# Auxiliar #5 - Introducción a la Física del Sólido

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**Tópicos del día de hoy**
* Cómo armar una red tight-binding.
* Calcular su espectro.
* Evidenciar el comportamiento común y la conveniencia de usar estados de Bloch.

## Problema 1

### Parte (a)
Se nos indica que la base en la que trabajamos es la de los orbitales atómicos, la cual está definida por $\left | n \right>$ que en este caso son las esferas de la figura. Los elementos de matriz del estilo

$$
\left< n|H|m \right> = \text{algún número},
$$

representan la intensidad de *hoppings* es decir, la energía de traslape entre orbitales vecinos. Los términos del estilo

$$
\left< n|H|n \right> = \text{algún número},
$$
corresponden a *energías de sitio*. Esta es la energía potencial de ocupar un punto en la red.


Pueden notar entonces que los hoppings en esta base viven fuera de la diagonal, y las energías de sitio en ella. Para ilustrar cómo se vería el Hamiltoniano de esta cadena **sin condición de borde periódica** para $N=4$ celdas
$$
H=\begin{pmatrix}
\epsilon & -t & 0 &0 \\
-t & \epsilon &-t &0 \\
0& -t& \epsilon & -t\\
0& 0 & -t & \epsilon
\end{pmatrix}.
$$

Si quisiéramos hacer que nuestra cadena tenga condición de borde periódica, tendríamos que conectar los orbitales del sitio $\left| 1 \right>$ con los del $\left| 4 \right>$, por lo que modificaríamos nuestra matriz de la siguiente forma

$$
H_{\text{periódica}}=\begin{pmatrix}
\epsilon & -t & 0 &0 -t\\
-t & \epsilon &-t &0 \\
0& -t& \epsilon & -t\\
-t& 0 & -t & \epsilon
\end{pmatrix}.
$$

Nuestro objetivo ahora, es determinar la relación de dispersión para esta cadena en términos de $k$. Para hacerlo, vamos a buscar diagonalizar este Hamiltoniano en la base de estados de Bloch. Propondremos una solución del estilo

$$
\psi(\mathbf{r}_m,\mathbf{k})\equiv\psi_m = e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r_m}} u(\mathbf{r}_m, \mathbf{k})
$$

donde $\mathbf{r}_m=ma\hat{x}$ es el vector que corresponde a la $m$-ésima *celda unidad* que **en este caso coincide con el orbital**.

### Parte (b)

En este caso, nuestro problema de autovalores a resolver, es decir, la ecuación de Schrödinger

$$
H_{\text{periódica}} \left| \phi \right> = E \left| \phi \right>,
$$

para expresar el vector $\left| \phi \right>$ usamos Bloch.

:::warning
Notar que hemos tirado el índice $\mathbf{r}_m$ de la función $u$. Esto tiene sentido puesto que el teorema de Bloch nos dice que esa función es periódica en los vectores de red. Justamente, si nos movemos en un vector de red, llegamos a un sitio equivalente en un sistema periódico. La etiqueta $\mathbf{r}_m$ no aporta información.
:::

$$
\left| \phi \right> = \begin{pmatrix}
e^{ika}u(k)\\
e^{2ika}u(k)\\
e^{3ika}u(k)\\
e^{4ika}u(k)
\end{pmatrix},
$$

de manera explícita

$$
\begin{pmatrix}
\epsilon & -t & 0 &0 -t\\
-t & \epsilon &-t &0 \\
0& -t& \epsilon & -t\\
-t& 0 & -t & \epsilon
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{ika}u(k)\\
e^{2ika}u(k)\\
e^{3ika}u(k)\\
e^{4ika}u(k)
\end{pmatrix}
=E\begin{pmatrix}
e^{ika}u(k)\\
e^{2ika}u(k)\\
e^{3ika}u(k)\\
e^{4ika}u(k)
\end{pmatrix}.
$$

Tomando alguna de las ecuaciones que define este sistema encontramos de manera muy sencilla que

$$
E(k)=\epsilon-2t\cos(ka).
$$

### Parte (c )
Cuando imponemos condiciones de borde periódicas (Born-von Karman) imponemos la cuantización

$$
k = \frac{2\pi m}{L},
$$
Para los vectores de onda posibles en el sistema, donde $m$ es un entero. Además, como la cadena tiene distancia interatómica $a$, el largo total de esta cadena es $L=Na$. Adicionalmente, nos damos cuenta que el ancho de la zona de Brillouin para este caso es $2\pi/a$ (pueden hacer el gráfico o encontrar la periodicidad de $E(k)$ cuya 1BZ es $[-\pi/a, \pi/a]$). Por lo tanto, tenemos tantos $m$ como los posibles para recorrer todo el ancho de la zona

$$
\frac{2\pi |m|}{Na} = \frac{2\pi }{a} \Rightarrow |m| =N.
$$

:::info
Notar que como no hemos incluido el grado de libertad de spin, no tenemos dos estados por cada $k$. En el caso que sí, solo tendríamos que multiplicar por dos nuestro resultado.
:::

### Parte (d)
Existen variadas formas de calcular la densidad de estados. Hoy vamos a presentar la siguiente forma:

$$
g(E') = \int \frac{d^n k}{(\frac{2\pi}{L})^n} \delta (E'-E),
$$

donde $n$ es la dimensión en que trabajamos, $E$ es nuestra relación de dispersión y $E'$ la energía a la que queremos la densidad de estados. La integral se realiza en todos los vectores de onda.

