auxiliares_FI4101
Tópicos del día de hoy
Por definición, la velocidad de grupo del paquete de ondas es
entonces para plantear las ecuaciones de movimiento semiclásicas, derivamos
El tensor de masa efectiva está definido mediante
lo que en otras palabras significa que es simétrico. Por lo tanto, el resultado anterior queda como
Para calcular la corriente, nuestro objetivo es ingresar esta información a la ecuación de movimiento semiclásica con campo eléctrico. Haremos el caso estacionario ya que no consideraremos campo eléctrico de corriente alterna. Notemos primero que
esta información es necesaria cuando ocupamos la ecuación de movimiento semiclásica, la cual corregiremos con el término que el modelo de Drude adjunta
Para el estado estacionario entonces , y entonces
Reconocemos entonces, como constante de proporcionalidad a la matriz
Cuando uno lidia con una matriz de se puede elegir la base que la represente de manera que sea puramente diagonal. Esta representación se conoce como ejes principales. En mecánica (FI2001, por ejemplo) esto lo hacíamos todo el tiempo para dejar la matriz de inercia diagonal, por ejemplo.
En esta ocasión, tomaremos esa libertad para que el tensor de masa efectiva sea un objeto fácil de tratar. Dicho eso, la ecuación (3) del enunciado adopta la siguiente forma
Esto define tres ecuaciones acopladas
Resolviendo solo para puesto que para las demás es análogo, obtenemos
lo que nos deja una ecuación tipo oscilador armónico pero para la velocidad
lo que al relacionar con el coeficiente de masa que aparece en la frecuencia ciclotrónica nos entrega que la masa efectiva es (en el sentido "usual")
Tomemos un índice de banda arbitrario. Para el tiempo , por el teorema de Bloch tenemos que
Si podemos mostrar este resultado para este estado inicial, también se satisface para combinaciones lineales en de estos (el cálculo aplica de manera exactamente igual). Entonces, escribamos el Hamiltoniano mediante una traslación por vector de red
Teniendo esta información, aplicamos el operador de evolución temporal a un estado desplazado
que es justamente lo que buscábamos demostrar.