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Auxiliar #10 - Introducción a la Física del Sólido

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Tópicos del día de hoy

  • Teoría fenomenológica de London

Problema 1

Parte (a)

Lo que discutimos se reduce a la siguiente imagen:

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Parte (b)

Supondremos que dentro del superconductor los electrones son arrastrados por un campo eléctrico que aparece en el interior. Por hipótesis con la fenomenología, no consideramos campo magnético en el interior. Entonces, usando la ecuación clásica de movimiento y eliminando el término que introduce la disipación en Drude (conductor ideal, i.e

τ+), tenemos

mv˙=eE.
Consideremos entonces la densidad de corriente para electrones superconductores, cuya densidad denotamos
ns

Js=ensv,

de esta forma
dJsdt=ensdvdtdJsdt=e2nsmE.

Esta última ecuación suele conocerse como "primera ecuación de London". Adicionalmente, sabemos que
×E=Bt,×(mnse2dJsdt)=Bt,t(mnse2×Js+B)=0.

Opinión personal: Hay algo que nunca he entendido sobre esta derivación que es el cambio entre derivada parcial a derivada total temporal. He consultado en muchas referencias bibliográficas y nadie hace alcances al respecto.

Advertencia: ahora London dice que lo que está dentro de la derivada es nulo. Esto se conoce como la hipótesis de London. Implícitamente hemos hecho una aproximación de "localidad" entre la corriente y el campo magnético: la corriente en

r está relacionada con el campo magnético en
r
.

Por lo tanto, llegamos a la siguiente ecuación

×Js=nse2mB,

que se conoce también como "segunda ecuación de London". Asumiendo que el campo eléctrico al interior del conductor es estático, tomamos a partir de una de las ecuaciones de Maxwell

×B=μ0Js,×(×B)=μ0×Js,(B)2B=μ0nse2mB,2B=1λL2B.

Podemos hacer un razonamiento similar para la corriente superconductora.

×Js=nse2mB,×(×Js)=nse2m×B,(Js)2Js=μ0nse2mJs

Para poder continuar, volvamos a la segunda ecuación de London escribiéndola en términos del potencial vector

×Js=nse2m×A,
esto significa que ambos vectores difieren a lo más en un gradiente (pues el rotor de un gradiente es nulo)

Js=nse2m(A+ϕ).
En el límite estático, que hemos trabajado desde siempre, la ecuación de continuidad de la carga nos dice que
J=0
, por lo que al aplicar divergencia en ambos lados

2ϕ=A

tomando el gauge de London, con

A=0 y eligiendo
ϕ=0
, concluimos que la divergencia de
Js
es nula. Luego, en resumen tenemos que

2B=1λL2B,2Js=1λL2Js.

Parte (c )

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Para el caso del plano semi-infinito con campo aplicado paralelo a la superficie del super conductor,

B=Bxx^, resolvemos. El campo magnético en el superconductor no puede depender de
x
porque es dirección de simetría al igual que
y
. Entonces

B=B(z)x^

esto pues ayudados de la condición de continuidad del campo eléctrico en el borde, debe ser

B0x^. Esto reduce nuestra ecuación para el campo magnético a

2Bx(z)z2+1λL2Bx(z)=0,

cuya solución es

Bx(z)=B0ez/λL,

donde el coeficiente

λL es la distancia en que el campo logra penetrar en la muestra, pero que decae de manera exponencial. La supercorriente se obtiene tomando el rotor dando

Js=J0exp(z/λL)y^
la cual apantalla al interior del superconductor del campo externo.

Problema 2

Con las ecuaciones anteriores, este problema sale rápidamente.

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Notemos que la ecuación para el campo dentro de la placa satisface

2Bzdy2=1λL2Bz,

cuya solución es

Bz(y)=Aey/λL+Bey/λL,

como físicamente este sistema es simétrico con respecto a la coordenada

y, también tenemos que tener
Bz(y)=Bz(y)
, lo que condiciona que
A=B
y por ende podemos escribir

Bz(y)=Bcosh(yλL).

Imponiendo la continuidad del campo magnético en

y=t, obtenemos el valor de la constante
B

By(z)=cosh(y/λL)cosh(t/λL)B0.

Para determinar la supercorriente,

Js=1μ0×B=B0sinh(y/λL)μ0λLcosh(t/λL)x^
donde omitimos el cálculo del rotor.