# Auxiliar #8 - Introducción a la Física del Sólido

###### tags: `auxiliares_FI4101`

**Tópicos del día de hoy**
* Cristal armónico clásico
* Cristal armónico cuántico: frecuencia de Debye

## Problema 1

### Parte (a)
Para describir clásicamente las vibraciones de la red, recurrimos al formalismo Lagrangiano que conocemos desde mecánica clásica. Expresaremos el Lgrangiano como la suma de energía cinética y potencial para la celda $i$-ésima. Entonces, mirando el dibujo:


tenemos que
$$
\mathcal{L}=\sum_i \left( \frac{M\dot{x}_1^2}{2}+\frac{M_2 \dot{y}^2_2}{2} \right)-\sum_i \left( \frac{k(x_i-y_{i-1})^2}{2} +\frac{k(y_i-x_i)^2}{2}\right).
$$

Calculamos las ecuaciones de movimiento

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_j} &= -\sum_i \left[ (x_i-y_{i-1})\delta_{ij}+k(y_i-x_i)(-\delta_{ij}) \right], \\ &= k(y_j-x_j)-k(x_j-y_{j-1}).
\end{aligned}
$$

Para completar la ecuación de Euler-Lagrange
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_j} = M_1 \dot{x}_j\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_j} \right) = M_1 \ddot{x}_j
$$

haciendo lo mismo para $\ddot{y}_j$ tenemos las siguientes ecuaciones de movimiento

$$
\begin{aligned}
M_1 \ddot{x}_j &= -k(x_j-y_j)-k(x_j-y_{j-1}), \\ M_2\ddot{y}_j &= -k(y_j-x_{j+1})-k(y_j-x_j).
\end{aligned}
$$

Buscamos un ansatz de onda plana (porque estamos pensando en modos que se propagan en la red armónicamente)

$$
\begin{aligned}
x_n &= A_x e^{ikna - i\omega t}, \\ y_n &= A_y e^{ikna - i\omega t},
\end{aligned}
$$

reemplazando

$$
\begin{aligned}
-M_1 \omega^2A_xe^{ikna} &= -2kA_xe^{ikna}+kA_y\left( e^{ikna}+e^{ik(n-1)a}\right), \\ -M_2 \omega^2A_ye^{ikna} &= -2kA_ye^{ikna}+kA_x\left( e^{ikna}+e^{ik(n+1)a} \right)
\end{aligned}
$$

reduciendo

$$
\begin{align}
\omega^2 A_x &= 2\frac{k}{M_1}A_x-\frac{k}{M_1}(1+e^{-ika})A_y, \\ \omega^2 A_y &= 2\frac{k}{M_2}A_y-\frac{k}{M_2}(1+e^{ika})A_x.
\end{align}
$$

Para encontrar una solución no trivial a este sistema de ecuaciones, tenemos que hacer

$$
\begin{vmatrix}
2\frac{k}{M_1}-\omega^2 & -\frac{k}{M_1}(1+e^{-ika})\\
-\frac{k}{M_2}(1+e^{ika}) & 2\frac{k}{M_2}-\omega^2
\end{vmatrix} =0,
$$

lo que define el espectro que es el pedido

$$
\omega^2 =\frac{k}{M_1M_2}\left(M_1+M_2\pm \sqrt{M_1^2+M_2^2+2M_1M_2\cos(ka)} \right).
$$

### Parte (b)

Al factorizar por $M_1$

$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \frac{k}{M_2} \left(1+\frac{M_2}{M_1} \pm \sqrt{1+\frac{M^2_2}{M^2_1}+2\frac{M_2}{M_1}\cos(ka)}\right), \\ &\approx \frac{k}{M_2}\left(1+ \frac{M_2}{M_1}\pm \sqrt{1+2\frac{M_2}{M_1}\cos(ka)} \right)
\end{aligned}
$$

En el caso con el signo negativo y usando que $\sqrt{1+x}\approx 1 + x/2$ cuando $x$ es pequeño

$$
\omega^2 \approx \frac{k}{M_2} \left(1+\frac{M_1}{M_2}-1-\frac{M_2}{M_1} \cos(ka) \right)= \frac{k}{m_1}(1-\cos(ka)).
$$

Para la solución con signo positivo

$$
\omega^2_2 \frac{k}{M_2}\left( 2+\frac{M_2}{M_1} +\frac{M_2}{M_1}\cos(ka) \right) \approx \frac{2k}{M_2}.
$$

La primera frecuencia corresponde a una relación de dispersión similar a la que vimos para una cadena tight-binding. La segunda corresponde a un modo en fase o contrafase de las vibraciones de la red.

### Parte (c )
Cuando $M_2=M_1=M$ tenemos
$$
\omega^2 = \frac{2k}{M}\left(1 \pm \cos(ka/2) \right),
$$

en este límite la constante de periodicidad es $a/2$ como esperaríamos en el caso de una cadena monoatómica.

