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交流電、電阻、電抗、阻抗

tags: 物理實驗 2021 (U1178)
國立臺北大學通訊工程學系 江振宇 編

revised (2021/5/25)
revised (2021/5/31)
revised (2021/6/01)
revised (2021/6/08)
revised (2021/6/13)
revised (2021/6/22)

引言一

為什麼要以某一個頻率的正弦 (sin)或餘弦(cos)電壓或電流來分析電路呢?當閱讀以下的內容時,別忘了思考此問題!

回顧在數位邏輯實驗中給的 clock 訊號,比如最大振幅是 5V 的方波 (square wave):

x(t)=2.5+2.5k=0K4πsin(2π(2k+1)ft)2k+1Kinf

就是由不同頻率和振幅組合而成的!

引言二

為什麼要學複數 (Complex Number)?在接下來的介紹可以解答這個問題的部分答案!複數在正弦或餘弦交流電路的運算分析中,是一個非常簡單且有利的工具,而在電路中以複數所表示的電壓、電流等物理量,我們通稱之為相子 (phasor),接下來首先介紹如何使用複數表示某個頻率的交流信號。


1. 複數 (complex number) 和相子 (phasor)

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 1
引言一
引言二

  1. 複數 (complex number) 和相子 (phasor)
    1.1. 以直角座標表示的複數
    1.2. 以極座標表示的複數
    1.3. 尤拉表示式 (Euler’s formula)

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1.1. 以直角座標表示的複數

複數 (complex number) 通常我們習慣使用符號

z 表示,而複數在直角座標系統 (Cartesian coordinate system) 的表示法是:
(1)z=x+jy

其中
j
定義為
1
x
稱為實部 (real part)、
y
稱為虛部 (imaginary part),而
x
y
為實數 (real number)。我們可以將複數
z
以圖一表示。

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圖一

通常我們可以用

Re{z} 來表示 complex number
z
的實部,
Re
就是 real 的縮寫,而
Im{z}
來表示 complex number
z
的虛部,
Im
就是 imaginary 的縮寫,所以:

(2)x=Re{z}

(3)y=Im{z}

可以特別注意,在圖一裡面,我們將這個複數使用一個向量 (vector) 來代表它在空間中的位置,也就是說,我們把複數當作是一個向量來描述,這個複數是在複數平面 (complex plane, 或稱 z-plane) 上,這個複數平面為一個 2-dimensional (sub)space,這 complex plane 的 basis vectors 就是實數軸 (real axis) 以及虛數軸 (imaginary axis) 所指的方向向量。

x 就是虛數
z
投影在 real axis 的投影量,
y
就是虛數
z
投影在 imaginary axis 的投影量。real axis 和 imaginary axis 兩個互相正交,就是因為互相正交,才有有趣的特性。


1.2. 以極座標表示的複數

我們亦可以使用極座標方式來表示複數如下:

(4)z=rcosθ+j r sinθ=r(cosθ+j sinθ)
其中
x=rcosθ
y=rsinθ
r=(x2+y2)(1/2)
為半徑 (radius),
θ
為輻角 (angle),若
x
為正實數 (positive real number) 則
z
會在第一和第四象限,則
(5)θ=tan1(y/x)

其中
tan1
是 arctangent,也就是
tan
的反函數 (inverse function),若
x
為負實數 (negative real number),
z
在第二和第三象限,則
(6)θ=tan1(y/x)+π


1.3. 尤拉表示式 (Euler’s formula)

我們亦可用 「尤拉表示式」 (Euler’s formula) 來表示複數,這種表示方法非常方便,並廣泛應用於訊號處裡的領域裡面,Euler’s formula 為:

(7)ejθ=cosθ+jsinθ
因此接下來便可以利用數學式(7)來表示複數數學式(4)的複數
z

(8)z=x+jy=r(cosθ+j sinθ)=rejθ

很重要!! 數學式(8)可以很簡潔地表示一個複數。

複數之間的加減法,要先轉化成直角座標表示後,實部與實部、虛部與虛部相加(減)後即可,比如:

(9)z1=r1ejθ1=r1(cosθ1+j sinθ1)=r1cosθ1+j r1sinθ1=x1+jy1

(10)z2=r2ejθ2=r2(cosθ2+j sinθ2)=r2cosθ2+j r2sinθ2=x2+jy2

(11)z=az1+bz2=a(x1+jy1)+b(x2+jy2)=(ax1+bx2)+j(ay1+by2)
其中
a
以及
b
都是任意實數,所以
z
的實部為
ax1+bx2
z
的虛部為
ay1+by2
。而相乘或相除,則以尤拉表示式運算較方便,例如兩複數相乘:
(12)z1z2=(r1ejθ1)(r2ejθ2)=(r1r2)ejθ1ejθ2=(r1r2)ej(θ1+θ2)

