# 交流電、電阻、電抗、阻抗
###### tags: `物理實驗 2021 (U1178)`
###### 國立臺北大學通訊工程學系 江振宇 編
> revised (2021/5/25)
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> revised (2021/6/01)
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## 引言一
為什麼要以某一個頻率的正弦 (sin)或餘弦(cos)電壓或電流來分析電路呢？當閱讀以下的內容時，別忘了思考此問題！
> 回顧在數位邏輯實驗中給的 clock 訊號，比如最大振幅是 5V 的方波 (square wave)：
> $$x(t)=2.5+2.5\sum_{k=0}^{K}\frac{4}{\pi}\frac{sin(2\pi (2k+1)ft)}{2k+1}\\K\rightarrow \inf$$

> 就是由不同頻率和振幅組合而成的！
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## 引言二
為什麼要學複數 (Complex Number)？在接下來的介紹可以解答這個問題的部分答案！複數在正弦或餘弦交流電路的運算分析中，是一個非常簡單且有利的工具，而在電路中以複數所表示的電壓、電流等物理量，我們通稱之為相子 (phasor)，接下來首先介紹如何使用複數表示某個頻率的交流信號。

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## 1. 複數 (complex number) 和相子 (phasor)

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 1
> 引言一
> 引言二
> 1. 複數 (complex number) 和相子 (phasor)
> 1.1. 以直角座標表示的複數
> 1.2. 以極座標表示的複數
> 1.3. 尤拉表示式 (Euler’s formula)

{%youtube xm51ln3v8-Y %}

### 1.1. 以直角座標表示的複數
複數 (complex number) 通常我們習慣使用符號 $z$ 表示，而複數在直角座標系統 (Cartesian coordinate system) 的表示法是：
$$z=x+jy\tag1$$
其中 $j$ 定義為 $\sqrt{-1}$，$x$ 稱為實部 (real part)、$y$ 稱為虛部 (imaginary part)，而 $x$ 和 $y$ 為實數 (real number)。我們可以將複數 $z$ 以圖一表示。

**<center>圖一</center>**

通常我們可以用 $Re\{z\}$ 來表示 complex number $z$ 的實部，$Re$ 就是 real 的縮寫，而 $Im\{z\}$ 來表示 complex number $z$ 的虛部，$Im$ 就是 imaginary 的縮寫，所以：

$$x=Re\{z\}\tag2$$

$$y=Im\{z\}\tag3$$

可以特別注意，在圖一裡面，我們將這個複數使用一個向量 (vector) 來代表它在空間中的位置，也就是說，我們把複數當作是一個向量來描述，這個複數是在複數平面 (complex plane, 或稱 z-plane) 上，這個複數平面為一個 2-dimensional (sub)space，這 complex plane 的 basis vectors 就是實數軸 (real axis) 以及虛數軸 (imaginary axis) 所指的方向向量。$x$ 就是虛數 $z$ 投影在 real axis 的投影量，$y$ 就是虛數 $z$ 投影在 imaginary axis 的投影量。real axis 和 imaginary axis 兩個互相正交，就是因為互相正交，才有有趣的特性。

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### 1.2. 以極座標表示的複數
我們亦可以使用極座標方式來表示複數如下：
$$z=r\cos\theta+j\ r\ sin\theta=r(cos\theta+j\ sin\theta)\tag4$$
其中 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$r=(x^2+y^2)^{(1/2)}$ 為半徑 (radius)，$\theta$ 為輻角 (angle)，若 $x$ 為正實數 (positive real number) 則 $z$ 會在第一和第四象限，則
$$\theta=tan^{-1}(y/x)\tag5$$
其中 $tan^{-1}$ 是 arctangent，也就是 $tan$ 的反函數 (inverse function)，若 $x$ 為負實數 (negative real number)，$z$ 在第二和第三象限，則
$$\theta=tan^{-1}(y/x)+\pi\tag6$$

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### 1.3. 尤拉表示式 (Euler’s formula)
我們亦可用 「尤拉表示式」 (Euler’s formula) 來表示複數，這種表示方法非常方便，並廣泛應用於訊號處裡的領域裡面，Euler’s formula 為：
$$e^{j\theta}=cos\theta+j\sin\theta\tag7$$
因此接下來便可以利用數學式(7)來表示複數數學式(4)的複數 $z$：
$$z=x+jy=r(cos\theta+j\ sin\theta)=re^{j\theta}\tag8$$
**很重要!!** 數學式(8)可以很簡潔地表示一個複數。

複數之間的加減法，要先轉化成直角座標表示後，實部與實部、虛部與虛部相加(減)後即可，比如：
$$z_1=r_1e^{j\theta_1}=r_1(cos\theta_1+j\ sin\theta_1)=r_1cos\theta_1+j\ r_1 sin\theta_1=x_1+jy_1\tag9$$

$$z_2=r_2e^{j\theta_2}=r_2(cos\theta_2+j\ sin\theta_2)=r_2cos\theta_2+j\ r_2 sin\theta_2=x_2+jy_2\tag{10}$$

$$z=az_1+bz_2=a(x_1+jy_1)+b(x_2+jy_2)\\=(ax_1+bx_2)+j(ay_1+by_2)\tag{11}$$
其中 $a$ 以及 $b$ 都是任意實數，所以 $z$ 的實部為 $ax_1+bx_2$，$z$ 的虛部為 $ay_1+by_2$。而相乘或相除，則以尤拉表示式運算較方便，例如兩複數相乘：
$$z_1z_2=(r_1e^{j\theta_1})(r_2e^{j\theta_2})=(r_1r_2)e^{j\theta_1}e^{j\theta_2}=(r_1r_2)e^{j(\theta_1+\theta_2)}\tag{12}$$
或兩複數相除：
$$z_1/z_2=\frac{r_1e^{j\theta_1}}{r_2e^{j\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}\frac{e^{j\theta_1}}{e^{j\theta_2}}=(r_1/r_2)e^{j(\theta_1-\theta_2)}\tag{13}$$