## Problema 2

### Parte (a)
Dada la relación de dispersión presentada en el enunciado, para el límite de longitud de onda larga $q\to 0$ se aproxima $\omega_q$ por

$$
\omega_q \approx \sqrt{\frac{k}{m}}qa \Rightarrow \sqrt{\frac{m}{k}} \frac{\omega}{a} =q
$$
la segunda relación la utilizaremos en breve. Calculamos la densidad de estados en 2D para esta relación de dispersión

$$
\begin{aligned}
g(\omega') &=\int \frac{d^2q}{(2\pi/L)^2} \delta(\omega'-\omega)\Rightarrow \frac{L^2}{(2\pi)^2}\int qdqd\phi\delta(\omega'-\omega), \\ &=\frac{L^2}{2\pi}\int \sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\omega}{a}\sqrt{\frac{\omega}{k}}\frac{1}{a}\delta(\omega'-\omega), \\ &= \frac{L^2}{2\pi}\frac{m\omega'}{ka^2}.
\end{aligned}
$$

Podemos expresar esto en términos de la velocidad de grupo

$$
v = \frac{\partial \omega}{\partial q} = \sqrt{\frac{k}{m}}a\Rightarrow v^2 = \frac{ka^2}{m},
$$

de manera que

$$
g(\omega') = \frac{L^2 \omega'}{2\pi v^2}
$$

### Parte (b)
Como en teoría cuántica consideramos fonones como vibraciones de la red

$$
U = \int f(\omega)g(\omega)\hbar \omega d\omega
$$

de forma exacta sería
$$
U = \int_0^{\omega_D} \frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1}g(\omega)d\omega,
$$
donde hemos usado la distribución de Bose-Einstein. Para temperaturas altas $\hbar \omega \ll k_B T$

$$
e^{\beta\hbar\omega}\approx1+\frac{\hbar \omega}{k_BT}
$$

por ende

$$
U = \int_0^{\omega_D} k_BT\frac{L^2m\omega}{2\pi a^2k} d\omega = k_BT\frac{L^2\omega^2_D}{4\pi v^2}.
$$

Podemos calcular el el número total de partículas también

$$
\begin{aligned}
N &= \int_0^{\omega_D}g(\omega)d\omega, \\ &= \int_0^{\omega_D}\frac{L^2\omega}{2\pi v^2}d\omega, \\ &= \frac{L^2 \omega^2_D}{4\pi v^2}
\end{aligned}
$$

de inmediato deducimos en este caso que $U=Nk_BT$. En el límite de alta temperatura, la energía potencial promedio y la energía cinética promedio se relacionan mediante el teorema de virial $\left< V \right> \approx \left< T \right>$, por ende

$$
\begin{aligned}
2\left< V\right> = U \Rightarrow 2\frac{Nk \left< r^2 \right>}{2} = Nk_BT
\end{aligned}
$$

entregando

$$
\left< r^2\right> = \frac{k_BT}{k}.
$$

donde $k$ todo el tiempo estuvo representando la fuerza de cohesión interatómica (que sería el resorte que permite pequeñas oscilaciones en torno a los puntos de la red). Entonces si $\left<r^2 \right> \propto T$, comienza a incrementar tal que se vuelva mayor o comparable a la constante de red, la red se rompe. Es por eso que las redes 2D no son estables a altas temperaturas.

:::danger
**Advertencia**: El resultado exacto en este caso también contiene un factor 2. Este es debido a que los fonones tienen un grado de libertad interno adicional que es la *polarización*. Otros bosones con el mismo grado son los fotones. No lo hemos incluido aquí solo por sencillez conceptual. En pocas palabras corresponde a modos longitudinales o transversales:
https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon
:::

## Problema 3

### Parte (a)
En la teoría cuántica del cristal armónico, pensamos en cada fonón como un oscilador armónico. La función de partición de uno de estos osciladores se calcula mediante

$$
Z= \sum_{n=0}^{+\infty} \exp \left(-\beta \hbar \omega (n+1/2) \right) = \frac{e^{-\beta\hbar \omega/2}}{1-e^{-\beta \hbar \omega}} \frac{e^{\beta \hbar \omega}}{e^{\beta \hbar \omega}},
$$

en donde encontramos que

$$
Z= \frac{1}{2\sinh (\beta \hbar \omega/2)}.
$$

La energía libre de Helmholtz para uno de estos osciladores entonces

$$
F = -k_BT \ln Z = k_BT\ln\left(2\sinh(\beta \hbar \omega/2)\right).
$$

### Parte (b)

Minimizando con respecto a $\Delta$

$$
\frac{dF}{d\Delta} = B\Delta + k_BT\sum_{\mathbf{k}} \coth\left( \frac{\hbar \omega_{\mathbf{k}}}{2k_BT}\right)\frac{\hbar}{2k_BT}(-\gamma)\omega_{\mathbf{k}}=0
$$
en donde hemos utilizado la restricción del enunciado $d\omega /\omega = -\gamma \Delta$,

por lo que encontramos el cambio fraccional crítico en donde la energía libre es mínima (recordar, desde termodinámica que un mínimo de potencial termodinámico es condición de equilibrio térmico)

$$
\Delta ^* = \frac{\gamma}{B}\sum_{\mathbf{k}}
\frac{\hbar \omega_{\mathbf{k}}}{2} \coth\left( \frac{\hbar \omega_{\mathbf{k}}}{2k_BT}\right).
$$

Sin embargo, podemos escribir

$$
\coth(x/2) = 1+\frac{2}{e^x-1}
$$

luego tenemos

$$
\Delta = \frac{\gamma}{B}\left(\sum_{\mathbf{k}} \frac{\hbar\omega_{\mathbf{k}}}{2} +\sum_{\mathbf{k}} \frac{\hbar \omega_{\mathbf{k}}}{e^{\beta \hbar \omega_{\mathbf{k}}}-1} \right),
$$

finalmente para concluir el resultado pedido, fijamos la primera suma como la energía de referencia y de la segunda expresión podemos recuperar la interpretación de energía promedio en el ensemble canónico (que es la energía interna), por ende

$$
\Delta =\frac{\gamma U(T)}{B}.
$$

:::info
La constante de Grüneisen es un número que relaciona el cambio fraccional de volumen de un cristal debido a las vibraciones mismas del cristal (que es lo que estudiamos en esta clase). Existen diversas interpretaciones y generalizaciones que no es nuestro interés explicar acá porque escapa de los contenidos del curso.
:::