# Auxiliar #9 - Introducción a la Física del Sólido

###### tags: `auxiliares_FI4101`

**Tópicos del día de hoy**
* Cristal armónico cuántico: frecuencia de Debye

## Problema 1

### Parte (a)

Notar que se nos está pidiendo el caso exacto. A diferencia de la clase anterior, la densidad de estados estaba diseñada solo para una relación de dispersión del tipo que Debye (con una dispersión lineal). Por ende, en este caso esperaríamos que el cálculo se torne algo más engorroso.

Calculamos la densidad de estados mediante

$$
\begin{aligned}
g(\omega) &= \frac{1}{2\pi/L}\int_{\text{BZ}}dk\delta(\omega-\omega_k), \\ &= \frac{L}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}} dk \delta \left(\omega - \omega_m\left|\sin \left(\frac{ka}{2} \right) \right| \right).
\end{aligned}
$$

Usando el cambio de variables $x=ka/2\Rightarrow dk=2dx/a$

:::info
**Identidad útil:**
$$
\delta (g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}
$$
:::

Utilizando la identidad útil:

$$
\begin{aligned}
\omega-\omega_m \sin(x) = 0 &\Rightarrow \arcsin \left( \frac{\omega}{\omega_m}\right) =x_i, \\ \delta(\omega-\omega_m\sin(x)) &=\frac{\delta(x-\arcsin(\omega/\omega_m))}{|\cos(\arcsin(\omega/\omega_m))|},
\end{aligned}
$$

por lo que al retomar el cálculo de la densidad de estados
$$
\begin{aligned}
g(\omega) &= \frac{2L}{\pi a}\int_{0}^{\pi/2} dx\delta(\omega-\omega_m\sin(x)) \\ &= \frac{2}{\pi\omega_m a}\int_0^{\pi/2}\frac{\delta(x-\arcsin(\omega/\omega_m))}{|\cos(\arcsin(\omega/\omega_m))|}dx, \\&= \frac{2L}{\pi a}\frac{1}{\sqrt{\omega_m^2-\omega^2}}.
\end{aligned}
$$

Con eso termina el cálculo. Sin embargo, para quedarnos con las soluciones físicas podemos poner los siguientes *cut-off*

$$
g(\omega)=\frac{2L}{\pi a}\frac{1}{\sqrt{\omega^2_m-\omega^2}}\Theta(\omega)\Theta(\omega_m-\omega),
$$

donde las funciones $\Theta$ nos ayudan a recordar que la frecuencia debe ser positiva y que no puede ser mayor a $\omega_m$ puesto que el espectro está acotado superiormente por $\omega_m$.

### Parte (b)
Con eso podemos calcular la energía interna, luego la densidad de energía interna y finalmente el calor específico. Procedemos como es habitual en este tipo de problemas

$$
\begin{aligned}
U &= \frac{2L}{\pi a} \int_{0}^{\infty} d\omega \hbar \omega g(\omega)n_{\text{BE}}(\hbar \omega), \\ &= \frac{2L}{\pi a} \int_{0}^{\omega_m} \frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1}\frac{1}{\sqrt{\omega^2_m- \omega^2}}, \\ \frac{dU}{dT} &= \frac{2Lk_B}{\pi a} \int_{0}^{\omega_m}\frac{e^{\beta\hbar\omega}d\omega}{ \left( e^{\beta\hbar \omega} - 1\right)^2\sqrt{\omega^2_m-\omega^2}} \left(\frac{\hbar \omega}{k_B T} \right)^2.
\end{aligned}
$$

Adimensionalizando la integral, cambiando explícitamente $\beta=\frac{1}{k_BT}$ con $x=\beta \hbar \omega$

$$
\begin{aligned}
\frac{dU}{dT} &= \frac{2L k_B}{\pi a} \int_{0}^{\frac{\hbar \omega_m}{k_B T}} \frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2\sqrt{\omega^2_m-\left(\frac{k_BT x}{\hbar} \right)^2}} \frac{k_B T}{\hbar }dx, \\ &= \frac{2L k_B}{\pi a \omega_m} \int_{0}^{\frac{\hbar \omega_m}{k_B T}} \frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2\sqrt{1-\left(\frac{k_BT x}{\hbar \omega_m} \right)^2}} \frac{k_B T}{\hbar }dx, \\ &= \frac{2L k_B t_m}{\pi a} \int_{0}^{\frac{1}{t_m}} \frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2\sqrt{1-t_m^2x^2}}dx,
\end{aligned}
$$

donde hemos definido $t_m \equiv k_B T/(\hbar \omega_m)$. Finalmente por unidad de volumen

$$
c_v =\frac{2k_B t_m}{\pi a} \int_{0}^{\frac{1}{t_m}} \frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2\sqrt{1-t_m^2x^2}}dx.
$$

### Parte (c )
La integral anterior depende de la temperatura vía $t_m$. Este parámetro

$$
t_m = \frac{k_BT}{\hbar \omega_m} \equiv \frac{T}{\Theta_m},
$$

vamos a considerarlo en el límite de temperaturas altas cuando $T$ sea mucho mayor que la escala $\hbar \omega$. Es decir $t_m\gg 1$ y viceversa para el caso de temperaturas bajas.

