Auxiliar #8 - Introducción a la Física del Sólido

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Tópicos del día de hoy

• Cristal armónico clásico
• Cristal armónico cuántico: frecuencia de Debye

Problema 1

Parte (a)

Para describir clásicamente las vibraciones de la red, recurrimos al formalismo Lagrangiano que conocemos desde mecánica clásica. Expresaremos el Lgrangiano como la suma de energía cinética y potencial para la celda

$i$-ésima. Entonces, mirando el dibujo:

tenemos que

$$\mathcal{L}=\sum _i(\frac{M{\dot{x}}_1^2}{2}+\frac{M_2{\dot{y}}_2^2}{2})-\sum _i(\frac{k(x_i-y_{i-1}{)}^2}{2}+\frac{k(y_i-x_i{)}^2}{2}).$$

Calculamos las ecuaciones de movimiento

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_j}& =-\sum _i[(x_i-y_{i-1}){\delta }_{ij}+k(y_i-x_i)(-{\delta }_{ij})],\\ & =k(y_j-x_j)-k(x_j-y_{j-1}).\end{array}$$

Para completar la ecuación de Euler-Lagrange

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_j}=M_1{\dot{x}}_j\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_j}\right)=M_1{\ddot{x}}_j$$

haciendo lo mismo para

${\ddot{y}}_j$ tenemos las siguientes ecuaciones de movimiento

$$\begin{array}{rl}{M}_1{\ddot{x}}_j& =-k(x_j-y_j)-k(x_j-y_{j-1}),\\ M_2{\ddot{y}}_j& =-k(y_j-x_{j+1})-k(y_j-x_j).\end{array}$$

Buscamos un ansatz de onda plana (porque estamos pensando en modos que se propagan en la red armónicamente)

$$\begin{array}{rl}{x}_n& =A_x{e}^{ikna-i\omega t},\\ y_n& =A_y{e}^{ikna-i\omega t},\end{array}$$

reemplazando

$$\begin{array}{rl}-M_1{\omega }^2{A}_x{e}^{ikna}& =-2k{A}_x{e}^{ikna}+k{A}_y(e^{ikna}+e^{ik(n-1)a}),\\ -M_2{\omega }^2{A}_y{e}^{ikna}& =-2k{A}_y{e}^{ikna}+k{A}_x(e^{ikna}+e^{ik(n+1)a})\end{array}$$

reduciendo

$$\begin{array}{rl}{\omega }^2{A}_x& =2\frac{k}{M_1}{A}_x-\frac{k}{M_1}(1+e^{-ika})A_y,\\ {\omega }^2{A}_y& =2\frac{k}{M_2}{A}_y-\frac{k}{M_2}(1+e^{ika})A_x.\end{array}$$

Para encontrar una solución no trivial a este sistema de ecuaciones, tenemos que hacer

$$\left|\begin{array}{cc}2\frac{k}{M_1}-{\omega }^2& -\frac{k}{M_1}(1+e^{-ika})\\ -\frac{k}{M_2}(1+e^{ika})& 2\frac{k}{M_2}-{\omega }^2\end{array}\right|=0,$$

lo que define el espectro que es el pedido

$${\omega }^2=\frac{k}{M_1{M}_2}(M_1+M_2\pm \sqrt{M_1^2+M_2^2+2M_1{M}_2\cos (ka)}).$$

Parte (b)

Al factorizar por

$M_1$

$$\begin{array}{rl}{\omega }^2& =\frac{k}{M_2}(1+\frac{M_2}{M_1}\pm \sqrt{1+\frac{M_2^2}{M_1^2}+2\frac{M_2}{M_1}\cos (ka)}),\\ & \approx \frac{k}{M_2}(1+\frac{M_2}{M_1}\pm \sqrt{1+2\frac{M_2}{M_1}\cos (ka)})\end{array}$$

En el caso con el signo negativo y usando que

$\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$ cuando

$x$ es pequeño

$${\omega }^2\approx \frac{k}{M_2}(1+\frac{M_1}{M_2}-1-\frac{M_2}{M_1}\cos (ka))=\frac{k}{m_1}(1-\cos (ka)).$$

Para la solución con signo positivo

$${\omega }_2^2\frac{k}{M_2}(2+\frac{M_2}{M_1}+\frac{M_2}{M_1}\cos (ka))\approx \frac{2k}{M_2}.$$

La primera frecuencia corresponde a una relación de dispersión similar a la que vimos para una cadena tight-binding. La segunda corresponde a un modo en fase o contrafase de las vibraciones de la red.

Parte (c )

Cuando

$M_2=M_1=M$ tenemos

$${\omega }^2=\frac{2k}{M}(1\pm \cos (ka/2)),$$

en este límite la constante de periodicidad es

$a/2$ como esperaríamos en el caso de una cadena monoatómica.

Problema 2

Parte (a)

Dada la relación de dispersión presentada en el enunciado, para el límite de longitud de onda larga

$q\to 0$ se aproxima

${\omega }_q$ por

$${\omega }_q\approx \sqrt{\frac{k}{m}}qa\Rightarrow \sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\omega }{a}=q$$
la segunda relación la utilizaremos en breve. Calculamos la densidad de estados en 2D para esta relación de dispersión

$$\begin{array}{rl}g({\omega }^{\prime })& =\int \frac{d^{2}q}{(2\pi /L{)}^2}\delta ({\omega }^{\prime }-\omega )\Rightarrow \frac{L^2}{(2\pi {)}^2}\int qdqd\varphi \delta ({\omega }^{\prime }-\omega ),\\ & =\frac{L^2}{2\pi }\int \sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\omega }{a}\sqrt{\frac{\omega }{k}}\frac{1}{a}\delta ({\omega }^{\prime }-\omega ),\\ & =\frac{L^2}{2\pi }\frac{m{\omega }^{\prime }}{k{a}^2}.\end{array}$$