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### 1.4. 相子 (Phasor)
Phasor 是用來描述同一個頻率下$cos$和$sin$的共同表示方法及工具

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 2
> 1.4. 相子 (Phasor)

{%youtube Qd4CT9nfJQI %}

在定義好以尤拉表示式的複數之後，接下來我們便可利用此表示式來表示一個正弦信號：
$$S(t)=V_0sin(\omega t+\phi)=Im\{V_0e^{j(\omega t+\phi)}\}\tag{14}$$

其中

$$V_0e^{j(\omega t+\phi)}=V_0cos(\omega t+\phi)+jV_0sin(\omega t+\phi)\tag{15}$$

我們也可以用以下數學是來表示ㄧ個餘弦信號：
$$C(t)=V_0cos(\omega t+\phi)=Re\{V_0e^{j(\omega t+\phi)}\}\tag{16}$$

因為數學式(14)裡面的複數 $V_0e^{j(\omega t+\phi))}$ 就是在 z-plane 這個 space 裡面，$x=Re\{V_0e^{j(\omega t+\phi)}\}$ 就是在 real axis 上的投影量，$y=Im\{V_0e^{j(\omega t+\phi)}\}$ 就是在 imaginary axis 上的投影量。

以實際生活上的例子來說，台灣家用電就是振幅為 $110\sqrt2$ Volts 或 $220\sqrt2$ Volts 的 60 Hz交流電，以數學來表示就是這個信號 $S(t)$：

$$S(t)=110\sqrt{2}sin(2\pi \cdot 60 \cdot t+\phi)=Im\{110\sqrt{2}e^{j(2\pi \cdot 60 \cdot t+\phi)}\}\tag{17}$$

其中 $V_0$ 為振幅：
$$V_0=110\sqrt2\tag{18}$$
> 有沒有覺得很奇怪，一般不是說家用電是 110 V 嗎？為什麼振幅是 $110\sqrt{2}$？ 請自行去找到答案。

$\omega$為角頻率(angular frequency)：
$$\omega=2\times \pi\times f\tag{19}$$

$$f=60 \text{(unit: Hz)}\tag{20}$$

$t$ 是時間，單位為秒 (second)，$\phi$ 稱為相位 (phase)，值域範圍通常考慮 $(-\pi,\pi]$ 或是 $[0, 2\pi)$。正弦($sin$)以及餘弦($cos$)如果用 Euler 表示的話，可以是一樣的數學形式，比如說餘弦 $C(t)$ 也可以使用 Euler 的 $Im\{\}$ 來表示：

$$C(t)=V_0cos(\omega t+\phi)=V_0sin(\omega t+\phi+\frac{\pi}{2})=Im\{V_0e^{j(\omega t+\phi+\frac{\pi}{2})}\}\tag{21}$$

可以觀察到數學式(21)的 $C(t)$ 和數學式(14)的 $S(t)$ 可以使用一樣的數學形式 $Im\{Ve^{j\theta}\}$ 表示，所以簡單來講，$sin$ 以及 $cos$ 差別只在相位，可以用一樣的 Euler's formula 來表示之，所以我們可以把這個複數 $V_0e^{j(\omega t+\phi)}$ 當作向量 $\vec{V}$ 來表示，這樣的表示方法就是「相子」(Phasor)：

$$\vec{V}=V_0e^{j(\omega t+\phi)}\tag{22}$$

我們還是可以利用 $Im\{\cdot\}$ 以及 $Re\{\cdot\}$ 這兩個 operators 來把 $S(t)$ 以及 $C(t)$ 由 phasor 還原回來，也就是：

$$S(t)=Im\{\vec{V}\}\tag{23}$$

$$C(t)=Re\{\vec{V}\}\tag{24}$$

如果把 $C(t)$ 要從 phasor 以 $Im\{\}$ 這個 operator 轉換回來，我們可利用數學式(21)改寫數學式(24)變成：

$$C(t)=Im\{V_0e^{j(\omega t+\phi+\frac{\pi}{2})}\}=Im\{V_0e^{j(\omega t+\phi)}e^{j(\frac{\pi}{2})}\}\\=Im\{\vec{V}e^{j(\frac{\pi}{2})}\}\tag{25}$$

使用 phasor 表示的數學式(25) $\vec{V}e^{j(\frac{\pi}{2})}$ 就是原本數學式(23) $\vec{V}$ 的相位(phase)偏移(shift)版本，或著說 $Im\{\vec{V}e^{j(\frac{\pi}{2})}\}$ 信號是 $Im\{\vec{V}\}$ 信號的延遲(delay)版本，或著說 $C(t)$ 相對於 $S(t)$ 超前了 $\frac{\pi}{2}$。

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#### 重點！
**所以使用 phasor 可以將 $cos$ 訊號 ($C(t)$) 和 $sin$ 訊號 ($S(t)$) 可以使一樣的表示方法 (如數學式(23)以及(25))，方便表示以及計算。**

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### 1.5 相子的應用

**同樣頻率**的弦波相加減

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 3
> 1.5. 相子的應用

{%youtube m3EyOTck12Y %}

#### 1.5.1. Example 1
相位圖使得交流電的運算方便了許多，下面的例子就是一個很好的證明。若有兩個同角頻率的弦波信號：
$$V_A(t)=V_0sin(\omega t)\tag{26}$$

$$V_B(t)=V_0sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})\tag{27}$$

$$V_C(t)=V_A(t)-V_B(t)=?\tag{28}$$

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/dtjwrz4s?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