或兩複數相除:
(13)z1/z2=r1ejθ1r2ejθ2=r1r2ejθ1ejθ2=(r1/r2)ej(θ1θ2)


1.4. 相子 (Phasor)

Phasor 是用來描述同一個頻率下

cos
sin
的共同表示方法及工具

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 2
1.4. 相子 (Phasor)

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在定義好以尤拉表示式的複數之後,接下來我們便可利用此表示式來表示一個正弦信號:

(14)S(t)=V0sin(ωt+ϕ)=Im{V0ej(ωt+ϕ)}

其中

(15)V0ej(ωt+ϕ)=V0cos(ωt+ϕ)+jV0sin(ωt+ϕ)

我們也可以用以下數學是來表示ㄧ個餘弦信號:

(16)C(t)=V0cos(ωt+ϕ)=Re{V0ej(ωt+ϕ)}

因為數學式(14)裡面的複數

V0ej(ωt+ϕ)) 就是在 z-plane 這個 space 裡面,
x=Re{V0ej(ωt+ϕ)}
就是在 real axis 上的投影量,
y=Im{V0ej(ωt+ϕ)}
就是在 imaginary axis 上的投影量。

以實際生活上的例子來說,台灣家用電就是振幅為

1102 Volts 或
2202
Volts 的 60 Hz交流電,以數學來表示就是這個信號
S(t)

(17)S(t)=1102sin(2π60t+ϕ)=Im{1102ej(2π60t+ϕ)}

其中

V0 為振幅:
(18)V0=1102

有沒有覺得很奇怪,一般不是說家用電是 110 V 嗎?為什麼振幅是

1102? 請自行去找到答案。

ω為角頻率(angular frequency):
(19)ω=2×π×f

(20)f=60(unit: Hz)

t 是時間,單位為秒 (second),
ϕ
稱為相位 (phase),值域範圍通常考慮
(π,π]
或是
[0,2π)
。正弦(
sin
)以及餘弦(
cos
)如果用 Euler 表示的話,可以是一樣的數學形式,比如說餘弦
C(t)
也可以使用 Euler 的
Im{}
來表示:

(21)C(t)=V0cos(ωt+ϕ)=V0sin(ωt+ϕ+π2)=Im{V0ej(ωt+ϕ+π2)}

可以觀察到數學式(21)的

C(t) 和數學式(14)的
S(t)
可以使用一樣的數學形式
Im{Vejθ}
表示,所以簡單來講,
sin
以及
cos
差別只在相位,可以用一樣的 Euler's formula 來表示之,所以我們可以把這個複數
V0ej(ωt+ϕ)
當作向量
V
來表示,這樣的表示方法就是「相子」(Phasor):

(22)V=V0ej(ωt+ϕ)

我們還是可以利用

Im{} 以及
Re{}
這兩個 operators 來把
S(t)
以及
C(t)
由 phasor 還原回來,也就是:

(23)S(t)=Im{V}

(24)C(t)=Re{V}

如果把

C(t) 要從 phasor 以
Im{}
這個 operator 轉換回來,我們可利用數學式(21)改寫數學式(24)變成:

(25)C(t)=Im{V0ej(ωt+ϕ+π2)}=Im{V0ej(ωt+ϕ)ej(π2)}=Im{Vej(π2)}

使用 phasor 表示的數學式(25)

Vej(π2) 就是原本數學式(23)
V
的相位(phase)偏移(shift)版本,或著說
Im{Vej(π2)}
信號是
Im{V}
信號的延遲(delay)版本,或著說
C(t)
相對於
S(t)
超前了
π2


重點!

所以使用 phasor 可以將

cos 訊號 (
C(t)
) 和
sin
訊號 (
S(t)
) 可以使一樣的表示方法 (如數學式(23)以及(25)),方便表示以及計算。


1.5 相子的應用

同樣頻率的弦波相加減

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 3
1.5. 相子的應用

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1.5.1. Example 1

相位圖使得交流電的運算方便了許多,下面的例子就是一個很好的證明。若有兩個同角頻率的弦波信號:

(26)VA(t)=V0sin(ωt)

(27)VB(t)=V0sin(ωt+2π3)

(28)VC(t)=VA(t)VB(t)=?

