# Auxiliar #1 - Introducción a la Física del Sólido

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[**Videos de las clases**](https://https://www.youtube.com/playlist?list=PLV6T_q2ujPOlqER5286ERyadV7UWgu2FR)

**Tópicos del día de hoy**
* Celda unidad y construcción de Wigner-Seitz.
* Red de Bravais, red con base y red recíproca.
* Aplicación básica del teorema de Bloch.

## Problema 1

### Parte (a)

En este apartado se nos solicita encontrar al menos tres celdas primitivas. Como somos un poco haraganes, nos limitaremos entonces a sacar **tres**.

Las celdas primitivas deben contener un solo punto en total de la red y deben teselar en el plano. Es decir, no deben dejar espacios vacíos. En general durante el curso nos enfocaremos mayoritariamente en casos 2D salvo contadas excepciones importantes. Recordar que **la elección de las celda primitiva** no es única, así que mostraremos algunas sencillas:


### Parte (b)

La construcción de la celda primitiva de Wigner-Seitz es un método para definir una celda que respeta las simetrías de la red.

**Observación:** la celda de Wigner-Seitz en ++espacio recíproco++ es la *primera zona de Brillouin*.

**¿Cómo se hace la celda de Wigner-Seitz?**
* Ubicar los puntos cercanos a un punto arbitrario seleccionado como origen.
* Dibujar las líneas que los conectan.
* Ubicar los puntos medios en cada una de estas líneas.
* Dibujar líneas perpendiculares a cada una de las líneas ya dibujadas y que pasen por los puntos medios.
* Destacar la región definida por los pasos anteriores.

:::info
Aquí dibujamos cada una de las celdas de Wigner-Seitz usando nuevamente el material suplementario.
:::


## Problema 2

:::info
* Dibujar los vectores de la base de la red de Bravais sobre la red triangular del material suplementario.
* Dibujar la base definida por los vectores $\mathbf{v}$ sobre la red.
:::


### Parte (a)

Para verificar de manera efectiva que esta construcción define a la red tipo panal de abejas, tenemos que verificar que la distancia entre todos los puntos vecinos es idéntica y que los ángulos interiores son de 120º.

La distancia horizontal es la más fácil de probar, puesto que se calcula como

$$
|\mathbf{v}_1 - \mathbf{v_2}| = \frac{a\sqrt{3}}{3}.
$$

Para la siguiente distancia podemos visualizar que

$$
\begin{aligned}
\mathbf{v}_1 + \mathbf{d} - \mathbf{v_2} =\mathbf{a}_1 \Rightarrow \mathbf{d}&=\mathbf{a}_1+\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1, \\ \mathbf{d}&= \frac{a\sqrt{3}}{3}\hat{x}+\frac{a}{2}\hat{y}.
\end{aligned}
$$

Calculamos el módulo de este vector para obtener

$$
|\mathbf{d}| = \sqrt{\frac {3a^2}{36}+ \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.
$$

En donde obtuvimos la misma conclusión de la parte anterior. Para la última distancia que queda por calcular es análogo, en donde verificamos que se cumple que las distancias son iguales.

Para esbozar conclusiones sobre el ángulo interno, basta notar que tenemos que encontar el ángulo entre $\mathbf{d}$ y $-\mathbf{v}_1$, lo cual podemos hacer con ayuda del producto escalar. Sabemos que si el ángulo entre estos vectores es $\theta$, entonces

$$
\begin{aligned}
-\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{d} = v_1 d \cos \theta &= -\frac{a\sqrt{3}}{6}\hat{x} \cdot \left( \frac{a \sqrt{3}}{6}\hat{x} + \frac{a}{2} \hat{y}\right) \\ &=-\frac{a^2}{12}.
\end{aligned}
$$

De manera independiente, también sabemos que

$$
d v_1 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2}{6},
$$

por lo que al igualar las ecuaciones, obtenemos

$$
\begin{aligned}
\frac{a^2}{6}\cos \theta &= -\frac{a^2}{12}, \\ \cos \theta &= -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 120º.
\end{aligned}
$$

:::success
Una prueba similar puede hacerse para los otros vectores que conectan a sitios contiguos y obtener el mismo valor para los ángulos.
:::

### Parte (b)
A través del dibujo podemos identificar que estos dos puntos no observan lo mismo, y por ende la red tipo panal de abeja no es una red de Bravais, no así la red triangular, que sí lo es.