:::warning
**Advertencia:** existen algunas referencias en donde la densidad de estados no la corrigen con la dimensión $L^n$. Aquí siempre la expresaremos.
:::

Calculamos la integral

$$
\begin{aligned}
g(E') &= \frac{L}{2\pi} \int dk \delta(E'-E),\\ &= \frac{L}{2 \pi} \int \frac{dk}{dE}dE\delta(E'-E), \\ &=\frac{L}{2\pi} \int \frac{1}{2t\sin(ka)}\delta(E'-E)
\end{aligned}
$$

para poder compatibilizar estos cálculos, vamos a hacer el siguiente truco

$$
\begin{aligned}
E &= \epsilon - 2t\cos(ka), \\ \cos(ka) &= \frac{\epsilon-E}{2t} \\ \sin(ka)&=\sqrt{1-\frac{(E-\epsilon)^2}{4t^2}},
\end{aligned}
$$

lo cual podemos reemplazar cómodamente en nuestra integral que define la densidad de estados
$$
g(E') = \frac{L}{2\pi} \int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(E-\epsilon)^2}{4t^2}}}\delta(E'-E)dE,
$$

de donde extraemos nuestro resultado final (cambiando la etiqueta)

$$
g(E) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(E-\epsilon)^2}{4t^2}}}.
$$

## Problema 2

### Parte (a)
Para empezar tenemos que definir la celda unidad y los átomos que definen la base interna a la celda unidad. Notar ahora que un sitio está representado por el espacio producto del grado interno de libertad (tipo de sitio) y del grado externo (numeración de celda).

Eso significa (vamos a escribir el Hamiltoniano como un dibujo por claridad):


Siguiendo la misma lógica que empleamos en el problema anterior, ahora planteamos un ansatz de la forma

$$
\psi_n =e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_n} \begin{pmatrix}
c_A(k)\\
c_B(k)
\end{pmatrix}
$$

donde nuevamente $\mathbf{r}_n = na\hat{x}$. Notar que la diferencia clave es que ahora tenemos átomos de dos tipos en la misma celda lo cual aumenta la dimensión de ese subespacio. El vector completo de función de onda para resolver la ecuación de Schrödinger es

$$
\left| \phi \right> = \begin{pmatrix}
\vdots \\
c_A e^{-ika}\\
c_B e^{-ika}\\
c_A\\
c_B\\
c_A e^{ika}\\
c_B e^{ika}\\
\vdots
\end{pmatrix}
$$

tenemos que resolver la siguiente ecuación de autovalores
$$
\begin{pmatrix}\ddots & -t\\
-t & \epsilon_{A} & -t\\
& -t & \epsilon_{B} & -t\\
& & -t & \epsilon_{A} & -t\\
& & & -t & \epsilon_{B} & -t\\
& & & & -t & \epsilon_{A} & -t\\
& & & & & -t & \epsilon_{B}\\
& & & & & & & \ddots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vdots \\
c_A e^{-ika}\\
c_B e^{-ika}\\
c_A\\
c_B\\
c_A e^{ika}\\
c_B e^{ika}\\
\vdots
\end{pmatrix} =E\begin{pmatrix}
\vdots \\
c_A e^{-ika}\\
c_B e^{-ika}\\
c_A\\
c_B\\
c_A e^{ika}\\
c_B e^{ika}\\
\vdots
\end{pmatrix}
$$

tomando las ecuaciones definidas por el bloque central son

$$
\begin{aligned}
-tc_B e^{-ika} +\epsilon_A c_A -t c_B &= Ec_A, \\ -tc_A+\epsilon_B c_B - tc_Ae^{ika} &= Ec_B.
\end{aligned}
$$

este sistema de ecuaciones lo podemos arreglar tal que

$$
\begin{pmatrix}
\epsilon_A & -t(1+e^{-ika})\\
-t(1+e^{ika})& \epsilon_B
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
c_A\\
c_B
\end{pmatrix}=E\begin{pmatrix}
c_A\\
c_B
\end{pmatrix}
$$

Y calcular el espectro es simplemente

$$
E_{\pm} = \frac{1}{2}\left(\epsilon_A + \epsilon_B \pm \sqrt{(\epsilon_A-\epsilon_B)^2+4t^2 (2+2\cos(ka))}. \right)
$$

### Parte (b) y(c )
El gráfico para $\epsilon_A \neq \epsilon_B$


Notar que si las energías de sitio son iguales, el gap se cierra, transformándose este sistema en un conductor.

### Parte (d)
Las bandas se volverían prácticamente constantes. Eso significa que la velocidad de grupo en general será muy próxima a cero. Eso a su vez implicaría una eventual localización de un estado electrónico en el sistema.