注意!1.5.1 以及 1.5.2 的解法交互比對來看,便可以了解 1.5.1 的簡便方法之原理。

1.5.1.1. 高中程度解法(積化和差、和差化積)

1.5.1.2. 學過相子的大學解法(向量!)

1.5.2. Example 2

相位圖使得交流電的運算方便了許多,下面的例子就是一個很好的證明。若有兩個同角頻率的弦波信號:

(29)VA(t)=2sin(ωt+2π3)

(30)VB(t)=sin(ωt2π3)

(31)VC(t)=VA(t)+VB(t)=?

Ans:


Homework 2021/6/1

請將此作業製作成一個 pdf 檔上傳

X(t)=3cos(wt13π)

Y(t)=3sin(wt+23π)

Problem 1 (30 points)

請用積化和差/和差化積計算

Z(t)=X(t)+Y(t)。將手寫結果掃瞄或照相。

Problem 2 (40 points)

請用 phasor 計算

Z(t)=X(t)+Y(t)。將手寫結果掃瞄或照相。

Solutions:

Problem 3 (30 points)

使用 GeoGebra 繪製

X(t)
Y(t)
、以及
Z(t)
,將你繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。


2. 交流電路中電流與電阻、電感、電容的相位關係

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 4
回顧「引言一」:square wave (方波)
2.1 電阻的電流與電壓關係

https://youtu.be/quCMmtgoHe4

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2.1 電阻

2.1.1 以弦波計算

如圖四所示,交流電流

I(t)=Ipsin(ωt) 流經一電阻
R
,由歐姆定律知,通過電阻 a、b 兩端的電壓降為
VR(t)=I(t)R
,得到:
(32)VR(t)=IpRsin(ωt)


2.1.2 以 phasor 計算

若用“相子”表示數學式(32),得到:

(33)VR=IR

注意!

VR
I
是線性關係!

其中

(34)VR=IpRejωt
(35)I=Ipejωt

圖五顯示
VR
I
的相位圖,很明顯地上圖中的電流與電阻是同相位的,也就是沒有相位差的意思。


2.2 電感


上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 5
2.2 電感的電流與電壓關係

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2.2.1 以弦波計算

交流電路中電感的效應與電阻不同,如圖六所示,假設一交流電流

I(t)=Ipsin(ωt) 流經一電感
L
,由電感之特性我們知道通過電感 a b 兩端的電壓降 (
VL=VaVb
) 為:

(36)VL(t)=LdI(t)dt=LIpωcos(ωt)=IpLωsin(ωt+π2)

很明顯地上式中的電流與電感的相位差是

π2,而且是電感的相位超前電流
π2
。在圖七中表示出電流與電感的相位關係。


2.2.2 以 phasor 計算

將數學式 (36) 的

VL(t)
I(t)
可用相子表示:
(37)VL=IpωLej(ωt+π2)=IpωLejωtejπ2=(jωL)Ipejωt

(38)I=Ipejωt

若將

VL(t)
I(t)
V=IR
的方式表示如下:

(39)VL=IXL=(Ipejωt)(jωL)

注意!

VL
I
是線性關係!

其中

(40)XL=jωL

數學式 (40) 裡面的

XL 就類似直流電路中的電阻,我們稱 為電感 (Inductor) 的電抗 (reactance),或直接稱為感抗 (inductive reactance),因此單位也是歐姆 (ohm),習慣上以符號
XL
表示,而複數
j=ejπ2
表示電感所造成之電位較電流領先
π2