***注意！1.5.1 以及 1.5.2 的解法交互比對來看，便可以了解 1.5.1 的簡便方法之原理。***

##### 1.5.1.1. 高中程度解法（積化和差、和差化積）


#### 1.5.1.2. 學過相子的大學解法（向量！）


#### 1.5.2. Example 2
相位圖使得交流電的運算方便了許多，下面的例子就是一個很好的證明。若有兩個同角頻率的弦波信號：
$$V_A(t)=2sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})\tag{29}$$

$$V_B(t)=sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})\tag{30}$$

$$V_C(t)=V_A(t)+V_B(t)=?\tag{31}$$

Ans:

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/aaxcemuy?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

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### Homework 2021/6/1
> 請將此作業製作成一個 pdf 檔上傳

$$X(t)=\sqrt{3} cos(w t-\frac{1}{3}\pi)$$

$$Y(t)=3 sin(w t+\frac{2}{3}\pi)$$

#### Problem 1 (30 points)
請用積化和差/和差化積計算 $Z(t)=X(t)+Y(t)$。將手寫結果掃瞄或照相。

#### Problem 2 (40 points)
請用 phasor 計算 $Z(t)=X(t)+Y(t)$。將手寫結果掃瞄或照相。

Solutions:


#### Problem 3 (30 points)
使用 [GeoGebra](https://www.geogebra.org/) 繪製 $X(t)$、$Y(t)$、以及 $Z(t)$，將你繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code，放在繳交作業的 pdf 檔裡。

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/qyqwwk8s?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

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## 2. 交流電路中電流與電阻、電感、電容的相位關係

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 4
> 回顧「引言一」：square wave (方波)
> 2.1 電阻的電流與電壓關係

https://youtu.be/quCMmtgoHe4

{%youtube quCMmtgoHe4 %}

### 2.1 電阻
#### 2.1.1 以弦波計算
如圖四所示，交流電流 $I(t)=I_psin(\omega t)$ 流經一電阻 $R$，由歐姆定律知，通過電阻 a、b 兩端的電壓降為 $V_R(t)=I(t)R$，得到：
$$V_R(t)=I_p R sin(\omega t)\tag{32}$$


<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/t4ymsqeq?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

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#### 2.1.2 以 phasor 計算

若用“相子”表示數學式(32)，得到：
$$\vec{V_R}=\vec{I} R\tag{33}$$
> 注意！ $\vec{V_R}$ 和 $\vec{I}$ 是線性關係！

其中
$$\vec{V_R}=I_p R e^{j \omega t}\tag{34}$$
$$\vec{I}=I_p e^{j \omega t}\tag{35}$$
圖五顯示 $\vec{V_R}$ 和 $\vec{I}$ 的相位圖，很明顯地上圖中的電流與電阻是同相位的，也就是沒有**相位差**的意思。


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### 2.2 電感

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> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 5
> 2.2 電感的電流與電壓關係

{%youtube NYgt0UxRXHk %}

#### 2.2.1 以弦波計算

交流電路中電感的效應與電阻不同，如圖六所示，假設一交流電流 $I(t)=I_psin(\omega t)$ 流經一電感 $L$，由電感之特性我們知道通過電感 a b 兩端的電壓降 ($V_L=V_a-V_b$) 為：

$$V_L(t)=L\frac{d I(t)}{dt}=L I_p \omega cos(\omega t)=I_p L\omega sin(\omega t + \frac{\pi}{2})\tag{36}$$

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/pd7yxzz7?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

很明顯地上式中的電流與電感的相位差是 $\frac{\pi}{2}$，而且是電感的相位超前電流 $\frac{\pi}{2}$。在圖七中表示出電流與電感的相位關係。



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#### 2.2.2 以 phasor 計算

將數學式 (36) 的 $V_L(t)$和 $I(t)$ 可用相子表示：
$$\vec{V_L}=I_p \omega L e^{j(\omega t+\frac{\pi}{2})}=I_p \omega L e^{j\omega t}e^{j\frac{\pi}{2}}=(j\omega L)I_p e^{j\omega t}\tag{37}$$

$$\vec{I}=I_p e^{j\omega t}\tag{38}$$

若將 $V_L(t)$ 和 $I(t)$ 以 $V=IR$ 的方式表示如下：

$$\vec{V_L}=\vec{I} X_L= (I_p e^{j\omega t})(j\omega L)\tag{39}$$
> 注意！ $\vec{V_L}$ 和 $\vec{I}$ 是線性關係！

其中

$$X_L=j\omega L\tag{40}$$

數學式 (40) 裡面的 $X_L$ 就類似直流電路中的電阻，我們稱 為電感 (Inductor) 的電抗 (reactance)，或直接稱為感抗 (inductive reactance)，因此單位也是歐姆 (ohm)，習慣上以符號 $X_L$ 表示，而複數 $j=e^{j\frac{\pi}{2}}$ 表示電感所造成之電位較電流領先 $\frac{\pi}{2}$。

值得注意的是 $X_L=j\omega L$ 亦可表示為

$$X_L=j\omega L=\omega L e^{j\frac{\pi}{2}}\tag{41}$$

其中 $\omega L$ 為實數，代表電壓和電流強度的比值，類似直流電中電阻的物理量，而 $e^{j\frac{\pi}{2}}$ 這個 Euler 表示式，便代表電壓會超前電流 $\frac{\pi}{2}$。

