# Auxiliar #11 - Introducción a la Física del Sólido

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**Tópicos del día de hoy**
* Enfoque de Landauer para transporte cuántico

## Problema 1

### Parte (a)

En el caso (a), es exactamente la cadena unidimensional que hemos estudiado desde siempre. En el caso (b), este es un pariente cercano de la cadena unidimensional que hemos estudiado antes, con una impureza en el centro y hoppings diferentes que conectan con cables semi-infinitos en la dirección $x$ y $-x$.
Para estudiar las propiedades de transporte de electrones, pensamos en las probabilidades de transmisión y reflexión de ondas planas sobre el sistema. En el contexto de Landauer, el obtener las probabilidades de transmisión constituye la parte central del problema para determinar corrientes.

### Parte (b)

Teniendo este modelo *tight-binding*, e introduciendo el ansatz sugerido en la figura,


escribimos la ecuación de Schrödinger discreta para el sistema completo:



esto significa que nos quedan las siguientes ecuaciones

:::info
$$
\begin{align}
\gamma_0\left(e^{-i2ka}+re^{i2ka} \right)+E_0\left(e^{-ika}+re^{ika} \right)+\gamma_L\bar{a}&=E\left(e^{-ika}+re^{ika} \right),\tag{1}\\ \gamma_L\left(e^{-ika}+re^{ika}\right) + E_d\bar{a}+\gamma_Rte^{ika} &= E\bar{a}, \tag{2}\\ \bar{a}\gamma_R + E_0te^{ika} +\gamma_0te^{i2ka} &= Ete^{ika}, \tag{3}\\ \gamma_0te^{ika}+E_0te^{i2ka}+\gamma_0te^{i3ka}&=Ete^{i2ka}\tag{4}.
\end{align}
$$
:::

Estas ecuaciones en el recuadro azul definen todo el problema. La cantidad $\bar{a}$, es una constante que representa a la función de onda en el sitio de impureza. En adelante, fijaremos la energía de referencia al potencial de sitio de los *cables* a la muestra, es decir $E_0=0$. De la ecuación $(4)$ tenemos

$$
\begin{align}
\gamma_0e^{-ika}+\gamma_0e^{ika}&=E, \\ E &=2\gamma_0 \cos (ka), \tag{5}
\end{align}
$$

que es la relación de dispersión de cadena infinita que nos hemos encontrado en otros contextos. Ahora nos resulta un sistema de ecuaciones en las variables $r$, $t$ y $\bar{a}$, por lo que nuestro objetivo es encontrar relaciones entre estas variables. A partir de la ecuación $(3)$ tenemos un enlace entre $t$ y $\bar{a}$

$$
\begin{align}
\bar{a}\gamma_R +\gamma_0te^{i2ka} &= Ete^{ika}, \\ t &= \frac{\bar{a}\gamma_R}{Ee^{ika}-\gamma_0e^{i2ka}}, \tag{6}
\end{align}
$$

Combinando ahora $(5)$ con $(6)$

$$
\begin{align}
t &= \frac{\bar{a}\gamma_R}{\gamma_0\left(e^{ika}+e^{-ika} \right)e^{ika}-\gamma_0e^{i2ka}}, \\ t&= \frac{\bar{a}\gamma_R}{\gamma_0} \tag{7}.
\end{align}
$$

Si reemplazamos $(7)$ en $(2)$ para despejar $\bar{a}$, es decir, reemplazamos $t$

$$
\begin{align}
\gamma_L\left(e^{-ika}+re^{ika}\right) + E_d\bar{a}+\gamma_R \left(\frac{\bar{a}\gamma_R}{\gamma_0} \right)e^{ika} &= E\bar{a}, \\ \bar{a} &= \frac{\gamma_L \left( e^{-ika}+re^{ika}\right)}{(E-E_d)-\frac{\gamma^2_R}{\gamma^2_0}}\tag{8}.
\end{align}
$$

En paralelo, reemplacemos $(5)$ en $(1)$

$$
\begin{align}
\gamma_0\left(e^{-i2ka} +r e^{i2ka} \right) + \gamma_L \bar{a} &= \gamma_0 \left(e^{ika}+e^{-ika} \right)\left(e^{-ika} + re^{ika} \right), \\ \gamma_0\left(e^{-i2ka} +r e^{i2ka} \right) + \gamma_L \bar{a} &= \gamma_0 \left( 1+re^{2ika}+e^{-2ika}+r\right), \\ \gamma_L \bar{a} &= \gamma_0 (1+r), \tag{9}
\end{align}
$$

