交流電、電阻、電抗、阻抗
國立臺北大學通訊工程學系 江振宇 編
revised (2021/5/25)
revised (2021/5/31)
revised (2021/6/01)
revised (2021/6/08)
revised (2021/6/13)
revised (2021/6/22)
引言一
為什麼要以某一個頻率的正弦 (sin)或餘弦(cos)電壓或電流來分析電路呢?當閱讀以下的內容時,別忘了思考此問題!
回顧在數位邏輯實驗中給的 clock 訊號,比如最大振幅是 5V 的方波 (square wave):
就是由不同頻率和振幅組合而成的!
引言二
為什麼要學複數 (Complex Number)?在接下來的介紹可以解答這個問題的部分答案!複數在正弦或餘弦交流電路的運算分析中,是一個非常簡單且有利的工具,而在電路中以複數所表示的電壓、電流等物理量,我們通稱之為相子 (phasor),接下來首先介紹如何使用複數表示某個頻率的交流信號。
1. 複數 (complex number) 和相子 (phasor)
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 1
引言一
引言二
- 複數 (complex number) 和相子 (phasor)
1.1. 以直角座標表示的複數
1.2. 以極座標表示的複數
1.3. 尤拉表示式 (Euler’s formula)
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1.1. 以直角座標表示的複數
複數 (complex number) 通常我們習慣使用符號 表示,而複數在直角座標系統 (Cartesian coordinate system) 的表示法是:
其中 定義為 , 稱為實部 (real part)、 稱為虛部 (imaginary part),而 和 為實數 (real number)。我們可以將複數 以圖一表示。
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圖一通常我們可以用 來表示 complex number 的實部, 就是 real 的縮寫,而 來表示 complex number 的虛部, 就是 imaginary 的縮寫,所以:
可以特別注意,在圖一裡面,我們將這個複數使用一個向量 (vector) 來代表它在空間中的位置,也就是說,我們把複數當作是一個向量來描述,這個複數是在複數平面 (complex plane, 或稱 z-plane) 上,這個複數平面為一個 2-dimensional (sub)space,這 complex plane 的 basis vectors 就是實數軸 (real axis) 以及虛數軸 (imaginary axis) 所指的方向向量。 就是虛數 投影在 real axis 的投影量, 就是虛數 投影在 imaginary axis 的投影量。real axis 和 imaginary axis 兩個互相正交,就是因為互相正交,才有有趣的特性。
1.2. 以極座標表示的複數
我們亦可以使用極座標方式來表示複數如下:
其中 、、 為半徑 (radius), 為輻角 (angle),若 為正實數 (positive real number) 則 會在第一和第四象限,則
其中 是 arctangent,也就是 的反函數 (inverse function),若 為負實數 (negative real number), 在第二和第三象限,則
我們亦可用 「尤拉表示式」 (Euler’s formula) 來表示複數,這種表示方法非常方便,並廣泛應用於訊號處裡的領域裡面,Euler’s formula 為:
因此接下來便可以利用數學式(7)來表示複數數學式(4)的複數 :
很重要!! 數學式(8)可以很簡潔地表示一個複數。
複數之間的加減法,要先轉化成直角座標表示後,實部與實部、虛部與虛部相加(減)後即可,比如:
其中 以及 都是任意實數,所以 的實部為 , 的虛部為 。而相乘或相除,則以尤拉表示式運算較方便,例如兩複數相乘:
或兩複數相除:
1.4. 相子 (Phasor)
Phasor 是用來描述同一個頻率下和的共同表示方法及工具
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 2
1.4. 相子 (Phasor)
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在定義好以尤拉表示式的複數之後,接下來我們便可利用此表示式來表示一個正弦信號:
其中
我們也可以用以下數學是來表示ㄧ個餘弦信號:
因為數學式(14)裡面的複數 就是在 z-plane 這個 space 裡面, 就是在 real axis 上的投影量, 就是在 imaginary axis 上的投影量。
以實際生活上的例子來說,台灣家用電就是振幅為 Volts 或 Volts 的 60 Hz交流電,以數學來表示就是這個信號 :
其中 為振幅:
有沒有覺得很奇怪,一般不是說家用電是 110 V 嗎?為什麼振幅是 ? 請自行去找到答案。
為角頻率(angular frequency):
是時間,單位為秒 (second), 稱為相位 (phase),值域範圍通常考慮 或是 。正弦()以及餘弦()如果用 Euler 表示的話,可以是一樣的數學形式,比如說餘弦 也可以使用 Euler 的 來表示:
可以觀察到數學式(21)的 和數學式(14)的 可以使用一樣的數學形式 表示,所以簡單來講, 以及 差別只在相位,可以用一樣的 Euler's formula 來表示之,所以我們可以把這個複數 當作向量 來表示,這樣的表示方法就是「相子」(Phasor):
我們還是可以利用 以及 這兩個 operators 來把 以及 由 phasor 還原回來,也就是:
如果把 要從 phasor 以 這個 operator 轉換回來,我們可利用數學式(21)改寫數學式(24)變成:
使用 phasor 表示的數學式(25) 就是原本數學式(23) 的相位(phase)偏移(shift)版本,或著說 信號是 信號的延遲(delay)版本,或著說 相對於 超前了 。
重點!
所以使用 phasor 可以將 訊號 () 和 訊號 () 可以使一樣的表示方法 (如數學式(23)以及(25)),方便表示以及計算。
1.5 相子的應用
同樣頻率的弦波相加減
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 3
1.5. 相子的應用
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1.5.1. Example 1
相位圖使得交流電的運算方便了許多,下面的例子就是一個很好的證明。若有兩個同角頻率的弦波信號:
注意!1.5.1 以及 1.5.2 的解法交互比對來看,便可以了解 1.5.1 的簡便方法之原理。
1.5.1.1. 高中程度解法(積化和差、和差化積)