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#### 2.2.3 以函數/訊號與系統說明

將上述之說法用 “信號與系統” 的觀念來看，如圖八所示。


* 可將交流電流 $I(t)=I_psin(\omega t)$ 作為做為一個系統的**輸入信號**，而這個**系統**為一個電感，而這個系統的**輸出信號**為**電位差** $V_L(t)$。
* 使用相子來表示 $\vec{I}=I_pe^{j\omega t}$ 以及 $\vec{V_L}=(j\omega L)\vec{I}$，可以發現到 $\vec{V_L}$ 和 $\vec{I}$ 是線性關係！
* 我們要觀察的輸出電壓就是經過一個函式 $F(\omega, x)$ 的 (線性) 轉換，這個函式的結果會因為不同的 $\omega$ 就有不同的輸出大小。
* 也就是說，不同頻率之信號，就有不同的對應電位差大小，且輸入為一個角頻率為 $\omega$ 的弦波，輸出仍是一個角頻率為 $\omega$ 的弦波。
* 且雖然輸出仍是弦波，但輸出之弦波會超前 (advanced) $\frac{\pi}{2}$。
* 不同頻率的輸入信號，就有不同的增益值 $\omega L$
* 當電流的頻率越高的時候 ($\omega \uparrow$)，則增益值越大 ($\omega L \uparrow$)，代表跨越此電感的電位差增加。
* 若以歐姆定律 ($V=IR$) 來說明這個關係，$\omega L$ 便類似電阻的物理量，也就是說對於角頻率為 $\omega$ 的弦波來說，電阻值 (以感抗值稱之較為精確) 是 $\omega L$。
* 頻率越高的時候 ($\omega \uparrow$ )，感抗值越大 ($\omega L \uparrow$)，代表高頻的交流電流較無法通過電感，因此造成電感兩端較大的電位差。
* 反之，頻率越低的時候 ($\omega \downarrow$)，感抗值越小 ($\omega L \downarrow$)，代表低頻的交流電流較容易通過電感。

> (思考：無限大的電位差，其實就是代表電流無法通過此電感的意思，也就是開路 (open circuit)，而電位差較小，可能代表電流可較無阻礙地的通過電感)

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### 2.3 電容

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 6
> 2.3 電容的電流和電壓關係

{%youtube H-UgQWw8E2g %}

#### 2.3.1 以 phasor 計算

圖九交流電路中 $I(t)=I_psin(\omega t)$，而電容兩端電位差 ($V_C=V_a-V_b$) 和電容儲存電荷量的關係為 $Q(t)=CV(t)$，而電流 $I(t)$ 和 $Q(t)$ 的關係為：

$$I(t)=\frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d(CV(t))}{dt}\tag{42}$$


將電流以相子表示 ($\vec{I}=I_p e^{j\omega t}$)，並對數學式(42)的所有項目對時間積分，我們得：

$$\vec{Q}(t)=\int_{}^{}\vec{I}dt=\int_{}^{}I_p e^{j\omega t}dt=\frac{1}{j\omega}I_pe^{j\omega t}+K=C\vec{V_C}\tag{43}$$

其中 $K$ 為一個與初始條件有關的常數，此初始條件又和某個時間點電容所包含的電荷量 ($Q(t)=Im\{\vec{Q(t)}\}$) 有關，為了分析方便，在此我們設定 $K=0$，也就是將 $t=0$ 這個時間點電容所包含的電荷量設為以下數學式(44)的值：

$$Q(0)=Im\{\frac{1}{j\omega}I_pe^{j\omega t}+K\} \Big| t=0, K=0 \\
=Im\{\frac{j}{j^2\omega}I_pe^{j\omega\cdot0}+0\}\\
=Im\{\frac{-j}{\omega}I_p\cdot 1+0\}=\frac{-I_p}{\omega}\tag{44}$$

若把 $K$ 設定為 $0$，重新改寫數學式(43)，我們可得一個很簡潔的結果如下式：

$$\vec{V_C}=\frac{1}{j\omega C}I_pe^{j\omega t}=\frac{1}{j\omega C}\vec{I}=\frac{1}{\omega C}e^{j\frac{-\pi}{2}}\vec{I}=\vec{I} X_C\tag{45}$$
> 注意！ $\vec{V_C}$ 和 $\vec{I}$ 是線性關係！

我們稱數學式(45)中的 $X_C=\frac{1}{j\omega C}$ 為電容 (Capacitor) 的電抗 (Reactance)，或直接稱容抗 (Capacitive Reactance)，習慣上以符號 $X_C$ 表示，而複數 $1/j$ 表示電容所造成之電位較電流延遲 (delay) $\frac{\pi}{2}$ (如圖九所示)。值得注意的是 $X_C=\frac{1}{j\omega C}$ 亦可表示為

$$X_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{\omega C}e^{j\frac{-\pi}{2}}\tag{46}$$

其中 $\frac{1}{\omega C}$ 為實數，代表電壓和電流強度的比值，類似直流電中電阻的物理量，而 $e^{j\frac{-\pi}{2}}$ 這個 Euler 表示式，便代表電壓之相位會比電流延遲 (delay) $\frac{\pi}{2}$。

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/w79j5ned?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>


---

#### 2.3.2 以函數/訊號與系統來說明

* 類似於電感的敘述，若以“信號與系統”的觀念來看，如圖十所示，可將交流電流 $I_p(t)=I_p sin(\omega t)$ 作為做為一個系統的**輸入信號**，而這個**系統**為一個電容，而這個**系統**的**輸出信號**為電位差 $V_C(t)$。
* 我們要觀察的輸出電壓就是經過一個函式 $F(w,x)$ 的轉換，這個函式的結果會因為不同的 $\omega$ 就有不同的輸出大小。
* 使用相子來表示 $\vec{I}=I_pe^{j\omega t}$ 以及 $\vec{V_C}=(\frac{1}{j\omega C})\vec{I}$，可以發現到 $\vec{V_C}$ 和 $\vec{I}$ 是線性關係！
* 也就是說，不同頻率之信號，就有不同的對應電位差大小。
* 且輸入為一個角頻率為 $\omega$ 的弦波，輸出仍是一個角頻率為 $\omega$ 的弦波，且雖然輸出仍是弦波，但輸出之弦波會延遲 (delay) $\frac{\pi}{2}$ 。