值得注意的是

XL=jωL 亦可表示為

(41)XL=jωL=ωLejπ2

其中

ωL 為實數,代表電壓和電流強度的比值,類似直流電中電阻的物理量,而
ejπ2
這個 Euler 表示式,便代表電壓會超前電流
π2


2.2.3 以函數/訊號與系統說明

將上述之說法用 “信號與系統” 的觀念來看,如圖八所示。

  • 可將交流電流
    I(t)=Ipsin(ωt)
    作為做為一個系統的輸入信號,而這個系統為一個電感,而這個系統的輸出信號電位差
    VL(t)
  • 使用相子來表示
    I=Ipejωt
    以及
    VL=(jωL)I
    ,可以發現到
    VL
    I
    是線性關係!
  • 我們要觀察的輸出電壓就是經過一個函式
    F(ω,x)
    的 (線性) 轉換,這個函式的結果會因為不同的
    ω
    就有不同的輸出大小。
  • 也就是說,不同頻率之信號,就有不同的對應電位差大小,且輸入為一個角頻率為
    ω
    的弦波,輸出仍是一個角頻率為
    ω
    的弦波。
  • 且雖然輸出仍是弦波,但輸出之弦波會超前 (advanced)
    π2
  • 不同頻率的輸入信號,就有不同的增益值
    ωL
  • 當電流的頻率越高的時候 (
    ω
    ),則增益值越大 (
    ωL
    ),代表跨越此電感的電位差增加。
  • 若以歐姆定律 (
    V=IR
    ) 來說明這個關係,
    ωL
    便類似電阻的物理量,也就是說對於角頻率為
    ω
    的弦波來說,電阻值 (以感抗值稱之較為精確) 是
    ωL
  • 頻率越高的時候 (
    ω
    ),感抗值越大 (
    ωL
    ),代表高頻的交流電流較無法通過電感,因此造成電感兩端較大的電位差。
  • 反之,頻率越低的時候 (
    ω
    ),感抗值越小 (
    ωL
    ),代表低頻的交流電流較容易通過電感。

(思考:無限大的電位差,其實就是代表電流無法通過此電感的意思,也就是開路 (open circuit),而電位差較小,可能代表電流可較無阻礙地的通過電感)


2.3 電容

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 6
2.3 電容的電流和電壓關係

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2.3.1 以 phasor 計算

圖九交流電路中

I(t)=Ipsin(ωt),而電容兩端電位差 (
VC=VaVb
) 和電容儲存電荷量的關係為
Q(t)=CV(t)
,而電流
I(t)
Q(t)
的關係為:

(42)I(t)=dQ(t)dt=d(CV(t))dt

將電流以相子表示 (

I=Ipejωt),並對數學式(42)的所有項目對時間積分,我們得:

(43)Q(t)=Idt=Ipejωtdt=1jωIpejωt+K=CVC

其中

K 為一個與初始條件有關的常數,此初始條件又和某個時間點電容所包含的電荷量 (
Q(t)=Im{Q(t)}
) 有關,為了分析方便,在此我們設定
K=0
,也就是將
t=0
這個時間點電容所包含的電荷量設為以下數學式(44)的值:

(44)Q(0)=Im{1jωIpejωt+K}|t=0,K=0=Im{jj2ωIpejω0+0}=Im{jωIp1+0}=Ipω

若把

K 設定為
0
,重新改寫數學式(43),我們可得一個很簡潔的結果如下式:

(45)VC=1jωCIpejωt=1jωCI=1ωCejπ2I=IXC

注意!

VC
I
是線性關係!

我們稱數學式(45)中的

XC=1jωC 為電容 (Capacitor) 的電抗 (Reactance),或直接稱容抗 (Capacitive Reactance),習慣上以符號
XC
表示,而複數
1/j
表示電容所造成之電位較電流延遲 (delay)
π2
(如圖九所示)。值得注意的是
XC=1jωC
亦可表示為

(46)XC=1jωC=1ωCejπ2

其中

1ωC 為實數,代表電壓和電流強度的比值,類似直流電中電阻的物理量,而
ejπ2
這個 Euler 表示式,便代表電壓之相位會比電流延遲 (delay)
π2


2.3.2 以函數/訊號與系統來說明

  • 類似於電感的敘述,若以“信號與系統”的觀念來看,如圖十所示,可將交流電流
    Ip(t)=Ipsin(ωt)
    作為做為一個系統的輸入信號,而這個系統為一個電容,而這個系統輸出信號為電位差
    VC(t)
  • 我們要觀察的輸出電壓就是經過一個函式
    F(w,x)
    的轉換,這個函式的結果會因為不同的
    ω
    就有不同的輸出大小。
  • 使用相子來表示
    I=Ipejωt
    以及
    VC=(1jωC)I
    ,可以發現到
    VC
    I
    是線性關係!
  • 也就是說,不同頻率之信號,就有不同的對應電位差大小。
  • 且輸入為一個角頻率為
    ω
    的弦波,輸出仍是一個角頻率為
    ω
    的弦波,且雖然輸出仍是弦波,但輸出之弦波會延遲 (delay)
    π2