### Parte ( c )
Para determinar los vectores de la red recíproca vamos a ocupar la condición

$$
\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j =2 \pi \delta_{ij}.
$$
El proceder es sencillo: vamos a suponer que el vector $\mathbf{b}_1=\alpha \hat x + \beta\hat y$. Al calcular el producto escalar con los vectores de la red directa, tenemos que

$$
\begin{aligned}
\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1 &= \frac{a \sqrt{3}} {2} \alpha + \frac{a}{2} \beta = 2\pi, \\ \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_2 &= \frac{a \sqrt{3}} {2} \alpha - \frac{a}{2} \beta = 0.
\end{aligned}
$$

Esto nos entrega dos ecuaciones

$$
\begin{aligned}
\alpha \sqrt{3} + \beta &= \frac{4 \pi}{a}, \\ \sqrt{3}\alpha &= \beta.
\end{aligned}
$$

Al combinar ambas ecuaciones, obtenemos

$$
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \hat x + \hat y\right).
$$

De manera completamente análoga:
$$
\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \hat x - \hat y\right).
$$

Para verificar que entonces tenemos una red tipo triangular que define la red recíproca, fijemos por simplicidad $2 \pi / a = 1$.


:::info

**¿Qué es la red recíproca?**

Aquí hay un buen recurso que permite hacerse una idea de por qué es tan relevante el concepto de red recíproca.

{%youtube DFFU39A3fPY %}

:::

## Problema 3

### Parte (a)

Este problema consiste en cálculo puro y duro. En cátedra hemos visto que los vectores de red recíproca, a partir de la red directa se expresan mediante

$$
\begin{aligned}
\mathbf{b}_1 &= \frac{2\pi \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)}, \\ \mathbf{b}_2 &= \frac{2\pi \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)}, \\ \mathbf{b}_3 &= \frac{2\pi \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)}.
\end{aligned}
$$

:::warning
**Advertencia:** Para el caso 2D estas ecuaciones son diferentes. De todas maneras, para el caso 2D es mucho más sencillo ocupar la condición básica $\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2\pi \delta_{ij}$
:::

Comenzamos el cálculo haciendo

$$
\begin{aligned}
\mathbf{b}_1 \cdot \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3\right) &= \frac{2\pi \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)} \cdot \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3 \right), \\ &= \frac{2\pi \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3 \right)}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)} \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 \right).
\end{aligned}
$$

:::info
**Identidades útiles:**
$$
\begin{aligned}
\mathbf{a} \cdot \left( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \right) &=\mathbf{b} \cdot \left( \mathbf{c} \times \mathbf{a}\right) = \mathbf{c}\cdot \left( \mathbf{a}\times \mathbf{b}\right), \\ \mathbf{a}\times \left( \mathbf{b} \times \mathbf{c}\right) &= \mathbf{b} \left( \mathbf{a}\cdot \mathbf{c}\right) - \mathbf{c}\left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\right).
\end{aligned}
$$
:::

Ahora ocuparemos la primera y segunda de las identidades útiles, respectivamente. Considerando a $\mathbf{b}_2\times \mathbf{b}_3$ como un solo vector y expandiendo

$$
\begin{aligned}
\frac{2\pi \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3 \right)}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)} \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 \right) &= \frac{2\pi \mathbf{a}_2 \cdot \left( \mathbf{a}_3 \times \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3\right)\right)}{\mathbf{a}_2 \cdot \left( \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_3\right)}, \\ &= \frac{2\pi \mathbf{a}_2 \left[ \left( \mathbf{a}_3 \cdot\mathbf{b}_3\right) \mathbf{b}_2- \left(\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{b}_2 \right)\mathbf{b}_3\right]}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)}.
\end{aligned}
$$