* 不同頻率的輸入信號，就有不同的增益值 $\frac{1}{\omega C}$。
* 當電流的頻率越高的時候 ( $\omega \uparrow$)，則增益值越小 ($\frac{1}{\omega C} \downarrow$ )，代表跨越此電容的電位差減少。
* 若以歐姆定律 ($V=IR$) 來說明這個關係，$\frac{1}{\omega C}$ 便類似電阻的物理量。
* 也就是說對於角頻率為 $\omega$ 的弦波來說，電阻值 (以容抗值稱之較為精確) 是 $\frac{1}{\omega C}$。
* 頻率越高的時候 ($\omega \uparrow$)，容抗值越小 ($\frac{1}{\omega C} \downarrow$)，代表高頻的交流電流較容易通過電容，因此造成電感兩端較小的電位差。
* 反之，頻率越低的時候 ($\omega \downarrow$)，容抗值越大 ($\frac{1}{\omega C} \uparrow$)，代表低頻的交流電流較難以通過電容。

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## 3. 阻抗以及其應用
阻抗（electrical impedance）是電路中電阻、電感、電容對交流電的阻礙作用的統稱。阻抗衡量流動於電路的交流電所遇到的阻礙。***阻抗將電阻的概念加以延伸至交流電路領域，不僅描述電壓與電流的相對振幅，也描述其相對相位***。當通過電路的電流是直流電時，電阻與阻抗相等，電阻可以視為相位為零的阻抗。

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 7
> 1. 回顧交流電為什麼用 sin cos 表示
> 2. 回顧流經過電阻、電容、以及電感之電流與電壓之關係
> 3. RC 串聯交流電路簡介

{%youtube e51D-vlVCe4 %}

### 3.1 RC 串聯交流電路
#### 3.1.1 RC串聯阻抗

交流電路中的阻抗，是一個複數，例如圖3.1 顯示一個簡單的 RC 串聯的交流電路，其中阻抗 $Z$ 就等於電阻 $R$ 與容抗 $X_C$ 的和，即 $Z=R+Z_C$，也就是：

$$Z=R+\frac{1}{j\omega C}\tag{3.1}$$

<center> 圖3.1：RC串聯電路 </center>

當交流電流流過 $R$ 和 $C$ 串聯的電路時，總電壓降等於電阻所造成的電壓降和電容所造成的電壓降之和，即：

$$V_a-V_b=V_{RC}=V_R+V_C=IR+\frac{Q}{C}\tag{3.2}$$

若以***相子***表示時：

$$\vec{V_{RC}}=\vec{I}R+\vec{I}\frac{1}{j\omega C}=\vec{I}Z\tag{3.3}$$

則 $Z=R+\frac{1}{j\omega C}$ 被稱之為此電路之阻抗。

#### 3.1.2 於 RC 串聯電路中**電壓**與**電流**的相對**振幅**及相對**相位**

在這裡我們想要了解以下幾個關係：
1. 跨越過RC的電壓 $V_{RC}$
2. 流經過RC的電流 $I$
3. $V_{RC}$ 和 $I$ 的相對振幅及相對相位

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 8

{%youtube qpQneqZN-7w %}

類似於之前分析一個電容或是一個電感的方法，考慮一個角頻率為 $\omega$ 的交流電流 $I(t)=I_psin(\omega t)$ 流過 RC 的串流電路，並將此交流電流以相子表示：$\vec{I}=I_p e^{j \omega t}$，所以 $I(t)=Im\{\vec{I}\}$ ，重寫數學式 (3.3) 可得：

$$\vec{V_{RC}}=\vec{I}Z=I_p e^{j \omega t}(R+\frac{1}{j\omega C})\tag{3.4}$$

雖然 RC 串聯電路的總共阻抗 $Z=R+\frac{1}{j\omega C}$ 就是代表電壓 $V_{RC}$ 和電流 $I$ 之間的比值，但由數學式 (3.4) 並沒有辦法明顯且直接觀察出此關係，因此，我們必須將 $Z=R+\frac{1}{j\omega C}$ 改寫成 Euler’s formula 的型式，也就是 $Z=Ae^{j\phi}$，其中 $A$ 就代表電流和電壓相對的振幅比值，而 $\phi$ 就是電壓和電流的相對相位差，可以用以下方法將 $A$ 和 $\phi$ 求出：

$$Z=R+\frac{1}{j\omega C}=R+\frac{j}{j^2\omega C}=R-\frac{1}{\omega C}j\\=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2} \exp(j\tan^{-1}(-\frac{1}{\omega RC}))=Ae^{j\phi}\tag{3.5}$$

所以我們得到：

$$A=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2}\tag{3.6}$$

$$\phi=\tan^{-1}(-\frac{1}{\omega RC})=-\tan^{-1}(\frac{1}{\omega RC})=-\cot^{-1}(\omega RC)\\=-(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(\omega RC))=\tan^{-1}(\omega RC)-\frac{\pi}{2}\tag{3.7}$$

由數學式 (3.6) 和 (3.7) 可以發現到相對振福 $A$ 和相對相位 $\phi$ 皆是角頻率 $\omega$、電容值 $C$ 和電阻值 $R$ 的函數，代表說不同頻率的交流電流會造成不同的振幅和相位、不同 RC 參數也會有不同的振幅和相位。如果我們重寫數學式 (3.4)，我們可以得：

$$\vec{V_{RC}}=\vec{I}Z=I_p e^{j \omega t}(R+\frac{1}{j\omega C})=I_p e^{j \omega t}Ae^{j\phi}=AI_p e^{j \omega t+\phi}\\=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2}I_p\exp\{j[\omega t+\tan^{-1}(\omega RC)-\frac{\pi}{2}]\}\tag{3.8}$$

最後我們以求取虛部的 operator (Im) 將相子 $\vec{V_{RC}}$ 轉回跨越RC的弦波電壓變化 $V_{RC}(t)$ 得：

$$V_{RC}(t)=Im\{\vec{V_{RC}}\}=Im[AI_pe^{j(\omega t +\phi)}]=AI_p\sin(\omega t+\phi)\\=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2}I_p\sin[\omega t+\tan^{-1}(\omega RC)-\frac{\pi}{2}]\tag{3.9}$$

由數學式 (3.9) 可以知道：
1. $V_{RC}(t)$仍是一個角頻率為 $\omega$ 的正弦波
2. $V_{RC}(t)$ 是將原本的電流 $I(t)=I_p\sin(\omega t)$ 增益 $A=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2}$ 倍
3. $V_{RC}(t)$ 與電流 $I(t)=I_p\sin(\omega t)$ 兩弦波相位差別為 $\phi=\tan^{-1}(\omega RC)-\frac{\pi}{2}$
4. $\phi$ 會是一個負值，代表電壓 $V_{RC}(t)$ 的相位會較電流 $I(t)$ 延遲。

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### 3.2. RC串聯交流電路之應用- RC低通濾波器 (RC Low-Pass Filter)

> 上課影片：「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 9

{%youtube J9PVsDiNuaM %}

https://youtu.be/J9PVsDiNuaM

#### 3.2.1 RC 低通濾波器性質推導
圖3.2 RC 電路實現的一個低通電子濾波器，$V_{in}(t)$ 代表輸入的電壓，$V_{out}(t)$ 代表輸出的電壓，$V_{out}(t)$ 將掛載至一個兩端的負載之上，舉例來說 $V_{in}(t)$ 可以是智慧型手機耳機音源線的電壓輸出，而 $V_{out}(t)$ 可以是一個電腦喇叭的輸入音源線，而此 RC 低通濾波器的功能可以將 $V_{in}(t)$ 裡面較高頻的聲音訊號濾除，讓 $V_{out}(t)$ 輸出的電壓只保留較低頻的聲音訊號，這個簡單的電路可以應用於由音源線接至中低音喇叭的線路之中。


<center>圖3.2：以RC電路實現的一個低通電子濾波器 </center>

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/rzcb2kcf?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

此簡單電路包括與一個負載 (如喇叭) 串聯的電阻以及與負載並聯的一個電容，由電容的電抗 $X_C=\frac{1}{j\omega C}$ 可得知電容會阻止低頻信號(電流)通過，因此低頻的電流較容易流經負載 (喇叭)，讓電容兩端之電壓振幅較大；反之，較高頻的信號讓電抗 $X_C=\frac{1}{j\omega C}$ 減弱，容易造成電容的兩端短路因而電壓振幅較小。以下我們以數學式來進行驗證：

假設 $V_{in}(t)$ 的輸入電壓為一個角頻率為 $\omega$ 的餘弦波 $V_{in}(t)=V_pcos(\omega t)=Re(V_pe^{j\omega t})$，我們想要知道 $V_{out}(t)$ 的值為何？

首先將 $V_{in}(t)$ 以及 $V_{out}(t)$ 使用相子表示，並依據歐姆定律和克希荷夫電壓定律列出關係式，我們可得：

$$\vec{V_{in}}=V_pe^{j\omega t}=\vec{I}R+\vec{V_{out}}=\vec{I}R+\vec{I}\frac{1}{j\omega C}\tag{3.10}$$

$$\vec{V_{out}}=\vec{I}\frac{1}{j\omega C}=\frac{\vec{V_{in}}}{(R+\frac{1}{j\omega C})}\frac{1}{j\omega C}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}\vec{V_{in}}=H(\omega)\vec{V_{in}}\tag{3.11}$$

數學式 (3.11) 已將 $\vec{V_{in}}$ 和 $\vec{V_{out}}$ 的關係使用

$$H(\omega)=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}\tag{3.12}$$

這個函數以相乘的形式建立起來，我們稱 ***$H(\omega)$ 為「轉換函數」 （transfer funtion）***。

但是使用 (3.12) 表示會不大容易進行振幅和相位的分析，所以我們改寫此係數成 Euler’s formula可得：

$$H(\omega)=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}\\=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}e^{j\tan^{-1}(\omega RC)}}\\=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}e^{-j\tan^{-1}(\omega RC)}\tag{3.13}$$

我們可以令：

$$A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}\tag{3.14}$$

以及

$$\phi=-\tan^{-1}(\omega RC)\tag{3.15}$$

然後重寫 (3.11) 可得：

$$\vec{V_{out}}=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}e^{-j\tan^{-1}(\omega RC)}V_pe^{j\omega t}=A(\omega)V_pe^{j[\omega t+\phi(\omega)]}\tag{3.16}$$

因此對數學式(3.16)左右邊都取實部，我們可找到：

$$V_{out}(t)=A(\omega)V_p\cos(\omega t+\phi(\omega))\tag{3.17}$$

由數學式 (3.17) 可觀察出來：
1. $V_{out}(t)$ 的振幅為原本 $V_{in}(t)$ 的 $A(\omega)$ 倍
2. $V_{out}(t)$ 的相位和 $V_{in}(t)$ 的相位差為 $\phi(\omega)$
3. $A(\omega)$ 稱為“轉換函數振幅”(Magnitude of Transfer Function)
4. $\phi(\omega)$ 稱為“轉換函數相位”(Phase of Transfer Function)
5. 當 $\omega=0$ 時，輸入的電壓為一個直流電 $V_{in}=V_p\cos(0\cdot t)=V_p$，則 $A(0)=1$ 造成 $V_{out}(t)=V_p$，代表輸出此RC低通濾波器的輸出可讓原本的 $V_{in}=V_p$ 通過此濾波器，讓 $V_{in}=V_{out}=V_p$
6. 如果我們考慮一個極端例子，也就是說極高的頻率 $\omega\to\infty$，則 $\lim_{\omega \to \infty}A(\omega)=0$，代表高頻率的 $V_{in}(t)$無法通過此低通濾波器展現在 $V_{out}(t)$ 的振幅上。
7. 如果對 $A(\omega)$ 做較一般的討論
* $A(\omega)$ 的最大值發生在 $\omega =0$
* $A(\omega)$ 隨著 $\omega$ 增加而逐漸變小，代表輸入信號 $V_{in}(t)$ 頻率越高，則越不容易在輸出 $V_{out}(t)$ 觀察到相對的振幅大小
* 頻率越低的輸入信號，越容易在輸出觀察到，因此，我們稱此RC電路為一個 “RC低通濾波器”。

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/sahmbp6n?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

#### 3.2.2 RC 低通濾波器之截止頻率 (Cutoff Frequency)

截止頻率的定義為轉換函數的振幅由最大值下降至 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍時的頻率，或輸出平均功率為最大平均功率 $\frac{1}{2}$ 時侯的頻率，也就是可以找到一個 $\omega=\omega_c$ 讓 $A(\omega_c)=\frac{1}{\sqrt{2}}$，由數學式 (3.14) 可以知道 ，若輸入信號為

$$V_{in}=V_p\cos(\omega_c t)\tag{3.18}$$

則輸出信號為
$$V_{out}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}V_p\cos(\omega_c t-\tan^{-1}(1))\tag{3.19}$$

# 土製 RLC 濾波器的實驗模擬

## 實驗目的：
1. 了解電阻的特性
$$R=\frac{\rho L}{A}\tag{1}$$
其中 $\rho$ 代表電阻係數、$A$ 代表截面積、$L$ 為長度。
2. 了解電容的特性
$$C=\frac{\kappa\epsilon_0 A}{d}\tag{2}$$
其中 $\kappa$ 為介電係數(dielectric constant)、$\epsilon_0$ 為真空環境為準的介電常數(permittivity of free space)、$A$ 代表平行電極板的重疊面積、$d$ 代表兩電極板之間的距離。
3. 了解交流電、電阻、電抗、阻抗的意義
4. 理解 RLC 低通濾波器的工作原理
5. 了解怎麼在真正實驗前做「模擬」，「謀定而後動」，「工程施作前都可以精密計算」！

## 實驗材料：
1. 烤肉用鋁箔紙 (可作為平行電極板，亦可作為土製電阻的兩端接點使用)
2. 多張 A4 紙張 (可作為 dielectric 電介質)
3. 口紅膠 (可做為黏著電極板和電介質用、亦可做電介質)
4. 保鮮膜 (可作為 dielectric 電介質)
5. 迴紋針 (作為電容或電阻兩端電極接點使用，所以要是全金屬的)
6. 2B 鉛筆 (可做成電阻使用)
7. 釘書機+訂書針 (可做固定土製電阻兩端的鋁箔紙電極使用)
8. 單芯或多芯電線

## 實驗設備及工具：
1. 函數產生器
2. 示波器
3. 剝線鉗
4. 鴨嘴鉗

---

## 基本題：RC Low-Pass Filter 製作

回答以下 Problems 1-6 (每一題都 15 Points)

請利用以上列出的實驗材料設計出如圖一所示的 RC low-pass filter，以符合以下之規格 (specification/spec)：
1. $lim_{\omega \to 0} V_{out}(t)=5$
2. $lim_{\omega \to \infty} V_{out}(t)=0$
3. 輸入一個 8,000Hz 的弦波 $V_{in}(t)=5\cos(2\pi\cdot 8000t)$，輸出為 $V_{out}(t)=\frac{5}{\sqrt{2}}\cos(2\pi\cdot 8000t-\frac{\pi}{4})$

<center>


</center>

### Problem 1
請設計一組 $R$ 以及 $C$ 的值，符合以上的 spec，建議值 $R\in[1\times 10^4, 2\times 10^4] \Omega$，$C \in [10^{-9}, 10^{-8}] \text{F}$。

Solution:
因為要讓 $f=8000Hz$ 的弦波通過低通濾波器之後的振幅是原本的 $1/\sqrt2$ 倍，所以要讓 $1/\sqrt{1+(2\pi 8000RC)^2}=1/\sqrt{2}$，也就是要讓：

$$RC=\frac{1}{2\pi 8000}\approx 1.989436\times 10^{-5}\tag{1.1}$$

所以可以做以下 $R$ 以及 $C$ 的選擇，只要符合數學式(1.1)就好：
1. $R\approx 1.989436\times 10^{4}\Omega=19.8936K\Omega$ 以及 $C\approx 1.0\times 10^{-9} \text{Farad}=1.0 \text{nF(Nanofarads)}$
2. $R\approx 1.0\times 10^{4}\Omega=10K\Omega$ 以及 $C\approx 1.989436\times 10^{-9} \text{Farad}=1.0 \text{nF(Nanofarads)}$

### Problem 2
使用 Geogebra 繪製 $V_{in}(t)$ 以及 $V_{out}(t)$，將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code，放在繳交作業的 pdf 檔裡。

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/qevjwhbp?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