  • 不同頻率的輸入信號,就有不同的增益值
    1ωC
  • 當電流的頻率越高的時候 (
    ω
    ),則增益值越小 (
    1ωC
    ),代表跨越此電容的電位差減少。
  • 若以歐姆定律 (
    V=IR
    ) 來說明這個關係,
    1ωC
    便類似電阻的物理量。
  • 也就是說對於角頻率為
    ω
    的弦波來說,電阻值 (以容抗值稱之較為精確) 是
    1ωC
  • 頻率越高的時候 (
    ω
    ),容抗值越小 (
    1ωC
    ),代表高頻的交流電流較容易通過電容,因此造成電感兩端較小的電位差。
  • 反之,頻率越低的時候 (
    ω
    ),容抗值越大 (
    1ωC
    ),代表低頻的交流電流較難以通過電容。

3. 阻抗以及其應用

阻抗(electrical impedance)是電路中電阻、電感、電容對交流電的阻礙作用的統稱。阻抗衡量流動於電路的交流電所遇到的阻礙。阻抗將電阻的概念加以延伸至交流電路領域,不僅描述電壓與電流的相對振幅,也描述其相對相位。當通過電路的電流是直流電時,電阻與阻抗相等,電阻可以視為相位為零的阻抗。

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 7

  1. 回顧交流電為什麼用 sin cos 表示
  2. 回顧流經過電阻、電容、以及電感之電流與電壓之關係
  3. RC 串聯交流電路簡介

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3.1 RC 串聯交流電路

3.1.1 RC串聯阻抗

交流電路中的阻抗,是一個複數,例如圖3.1 顯示一個簡單的 RC 串聯的交流電路,其中阻抗

Z 就等於電阻
R
與容抗
XC
的和,即
Z=R+ZC
,也就是:

(3.1)Z=R+1jωC

圖3.1:RC串聯電路

當交流電流流過

R
C
串聯的電路時,總電壓降等於電阻所造成的電壓降和電容所造成的電壓降之和,即:

(3.2)VaVb=VRC=VR+VC=IR+QC

若以相子表示時:

(3.3)VRC=IR+I1jωC=IZ

Z=R+1jωC 被稱之為此電路之阻抗。

3.1.2 於 RC 串聯電路中電壓電流的相對振幅及相對相位

在這裡我們想要了解以下幾個關係:

  1. 跨越過RC的電壓
    VRC
  2. 流經過RC的電流
    I
  3. VRC
    I
    的相對振幅及相對相位

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 8

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類似於之前分析一個電容或是一個電感的方法,考慮一個角頻率為

ω 的交流電流
I(t)=Ipsin(ωt)
流過 RC 的串流電路,並將此交流電流以相子表示:
I=Ipejωt
,所以
I(t)=Im{I}
,重寫數學式 (3.3) 可得:

(3.4)VRC=IZ=Ipejωt(R+1jωC)

雖然 RC 串聯電路的總共阻抗

Z=R+1jωC 就是代表電壓
VRC
和電流
I
之間的比值,但由數學式 (3.4) 並沒有辦法明顯且直接觀察出此關係,因此,我們必須將
Z=R+1jωC
改寫成 Euler’s formula 的型式,也就是
Z=Aejϕ
,其中
A
就代表電流和電壓相對的振幅比值,而
ϕ
就是電壓和電流的相對相位差,可以用以下方法將
A
ϕ
求出:

(3.5)Z=R+1jωC=R+jj2ωC=R1ωCj=R2+(1ωC)2exp(jtan1(1ωRC))=Aejϕ

所以我們得到:

(3.6)A=R2+(1ωC)2

(3.7)ϕ=tan1(1ωRC)=tan1(1ωRC)=cot1(ωRC)=(π2tan1(ωRC))=tan1(ωRC)π2

由數學式 (3.6) 和 (3.7) 可以發現到相對振福

A 和相對相位
ϕ
皆是角頻率
ω
、電容值
C
和電阻值
R
的函數,代表說不同頻率的交流電流會造成不同的振幅和相位、不同 RC 參數也會有不同的振幅和相位。如果我們重寫數學式 (3.4),我們可以得:

(3.8)VRC=IZ=Ipejωt(R+1jωC)=IpejωtAejϕ=AIpejωt+ϕ=R2+(1ωC)2Ipexp{j[ωt+tan1(ωRC)π2]}

最後我們以求取虛部的 operator (Im) 將相子

VRC 轉回跨越RC的弦波電壓變化
VRC(t)
得:

(3.9)VRC(t)=Im{VRC}=Im[AIpej(ωt+ϕ)]=AIpsin(ωt+ϕ)=R2+(1ωC)2Ipsin[ωt+tan1(ωRC)π2]

由數學式 (3.9) 可以知道:

  1. VRC(t)
    仍是一個角頻率為
    ω
    的正弦波
  2. VRC(t)
    是將原本的電流
    I(t)=Ipsin(ωt)
    增益
    A=R2+(1ωC)2
  3. VRC(t)
    與電流
    I(t)=Ipsin(ωt)
    兩弦波相位差別為
    ϕ=tan1(ωRC)π2
  4. ϕ
    會是一個負值,代表電壓
    VRC(t)
    的相位會較電流
    I(t)
    延遲。

3.2. RC串聯交流電路之應用- RC低通濾波器 (RC Low-Pass Filter)

上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 9

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https://youtu.be/J9PVsDiNuaM

3.2.1 RC 低通濾波器性質推導

圖3.2 RC 電路實現的一個低通電子濾波器,

Vin(t) 代表輸入的電壓,
Vout(t)
代表輸出的電壓,
Vout(t)
將掛載至一個兩端的負載之上,舉例來說
Vin(t)
可以是智慧型手機耳機音源線的電壓輸出,而
Vout(t)
可以是一個電腦喇叭的輸入音源線,而此 RC 低通濾波器的功能可以將
Vin(t)
裡面較高頻的聲音訊號濾除,讓
Vout(t)
輸出的電壓只保留較低頻的聲音訊號,這個簡單的電路可以應用於由音源線接至中低音喇叭的線路之中。

圖3.2:以RC電路實現的一個低通電子濾波器

此簡單電路包括與一個負載 (如喇叭) 串聯的電阻以及與負載並聯的一個電容,由電容的電抗

XC=1jωC 可得知電容會阻止低頻信號(電流)通過,因此低頻的電流較容易流經負載 (喇叭),讓電容兩端之電壓振幅較大;反之,較高頻的信號讓電抗
XC=1jωC
減弱,容易造成電容的兩端短路因而電壓振幅較小。以下我們以數學式來進行驗證:

假設

Vin(t) 的輸入電壓為一個角頻率為
ω
的餘弦波
Vin(t)=Vpcos(ωt)=Re(Vpejωt)
,我們想要知道
Vout(t)
的值為何?

首先將

Vin(t) 以及
Vout(t)
使用相子表示,並依據歐姆定律和克希荷夫電壓定律列出關係式,我們可得:

(3.10)Vin=Vpejωt=IR+Vout=IR+I1jωC

(3.11)Vout=I1jωC=Vin(R+1jωC)1jωC=1jωCR+1jωCVin=H(ω)Vin

數學式 (3.11) 已將

Vin
Vout
的關係使用

(3.12)H(ω)=1jωCR+1jωC

這個函數以相乘的形式建立起來,我們稱

H(ω) 為「轉換函數」 (transfer funtion)

但是使用 (3.12) 表示會不大容易進行振幅和相位的分析,所以我們改寫此係數成 Euler’s formula可得:

(3.13)H(ω)=1jωCR+1jωC=11+jωRC=11+ω2R2C2ejtan1(ωRC)=11+ω2R2C2ejtan1(ωRC)

我們可以令:

(3.14)A(ω)=11+ω2R2C2

以及

(3.15)ϕ=tan1(ωRC)

然後重寫 (3.11) 可得:

(3.16)Vout=11+ω2R2C2ejtan1(ωRC)Vpejωt=A(ω)Vpej[ωt+ϕ(ω)]

因此對數學式(3.16)左右邊都取實部,我們可找到:

(3.17)Vout(t)=A(ω)Vpcos(ωt+ϕ(ω))

由數學式 (3.17) 可觀察出來:

  1. Vout(t)
    的振幅為原本
    Vin(t)
    A(ω)
  2. Vout(t)
    的相位和
    Vin(t)
    的相位差為
    ϕ(ω)
  3. A(ω)
    稱為“轉換函數振幅”(Magnitude of Transfer Function)
  4. ϕ(ω)
    稱為“轉換函數相位”(Phase of Transfer Function)
  5. ω=0
    時,輸入的電壓為一個直流電
    Vin=Vpcos(0t)=Vp
    ,則
    A(0)=1
    造成
    Vout(t)=Vp
    ,代表輸出此RC低通濾波器的輸出可讓原本的
    Vin=Vp
    通過此濾波器,讓
    Vin=Vout=Vp
  6. 如果我們考慮一個極端例子,也就是說極高的頻率
    ω
    ,則
    limωA(ω)=0
    ,代表高頻率的
    Vin(t)
    無法通過此低通濾波器展現在
    Vout(t)
    的振幅上。
  7. 如果對
    A(ω)
    做較一般的討論
    • A(ω)
      的最大值發生在
      ω=0
    • A(ω)
      隨著
      ω
      增加而逐漸變小,代表輸入信號
      Vin(t)
      頻率越高,則越不容易在輸出
      Vout(t)
      觀察到相對的振幅大小
    • 頻率越低的輸入信號,越容易在輸出觀察到,因此,我們稱此RC電路為一個 “RC低通濾波器”。

3.2.2 RC 低通濾波器之截止頻率 (Cutoff Frequency)

截止頻率的定義為轉換函數的振幅由最大值下降至

12 倍時的頻率,或輸出平均功率為最大平均功率
12
時侯的頻率,也就是可以找到一個
ω=ωc
A(ωc)=12
,由數學式 (3.14) 可以知道 ,若輸入信號為

(3.18)Vin=Vpcos(ωct)

則輸出信號為

(3.19)Vout(t)=12Vpcos(ωcttan1(1))

土製 RLC 濾波器的實驗模擬

實驗目的:

  1. 了解電阻的特性
    (1)R=ρLA

    其中
    ρ
    代表電阻係數、
    A
    代表截面積、
    L
    為長度。
  2. 了解電容的特性
    (2)C=κϵ0Ad

    其中
    κ
    為介電係數(dielectric constant)、
    ϵ0
    為真空環境為準的介電常數(permittivity of free space)、
    A
    代表平行電極板的重疊面積、
    d
    代表兩電極板之間的距離。
  3. 了解交流電、電阻、電抗、阻抗的意義
  4. 理解 RLC 低通濾波器的工作原理
  5. 了解怎麼在真正實驗前做「模擬」,「謀定而後動」,「工程施作前都可以精密計算」!

實驗材料:

  1. 烤肉用鋁箔紙 (可作為平行電極板,亦可作為土製電阻的兩端接點使用)
  2. 多張 A4 紙張 (可作為 dielectric 電介質)
  3. 口紅膠 (可做為黏著電極板和電介質用、亦可做電介質)
  4. 保鮮膜 (可作為 dielectric 電介質)
  5. 迴紋針 (作為電容或電阻兩端電極接點使用,所以要是全金屬的)
  6. 2B 鉛筆 (可做成電阻使用)
  7. 釘書機+訂書針 (可做固定土製電阻兩端的鋁箔紙電極使用)
  8. 單芯或多芯電線

實驗設備及工具:

  1. 函數產生器
  2. 示波器
  3. 剝線鉗
  4. 鴨嘴鉗

基本題:RC Low-Pass Filter 製作

回答以下 Problems 1-6 (每一題都 15 Points)

請利用以上列出的實驗材料設計出如圖一所示的 RC low-pass filter,以符合以下之規格 (specification/spec):

  1. limω0Vout(t)=5
  2. limωVout(t)=0
  3. 輸入一個 8,000Hz 的弦波
    Vin(t)=5cos(2π8000t)
    ,輸出為
    Vout(t)=52cos(2π8000tπ4)

Problem 1

請設計一組

R 以及
C
的值,符合以上的 spec,建議值
R[1×104,2×104]Ω
C[109,108]F

Solution:
因為要讓

f=8000Hz 的弦波通過低通濾波器之後的振幅是原本的
1/2
倍,所以要讓
1/1+(2π8000RC)2=1/2
,也就是要讓:

(1.1)RC=12π80001.989436×105

所以可以做以下

R 以及
C
的選擇,只要符合數學式(1.1)就好:

  1. R1.989436×104Ω=19.8936KΩ
    以及
    C1.0×109Farad=1.0nF(Nanofarads)
  2. R1.0×104Ω=10KΩ
    以及
    C1.989436×109Farad=1.0nF(Nanofarads)

Problem 2

使用 Geogebra 繪製

Vin(t) 以及
Vout(t)
,將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。

Problem 3

若根據 Problem 1 設計的

R 以及
C
參數來製作實體的電阻,電阻使用鉛筆來製作,電容使用鋁箔紙以及紙來製作,請手繪制電阻以及電容的設計圖,說明如何製作?