Notar que usando la condición $\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2\pi \delta_{ij}$ el segundo término en el numerador es nulo, y el primer término es $(2\pi)^2$, por lo tanto obtenemos

:::success

$$
\begin{aligned}
\mathbf{b}_1 \cdot \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3\right) &= \frac{(2\pi)^3}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)}.
\end{aligned}
$$
:::

### Parte (b)
Para hacer esto, la estragia será suponer que existen vectores $\mathbf{c}_i$ que se construyen de los $\mathbf{b}_i$ tal como los $\mathbf{b}_i$ se construyen de los de $\mathbf{a}_i$. Entonces

$$
\begin{aligned}
\mathbf{c}_1 = \frac{2\pi \mathbf{b}_2\times \mathbf{b}_3}{ \mathbf{b}_1 \cdot \left( \mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3\right)} &= \dfrac{ \dfrac{(2\pi)^3 \left( \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a_1} \right) \times \left( \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2\right)}{ \left( \mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a_3} \right) \right)^2} }{ \dfrac{(2\pi)^3}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a_3} \right)} }, \\ &= \frac{\left( \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1 \right) \times \left( \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 \right)}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a_3} \right)}.
\end{aligned}
$$

Usando la segunda identidad útil enunciada anteriormente

$$
\mathbf{c}_1 = \frac{\left[ \left( \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1\right) \cdot \mathbf{a}_2 \right] \mathbf{a}_1-\left[ \left( \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1\right) \cdot \mathbf{a}_1 \right] \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 \right)}.
$$

Notar que el segundo término en el numerador es nulo. Esto puesto que $\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1$ genera un vector perpendicular a $\mathbf{a}_1$. Luego, al calcular la proyección perpendicular de ese vector en $\mathbf{a}_1$, claramente es nula. Utilizando la primera identidad útil enunciada en (a) obtenemos que

$$
\mathbf{c}_1 = \mathbf{a}_1.
$$

Si repetimos de manera análoga para los otros vectores, obtenemos los mismos resultados. Luego, la conclusión es

:::success
**Conclusión:** La red recíproca de la red recíproca es la red directa.
:::

### Parte ( c)

Para tres vectores no coplanares podemos ver que


* El área basal es $A = |\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$.
* La altura es la proyeción vertical del vector $\mathbf{c}$ sobre la dirección unitaria perpendicular al plano. Entonces, la altura es
$$
h = \left| \frac{\mathbf{a}\times \mathbf{b}}{|\mathbf{a}\times \mathbf{b}| } \cdot \mathbf{c} \right|
$$

Entonces, al calcular el volumen de una celda primitiva tenemos

$$
V = |\mathbf{c}\cdot \left( \mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)|.
$$

Usando el mismo lenguaje que veníamos utilizando en el problema podríamos decir que el volumen de la celda unidad es

$$
V = |\mathbf{a}_3\cdot \left( \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2\right)| = |\mathbf{a}_1\cdot \left( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3\right)|.
$$

Ocupando el resultado de (a) obtenemos una conclusión interesante

:::success
La relación entre el volumen de espacio directo y recíproco es
$$
V_{\mathbf{k}} = \frac{(2\pi)^3}{V}.
$$
:::

## Problema 4

### Parte (a)

Elaboramos un esbozo del *potencial de Kronig-Penney* tipo delta de Dirac.


