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Auxiliar #9 - Introducción a la Física del Sólido

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Tópicos del día de hoy

  • Cristal armónico cuántico: frecuencia de Debye

Problema 1

Parte (a)

Notar que se nos está pidiendo el caso exacto. A diferencia de la clase anterior, la densidad de estados estaba diseñada solo para una relación de dispersión del tipo que Debye (con una dispersión lineal). Por ende, en este caso esperaríamos que el cálculo se torne algo más engorroso.

Calculamos la densidad de estados mediante

g(ω)=12π/LBZdkδ(ωωk),=L2ππaπadkδ(ωωm|sin(ka2)|).

Usando el cambio de variables

x=ka/2dk=2dx/a

Identidad útil:

δ(g(x))=iδ(xxi)|g(xi)|

Utilizando la identidad útil:

ωωmsin(x)=0arcsin(ωωm)=xi,δ(ωωmsin(x))=δ(xarcsin(ω/ωm))|cos(arcsin(ω/ωm))|,

por lo que al retomar el cálculo de la densidad de estados

g(ω)=2Lπa0π/2dxδ(ωωmsin(x))=2πωma0π/2δ(xarcsin(ω/ωm))|cos(arcsin(ω/ωm))|dx,=2Lπa1ωm2ω2.

Con eso termina el cálculo. Sin embargo, para quedarnos con las soluciones físicas podemos poner los siguientes cut-off

g(ω)=2Lπa1ωm2ω2Θ(ω)Θ(ωmω),

donde las funciones

Θ nos ayudan a recordar que la frecuencia debe ser positiva y que no puede ser mayor a
ωm
puesto que el espectro está acotado superiormente por
ωm
.

Parte (b)

Con eso podemos calcular la energía interna, luego la densidad de energía interna y finalmente el calor específico. Procedemos como es habitual en este tipo de problemas

U=2Lπa0dωωg(ω)nBE(ω),=2Lπa0ωmωeβω11ωm2ω2,dUdT=2LkBπa0ωmeβωdω(eβω1)2ωm2ω2(ωkBT)2.

Adimensionalizando la integral, cambiando explícitamente

β=1kBT con
x=βω

dUdT=2LkBπa0ωmkBTx2ex(ex1)2ωm2(kBTx)2kBTdx,=2LkBπaωm0ωmkBTx2ex(ex1)21(kBTxωm)2kBTdx,=2LkBtmπa01tmx2ex(ex1)21tm2x2dx,

donde hemos definido

tmkBT/(ωm). Finalmente por unidad de volumen

cv=2kBtmπa01tmx2ex(ex1)21tm2x2dx.

Parte (c )

La integral anterior depende de la temperatura vía

tm. Este parámetro

tm=kBTωmTΘm,

vamos a considerarlo en el límite de temperaturas altas cuando

T sea mucho mayor que la escala
ω
. Es decir
tm1
y viceversa para el caso de temperaturas bajas.

Límite de temperaturas altas

En el intervalo de integración, estamos en una región en que

x1 pues la
x[0,ωkBT]
de modo que podemos aproximar

x2ex(ex1)2=(xex1)2ex(x1+x1)2ex1

entonces

cv=2kBtmπa01/tmdx1tm2x2=kBa,

valor constante el cual es el límite en donde rige la ley de Dulong-Petit.

Límite de temperaturas bajas

Tomamos en este caso

tm1 lo cual nos permite aproximar lo siguiente al orden cero

11tm2x21.

Entonces la integral de calor específico queda como

cv2kBπatm0+ex(ex1)2dx,

en donde hemos reemplazado el límite superior de la integral por infinito, ya que la cantidad

1/tm1. El integrando puede ser expresado como una serie geométrica mediante

cV2kBtmπa0+x2ex(ex1)2dx,=2kBtmπa0+x2ex(1ex)2dx,=2kBtmπa0+x2(n=1+nenx)dx,=2kBtmπan=1+n0+x2enxdx,=2πT3aΘmkB

donde hemos usado que

0+x2enxdx=2n2,n=11n2=π26.

Parte (d)

En el caso del modelo de Debye, tenemos que considerar una relación de dispersión en particular:

ω=c|k|. Entonces, denotando la densidad en este caso como
gD

gD(ω)=L2ππaπadkδ(ωc|k|)=Lπc0π/adkδ(kωc),=LπcΘ(ω).

Sea

ωD la frecuencia de Debye, el número de fonones presentes está dado por

N=Lπc0ωDdω=LπcωD=NaωDπcωD=πca.

Entonces podríamos escribir, considerando los cut-off

gD(ω)=LπcΘ(ω)Θ(πc/aω).

Calculando la energía y procediendo de la misma forma anterior

U=+dωωgD(ω)nBE(ω),=LωDa0ωDωeβω1,=LkBTΘDa0ΘD/Tx2ex(ex1)2dx,

donde se ha definido la temperatura de Debye mediante

ΘD=ωD/kB. En el límite de alta temperatura
ΘD/T1
aplicamos la misma aproximación que en el caso anterior

cvkBa,

que es Dulong-Petit. En el de altas temperaturas

cvπ2kBT3aΘD.

Para este cristal unidimensional, Debye sobreestima el calor específico. Sin embargo, en los límites de temperaturas altas y bajas resulta ser relativamente exitoso.

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