Solution:

  1. 電容:製作電容時,將兩片鋁鉑紙中間放紙張後以迴紋針固定,透過改變紙張大小及厚度來達成目標電容值。
  2. 電阻:用 2B 鉛筆筆跡製作電阻,改變筆跡深淺和筆跡寬度以調整電阻值,將單芯線放置於筆跡兩端再用膠帶固定,單芯線的距離越大電阻越大。

Problem 4

續 Problem 3,根據數學式 (1) 以及 (2) 來設計,則數學式 (1) 裡面的

L
A
是多少?數學式 (2) 的
A
d
是多少? 請注意
ρ
可以找“碳或石墨”的導電度/電阻率做為數據,而
κ
使用“紙”的 dielectric constant。本題需要計算過程,沒有計算過程不計分。另外,
ρ
以及
κ
的直在哪裡找到的,要附上參考文獻(網址或書都可以),沒有附上參考文獻,本題不計分。

Solution:

  1. 根據網路上找到的論文(https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1144/1/012165/pdf),鉛筆的電阻率大概是:
    ρ=99.94mΩcm

    也就是
    ρ=99.94×100mΩm10Ωm

    一張A4只的厚度大概
    0.104mm=1.04×104m104m
    (https://zhidao.baidu.com/question/1372229580220774859.html),我們假設用2B鉛筆塗在一張A4的紙上,圖成黑色的部份是厚度為
    H
    ,寬度為
    W
    ,長度為
    L
    ,金黃色的部分是迴紋針可以導電,也就是電阻的兩端,所以由導電的迴紋針看進去這個電阻,截面積
    A=HW
    ,長度是
    L


    電阻值就可以估計為:
    R=ρLHW=19.8936KΩ=1.98936×104Ω

    把鉛筆畫在紙上可以假設是A4紙厚度的
    12
    ,也就是
    H=5×105
    寬度是
    1cm=102m
    ,則長度可以是:
    L=RHWρ=(1.98936×104)(5×105)(102)10=9.9468×103m1cm

    2.因為鋁箔紙中間夾的是A4紙,所以我們要到紙的 dielectric constant
    κ=1.4
    (https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_permittivity),而A4紙的厚度是
    d=104m
    ,在
    C1.0×109F
    的情況下,兩張鋁箔紙重疊的面積是:
    A=Cdκϵ0=1091041.4×8.85418782×1012=101312.395862948×1012=8.067207617×103m2

    若鋁箔紙是正方形,則邊長為
    A=0.08981763533m9cm

Problem 5

請手寫推導出以下問題:

(3)Vin(t)=2.5+2.5k=094πsin(2π(2k+1)ft)2k+1
(4)f=2000(Hz)

Vout(t)=?

Solution:

Problem 6

使用 Geogebra 繪製 Problem 5 的

Vin(t) 以及
Vout(t)
,將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。

從上圖可以發現到,輸出的

Vout(t) 比較於
Vin(t)
沒有快速上下跳動信號,因為那些快速上下跳動的信號就是頻率比較高的成分,
Vin(t)
的高頻成分 (
k
比較大的部分),振幅會被衰減的比較嚴重。


進階題:RLC Filter 製作

回答以下 Problems 7-11 (每一題都 15 Points)

Problem 7

如圖二,請求取圖中的

A(ω) 以及
ϕ(ω)

圖2:電阻 (R)、電容(C)、電感(L)串並聯電路

Solution:

Problem 8

續 Problem 7,若

R=1Ω
L=12π8000Henry
、以及
C=12π8000Farad
,請用 Geogebra 繪製
A(f)
以及
ϕ(f)
,小心!橫軸是用
f
不是用
ω
。繪製圖形的時候要調整x/y兩軸的範圍,方便觀察,建議
f[0,24000]
A(f)[0,1]
、以及
ϕ[π2,π2]
。將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。

Solution for

A(f):

Solution for

ϕ(f)

Problem 9

續 Problem 8,請找到

A(f) 這個函數的水平漸近線、以及垂直漸近線。

Solution:

A(f) 沒有垂直漸近線,只有水平漸近線
H(f)=1

Problem 10

續 Problem 8,若圖2中的

Vx(t)=Vin(t) (數學式(3)、(4)的定義),則
Vy(t)
為何? 請將數學式寫出來。

Solution:

Problem 11

續 Problem 10,使用 Geogebra 繪製 Problem 10 的

Vx(t) 以及
Vy(t)
,將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。

Solution: