Auxiliar #3 - Introducción a la Física del Sólido

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Tópicos del día de hoy

• Modelo clásico de transporte de electrones.

Problema 1

Parte (a)

Conocemos que el coeficiente Hall viene dado por por

$$R_H=-\frac{1}{ne}=\frac{{\rho }_{yx}}{B},$$

donde

• $n$: densidad de número de portadores (portadores por unidad de volumen).
• $e$: carga del electrón.
• $B$: campo magnético externo (orientado en
  $\hat{z}$).
• ${\rho }_{yx}$: componente transversal de la resistividad.

Para estimar el voltaje Hall, recordemos que el coeficiente Hall es definido tal que

$$E_y=R_{H}B{J}_x,$$

y de electromagnetismo recordamos que la corriente que lleva el vector de densidad de corriente viene dada por

$$I=\iint \overrightarrow{J}\cdot dA,$$

por lo cual, si la densidad de corriente va solo en

$\hat{x}$, que suponemos constante, y considerando que la sección transversal es cuadrada, tenemos

$$J_x=\frac{I}{L^2}.$$

Entonces

$$V_H=L{E}_y=R_{H}BL{J}_x=R_{H}BL\frac{I}{L^2}=-\frac{IB}{neL}.$$

Necesitamos, como dato final, la densidad de portadores: que la masa atómica sea 23, significa que un mol de sodio tiene una masa de

$23\text{g}$. Como el sodio tiene un solo electrón de valencia -que por alguna razón sabemos que son los que participan- la densidad de electrones se corresponde con la densidad de átomos de sodio. Dicho esto podemos plantear, con

$n$ la densidad de número que deseamos obtener

$$\frac{N_A}{N}=\frac{23\text{g}}{m}\Rightarrow \frac{N}{V}=\frac{\rho N_A}{23\text{g}}\Rightarrow n=2.6\times {10}^{28}\frac{\text{electrones}}{{\text{m}}^3}.$$

De esta manera, ya podemos estimar el voltaje Hall

$$V_H=-4.8\times {10}^{-8}\text{V}.$$

Parte (b)

• Es un voltaje muy pequeño que supera la resolución de voltímetros ordinarios.
• La resistencia de los contactos puede obstruir la medida.
• Calentamiento por efecto Joule

Parte (c )

• La capacidad calorífica está mal estimada al ser considerado un gas clásico.
• ¿Por qué solo usamos los electrones de valencia para calcular esto? ¿Por qué hay metales?
• ¿Por qué hay signos diferentes para
  $R_H$?
• Entre muchas otras

Consejo: sugiero fuertemente leer el Capítulo 3 de Solid State Physics de Ashcroft & Mermin. Páginas 58 y 59 para una discusión completa.

Problema 2

Parte (a)

La ecuación de movimiento por electrón, cuando

$\tau \to +\mathrm{\infty }$, y hay fuera de Lorentz en el sistema es

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=-e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}).$$

De acuerdo al enunciado, tenemos que

$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_0{e}^{i\omega t}$ y

$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_0{e}^{i\omega t}$, con

${\mathbf{E}}_0$ y

${\mathbf{J}}_0$ vectores constantes. Notemos que, como hemos definido antes, el vector de densidad de corriente viene dado por

$\mathbf{J}=-ne\mathbf{v}=-\frac{ne}{m}\mathbf{p}$. Reemplazamos toda esta información en la ecuación de movimiento

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}(-\frac{m{\mathbf{J}}_0{e}^{i\omega t}}{ne})& =-e({\mathbf{E}}_0{e}^{i\omega t}-\frac{{\mathbf{J}}_0}{ne}{e}^{i\omega t}\times \mathbf{B}),\\ -\frac{im\omega }{ne}{\mathbf{J}}_0& =-e{\mathbf{E}}_0+\frac{e{\mathbf{J}}_0\times \mathbf{B}}{ne}\\ {\mathbf{E}}_0& =\frac{{\mathbf{J}}_0\times \mathbf{B}}{ne}+\frac{im\omega }{n{e}^2}{\mathbf{J}}_0.\end{array}$$

Al considerar que

$\mathbf{B}=B\hat{z}$, expandimos

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{J}}_0\times \mathbf{B}& =(J_0^x\hat{x}+J_0^y\hat{y}+J_0^z\hat{z})\times B\hat{z},\\ & =(J_0^y\hat{x}-J_0^x\hat{y})B,\end{array}$$

entonces

$${\mathbf{E}}_0=\frac{1}{ne}[-J_0^{x}B\hat{y}+J_0^{y}B\hat{x}+\frac{im\omega }{e}{\mathbf{J}}_0],$$

lo cual podemos escribir como

$${\mathbf{E}}_0=[\frac{im\omega }{n{e}^2}{\mathbf{1}}_{3\times 3}+\left(\begin{array}{ccc}0& -B/ne& 0\\ B/ne& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)]{\mathbf{J}}_0.$$

Al invertir el tensor de resistividad, obtenemos el tensor de conductividad.

$$\sigma (\omega )=\left(\begin{array}{ccc}\frac{im\omega }{n{e}^{2}f(\omega ,B)}& \frac{B}{nef(\omega ,B)}& 0\\ \frac{-B}{nef(\omega ,B)}& \frac{im\omega }{n{e}^{2}f(\omega ,B)}& 0\\ 0& 0& \frac{ne}{im\omega }\end{array}\right).$$

Parte (b)

Como en un experimento es fácil controlar la frecuencia de

${\mathbf{E}}_0$, podemos llevar el sistema a la resonancia al medir alguna de las componentes de la conductividad. Al obtener la frecuencia crítica de resonancia, i.e

$f(\omega ,B)=0$, podemos calcular la masa

$m$.