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Notar que se nos está pidiendo el caso exacto. A diferencia de la clase anterior, la densidad de estados estaba diseñada solo para una relación de dispersión del tipo que Debye (con una dispersión lineal). Por ende, en este caso esperaríamos que el cálculo se torne algo más engorroso.
Calculamos la densidad de estados mediante
Usando el cambio de variables
Identidad útil:
Utilizando la identidad útil:
por lo que al retomar el cálculo de la densidad de estados
Con eso termina el cálculo. Sin embargo, para quedarnos con las soluciones físicas podemos poner los siguientes cut-off
donde las funciones nos ayudan a recordar que la frecuencia debe ser positiva y que no puede ser mayor a puesto que el espectro está acotado superiormente por .
Con eso podemos calcular la energía interna, luego la densidad de energía interna y finalmente el calor específico. Procedemos como es habitual en este tipo de problemas
Adimensionalizando la integral, cambiando explícitamente con
donde hemos definido . Finalmente por unidad de volumen
La integral anterior depende de la temperatura vía . Este parámetro
vamos a considerarlo en el límite de temperaturas altas cuando sea mucho mayor que la escala . Es decir y viceversa para el caso de temperaturas bajas.
En el intervalo de integración, estamos en una región en que pues la de modo que podemos aproximar
entonces
valor constante el cual es el límite en donde rige la ley de Dulong-Petit.
Tomamos en este caso lo cual nos permite aproximar lo siguiente al orden cero
Entonces la integral de calor específico queda como
en donde hemos reemplazado el límite superior de la integral por infinito, ya que la cantidad . El integrando puede ser expresado como una serie geométrica mediante
donde hemos usado que
En el caso del modelo de Debye, tenemos que considerar una relación de dispersión en particular: . Entonces, denotando la densidad en este caso como
Sea la frecuencia de Debye, el número de fonones presentes está dado por
Entonces podríamos escribir, considerando los cut-off
Calculando la energía y procediendo de la misma forma anterior
donde se ha definido la temperatura de Debye mediante . En el límite de alta temperatura aplicamos la misma aproximación que en el caso anterior
que es Dulong-Petit. En el de altas temperaturas
Para este cristal unidimensional, Debye sobreestima el calor específico. Sin embargo, en los límites de temperaturas altas y bajas resulta ser relativamente exitoso.