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Auxiliar #1 - Introducción a la Física del Sólido

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Tópicos del día de hoy

  • Celda unidad y construcción de Wigner-Seitz.
  • Red de Bravais, red con base y red recíproca.
  • Aplicación básica del teorema de Bloch.

Problema 1

Parte (a)

En este apartado se nos solicita encontrar al menos tres celdas primitivas. Como somos un poco haraganes, nos limitaremos entonces a sacar tres.

Las celdas primitivas deben contener un solo punto en total de la red y deben teselar en el plano. Es decir, no deben dejar espacios vacíos. En general durante el curso nos enfocaremos mayoritariamente en casos 2D salvo contadas excepciones importantes. Recordar que la elección de las celda primitiva no es única, así que mostraremos algunas sencillas:

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Parte (b)

La construcción de la celda primitiva de Wigner-Seitz es un método para definir una celda que respeta las simetrías de la red.

Observación: la celda de Wigner-Seitz en espacio recíproco es la primera zona de Brillouin.

¿Cómo se hace la celda de Wigner-Seitz?

  • Ubicar los puntos cercanos a un punto arbitrario seleccionado como origen.
  • Dibujar las líneas que los conectan.
  • Ubicar los puntos medios en cada una de estas líneas.
  • Dibujar líneas perpendiculares a cada una de las líneas ya dibujadas y que pasen por los puntos medios.
  • Destacar la región definida por los pasos anteriores.

Aquí dibujamos cada una de las celdas de Wigner-Seitz usando nuevamente el material suplementario.

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Problema 2

  • Dibujar los vectores de la base de la red de Bravais sobre la red triangular del material suplementario.
  • Dibujar la base definida por los vectores
    v
    sobre la red.

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Parte (a)

Para verificar de manera efectiva que esta construcción define a la red tipo panal de abejas, tenemos que verificar que la distancia entre todos los puntos vecinos es idéntica y que los ángulos interiores son de 120º.

La distancia horizontal es la más fácil de probar, puesto que se calcula como

|v1v2|=a33.

Para la siguiente distancia podemos visualizar que

v1+dv2=a1d=a1+v2v1,d=a33x^+a2y^.

Calculamos el módulo de este vector para obtener

|d|=3a236+a24=a33.

En donde obtuvimos la misma conclusión de la parte anterior. Para la última distancia que queda por calcular es análogo, en donde verificamos que se cumple que las distancias son iguales.

Para esbozar conclusiones sobre el ángulo interno, basta notar que tenemos que encontar el ángulo entre

d y
v1
, lo cual podemos hacer con ayuda del producto escalar. Sabemos que si el ángulo entre estos vectores es
θ
, entonces

v1d=v1dcosθ=a36x^(a36x^+a2y^)=a212.

De manera independiente, también sabemos que

dv1=a36a33=a26,

por lo que al igualar las ecuaciones, obtenemos

a26cosθ=a212,cosθ=12θ=120º.

Una prueba similar puede hacerse para los otros vectores que conectan a sitios contiguos y obtener el mismo valor para los ángulos.

Parte (b)

A través del dibujo podemos identificar que estos dos puntos no observan lo mismo, y por ende la red tipo panal de abeja no es una red de Bravais, no así la red triangular, que sí lo es.

Parte ( c )

Para determinar los vectores de la red recíproca vamos a ocupar la condición

aibj=2πδij.
El proceder es sencillo: vamos a suponer que el vector
b1=αx^+βy^
. Al calcular el producto escalar con los vectores de la red directa, tenemos que

a1b1=a32α+a2β=2π,a1b2=a32αa2β=0.

Esto nos entrega dos ecuaciones

α3+β=4πa,3α=β.

Al combinar ambas ecuaciones, obtenemos

b1=2πa(33x^+y^).

De manera completamente análoga:

b2=2πa(33x^y^).

Para verificar que entonces tenemos una red tipo triangular que define la red recíproca, fijemos por simplicidad

2π/a=1.

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¿Qué es la red recíproca?

Aquí hay un buen recurso que permite hacerse una idea de por qué es tan relevante el concepto de red recíproca.

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Problema 3

Parte (a)

Este problema consiste en cálculo puro y duro. En cátedra hemos visto que los vectores de red recíproca, a partir de la red directa se expresan mediante

b1=2πa2×a3a1(a2×a3),b2=2πa3×a1a1(a2×a3),b3=2πa1×a2a1(a2×a3).

Advertencia: Para el caso 2D estas ecuaciones son diferentes. De todas maneras, para el caso 2D es mucho más sencillo ocupar la condición básica

aibj=2πδij

Comenzamos el cálculo haciendo

b1(b2×b3)=2πa2×a3a1(a2×a3)(b2×b3),=2π(b2×b3)a1(a2×a3)(a2×a3).

Identidades útiles:

a(b×c)=b(c×a)=c(a×b),a×(b×c)=b(ac)c(ab).

Ahora ocuparemos la primera y segunda de las identidades útiles, respectivamente. Considerando a

b2×b3 como un solo vector y expandiendo

2π(b2×b3)a1(a2×a3)(a2×a3)=2πa2(a3×(b2×b3))a2(a1×a3),=2πa2[(a3b3)b2(a3b2)b3]a1(a2×a3).

