# Auxiliar #3 - Introducción a la Física del Sólido

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**Tópicos del día de hoy**
* Modelo clásico de transporte de electrones.

## Problema 1
### Parte (a)

Conocemos que el coeficiente Hall viene dado por por
$$
R_H = -\frac{1}{ne} = \frac{\rho_{yx}}{B},
$$

donde
* $n$: densidad de número de portadores (portadores por unidad de volumen).
* $e$: carga del electrón.
* $B$: campo magnético externo (orientado en $\hat{z}$).
* $\rho_{yx}$: componente transversal de la resistividad.

Para estimar el voltaje Hall, recordemos que el coeficiente Hall es definido tal que

$$
E_y = R_H B J_x,
$$

y de electromagnetismo recordamos que la corriente que lleva el vector de densidad de corriente viene dada por

$$
I = \iint \vec{J}\cdot dA,
$$

por lo cual, si la densidad de corriente va solo en $\hat{x}$, que suponemos constante, y considerando que la sección transversal es cuadrada, tenemos

$$
J_x = \frac{I}{L^2}.
$$

Entonces

$$
V_H = LE_y = R_H BLJ_x = R_H BL \frac{I}{L^2}=-\frac{IB}{neL}.
$$

Necesitamos, como dato final, la densidad de portadores: que la masa atómica sea 23, significa que un mol de sodio tiene una masa de $23\,\text{g}$. Como el sodio tiene un solo electrón de valencia -que por *alguna razón* sabemos que son los que participan- la densidad de electrones se corresponde con la densidad de átomos de sodio. Dicho esto podemos plantear, con $n$ la densidad de número que deseamos obtener

$$
\frac{N_A}{N} = \frac{23\,\text{g}}{m} \Rightarrow \frac{N}{V}=\frac{\rho N_A}{23\,\text{g}} \Rightarrow n = 2.6 \times 10^{28}\,\frac{\text{electrones}}{\text{m}^3}.
$$

De esta manera, ya podemos estimar el voltaje Hall

$$
V_H = -4.8\times 10^{-8}\,\text{V}.
$$

### Parte (b)

* Es un voltaje muy pequeño que supera la resolución de voltímetros ordinarios.
* La resistencia de los contactos puede obstruir la medida.
* Calentamiento por efecto Joule

### Parte (c )
* La capacidad calorífica está mal estimada al ser considerado un gas clásico.
* ¿Por qué solo usamos los electrones de valencia para calcular esto? ¿Por qué hay metales?
* ¿Por qué hay signos diferentes para $R_H$?
* **Entre muchas otras**

:::info
**Consejo:** sugiero fuertemente leer el Capítulo 3 de *Solid State Physics* de Ashcroft & Mermin. Páginas 58 y 59 para una discusión completa.
:::

## Problema 2

### Parte (a)
La ecuación de movimiento por electrón, cuando $\tau \to +\infty$, y hay fuera de Lorentz en el sistema es

$$
\frac{d\mathbf{p}}{dt}=-e \left( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
$$

De acuerdo al enunciado, tenemos que $\mathbf{E}=\mathbf{E}_0e^{i\omega t}$ y $\mathbf{J}=\mathbf{J}_0e^{i\omega t}$, con $\mathbf{E}_0$ y $\mathbf{J}_0$ vectores constantes. Notemos que, como hemos definido antes, el vector de densidad de corriente viene dado por $\mathbf{J}=-ne\mathbf{v}=-\frac{ne}{m}\mathbf{p}$. Reemplazamos toda esta información en la ecuación de movimiento

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \left( -\frac{m\mathbf{J}_0e^{i\omega t}}{ne} \right) &= -e \left(\mathbf{E}_0 e^{i\omega t}-\frac{\mathbf{J}_0}{ne}e^{i\omega t}\times \mathbf{B} \right),\\ -\frac{im\omega}{ne}\mathbf{J}_0 &= -e\mathbf{E}_0+\frac{e\mathbf{J}_0 \times \mathbf{B}}{ne} \\ \mathbf{E}_0 &= \frac{\mathbf{J}_0\times \mathbf{B}}{ne} + \frac{im\omega}{ne^2}\mathbf{J}_0.
\end{aligned}
$$

Al considerar que $\mathbf{B}=B\hat{z}$, expandimos

$$
\begin{aligned}
\mathbf{J}_0\times \mathbf{B} &= \left(J_0^x\hat{x}+J^y_0\hat{y} + J_0^z \hat{z} \right) \times B \hat{z},\\ &= \left( J_0^y \hat{x} - J_0^x \hat{y}\right)B,
\end{aligned}
$$

entonces

$$
\mathbf{E}_0 = \frac{1}{ne} \left[-J_0^x B \hat{y}+J_0^yB \hat{x}+\frac{im\omega}{e}\mathbf{J}_0 \right],
$$

lo cual podemos escribir como
$$
\mathbf{E}_0 = \left[ \frac{im\omega}{ne^2}\mathbf{1}_{3\times3}+
\begin{pmatrix}
0 & -B/ne &0 \\
B/ne & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \right]\mathbf{J}_0.
$$

Al invertir el tensor de resistividad, obtenemos el tensor de conductividad.
$$
\sigma(\omega) =
\begin{pmatrix}
\frac{im\omega}{ne^2 f(\omega,B)} & \frac{B}{ne f(\omega,B)} &0 \\
\frac{-B}{ne f(\omega,B)} & \frac{im\omega}{ne^2 f(\omega,B)} & 0\\
0 & 0 & \frac{ne}{im\omega}
\end{pmatrix} .
$$

### Parte (b)

Como en un experimento es fácil controlar la frecuencia de $\mathbf{E}_0$, podemos llevar el sistema a la resonancia al medir alguna de las componentes de la conductividad. Al obtener la frecuencia crítica de resonancia, i.e $f(\omega,B)=0$, podemos calcular la masa $m$.