#### Límite de temperaturas altas

En el intervalo de integración, estamos en una región en que $x\ll1$ pues la $x\in[0, \frac{\hbar \omega}{k_B T}]$ de modo que podemos aproximar

$$
\frac{x^2 e^x}{(e^x-1)^2} = \left(\frac{x}{e^x-1} \right)^2e^x \approx \left( \frac{x}{1+x-1} \right)^2e^x\approx 1
$$

entonces

$$
c_v = \frac{2k_B t_m}{\pi a} \int_{0}^{1/t_m} \frac{dx}{\sqrt{1-t^2_mx^2}}=\frac{k_B}{a},
$$

valor constante el cual es el límite en donde rige la ley de Dulong-Petit.

#### Límite de temperaturas bajas
Tomamos en este caso $t_m\ll1$ lo cual nos permite aproximar lo siguiente al orden cero

$$
\frac{1}{\sqrt{1-t^2_mx^2}} \approx 1.
$$

Entonces la integral de calor específico queda como

$$
c_v\approx \frac{2k_B}{\pi a}t_m \int_{0}^{+\infty} \frac{e^x}{(e^x-1)^2}dx,
$$

en donde hemos reemplazado el límite superior de la integral por infinito, ya que la cantidad $1/t_m\gg 1$. El integrando puede ser expresado como una serie geométrica mediante

$$
\begin{aligned}
c_V &\approx \frac{2k_Bt_m}{\pi a}\int_0^{+\infty} \frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2}dx, \\&= \frac{2k_Bt_m}{\pi a}\int_0^{+\infty} \frac{x^2e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}dx, \\ &= \frac{2k_B t_m}{\pi a}\int_{0}^{+\infty} x^2\left(\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{-nx} \right)dx, \\ &= \frac{2k_B t_m}{\pi a}\sum_{n=1}^{+\infty}n\int_{0}^{+\infty}x^2 e^{-nx}dx, \\ &=\frac{2\pi T}{3a \Theta_m} k_B
\end{aligned}
$$

donde hemos usado que
$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} x^2e^{-nx}dx &= \frac{2}{n^2}, \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}&=\frac{\pi^2}{6}.
\end{aligned}
$$

### Parte (d)

En el caso del modelo de Debye, tenemos que considerar una relación de dispersión en particular: $\omega= c |k|$. Entonces, denotando la densidad en este caso como $g_D$

$$
\begin{aligned}
g_D(\omega) &= \frac{L}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}} dk\delta(\omega-c|k|) = \frac{L}{\pi c} \int_0^{\pi/a} dk \delta(k-\omega c),\\ &= \frac{L}{\pi c}\Theta(\omega).
\end{aligned}
$$

Sea $\omega_D$ la frecuencia de Debye, el número de fonones presentes está dado por

$$
N = \frac{L}{\pi c} \int_{0}^{\omega_D} d\omega = \frac{L}{\pi c}\omega_D = \frac{Na\omega_D}{\pi c} \Rightarrow \omega_D = \frac{\pi c}{a}.
$$

Entonces podríamos escribir, considerando los *cut-off*

$$
g_D(\omega) = \frac{L}{\pi c}\Theta(\omega)\Theta(\pi c/a -\omega).
$$

Calculando la energía y procediendo de la misma forma anterior

$$
\begin{aligned}
U &= \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \hbar \omega g_D(\omega)n_{\text{BE}}(\hbar \omega), \\ &= \frac{L}{\omega_D a} \int_{0}^{\omega_D} \frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1}, \\ &= \frac{L k_B T}{\Theta_D a} \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2}dx,
\end{aligned}
$$

donde se ha definido la temperatura de Debye mediante $\Theta_D = \hbar \omega_D/k_B$. En el límite de alta temperatura $\Theta_D/T\ll1$ aplicamos la misma aproximación que en el caso anterior

$$
c_v \approx \frac{k_B}{a},
$$

que es Dulong-Petit. En el de altas temperaturas

$$
c_v \approx \frac{\pi^2 k_B T}{3a \Theta_D}.
$$

Para este cristal unidimensional, Debye sobreestima el calor específico. Sin embargo, en los límites de temperaturas altas y bajas resulta ser relativamente exitoso.