Notar que usando la condición

aibj=2πδij el segundo término en el numerador es nulo, y el primer término es
(2π)2
, por lo tanto obtenemos

b1(b2×b3)=(2π)3a1(a2×a3).

Parte (b)

Para hacer esto, la estragia será suponer que existen vectores

ci que se construyen de los
bi
tal como los
bi
se construyen de los de
ai
. Entonces

c1=2πb2×b3b1(b2×b3)=(2π)3(a3×a1)×(a1×a2)(a1(a2×a3))2(2π)3a1(a2×a3),=(a3×a1)×(a1×a2)a1(a2×a3).

Usando la segunda identidad útil enunciada anteriormente

c1=[(a3×a1)a2]a1[(a3×a1)a1]a2a1(a2×a3).

Notar que el segundo término en el numerador es nulo. Esto puesto que

a3×a1 genera un vector perpendicular a
a1
. Luego, al calcular la proyección perpendicular de ese vector en
a1
, claramente es nula. Utilizando la primera identidad útil enunciada en (a) obtenemos que

c1=a1.

Si repetimos de manera análoga para los otros vectores, obtenemos los mismos resultados. Luego, la conclusión es

Conclusión: La red recíproca de la red recíproca es la red directa.

Parte ( c)

Para tres vectores no coplanares podemos ver que

  • El área basal es
    A=|a×b|
    .
  • La altura es la proyeción vertical del vector
    c
    sobre la dirección unitaria perpendicular al plano. Entonces, la altura es
    h=|a×b|a×b|c|

Entonces, al calcular el volumen de una celda primitiva tenemos

V=|c(a×b)|.

Usando el mismo lenguaje que veníamos utilizando en el problema podríamos decir que el volumen de la celda unidad es

V=|a3(a1×a2)|=|a1(a2×a3)|.

Ocupando el resultado de (a) obtenemos una conclusión interesante

La relación entre el volumen de espacio directo y recíproco es

Vk=(2π)3V.

Problema 4

Parte (a)

Elaboramos un esbozo del potencial de Kronig-Penney tipo delta de Dirac.

Entre las funciones

δ la partícula no siente ningún potencial, por lo que en esas zonas

22md2ψdx2=Eψ;E>0.

Entonces, tenemos estados del tipo (en

0<x<a)

ψ(x)=Asin(qEx)+Bcos(qEx),0<x<a

con

qE=2mE. Notar que la función de onda podríamos haberla elegido como exponenciales complejas también. Como el sistema es simétrico a reversión temporal, podemos elegirla real. Mediante el teorema de Bloch, puesto que el potencial es periódico, tenemos
ψ(x)=eikxu(x),

donde

u(x), la función de Bloch, es
a
-periódica. Notemos que
ψ(x+a)=eikxeikau(x+a)=eikxu(x)eika=ψ(x)eika.

Luego, hemos probado el primer resultado

ψ(x+a)=ψ(x)eika.

Notar que esta identidad extiende definición de

ψ fuera del intervalo
0<x<a
.

Parte (b)

Impongamos la continuidad de la función de onda en este potencial en

x=a. Esto debe hacerse con cuidado, puesto que

  • Si nos aproximamos por derecha, tenemos que hacer uso de la función extendida, es decir
    ψ(a+)=ψ(0)eika=Beika.
  • Si nos aproximamos de la izquierda, tenemos que usar la función de onda definida anteriormente
    ψ(a)=ψ(a)=[Asin(qEa)+Bcos(qEa)]
    .

La continuidad la imponemos igualando ambos valores

B=eika[Asin(qEa)+Bcos(qEa)].

Para analizar la discontinuidad en la derivada, vamos a utilizar la ecuación de Schrödinger en

x=a, la cual queda como

22md2ψdx2+aUδ(xa)ψ=Eψ,

integrando en ambos lados entre

x=a y
x=a+

22m(dψ(a+)dxdψ(a)dx)+aUaa+δ(xa)ψ(x)dx=Eaa+ψ(x)dx.

Para evaluar las derivadas, consideramos ambos casos

dψdx=(qEAcos(qEx)qEBsin(qEx)),dψ(x+a)dx=eikadψdx=eika(qEAcos(qEx)qEBsin(qEx)).

Estudiamos cada caso por separado. Para

a+ usamos la derivada de la función trasladada y evaluamos en
x=0
.

dψ(a+)dx=AqEeika

Para el caso

a tomamos solamente la derivada de la función entre los peaks y evaluamos en
x=a

dψ(a)dx=qEAcos(qEa)qEBsin(qEa).

Reemplazando todo en la ecuación de Schrödinger y considerando que su lado derecho se anula

22m[AeikaAcos(qEa)+Bsin(qEa)]qE=aUBeika.

Reemplazando el valor de

B dado por la continuidad, obtenemos el resultado pedido (cálculo omitido)

cos(ka)=cos(qEa)+mUa2qEsin(qEa).

Esto sugiere que hay valores para los cuales hay valores de

k que no tienen una energía
E
asociada, puesto que el lado izquierdo solo está acotado entre
1
y
1
y el derecho no.