Al combinar la ecuación $(9)$ con la $(7)$ deshaciéndonos de $\bar{a}$

$$
\begin{align}
\frac{\gamma_L}{\gamma_R}t &= 1+r, \\ r &= \frac{\gamma_Lt}{\gamma_R} - 1, \tag{10}
\end{align}
$$

Vamos a reemplazar $(10)$ y $(7)$ en $(2)$ deshaciéndonos de $\bar{a}$ y $r$ para despejar finalmente $t$

$$
\begin{aligned}
\gamma_L \left(e^{-ika} + \left(\frac{\gamma_Lt}{\gamma_R}-1 \right)e^{ika} \right)+\gamma_Rte^{ika}=(E-E_d)\frac{\gamma_0t}{\gamma_R},
\end{aligned}
$$
que a través de un procedimiento sencillo nos conduce a

$$
\begin{aligned}
t &= \frac{\gamma_R \gamma_L \left(e^{-ika}-e^{ika} \right)}{\gamma_0 \left((E-E_d)-e^{ika} \left( \frac{\gamma^2_L+\gamma^2_R}{\gamma_0} \right) \right)}.
\end{aligned}
$$

Para expresar la probabilidad de transmisión, tenemos que tomar modulo cuadrado de la amplitud del modo transmitido $t$

$$
\begin{align}
T = |t|^2 &= \frac{4\gamma_R^2\gamma_L^2\sin^2(ka)}{\gamma_0^2 \left|\left((E-E_d)-e^{ika} \left( \frac{\gamma^2_L+\gamma^2_R}{\gamma_0} \right) \right) \right|^2}, \\ &= \frac{4\gamma_R^2 \gamma_L^2 \sin^2(ka)}{\gamma_0^2\left[ \left(E-E_d-\frac{\gamma_L^2+\gamma_R^2}{\gamma_0}\cos(ka)\right)^2+\left(\frac{\gamma_L^2+\gamma_R^2} {\gamma_0}\right)^2\sin^2(ka) \right]}. \tag{*}
\end{align}
$$

La ecuación $(*)$ representa nuestro resultado final.

:::info
Es también una convención usual en la bibliografía de transporte definir las cantidades:
$$
\begin{aligned}
\tilde{E}_d&=E_d+\frac{\gamma_L^2+\gamma_R^2}{\gamma_0}\cos(ka),\\ \Gamma_{L,R} &= \frac{1}{\gamma_0}\gamma_{L,R}^2\sin(ka)
\end{aligned} ,
$$
lo que nos permite escribir

$$
T= \frac{4\Gamma_L \Gamma_R}{(E-\tilde{E}_d)^2+(\Gamma_L+\Gamma_R)^2}
$$
:::

Este resultado se conoce como resonancia de Breit-Wigner. A continuación un gráfico ilustrando para diferentes valores de energía del modo incidente


Por simplicidad, estudiemos el caso límite conocido el cual sería simetrizar la cadena y remover la impureza. Si todo anda bien, deberíamos tener transmisión perfecta. Desde la ecuación $(7)$:

$$
T = \frac{4\gamma^2 \gamma^2 \sin^2(ka)}{\gamma^2 \left[(E-2\gamma \cos(ka) \right)^2+4\gamma^2\sin^2(ka)]} = 1.
$$

### Parte ( c)
En una clase auxiliar anterior (concretamente en la auxiliar 2, problema 2) nos encontramos con una situación similar. En general, el modelo continuo para describir este mismo fenómeno vendría por hacerse una delta de Dirac para dar cuenta de la presencia de la "impureza". Sin embargo, dar cuenta de las diferencias de hoppings resulta mucho más complejo. Podríamos representar esto como dos barreras entre la energía de sitio. La implicancia de nuestro resultado nos muestra que para energía $E=0$ la transmisión es perfecta. Algo que no esperaríamos para modos que inciden sobre una barrera, los cuales deberían decaer al entrar con energías menor a la energía de sitio, por ejemplo.