1.5.1.2. 學過相子的大學解法(向量!)

1.5.2. Example 2
相位圖使得交流電的運算方便了許多,下面的例子就是一個很好的證明。若有兩個同角頻率的弦波信號:
Ans:

Homework 2021/6/1
請將此作業製作成一個 pdf 檔上傳
Problem 1 (30 points)
請用積化和差/和差化積計算 。將手寫結果掃瞄或照相。
Problem 2 (40 points)
請用 phasor 計算 。將手寫結果掃瞄或照相。
Solutions:

Problem 3 (30 points)
使用 GeoGebra 繪製 、、以及 ,將你繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。
2. 交流電路中電流與電阻、電感、電容的相位關係
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 4
回顧「引言一」:square wave (方波)
2.1 電阻的電流與電壓關係
https://youtu.be/quCMmtgoHe4
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2.1 電阻
2.1.1 以弦波計算
如圖四所示,交流電流 流經一電阻 ,由歐姆定律知,通過電阻 a、b 兩端的電壓降為 ,得到:

2.1.2 以 phasor 計算
若用“相子”表示數學式(32),得到:
注意! 和 是線性關係!
其中
圖五顯示 和 的相位圖,很明顯地上圖中的電流與電阻是同相位的,也就是沒有相位差的意思。

2.2 電感
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 5
2.2 電感的電流與電壓關係
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2.2.1 以弦波計算
交流電路中電感的效應與電阻不同,如圖六所示,假設一交流電流 流經一電感 ,由電感之特性我們知道通過電感 a b 兩端的電壓降 () 為:
很明顯地上式中的電流與電感的相位差是 ,而且是電感的相位超前電流 。在圖七中表示出電流與電感的相位關係。


2.2.2 以 phasor 計算
將數學式 (36) 的 和 可用相子表示:
若將 和 以 的方式表示如下:
注意! 和 是線性關係!
其中
數學式 (40) 裡面的 就類似直流電路中的電阻,我們稱 為電感 (Inductor) 的電抗 (reactance),或直接稱為感抗 (inductive reactance),因此單位也是歐姆 (ohm),習慣上以符號 表示,而複數 表示電感所造成之電位較電流領先 。
值得注意的是 亦可表示為
其中 為實數,代表電壓和電流強度的比值,類似直流電中電阻的物理量,而 這個 Euler 表示式,便代表電壓會超前電流 。
2.2.3 以函數/訊號與系統說明
將上述之說法用 “信號與系統” 的觀念來看,如圖八所示。

- 可將交流電流 作為做為一個系統的輸入信號,而這個系統為一個電感,而這個系統的輸出信號為電位差 。
- 使用相子來表示 以及 ,可以發現到 和 是線性關係!
- 我們要觀察的輸出電壓就是經過一個函式 的 (線性) 轉換,這個函式的結果會因為不同的 就有不同的輸出大小。
- 也就是說,不同頻率之信號,就有不同的對應電位差大小,且輸入為一個角頻率為 的弦波,輸出仍是一個角頻率為 的弦波。
- 且雖然輸出仍是弦波,但輸出之弦波會超前 (advanced) 。
- 不同頻率的輸入信號,就有不同的增益值
- 當電流的頻率越高的時候 (),則增益值越大 (),代表跨越此電感的電位差增加。
- 若以歐姆定律 () 來說明這個關係, 便類似電阻的物理量,也就是說對於角頻率為 的弦波來說,電阻值 (以感抗值稱之較為精確) 是 。
- 頻率越高的時候 ( ),感抗值越大 (),代表高頻的交流電流較無法通過電感,因此造成電感兩端較大的電位差。
- 反之,頻率越低的時候 (),感抗值越小 (),代表低頻的交流電流較容易通過電感。
(思考:無限大的電位差,其實就是代表電流無法通過此電感的意思,也就是開路 (open circuit),而電位差較小,可能代表電流可較無阻礙地的通過電感)
2.3 電容
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 6
2.3 電容的電流和電壓關係
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2.3.1 以 phasor 計算
圖九交流電路中 ,而電容兩端電位差 () 和電容儲存電荷量的關係為 ,而電流 和 的關係為:

將電流以相子表示 (),並對數學式(42)的所有項目對時間積分,我們得:
其中 為一個與初始條件有關的常數,此初始條件又和某個時間點電容所包含的電荷量 () 有關,為了分析方便,在此我們設定 ,也就是將 這個時間點電容所包含的電荷量設為以下數學式(44)的值:
若把 設定為 ,重新改寫數學式(43),我們可得一個很簡潔的結果如下式:
注意! 和 是線性關係!
我們稱數學式(45)中的 為電容 (Capacitor) 的電抗 (Reactance),或直接稱容抗 (Capacitive Reactance),習慣上以符號 表示,而複數 表示電容所造成之電位較電流延遲 (delay) (如圖九所示)。值得注意的是 亦可表示為
其中 為實數,代表電壓和電流強度的比值,類似直流電中電阻的物理量,而 這個 Euler 表示式,便代表電壓之相位會比電流延遲 (delay) 。

2.3.2 以函數/訊號與系統來說明
- 類似於電感的敘述,若以“信號與系統”的觀念來看,如圖十所示,可將交流電流 作為做為一個系統的輸入信號,而這個系統為一個電容,而這個系統的輸出信號為電位差 。
- 我們要觀察的輸出電壓就是經過一個函式 的轉換,這個函式的結果會因為不同的 就有不同的輸出大小。
- 使用相子來表示 以及 ,可以發現到 和 是線性關係!
- 也就是說,不同頻率之信號,就有不同的對應電位差大小。
- 且輸入為一個角頻率為 的弦波,輸出仍是一個角頻率為 的弦波,且雖然輸出仍是弦波,但輸出之弦波會延遲 (delay) 。

- 不同頻率的輸入信號,就有不同的增益值 。
- 當電流的頻率越高的時候 ( ),則增益值越小 ( ),代表跨越此電容的電位差減少。
- 若以歐姆定律 () 來說明這個關係, 便類似電阻的物理量。
- 也就是說對於角頻率為 的弦波來說,電阻值 (以容抗值稱之較為精確) 是 。
- 頻率越高的時候 (),容抗值越小 (),代表高頻的交流電流較容易通過電容,因此造成電感兩端較小的電位差。
- 反之,頻率越低的時候 (),容抗值越大 (),代表低頻的交流電流較難以通過電容。
3. 阻抗以及其應用
阻抗(electrical impedance)是電路中電阻、電感、電容對交流電的阻礙作用的統稱。阻抗衡量流動於電路的交流電所遇到的阻礙。阻抗將電阻的概念加以延伸至交流電路領域,不僅描述電壓與電流的相對振幅,也描述其相對相位。當通過電路的電流是直流電時,電阻與阻抗相等,電阻可以視為相位為零的阻抗。
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 7
- 回顧交流電為什麼用 sin cos 表示
- 回顧流經過電阻、電容、以及電感之電流與電壓之關係
- RC 串聯交流電路簡介
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3.1 RC 串聯交流電路
3.1.1 RC串聯阻抗
交流電路中的阻抗,是一個複數,例如圖3.1 顯示一個簡單的 RC 串聯的交流電路,其中阻抗 就等於電阻 與容抗 的和,即 ,也就是:

圖3.1:RC串聯電路 當交流電流流過 和 串聯的電路時,總電壓降等於電阻所造成的電壓降和電容所造成的電壓降之和,即:
若以相子表示時:
則 被稱之為此電路之阻抗。
3.1.2 於 RC 串聯電路中電壓與電流的相對振幅及相對相位
在這裡我們想要了解以下幾個關係:
- 跨越過RC的電壓
- 流經過RC的電流
- 和 的相對振幅及相對相位
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 8
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類似於之前分析一個電容或是一個電感的方法,考慮一個角頻率為 的交流電流 流過 RC 的串流電路,並將此交流電流以相子表示:,所以 ,重寫數學式 (3.3) 可得:
雖然 RC 串聯電路的總共阻抗 就是代表電壓 和電流 之間的比值,但由數學式 (3.4) 並沒有辦法明顯且直接觀察出此關係,因此,我們必須將 改寫成 Euler’s formula 的型式,也就是 ,其中 就代表電流和電壓相對的振幅比值,而 就是電壓和電流的相對相位差,可以用以下方法將 和 求出:
所以我們得到:
由數學式 (3.6) 和 (3.7) 可以發現到相對振福 和相對相位 皆是角頻率 、電容值 和電阻值 的函數,代表說不同頻率的交流電流會造成不同的振幅和相位、不同 RC 參數也會有不同的振幅和相位。如果我們重寫數學式 (3.4),我們可以得:
最後我們以求取虛部的 operator (Im) 將相子 轉回跨越RC的弦波電壓變化 得:
由數學式 (3.9) 可以知道:
- 仍是一個角頻率為 的正弦波
- 是將原本的電流 增益 倍
- 與電流 兩弦波相位差別為
- 會是一個負值,代表電壓 的相位會較電流 延遲。
3.2. RC串聯交流電路之應用- RC低通濾波器 (RC Low-Pass Filter)
上課影片:「交流電、電阻、電抗、阻抗 」系列 - 9
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https://youtu.be/J9PVsDiNuaM
3.2.1 RC 低通濾波器性質推導
圖3.2 RC 電路實現的一個低通電子濾波器, 代表輸入的電壓, 代表輸出的電壓, 將掛載至一個兩端的負載之上,舉例來說 可以是智慧型手機耳機音源線的電壓輸出,而 可以是一個電腦喇叭的輸入音源線,而此 RC 低通濾波器的功能可以將 裡面較高頻的聲音訊號濾除,讓 輸出的電壓只保留較低頻的聲音訊號,這個簡單的電路可以應用於由音源線接至中低音喇叭的線路之中。

