字後面通常會接條件

condition on
suppose
if
assuming
given that

P(X|Y)=P(X∩Y)>=0/P(Y)>=0 >=0
P(Y|Y)=P(Y∩Y)/P(Y)=P(Y)/P(Y)=1
P(X1|Y)(X1=A∪B,A∩B=∅)=P(A)/P(Y)+P(B)/P(Y)

total probability定理
貝氏定理!!!

獨立事件
P(A|B)=P(A)
A,B為獨立事件

隨機變數

把outcome數字化　outcome的函數
離散隨機變數
連續隨機變數

累積分布函數cumulative distribution function

probability mass function

機率分布將總合為1的機率分布在點上
離散的隨機變數等於某數的機率

白努力分布 bernoulli distribution

一個實驗兩種結果一種機率某結果發生否
pmf=Px(x)
P,x=1
1-p,x=0
0,otherwise
cdf=Fx(x)
0,x<0
1-p,0<=x<1
p,x>=1

binomial distribution

n次實驗一種機率 n次中出現k次結果的機率
Px(x)=P(X=x)
(n x)P^x(1-p)n-x,x=0,1,2,…
0,otherwise

uniform distrubution

一次實驗 n種結果機率相等某結果發生否
Px(x)
1/b-a+1,x=a,a+1,…b
0,otherwise

geometric distribution

實驗某結果出現機率已知重複實驗至某結果首次出現某結果在第幾次實驗首次出現
Px(x)=P(X=x)
(1-p)^x-1.p,x=1,2,3…
0,otherwise

pascal distribution

某結果出現機率已知重複實驗至某結果出現k次第幾次實驗看到某結果出現k次
Px(x)
(x-1 k-1)p^k.(1-p)x-k,x=k,k+1…
0,otherwise

poisson distrubution

某結果出現之平均速率已知持續觀察某時間長度後該結果出現k次機率
λ=發生速率
T=觀察時間
Px(x)
e^{-λT.((λT)/x!)}x

機率密度函數probability density function

連續用的關鍵是密度
PDF=fx(x)
lim(Δx->0) P(x<=X<=x+Δx)/Δx
lim(Δx->0) Fx(x+Δx)-Fx(x) /Δx
Fx'(x)

CDF微分->/<-積分PDF

fx(x)=Fx'(x)
Fx(x)=∫(x -∞)fx(u)du
∫(∞ -∞)fx(x)dx=1
P(x1<=X<=x2)=∫(x1 x2)fx(x)dx
fx(x)>=0

uniform distribution

fx(x)=1/b-a,a<=x<=b
Fx(x)=∫(x -∞)fx(u)du
0,x<=a
(x-a)/(b-a),a<=x<=-b
1,x>b

exponential distribution

fx(x)=λe^-λx,x>=0
Fx(x)=1-e^-λx,x>=0
0,x<0

erlang distribution

fx(x)=1/(n-1)! λ^n x^(n-1)e-λx,x>=0
Fx(x)=1-lim(n-1 k=0)(λx)^k/k! e^-λx.x>=0

normal/gaussian distrubution

fx(x)=1/√pi.a e^-(x-u)2/2a^2

standard normal/unit guassian distribution

fx(z)=1/√2pi e^-u2/2

期望值expectation aka mean

做很多次實驗後平均值會收斂的極限值

變異數 variance

變異數開根號就是標準差

條件分布 condition distribution

PX|B(x)=P(X=x|B)=P(X=x,B)/P(B)
P(X=x)/P(B),x屬於B

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