# Auxiliar #10 - Introducción a la Física del Sólido

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**Tópicos del día de hoy**
* Teoría fenomenológica de London

## Problema 1

### Parte (a)

Lo que discutimos se reduce a la siguiente imagen:

### Parte (b)
Supondremos que dentro del superconductor los electrones son arrastrados por un campo eléctrico que aparece en el interior. Por hipótesis con la fenomenología, no consideramos campo magnético en el interior. Entonces, usando la ecuación clásica de movimiento y eliminando el término que introduce la disipación en Drude (conductor ideal, i.e $\tau \to +\infty$), tenemos

$$
m\dot{\mathbf{v}} = -e \mathbf{E}.
$$
Consideremos entonces la densidad de corriente para electrones superconductores, cuya densidad denotamos $n_s$
$$
\mathbf{J}_s = -en_s \mathbf{v},
$$
de esta forma
$$
\frac{d\mathbf{J}_s}{dt} = - en_s \frac{d\mathbf{v}}{dt} \Rightarrow \frac{d\mathbf{J}_s}{dt} = \frac{e^2n_s}{m}\mathbf{E}.
$$
Esta última ecuación suele conocerse como "primera ecuación de London". Adicionalmente, sabemos que
$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\ \nabla \times \left(\frac{m}{n_se^2} \frac{d\mathbf{J}_s}{dt} \right) &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{m}{n_s e^2} \nabla \times \mathbf{J}_s +\mathbf{B}\right) &= 0.
\end{aligned}
$$

:::danger
**Opinión personal:** Hay algo que nunca he entendido sobre esta derivación que es el cambio entre derivada parcial a derivada total temporal. He consultado en muchas referencias bibliográficas y nadie hace alcances al respecto.
:::

:::warning
**Advertencia:** ahora London dice que lo que está dentro de la derivada es nulo. Esto se conoce como *la hipótesis de London*. Implícitamente hemos hecho una aproximación de "localidad" entre la corriente y el campo magnético: la corriente en $\mathbf{r}$ está relacionada con el campo magnético en $\mathbf{r}$.
:::

Por lo tanto, llegamos a la siguiente ecuación

$$
\nabla \times \mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m} \mathbf{B},
$$

que se conoce también como "segunda ecuación de London". Asumiendo que el campo eléctrico al interior del conductor es estático, tomamos a partir de una de las ecuaciones de Maxwell

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J}_s, \\ \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B}) &= \mu_0\nabla \times \mathbf{J}_s, \\ \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B})-\nabla^2\mathbf{B} &= -\frac{\mu_0n_se^2}{m}\mathbf{B}, \\ \nabla^2 \mathbf{B}&= \frac{1}{\lambda_L^2} \mathbf{B}.
\end{aligned}
$$

Podemos hacer un razonamiento similar para la corriente superconductora.

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{J}_s &= -\frac{n_se^2}{m} \mathbf{B}, \\ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{J}_s) &= -\frac{n_se^2}{m} \nabla \times \mathbf{B}, \\ \nabla (\nabla \cdot \mathbf{J}_s) - \nabla^2 \mathbf{J}_s &= -\frac{\mu_0 n_se^2}{m} \mathbf J_s
\end{aligned}
$$

Para poder continuar, volvamos a la segunda ecuación de London escribiéndola en términos del potencial vector

$$
\nabla \times \mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m} \nabla \times \mathbf{A},
$$
esto significa que ambos vectores difieren a lo más en un gradiente (pues el rotor de un gradiente es nulo)

$$
\mathbf{J}_s=-\frac{n_se^2}{m}(\mathbf{A}+\nabla \phi).
$$
En el límite estático, que hemos trabajado desde siempre, la ecuación de continuidad de la carga nos dice que $\nabla \cdot \mathbf{J}=0$, por lo que al aplicar divergencia en ambos lados

$$
\nabla ^2 \phi = -\nabla \cdot \mathbf{A}
$$

tomando el gauge de London, con $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ y eligiendo $\nabla \phi =0$, concluimos que la divergencia de $\mathbf{J}_s$ es nula. Luego, en resumen tenemos que

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 \mathbf{B}&= \frac{1}{\lambda_L^2} \mathbf{B}, \\ \nabla^2 \mathbf{J}_s &= \frac{1}{\lambda_L^2} \mathbf{J}_s.
\end{aligned}
$$

### Parte (c )

Para el caso del plano semi-infinito con campo aplicado paralelo a la superficie del super conductor, $\mathbf{B}=B_x\hat{x}$, resolvemos. El campo magnético en el superconductor no puede depender de $x$ porque es dirección de simetría al igual que $y$. Entonces

$$
\mathbf{B} = B(z)\hat{x}
$$

esto pues ayudados de la condición de continuidad del campo eléctrico en el borde, debe ser $B_0 \hat{x}$. Esto reduce nuestra ecuación para el campo magnético a

$$
\frac{\partial^2 B_x(z)}{\partial z^2}+\frac{1}{\lambda_L^2}B_x(z)=0,
$$

cuya solución es

$$
B_x(z)=B_0e^{-z/\lambda_L},
$$

donde el coeficiente $\lambda_L$ es la distancia en que el campo logra penetrar en la muestra, pero que decae de manera exponencial. La supercorriente se obtiene tomando el rotor dando

$$
\mathbf{J}_s=J_0\exp(-z/\lambda_L)\hat{y}
$$
la cual apantalla al interior del superconductor del campo externo.

## Problema 2

Con las ecuaciones anteriores, este problema sale rápidamente.


Notemos que la ecuación para el campo dentro de la placa satisface

$$
\frac{\partial^2 B_z}{dy^2}=\frac{1}{\lambda_L^2}B_z,
$$

cuya solución es

$$
B_z(y)= Ae^{y/\lambda_L}+Be^{-y/\lambda_L},
$$

como físicamente este sistema es simétrico con respecto a la coordenada $y$, también tenemos que tener $B_z(y)=B_z(-y)$, lo que condiciona que $A=B$ y por ende podemos escribir

$$
B_z(y)= B\cosh \left(\frac{y}{\lambda_L} \right).
$$

Imponiendo la continuidad del campo magnético en $y=t$, obtenemos el valor de la constante $B$

$$
B_y(z)=\frac{\cosh(y/\lambda_L)}{\cosh(t/\lambda_L)}B_0.
$$

Para determinar la supercorriente,
$$
\mathbf{J}_s = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B}=\frac{B_0 \sinh(y/\lambda_L)}{\mu_0 \lambda_L\cosh(t/\lambda_L)}\hat{x}
$$
donde omitimos el cálculo del rotor.