# Auxiliar #12 - Introducción a la Física del Sólido

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**Tópicos del día de hoy**
* Preparación C2

## Problema 1

El modelo de Debye es un método para calcular el calor específico aportado por los *fonones* caracterizados como cuasipartículas en la red en un sólido. Estas vibraciones son consideradas como partículas bosónicas confinadas en una caja (en este caso el sólido).
El supuesto clave en esta teoría es pensar que la relación de dispersión que siguen los fonones es del tipo acústico hasta una frecuencia, denominada *frecuencia de Debye* en donde todos los modos normales de vibración son incluidos y no hay más.

Parafraseamos ahora el cálculo más importante en este contexto, que es el de calor específico en función de la temperatura para un sólido 3D.

Dada la relación de dispersión $\omega=v|\mathbf{k}|$ (notar que ahora es 3D) con $v$ la velocidad del "sonido", podemos calcular la densidad de estados

$$
g(\omega)= \frac{1}{\frac{(2\pi)^3}{L^3}} g_s \int d^3\mathbf{k}\delta(\omega-\omega(\mathbf{k}))
$$

donde $g_s$ es un factor de degeneración. Como la relación de dispersión es radialmente simétrica, en coordenadas esféricas podemos escribir

$$
g(\omega)=\frac{L^2}{(2\pi)^3}g_s 4\pi \int dk k^2\delta(\omega-kv)
$$

con el cambio de variable $\omega'=kv$

$$
g(\omega) =\frac{4\pi g_s L^3}{(2\pi)^3}\frac{1}{v^3}\int d \omega' \omega'^2 \delta(\omega- \omega') = \frac{4\pi g_s L^3}{(2\pi)^3v^3}\omega^2.
$$

:::warning
El factor de degeneración en este caso es $g_s=3$, porque existen dos modos transversales y uno longitudinal.
:::

podemos escribir nuestra densidad de estados de manera muy completa como

$$
g(\omega) = \frac{12 \pi L^3}{(2\pi)^3 v^3}\omega^2\Theta(\omega)\Theta(\omega_d-\omega).
$$

:::info
Recordar que usar las funciones $\Theta$ es opcional. Yo las suelo poner solo porque me recuerdan en dónde está el rango de validez de esta relación.
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Sin embargo, esta relación puede cerrarse un poco más al calcular la frecuencia de Debye. El número total de modos, es decir $3\times N$, con el $g_s=3$ y $N$ el número de átomos de la red sabemos que la frecuencia de Debye debe cumplir. Entonces la condición de normalización

$$
3N = \int_0^{+\infty} g(\omega)d\omega = \int_0^{\omega_d} \frac{12 \pi L^3}{(2\pi)^3 v^3}\omega^2 \Rightarrow 6\pi^2nv^3=\omega^3_d
$$

donde $n=N/L^3$, la densidad de número de átomos del sólido. Dejaremos esa relación tal cual por ahora sabiendo que ya tenemos una expresión para $\omega_d$. Calculamos la energía media del sólido

$$
E = \int_0^{\infty} g(\omega)\hbar \omega n_{\text{BE}}(\omega)d\omega = \frac{12\pi L^3}{(2\pi)^3v^3} \int_{0}^{\omega_d}\frac{\hbar \omega^3}{e^{\beta \hbar \omega}-1}d\omega,
$$

derivando con respecto a la temperatura

:::warning
Al momento de derivar, notar que los límites son independientes de la temperatura. Más adelante uno hace el cambio de variable en donde la temperatura entra al adimensionalizar la integral. Una vez hecho este paso, se procede a hacer los límites de altas o bajas temperaturas.
:::

$$
\begin{aligned}
C &= \frac{12\pi L^3}{(2\pi)^3 v^3} \int_0^{\omega_d} \hbar \omega^3\frac{d}{d \beta} \left( \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\right)\frac{-1}{k_B T^2}d\omega, \\ &= \frac{12 \pi L^3}{(2\pi)^3v^3} \frac{1}{k_B T^2} \int_0^{\omega_d} \frac{\hbar^2 \omega^4}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}d\omega, \\ &= \frac{12 \pi L^3}{(2\pi)^3v^3} \frac{1}{k_B T^2} \frac{1}{\hbar^2 \beta^4} \int_0^{\omega_d}\frac{(\beta \hbar \omega)^4}{(e^{\beta \hbar \omega}-1)^2}d\omega, \\ &= \frac{12 \pi L^3}{(2\pi)^3v^3} \frac{1}{k_B T^2} \frac{1}{\hbar^3 \beta^5} \int_0^{\omega_d \beta} \frac{x^4}{(e^x-1)^2}dx.
\end{aligned}
$$

ordenando un poco el desastre de las constantes

$$
\begin{aligned}
C &= \frac{9N k_b}{\omega_d^3} \frac{k_B^3 T^3}{\hbar^3} \int_0^{\omega_d \beta} \frac{x^4}{(e^x-1)^2}dx, \\ &= 9N k_B \left( \frac{k_BT}{\hbar \omega_d} \right)^3\int_0^{\omega_d \beta} \frac{x^4}{(e^x-1)^2}dx
\end{aligned}
$$

lo que nos da nuestra definición de temperatura de Debye $k_B T_D = \hbar \omega_d$. Para temperatura baja podemos aproximar el límite superior de la integral a infinito, obteniéndose la clásica dependencia $T^d$ que hemos venido explorando en auxiliares anteriores, en este caso con $d=3$.

## Problema 2

La temperatura de Debye, hemos aprendido en el problema anterior que es de la forma

$$
T_D = \frac{\hbar \omega_d}{k_B}
$$

eso significa que es proporcional a la frecuencia. Una adivinanza para una mayor temperatura de Debye, sería por ejemplo pensar en aquellos que tengan la "velocidad del sonido" mayor, o que la frecuencia del "oscilador" sea alta.

Para que la frecuencia del oscilador sea alta $\omega_d=\sqrt{k/m}$ necesitaríamos que el material sea ligero o que la constante elástica sea muy rígida (un material muy duro). Un ejemplo de esto podría ser el diamante, cuya temperatura de Debye es del orden de $2230\,\text{K}$.
Materiales livianos y que sean blandos pueden ser los gases nobles o el mercurio líquido (que es pesado y blando). Notar que en estos casos la temperatura de Debye solo podría ser medida a temperatura baja para asegurar la correcta interpretación.

## Problema 3

En la clase sobre superconductividad de London encontramos un vector de densidad de corriente muy similar, que venía de la hipótesis de London. Hay que enfatizar que en este caso, la cantidad $\phi$ es una función del espacio y esta dependencia espacial solo entra ahí. Va a ser importante recordar el hecho de que $\psi = |\psi|e^{i\phi}$.

En base a ese supuesto, pensemos en la siguiente configuración:


Sabemos de la clase anterior que la supercorriente vive en la interfaz del superconductor cuando al poner el campo magnético y luego empezamos a enfriar, este campo se expulsa (efecto Meissner)

Si tomamos la integral de línea de la corriente en el *path deep in material* descrito en la figura (que llamaremos $\Gamma$), sabemos que en ese camino cerrado tiene que ser cero (supercorrientes no están dentro)

$$
\oint_{\Gamma} \mathbf{j}_s \cdot d\mathbf{l} = 0 \Rightarrow \oint_{\Gamma} \left( \frac{2e^2}{mc} \mathbf{A}+\frac{e\hbar}{m} \nabla\phi \right) \cdot d\mathbf{l} =0
$$

en donde hemos cancelado $|\psi|$ pues hemos dicho que la dependencia espacial estará solo en la fase. Despejando, tenemos la igualdad

$$
\frac{2e^2}{mc} \oint_{\Gamma} \mathbf{A}\cdot d \mathbf{l} = -\frac{e \hbar}{m} \oint_{\Gamma}\nabla\phi \cdot d \mathbf{l}
$$

Notar en paralelo, que la integral de línea cerrada del potencial vector es el flujo magnético encerrado por la curva, esto emana del teorema de Stokes

$$
\iint _S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}= \iint_S \nabla \times \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} =\int_{\Gamma} \mathbf{A}\cdot d \mathbf{l}
$$

que en este caso es solo el campo magnético dentro del agujero

$$
\Phi = -\frac{\hbar c}{2e} \int_{\Gamma} \nabla \phi \cdot d\mathbf{l} = -\frac{\hbar c}{2e}2\pi n \Rightarrow |\Phi| = \frac{hc}{2e}n
$$

fenómeno que se conoce como cuantización del flujo magnético $\Phi_0\equiv hc/2e$ (este flujo magnético es comparable al campo magnético de la Tierra sobre la superficie de un glóbulo rojo). Notar que este resultado no depende de la geometría del superconductor y puede ser testeado en ellos. Este cálculo permite definir relaciones muy precisas sobre las constantes universales en conjunto al efecto Hall cuántico, que de hecho, definen el nuevo estándar de medida para el sistema internacional. Sin embargo, el cuanto de flujo magnético se suele medir por medio de *junturas Josephson* (otro efecto asociado a la superconductividad).

En el siguiente video pueden ver más información al respecto :)

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