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Tópicos del día de hoy
En este apartado se nos solicita encontrar al menos tres celdas primitivas. Como somos un poco haraganes, nos limitaremos entonces a sacar tres.
Las celdas primitivas deben contener un solo punto en total de la red y deben teselar en el plano. Es decir, no deben dejar espacios vacíos. En general durante el curso nos enfocaremos mayoritariamente en casos 2D salvo contadas excepciones importantes. Recordar que la elección de las celda primitiva no es única, así que mostraremos algunas sencillas:
La construcción de la celda primitiva de Wigner-Seitz es un método para definir una celda que respeta las simetrías de la red.
Observación: la celda de Wigner-Seitz en espacio recíproco es la primera zona de Brillouin.
¿Cómo se hace la celda de Wigner-Seitz?
Aquí dibujamos cada una de las celdas de Wigner-Seitz usando nuevamente el material suplementario.
Para verificar de manera efectiva que esta construcción define a la red tipo panal de abejas, tenemos que verificar que la distancia entre todos los puntos vecinos es idéntica y que los ángulos interiores son de 120º.
La distancia horizontal es la más fácil de probar, puesto que se calcula como
Para la siguiente distancia podemos visualizar que
Calculamos el módulo de este vector para obtener
En donde obtuvimos la misma conclusión de la parte anterior. Para la última distancia que queda por calcular es análogo, en donde verificamos que se cumple que las distancias son iguales.
Para esbozar conclusiones sobre el ángulo interno, basta notar que tenemos que encontar el ángulo entre y , lo cual podemos hacer con ayuda del producto escalar. Sabemos que si el ángulo entre estos vectores es , entonces
De manera independiente, también sabemos que
por lo que al igualar las ecuaciones, obtenemos
Una prueba similar puede hacerse para los otros vectores que conectan a sitios contiguos y obtener el mismo valor para los ángulos.
A través del dibujo podemos identificar que estos dos puntos no observan lo mismo, y por ende la red tipo panal de abeja no es una red de Bravais, no así la red triangular, que sí lo es.
Para determinar los vectores de la red recíproca vamos a ocupar la condición
El proceder es sencillo: vamos a suponer que el vector . Al calcular el producto escalar con los vectores de la red directa, tenemos que
Esto nos entrega dos ecuaciones
Al combinar ambas ecuaciones, obtenemos
De manera completamente análoga:
Para verificar que entonces tenemos una red tipo triangular que define la red recíproca, fijemos por simplicidad .
¿Qué es la red recíproca?
Aquí hay un buen recurso que permite hacerse una idea de por qué es tan relevante el concepto de red recíproca.
Este problema consiste en cálculo puro y duro. En cátedra hemos visto que los vectores de red recíproca, a partir de la red directa se expresan mediante
Advertencia: Para el caso 2D estas ecuaciones son diferentes. De todas maneras, para el caso 2D es mucho más sencillo ocupar la condición básica
Comenzamos el cálculo haciendo
Identidades útiles:
Ahora ocuparemos la primera y segunda de las identidades útiles, respectivamente. Considerando a como un solo vector y expandiendo
Notar que usando la condición el segundo término en el numerador es nulo, y el primer término es , por lo tanto obtenemos
Para hacer esto, la estragia será suponer que existen vectores que se construyen de los tal como los se construyen de los de . Entonces
Usando la segunda identidad útil enunciada anteriormente
Notar que el segundo término en el numerador es nulo. Esto puesto que genera un vector perpendicular a . Luego, al calcular la proyección perpendicular de ese vector en , claramente es nula. Utilizando la primera identidad útil enunciada en (a) obtenemos que
Si repetimos de manera análoga para los otros vectores, obtenemos los mismos resultados. Luego, la conclusión es
Conclusión: La red recíproca de la red recíproca es la red directa.
Para tres vectores no coplanares podemos ver que
Entonces, al calcular el volumen de una celda primitiva tenemos
Usando el mismo lenguaje que veníamos utilizando en el problema podríamos decir que el volumen de la celda unidad es
Ocupando el resultado de (a) obtenemos una conclusión interesante
La relación entre el volumen de espacio directo y recíproco es
Elaboramos un esbozo del potencial de Kronig-Penney tipo delta de Dirac.
Entre las funciones la partícula no siente ningún potencial, por lo que en esas zonas
Entonces, tenemos estados del tipo (en )
con . Notar que la función de onda podríamos haberla elegido como exponenciales complejas también. Como el sistema es simétrico a reversión temporal, podemos elegirla real. Mediante el teorema de Bloch, puesto que el potencial es periódico, tenemos
donde , la función de Bloch, es -periódica. Notemos que
Luego, hemos probado el primer resultado
Notar que esta identidad extiende definición de fuera del intervalo .
Impongamos la continuidad de la función de onda en este potencial en . Esto debe hacerse con cuidado, puesto que
La continuidad la imponemos igualando ambos valores
Para analizar la discontinuidad en la derivada, vamos a utilizar la ecuación de Schrödinger en , la cual queda como
integrando en ambos lados entre y
Para evaluar las derivadas, consideramos ambos casos
Estudiamos cada caso por separado. Para usamos la derivada de la función trasladada y evaluamos en .
Para el caso tomamos solamente la derivada de la función entre los peaks y evaluamos en
Reemplazando todo en la ecuación de Schrödinger y considerando que su lado derecho se anula
Reemplazando el valor de dado por la continuidad, obtenemos el resultado pedido (cálculo omitido)
Esto sugiere que hay valores para los cuales hay valores de que no tienen una energía asociada, puesto que el lado izquierdo solo está acotado entre y y el derecho no.