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Lo que discutimos se reduce a la siguiente imagen:
Supondremos que dentro del superconductor los electrones son arrastrados por un campo eléctrico que aparece en el interior. Por hipótesis con la fenomenología, no consideramos campo magnético en el interior. Entonces, usando la ecuación clásica de movimiento y eliminando el término que introduce la disipación en Drude (conductor ideal, i.e ), tenemos
Consideremos entonces la densidad de corriente para electrones superconductores, cuya densidad denotamos
de esta forma
Esta última ecuación suele conocerse como "primera ecuación de London". Adicionalmente, sabemos que
Opinión personal: Hay algo que nunca he entendido sobre esta derivación que es el cambio entre derivada parcial a derivada total temporal. He consultado en muchas referencias bibliográficas y nadie hace alcances al respecto.
Advertencia: ahora London dice que lo que está dentro de la derivada es nulo. Esto se conoce como la hipótesis de London. Implícitamente hemos hecho una aproximación de "localidad" entre la corriente y el campo magnético: la corriente en está relacionada con el campo magnético en .
Por lo tanto, llegamos a la siguiente ecuación
que se conoce también como "segunda ecuación de London". Asumiendo que el campo eléctrico al interior del conductor es estático, tomamos a partir de una de las ecuaciones de Maxwell
Podemos hacer un razonamiento similar para la corriente superconductora.
Para poder continuar, volvamos a la segunda ecuación de London escribiéndola en términos del potencial vector
esto significa que ambos vectores difieren a lo más en un gradiente (pues el rotor de un gradiente es nulo)
En el límite estático, que hemos trabajado desde siempre, la ecuación de continuidad de la carga nos dice que , por lo que al aplicar divergencia en ambos lados
tomando el gauge de London, con y eligiendo , concluimos que la divergencia de es nula. Luego, en resumen tenemos que
Para el caso del plano semi-infinito con campo aplicado paralelo a la superficie del super conductor, , resolvemos. El campo magnético en el superconductor no puede depender de porque es dirección de simetría al igual que . Entonces
esto pues ayudados de la condición de continuidad del campo eléctrico en el borde, debe ser . Esto reduce nuestra ecuación para el campo magnético a
cuya solución es
donde el coeficiente es la distancia en que el campo logra penetrar en la muestra, pero que decae de manera exponencial. La supercorriente se obtiene tomando el rotor dando
la cual apantalla al interior del superconductor del campo externo.
Con las ecuaciones anteriores, este problema sale rápidamente.
Notemos que la ecuación para el campo dentro de la placa satisface
cuya solución es
como físicamente este sistema es simétrico con respecto a la coordenada , también tenemos que tener , lo que condiciona que y por ende podemos escribir
Imponiendo la continuidad del campo magnético en , obtenemos el valor de la constante
Para determinar la supercorriente,
donde omitimos el cálculo del rotor.