Entre las funciones $\delta$ la partícula no siente ningún potencial, por lo que en esas zonas

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2} = E\psi;\qquad E>0.
$$

Entonces, tenemos estados del tipo (en $0<x<a$)

$$
\psi(x) = A \sin (q_E x) + B\cos (q_E x),\qquad 0<x<a
$$

con $q_E=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$. Notar que la función de onda podríamos haberla elegido como exponenciales complejas también. Como el sistema es simétrico a reversión temporal, podemos elegirla real. Mediante el teorema de Bloch, puesto que el potencial es periódico, tenemos
$$
\psi (x) = e^{ikx} u(x),
$$

donde $u(x)$, la función de Bloch, es $a$-periódica. Notemos que
$$
\psi(x+a)=e^{ikx}e^{ika}u(x+a)=e^{ikx}u(x)e^{ika}=\psi(x)e^{ika}.
$$

Luego, hemos probado el primer resultado

:::success
$$
\psi(x+a)=\psi(x)e^{ika}.
$$
:::

Notar que esta identidad extiende definición de $\psi$ fuera del intervalo $0<x<a$.

### Parte (b)
Impongamos la continuidad de la función de onda en este potencial en $x=a$. Esto debe hacerse con cuidado, puesto que
* Si nos aproximamos por derecha, tenemos que hacer uso de la función extendida, es decir
$$
\psi(a^+) = \psi (0)e^{ika}=Be^{ika}.
$$
* Si nos aproximamos de la izquierda, tenemos que usar la función de onda definida anteriormente
$$
\psi (a^-) = \psi (a) = \left[ A \sin(q_Ea) +B \cos(q_E a)\right]
$$.

La continuidad la imponemos igualando ambos valores

:::success
$$
\begin{aligned}
B=e^{-ika}\left[ A \sin(q_Ea) +B \cos(q_E a)\right].
\end{aligned}
$$
:::

Para analizar la discontinuidad en la derivada, vamos a utilizar la ecuación de Schrödinger en $x=a$, la cual queda como

$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + aU \delta(x-a)\psi = E\psi,
$$

integrando en ambos lados entre $x=a^-$ y $x=a^+$

$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{d\psi(a^+)}{dx} - \frac{d\psi(a^-)}{dx} \right)+aU\int^{a^+}_{a^-} \delta(x-a)\psi(x)dx = E \int^{a^+}_{a^-}\psi(x)dx.
$$

Para evaluar las derivadas, consideramos ambos casos
$$
\begin{aligned}
\frac{d\psi}{dx}&=\left( q_E A \cos(q_Ex)- q_EB\sin(q_Ex) \right), \\
\frac{d\psi(x+a)}{dx} = e^{ika}\frac{d\psi}{dx}&=e^{ika}\left( q_E A \cos(q_Ex)- q_EB\sin(q_Ex) \right).
\end{aligned}
$$

Estudiamos cada caso por separado. Para $a^+$ usamos la derivada de la función trasladada y evaluamos en $x=0$.

$$
\frac{d \psi(a^+)}{dx} = Aq_Ee^{ika}
$$

Para el caso $a^-$ tomamos solamente la derivada de la función entre los peaks y evaluamos en $x=a$

$$
\frac{d\psi (a^-)}{dx}= q_E A\cos(q_E a)-q_E B\sin(q_Ea).
$$

Reemplazando todo en la ecuación de Schrödinger y considerando que su lado derecho se anula

$$
\frac{\hbar^2}{2m} \left[ Ae^{ika} - A\cos (q_E a) +B \sin(q_Ea)\right]q_E = aUBe^{ika}.
$$

Reemplazando el valor de $B$ dado por la continuidad, obtenemos el resultado pedido (cálculo omitido)

:::success
$$
\cos (ka) = \cos (q_Ea)+\frac{mUa}{\hbar^2 q_E} \sin(q_Ea).
$$
:::

Esto sugiere que hay valores para los cuales hay valores de $k$ que no tienen una energía $E$ asociada, puesto que el lado izquierdo solo está acotado entre $-1$ y $1$ y el derecho no.