# Bài tập assginemnt 1 của Long
**P1.3**
Vì hàm giảm rất nhanh mà sự thay đổi nhanh thì nói đến hàm mũ.

**P1.4**
a)Tích trực tiếp hữu hạn các không gian vector là không gian vector. Có thể kiểm tra dễ dàng các tính chất của nó như:
$\alpha(a_{1},...,a_{n})-\beta(b_{1},..,b_{n})=(\alpha.a_{1}-\beta.b_{1},...,\alpha.a_{n}-\beta.b_{n})\in \mathbb{R^{n}}$ do $\mathbb{R}$ là một không gian vector.

b)Tương tự câu a) chỉ việc cho $n$ là $m.n$ và $m...q$

c)Ta có: $f(x)=0$ hay $f=0$ là hàm liên tục. Tổng 2 hàm liên tục thì liên tục và $g=kf$ với $k\in \mathbb{R}$, $f$ liên tục cũng là hàm liên tục nên tập các hàm liên tục là không gian vector.

d)Tổng 2 đa thức bậc bé hơn hoặc bằng $n$ thì bậc bé hơn hoặc bằng $n$.Đa thức $0$ bậc bé hơn $n$ và $kf$ với $k\in \mathbb{R}$ và $deg(f)\le n$ có bậc cũng bé hơn hoặc bằng $n$ nên nó là kgvt.

**P1.5** Gọi V là không gian cần chứng minh.
a)$1-2=-1\notin V$

b)$(1,0,...,0)-(0,1,0,...,0)=(1,-1,0,...,0)\notin V$

c)Tổng 2 vĩ độ hay kinh độ lớn hơn 360 độ không thuộc vào V.

d)$2x^{k}\notin V$

**P1.6**
Đường thẳng đi qua $u$ và $v$ nhận $u$ là vector chỉ phương, $v$ là gốc nên có dạng $v+tu$ với $t\in \mathbb{R}$

**P1.7**
Tương tự câu 1.6, đường thẳng đi qua v và nhận $u-v$ làm vector chỉ phương: $v+t(u-v)=(1-t)v+tu$.

**P1.8**
Hiển nhiên vì theo tính chất không gian vector $au+bv\in V$ với $a,b\in \mathbb{R}$

**P1.9**
Tương tự 1.7 với $v=0$.

**P1.10**
Theo câu 1.7 ta được:$(1-t)v+tu$. Mặt khác, do các điểm nằm giữa u và v nên $0\le t\le 1$.

**P.11**
Giả sử $v=a_{1}u_{2}+a_{2}v_{2}$ với $a_{1}+a_{2}=1$. Khi đó $w=(1-t)a_{1}u_{2}+(1-t)a_{2}v_{2}+tu$ cũng là một tổ hợp tuyến tính afine. Tương tự đối convex.

**P.12**
Các vector units của không gian đó ví dụ $\mathbb{R}^{d}$ là $e_{i}$ bằng $0$ ở các vị trí khác $i$ và bằng $1$ ở vị trí $i$. Có tất cả $d$ phần tử. Tương tự đối với $\mathbb{R}^{mxn}$. Với đa thức thì là $\{1,x,x^{2},...,x^{n}\}$

**P.13** Hiểu nôm na rằng cho đầu vào một giá trị $x$ được đầu ra là $y$ thì nếu tác động vào $x$ bằng trọng số $\alpha$ thì đầu ra $y$ cũng sẽ tác động tương tự.

**P.14**
Gọi điểm bất kì $u=(x,y,z)$. Khi đó $u=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}$. Giải hệ tìm $a,b,c$ ta được. $a=\frac{x+y}{\sqrt{2}}, b=\frac{y-x}{\sqrt{2}},c=z$. Vậy coordinate của nó là $(\frac{x+y}{\sqrt{2}},\frac{y-x}{\sqrt{2}},z)$.
Ví dụ $(1,2,3)$ thì coordinate là $(\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},3)$

**C.1,2 và 3**

import random
a=input('Nhap so vecto:')
b=input('Nhap do dai vector:')
N=int(a)
d=int(b)
p=[]
h=[]
t=[]
mean=[]
var=[]
for x in range(N):
  p.append([])
  mean.append(0)
  var.append(0)
  t.append(0)
  h.append(0)
c=1
while (c==1):
  for i in range(N):
    for j in range(d):
      p[i].append(random.randrange(-1000,1000))
      t[i]=t[i]+p[i][j]
    mean[i]=mean[i]+t[i]/d
  for k in range(N):
    for l in range(d):
      h[k]=h[k]+ (p[k][l]-mean[k])**2
      var[k]=h[k]/(d-1)
  for f in range(N):
    if mean[f]==0 and var[f]==1:
      print(p[f])
      c=0

a=input('Nhap sample:').split()
b=input('Nhap weight:').split()
c=[float(x) for x in a]
d=[float(y) for y in b]
while len(c)!=len(d):
  print('Loi')
  break
t=0
for i in range(len(c)):
  t=t+c[i]*d[i]
h=t/len(c)
print(h)

import matplotlib.pyplot as plt
a=input('Nhap :').split()
b=input('Nhap :').split()
c=input('Nhap :').split()
c=[float(x) for x in a]
d=[float(y) for y in b]
e=[float(z) for z in c]
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot3D(c,d,e,'gray',marker='o')

**E.1**
Gọi 3 vector đó là $a_{1},a_{2},a_{3}$.Giải hệ phương trình $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3}=0$ ta được vô số nghiệm nên $v$ có trong $span(V)$.

**E.2**

Rõ ràng nó là subspace của $V$. Ta chỉ cần chứng minh tính nhỏ nhất. Nếu tồn tại $W$ sao cho $S \subset W\subset <S>$ thì tồn tại $w\in <S>$ không nằm trong W. Giả sử $w=\sum a_{i}s_{i}$ khi đó do tính chất của không gian vector $s_{i}\in W$ nên $a_{i}s_{i}\in W$ hay $w\in W$ vô lí.

**E.3**
Vì $\{\emptyset\}$ không là phụ thuộc tuyến tính nên nó là độc lập tuyến tính.

**E.4**
Tương tự câu trên $\{0\}$ là tập độc lập tuyến tính. Nếu tập có $\{0,a_{1}\neq 0\}$ thì phụ thuộc tuyến tính. Và mọi mở rộng của phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính.

**E.5**
Nếu $a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=0$ và $b_{1}x_{1}+...+b_{n}x_{n}=0$ thì $(a_{1}-b_{1})x_{1}+...+(a_{n}-b_{n})x_{n}=0$. Do tính động lập tuyến tính của $x_{i}$ nên $a_{i}-b_{i}=0$ hay $a_{i}=b_{i}$.