# Auxiliar #6 - Introducción a la Física del Sólido

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**Tópicos del día de hoy**
* Utilizar las ecuaciones de movimiento semiclásicas para describir electrones.
* Usar suposiciones como el teorema de Bloch añadiendo una interpretación tipo $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$.

## Problema 1
### Parte (a)
Por definición, la velocidad de grupo del paquete de ondas es
$$
\mathbf{v} =\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E (\mathbf{k})}{\partial \mathbf{k}},
$$

entonces para plantear las ecuaciones de movimiento semiclásicas, derivamos

$$
\begin{aligned}
\mathbf{v} &= \frac{\hbar}{2} \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \left( (\mathbf{k}-\mathbf{k}_0)\mathbf{M}^{-1} (\mathbf{k}-\mathbf{k}_0) \right), \\ &= \frac{\hbar}{2} \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{k}-\mathbf{k}_0) + \frac{\hbar}{2}(\mathbf{k}- \mathbf{k}_0)\mathbf{M}^{-1}
\end{aligned}
$$

El tensor de masa efectiva está definido mediante

$$
M^{-1}_{ij} = \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j} \Rightarrow M^{-1}_{ij} = M^{-1}_{ji},
$$

lo que en otras palabras significa que es simétrico. Por lo tanto, el resultado anterior queda como

$$
\mathbf{v}=\hbar \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{k}-\mathbf{k}_0).
$$

Para calcular la corriente, nuestro objetivo es ingresar esta información a la ecuación de movimiento semiclásica con campo eléctrico. Haremos el caso estacionario ya que no consideraremos campo eléctrico de corriente alterna. Notemos primero que

$$
\dot{\mathbf{v}}=\hbar \mathbf{M}^{-1}\dot{\mathbf{k}} \Rightarrow \mathbf{M}\dot{\mathbf{v}}=\hbar \dot{\mathbf{k}},
$$

esta información es necesaria cuando ocupamos la ecuación de movimiento semiclásica, la cual corregiremos con el término que el modelo de Drude adjunta

$$
\hbar \dot{\mathbf{k}}=-e\mathbf{E}\Rightarrow \dot{\mathbf{v}} = -e \mathbf{M}^{-1} \mathbf{E} -\frac{\mathbf{v}}{\tau}
$$

Para el estado estacionario $\dot{\mathbf{v}}=0$ entonces $\mathbf{v}=-\tau \mathbf{M}^{-1}e\mathbf{E}$, y entonces

$$
\mathbf{J} = -en\mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{J}=n e^2 \mathbf{M}^{-1}\mathbf{E}.
$$

Reconocemos entonces, como constante de proporcionalidad a la matriz

$$
\sigma \equiv n e^2 \mathbf{M}^{-1}.
$$

### Parte (b)

Cuando uno lidia con una matriz de $3\times 3$ se puede elegir la base que la represente de manera que sea puramente diagonal. Esta representación se conoce como *ejes principales*. En mecánica (FI2001, por ejemplo) esto lo hacíamos todo el tiempo para dejar la matriz de inercia diagonal, por ejemplo.
En esta ocasión, tomaremos esa libertad para que el tensor de masa efectiva sea un objeto fácil de tratar. Dicho eso, la ecuación (3) del enunciado adopta la siguiente forma

$$
\begin{pmatrix}
M_{xx} & 0 & 0\\
0 & M_{yy} & 0 \\
0& 0 & M_{zz}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{v}_x \\
\dot{v}_y \\
\dot{v}_z
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-eE_x-\frac{e}{c}v_yH \\
-eE_y+\frac{e}{c}v_xH\\
-eE_z
\end{pmatrix}.
$$

Esto define tres ecuaciones acopladas

$$
\begin{aligned}
M_{xx} \dot{v}_x &= -eE_x - \frac{e}{c}v_yH, \\ M_{yy}\dot{v}_y &= -eE_y+\frac{e}{c}v_xH, \\ M_{zz}\dot{v}_z &= eE_z.
\end{aligned}
$$

Resolviendo solo para $v_x$ puesto que para las demás es análogo, obtenemos

$$
M_{xx} \ddot{v}_x= -\frac{e}{c}\dot{v}_yH = -\frac{eH}{cM_{yy}}\left(-eE_y+\frac{e}{c}v_xH \right),
$$

lo que nos deja una ecuación tipo oscilador armónico pero para la velocidad

$$
\ddot{v}_x = \frac{e^2 E_yH}{cM_{xx}M_{yy}}-\frac{e^2 H^2}{c^2 M_{xx}M_{yy}}v_x\Rightarrow\omega=\frac{eH}{c\sqrt{M_{xx}M_{yy}}},
$$

lo que al relacionar con el coeficiente de masa que aparece en la frecuencia ciclotrónica nos entrega que la masa efectiva es (en el sentido "usual")

$$
m_{\text{eff}} = \sqrt{M_{xx}M_{yy}}.
$$

## Problema 2

Tomemos un índice de banda arbitrario. Para el tiempo $t=0$, por el teorema de Bloch tenemos que

$$
\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R},t=0)=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r},t=0).
$$

Si podemos mostrar este resultado para este estado inicial, también se satisface para combinaciones lineales en $\mathbf{k}$ de estos (el cálculo aplica de manera exactamente igual). Entonces, escribamos el Hamiltoniano mediante una traslación por vector de red

$$
\begin{aligned}
H(\mathbf{r}+\mathbf{R}) &= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial (\mathbf{r}+\mathbf{R})}+U(\mathbf{r}+\mathbf{R})+e\mathbf{E}\cdot (\mathbf{r}+\mathbf{R}), \\ &= H(\mathbf{r}) + e\mathbf{E}\cdot \mathbf{R}.
\end{aligned}
$$

Teniendo esta información, aplicamos el operador de evolución temporal a un estado desplazado

$$
\begin{aligned}
\psi (\mathbf{r}+\mathbf{R},t) &= \exp \left( -i\frac{H(\mathbf{r}+\mathbf{R})t}{\hbar} \right)\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R},0), \\ &= e^{-iH(\mathbf{r})t/\hbar} e^{-ie\mathbf{E}\cdot \mathbf{R}t/\hbar}e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}}\psi(\mathbf{r},0), \\ &= \exp{ \left(i\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}-\frac{ie \mathbf{E}\cdot \mathbf{R}t}{\hbar} \right)}e^{-iH(\mathbf{r})t/\hbar}\psi(\mathbf{r},0), \\ &= \exp{ \left( i \left( \mathbf{k} - \frac{i\mathbf{E}t}{\hbar} \right) \cdot \mathbf{R} \right)}\psi(\mathbf{r},t),
\end{aligned}
$$

que es justamente lo que buscábamos demostrar.