### Problem 3
若根據 Problem 1 設計的 $R$ 以及 $C$ 參數來製作實體的電阻，電阻使用鉛筆來製作，電容使用鋁箔紙以及紙來製作，請手繪制電阻以及電容的設計圖，說明如何製作？

Solution:
1. 電容：製作電容時，將兩片鋁鉑紙中間放紙張後以迴紋針固定，透過改變紙張大小及厚度來達成目標電容值。
2. 電阻：用 2B 鉛筆筆跡製作電阻，改變筆跡深淺和筆跡寬度以調整電阻值，將單芯線放置於筆跡兩端再用膠帶固定，單芯線的距離越大電阻越大。

### Problem 4
續 Problem 3，根據數學式 (1) 以及 (2) 來設計，則數學式 (1) 裡面的 $L$ 和 $A$ 是多少？數學式 (2) 的 $A$ 和 $d$ 是多少？ 請注意 $\rho$ 可以找“碳或石墨”的導電度/電阻率做為數據，而 $\kappa$ 使用“紙”的 dielectric constant。本題需要計算過程，沒有計算過程不計分。另外，$\rho$ 以及 $\kappa$ 的直在哪裡找到的，要附上參考文獻（網址或書都可以），沒有附上參考文獻，本題不計分。

Solution:
1. 根據網路上找到的論文(https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1144/1/012165/pdf)，鉛筆的電阻率大概是：
$$\rho=99.94 m\Omega\cdot cm$$
也就是
$$\rho=99.94\times 100 m\Omega\cdot m\approx 10\Omega\cdot m$$
一張A4只的厚度大概 $0.104mm=1.04\times 10^{-4}m\approx 10^{-4}m$ (https://zhidao.baidu.com/question/1372229580220774859.html)，我們假設用2B鉛筆塗在一張A4的紙上，圖成黑色的部份是厚度為 $H$，寬度為 $W$，長度為 $L$，金黃色的部分是迴紋針可以導電，也就是電阻的兩端，所以由導電的迴紋針看進去這個電阻，截面積 $A=HW$，長度是 $L$。
電阻值就可以估計為：
$$R=\frac{\rho L}{HW}=19.8936K\Omega=1.98936\times 10^4\Omega$$
把鉛筆畫在紙上可以假設是A4紙厚度的 $\frac{1}{2}$，也就是 $H=5\times 10^{-5}$ 寬度是$1cm=10^{-2}m$，則長度可以是：
$$L=\frac{RHW}{\rho}=\frac{(1.98936\times 10^4)(5\times 10^{-5})(10^{-2})}{10}=9.9468\times 10^{-3}m\approx 1cm$$
2.因為鋁箔紙中間夾的是A4紙，所以我們要到紙的 dielectric constant $\kappa=1.4$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_permittivity)，而A4紙的厚度是 $d=10^{-4}m$，在 $C\approx 1.0\times 10^{-9}F$ 的情況下，兩張鋁箔紙重疊的面積是：
$$A=\frac{Cd}{\kappa \epsilon_0}=\frac{10^{-9}10^{-4}}{1.4\times 8.85418782\times 10^{-12}}=\frac{10^{-13}}{12.395862948\times 10^{-12}}=8.067207617\times 10^{-3}m^2$$
若鋁箔紙是正方形，則邊長為 $\sqrt{A}=0.08981763533 m\approx 9cm$

### Problem 5
請手寫推導出以下問題：
若
$$V_{in}(t)=2.5+2.5\sum_{k=0}^{9}\frac{4}{\pi}\frac{sin(2\pi (2k+1)ft)}{2k+1}\tag{3}$$
且 $$f=2000(Hz)\tag{4}$$
則 $$V_{out}(t)=?$$

Solution:


### Problem 6
使用 Geogebra 繪製 Problem 5 的 $V_{in}(t)$ 以及 $V_{out}(t)$，將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code，放在繳交作業的 pdf 檔裡。

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/wxpw2rpt?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

從上圖可以發現到，輸出的 $V_{out}(t)$ 比較於 $V_{in}(t)$ 沒有快速上下跳動信號，因為那些快速上下跳動的信號就是頻率比較高的成分， $V_{in}(t)$ 的高頻成分 ($k$ 比較大的部分)，振幅會被衰減的比較嚴重。

---

## 進階題：RLC Filter 製作

回答以下 Problems 7-11 (每一題都 15 Points)

### Problem 7
如圖二，請求取圖中的 $A(\omega)$ 以及 $\phi(\omega)$
<center>


</center>

<center> 圖2：電阻 (R)、電容(C)、電感(L)串並聯電路 </center>

Solution:


### Problem 8
續 Problem 7，若 $R=1\Omega$、$L=\frac{1}{2\pi\cdot 8000} \text{Henry}$、以及 $C=\frac{1}{2\pi\cdot 8000} \text{Farad}$，請用 Geogebra 繪製 $A(f)$ 以及 $\phi(f)$，小心！橫軸是用 $f$ 不是用 $\omega$。繪製圖形的時候要調整x/y兩軸的範圍，方便觀察，建議 $f \in [0, 24000]$、$A(f) \in [0, 1]$、以及 $\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code，放在繳交作業的 pdf 檔裡。

Solution for $A(f)$:

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/ynbwvh8y?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

Solution for $\phi(f)$

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/xvbucuww?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>

### Problem 9
續 Problem 8，請找到 $A(f)$ 這個函數的水平漸近線、以及垂直漸近線。

Solution:
$A(f)$ 沒有垂直漸近線，只有水平漸近線 $H(f) = 1$

### Problem 10
續 Problem 8，若圖2中的 $V_x(t)=V_{in}(t)$ (數學式(3)、(4)的定義)，則 $V_y(t)$ 為何？ 請將數學式寫出來。

Solution:

### Problem 11
續 Problem 10，使用 Geogebra 繪製 Problem 10 的 $V_{x}(t)$ 以及 $V_{y}(t)$，將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code，放在繳交作業的 pdf 檔裡。

Solution:

<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/nbrkmkmj?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>