Podemos expresar esto en términos de la velocidad de grupo

$$v=\frac{\partial \omega }{\partial q}=\sqrt{\frac{k}{m}}a\Rightarrow v^2=\frac{k{a}^2}{m},$$

de manera que

$$g({\omega }^{\prime })=\frac{L^2{\omega }^{\prime }}{2\pi v^2}$$

Parte (b)

Como en teoría cuántica consideramos fonones como vibraciones de la red

$$U=\int f(\omega )g(\omega )\hslash \omega d\omega$$

de forma exacta sería

$$U={\int }_0^{{\omega }_D}\frac{\hslash \omega }{e^{\beta \hslash \omega }-1}g(\omega )d\omega ,$$
donde hemos usado la distribución de Bose-Einstein. Para temperaturas altas

$\hslash \omega \ll k_{B}T$

$$e^{\beta \hslash \omega }\approx 1+\frac{\hslash \omega }{k_{B}T}$$

por ende

$$U={\int }_0^{{\omega }_D}{k}_{B}T\frac{L^{2}m\omega }{2\pi a^{2}k}d\omega =k_{B}T\frac{L^2{\omega }_D^2}{4\pi v^2}.$$

Podemos calcular el el número total de partículas también

$$\begin{array}{rl}N& ={\int }_0^{{\omega }_D}g(\omega )d\omega ,\\ & ={\int }_0^{{\omega }_D}\frac{L^2\omega }{2\pi v^2}d\omega ,\\ & =\frac{L^2{\omega }_D^2}{4\pi v^2}\end{array}$$

de inmediato deducimos en este caso que

$U=N{k}_{B}T$. En el límite de alta temperatura, la energía potencial promedio y la energía cinética promedio se relacionan mediante el teorema de virial

$⟨V⟩\approx ⟨T⟩$, por ende

$$\begin{array}{r}2⟨V⟩=U\Rightarrow 2\frac{Nk⟨r^2⟩}{2}=N{k}_{B}T\end{array}$$

entregando

$$⟨r^2⟩=\frac{k_{B}T}{k}.$$

donde

$k$ todo el tiempo estuvo representando la fuerza de cohesión interatómica (que sería el resorte que permite pequeñas oscilaciones en torno a los puntos de la red). Entonces si

$⟨r^2⟩\propto T$, comienza a incrementar tal que se vuelva mayor o comparable a la constante de red, la red se rompe. Es por eso que las redes 2D no son estables a altas temperaturas.

Advertencia: El resultado exacto en este caso también contiene un factor 2. Este es debido a que los fonones tienen un grado de libertad interno adicional que es la polarización. Otros bosones con el mismo grado son los fotones. No lo hemos incluido aquí solo por sencillez conceptual. En pocas palabras corresponde a modos longitudinales o transversales:
https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon

Problema 3

Parte (a)

En la teoría cuántica del cristal armónico, pensamos en cada fonón como un oscilador armónico. La función de partición de uno de estos osciladores se calcula mediante

$$Z=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\exp (-\beta \hslash \omega (n+1/2))=\frac{e^{-\beta \hslash \omega /2}}{1-e^{-\beta \hslash \omega }}\frac{e^{\beta \hslash \omega }}{e^{\beta \hslash \omega }},$$

en donde encontramos que

$$Z=\frac{1}{2\sinh (\beta \hslash \omega /2)}.$$

La energía libre de Helmholtz para uno de estos osciladores entonces

$$F=-k_{B}T\ln Z=k_{B}T\ln (2\sinh (\beta \hslash \omega /2)).$$

Parte (b)

Minimizando con respecto a

$\mathrm{\Delta }$

$$\frac{dF}{d\mathrm{\Delta }}=B\mathrm{\Delta }+k_{B}T\sum _{\mathbf{k}}\coth \left(\frac{\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}}{2k_{B}T}\right)\frac{\hslash }{2k_{B}T}(-\gamma ){\omega }_{\mathbf{k}}=0$$
en donde hemos utilizado la restricción del enunciado

$d\omega /\omega =-\gamma \mathrm{\Delta }$,

por lo que encontramos el cambio fraccional crítico en donde la energía libre es mínima (recordar, desde termodinámica que un mínimo de potencial termodinámico es condición de equilibrio térmico)

$${\mathrm{\Delta }}^{\ast }=\frac{\gamma }{B}\sum _{\mathbf{k}}\frac{\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}}{2}\coth \left(\frac{\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}}{2k_{B}T}\right).$$

Sin embargo, podemos escribir

$$\coth (x/2)=1+\frac{2}{e^x-1}$$

luego tenemos

$$\mathrm{\Delta }=\frac{\gamma }{B}(\sum _{\mathbf{k}}\frac{\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}}{2}+\sum _{\mathbf{k}}\frac{\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}}{e^{\beta \hslash {\omega }_{\mathbf{k}}}-1}),$$

finalmente para concluir el resultado pedido, fijamos la primera suma como la energía de referencia y de la segunda expresión podemos recuperar la interpretación de energía promedio en el ensemble canónico (que es la energía interna), por ende

$$\mathrm{\Delta }=\frac{\gamma U(T)}{B}.$$

La constante de Grüneisen es un número que relaciona el cambio fraccional de volumen de un cristal debido a las vibraciones mismas del cristal (que es lo que estudiamos en esta clase). Existen diversas interpretaciones y generalizaciones que no es nuestro interés explicar acá porque escapa de los contenidos del curso.