Try   HackMD

Auxiliar #11 - Introducción a la Física del Sólido

tags: auxiliares_FI4101

Tópicos del día de hoy

  • Enfoque de Landauer para transporte cuántico

Problema 1

Parte (a)

En el caso (a), es exactamente la cadena unidimensional que hemos estudiado desde siempre. En el caso (b), este es un pariente cercano de la cadena unidimensional que hemos estudiado antes, con una impureza en el centro y hoppings diferentes que conectan con cables semi-infinitos en la dirección

x y
x
.
Para estudiar las propiedades de transporte de electrones, pensamos en las probabilidades de transmisión y reflexión de ondas planas sobre el sistema. En el contexto de Landauer, el obtener las probabilidades de transmisión constituye la parte central del problema para determinar corrientes.

Parte (b)

Teniendo este modelo tight-binding, e introduciendo el ansatz sugerido en la figura,

Image Not Showing Possible Reasons
  • The image file may be corrupted
  • The server hosting the image is unavailable
  • The image path is incorrect
  • The image format is not supported
Learn More →

escribimos la ecuación de Schrödinger discreta para el sistema completo:

Image Not Showing Possible Reasons
  • The image file may be corrupted
  • The server hosting the image is unavailable
  • The image path is incorrect
  • The image format is not supported
Learn More →

Image Not Showing Possible Reasons
  • The image file may be corrupted
  • The server hosting the image is unavailable
  • The image path is incorrect
  • The image format is not supported
Learn More →

esto significa que nos quedan las siguientes ecuaciones

(1)γ0(ei2ka+rei2ka)+E0(eika+reika)+γLa¯=E(eika+reika),(2)γL(eika+reika)+Eda¯+γRteika=Ea¯,(3)a¯γR+E0teika+γ0tei2ka=Eteika,(4)γ0teika+E0tei2ka+γ0tei3ka=Etei2ka.

Estas ecuaciones en el recuadro azul definen todo el problema. La cantidad

a¯, es una constante que representa a la función de onda en el sitio de impureza. En adelante, fijaremos la energía de referencia al potencial de sitio de los cables a la muestra, es decir
E0=0
. De la ecuación
(4)
tenemos

γ0eika+γ0eika=E,(5)E=2γ0cos(ka),

que es la relación de dispersión de cadena infinita que nos hemos encontrado en otros contextos. Ahora nos resulta un sistema de ecuaciones en las variables

r,
t
y
a¯
, por lo que nuestro objetivo es encontrar relaciones entre estas variables. A partir de la ecuación
(3)
tenemos un enlace entre
t
y
a¯

a¯γR+γ0tei2ka=Eteika,(6)t=a¯γREeikaγ0ei2ka,

Combinando ahora

(5) con
(6)

t=a¯γRγ0(eika+eika)eikaγ0ei2ka,(7)t=a¯γRγ0.

Si reemplazamos

(7) en
(2)
para despejar
a¯
, es decir, reemplazamos
t

γL(eika+reika)+Eda¯+γR(a¯γRγ0)eika=Ea¯,(8)a¯=γL(eika+reika)(EEd)γR2γ02.

En paralelo, reemplacemos

(5) en
(1)

γ0(ei2ka+rei2ka)+γLa¯=γ0(eika+eika)(eika+reika),γ0(ei2ka+rei2ka)+γLa¯=γ0(1+re2ika+e2ika+r),(9)γLa¯=γ0(1+r),

Al combinar la ecuación

(9) con la
(7)
deshaciéndonos de
a¯

γLγRt=1+r,(10)r=γLtγR1,

Vamos a reemplazar

(10) y
(7)
en
(2)
deshaciéndonos de
a¯
y
r
para despejar finalmente
t

γL(eika+(γLtγR1)eika)+γRteika=(EEd)γ0tγR,
que a través de un procedimiento sencillo nos conduce a

t=γRγL(eikaeika)γ0((EEd)eika(γL2+γR2γ0)).

Para expresar la probabilidad de transmisión, tenemos que tomar modulo cuadrado de la amplitud del modo transmitido

t

T=|t|2=4γR2γL2sin2(ka)γ02|((EEd)eika(γL2+γR2γ0))|2,(*)=4γR2γL2sin2(ka)γ02[(EEdγL2+γR2γ0cos(ka))2+(γL2+γR2γ0)2sin2(ka)].

La ecuación

() representa nuestro resultado final.

Es también una convención usual en la bibliografía de transporte definir las cantidades:

E~d=Ed+γL2+γR2γ0cos(ka),ΓL,R=1γ0γL,R2sin(ka),
lo que nos permite escribir

T=4ΓLΓR(EE~d)2+(ΓL+ΓR)2

Este resultado se conoce como resonancia de Breit-Wigner. A continuación un gráfico ilustrando para diferentes valores de energía del modo incidente

Image Not Showing Possible Reasons
  • The image file may be corrupted
  • The server hosting the image is unavailable
  • The image path is incorrect
  • The image format is not supported
Learn More →

Por simplicidad, estudiemos el caso límite conocido el cual sería simetrizar la cadena y remover la impureza. Si todo anda bien, deberíamos tener transmisión perfecta. Desde la ecuación

(7):

T=4γ2γ2sin2(ka)γ2[(E2γcos(ka))2+4γ2sin2(ka)]=1.

Parte ( c)

En una clase auxiliar anterior (concretamente en la auxiliar 2, problema 2) nos encontramos con una situación similar. En general, el modelo continuo para describir este mismo fenómeno vendría por hacerse una delta de Dirac para dar cuenta de la presencia de la "impureza". Sin embargo, dar cuenta de las diferencias de hoppings resulta mucho más complejo. Podríamos representar esto como dos barreras entre la energía de sitio. La implicancia de nuestro resultado nos muestra que para energía

E=0 la transmisión es perfecta. Algo que no esperaríamos para modos que inciden sobre una barrera, los cuales deberían decaer al entrar con energías menor a la energía de sitio, por ejemplo.