圖3.2:以RC電路實現的一個低通電子濾波器 此簡單電路包括與一個負載 (如喇叭) 串聯的電阻以及與負載並聯的一個電容,由電容的電抗 可得知電容會阻止低頻信號(電流)通過,因此低頻的電流較容易流經負載 (喇叭),讓電容兩端之電壓振幅較大;反之,較高頻的信號讓電抗 減弱,容易造成電容的兩端短路因而電壓振幅較小。以下我們以數學式來進行驗證:
假設 的輸入電壓為一個角頻率為 的餘弦波 ,我們想要知道 的值為何?
首先將 以及 使用相子表示,並依據歐姆定律和克希荷夫電壓定律列出關係式,我們可得:
數學式 (3.11) 已將 和 的關係使用
這個函數以相乘的形式建立起來,我們稱 為「轉換函數」 (transfer funtion)。
但是使用 (3.12) 表示會不大容易進行振幅和相位的分析,所以我們改寫此係數成 Euler’s formula可得:
我們可以令:
以及
然後重寫 (3.11) 可得:
因此對數學式(3.16)左右邊都取實部,我們可找到:
由數學式 (3.17) 可觀察出來:
- 的振幅為原本 的 倍
- 的相位和 的相位差為
- 稱為“轉換函數振幅”(Magnitude of Transfer Function)
- 稱為“轉換函數相位”(Phase of Transfer Function)
- 當 時,輸入的電壓為一個直流電 ,則 造成 ,代表輸出此RC低通濾波器的輸出可讓原本的 通過此濾波器,讓
- 如果我們考慮一個極端例子,也就是說極高的頻率 ,則 ,代表高頻率的 無法通過此低通濾波器展現在 的振幅上。
- 如果對 做較一般的討論
- 的最大值發生在
- 隨著 增加而逐漸變小,代表輸入信號 頻率越高,則越不容易在輸出 觀察到相對的振幅大小
- 頻率越低的輸入信號,越容易在輸出觀察到,因此,我們稱此RC電路為一個 “RC低通濾波器”。
3.2.2 RC 低通濾波器之截止頻率 (Cutoff Frequency)
截止頻率的定義為轉換函數的振幅由最大值下降至 倍時的頻率,或輸出平均功率為最大平均功率 時侯的頻率,也就是可以找到一個 讓 ,由數學式 (3.14) 可以知道 ,若輸入信號為
則輸出信號為
土製 RLC 濾波器的實驗模擬
實驗目的:
- 了解電阻的特性
其中 代表電阻係數、 代表截面積、 為長度。
- 了解電容的特性
其中 為介電係數(dielectric constant)、 為真空環境為準的介電常數(permittivity of free space)、 代表平行電極板的重疊面積、 代表兩電極板之間的距離。
- 了解交流電、電阻、電抗、阻抗的意義
- 理解 RLC 低通濾波器的工作原理
- 了解怎麼在真正實驗前做「模擬」,「謀定而後動」,「工程施作前都可以精密計算」!
實驗材料:
- 烤肉用鋁箔紙 (可作為平行電極板,亦可作為土製電阻的兩端接點使用)
- 多張 A4 紙張 (可作為 dielectric 電介質)
- 口紅膠 (可做為黏著電極板和電介質用、亦可做電介質)
- 保鮮膜 (可作為 dielectric 電介質)
- 迴紋針 (作為電容或電阻兩端電極接點使用,所以要是全金屬的)
- 2B 鉛筆 (可做成電阻使用)
- 釘書機+訂書針 (可做固定土製電阻兩端的鋁箔紙電極使用)
- 單芯或多芯電線
實驗設備及工具:
- 函數產生器
- 示波器
- 剝線鉗
- 鴨嘴鉗
基本題:RC Low-Pass Filter 製作
回答以下 Problems 1-6 (每一題都 15 Points)
請利用以上列出的實驗材料設計出如圖一所示的 RC low-pass filter,以符合以下之規格 (specification/spec):
- 輸入一個 8,000Hz 的弦波 ,輸出為

Problem 1
請設計一組 以及 的值,符合以上的 spec,建議值 ,。
Solution:
因為要讓 的弦波通過低通濾波器之後的振幅是原本的 倍,所以要讓 ,也就是要讓:
所以可以做以下 以及 的選擇,只要符合數學式(1.1)就好:
- 以及
- 以及
Problem 2
使用 Geogebra 繪製 以及 ,將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。
Problem 3
若根據 Problem 1 設計的 以及 參數來製作實體的電阻,電阻使用鉛筆來製作,電容使用鋁箔紙以及紙來製作,請手繪制電阻以及電容的設計圖,說明如何製作?
Solution:
- 電容:製作電容時,將兩片鋁鉑紙中間放紙張後以迴紋針固定,透過改變紙張大小及厚度來達成目標電容值。

- 電阻:用 2B 鉛筆筆跡製作電阻,改變筆跡深淺和筆跡寬度以調整電阻值,將單芯線放置於筆跡兩端再用膠帶固定,單芯線的距離越大電阻越大。

Problem 4
續 Problem 3,根據數學式 (1) 以及 (2) 來設計,則數學式 (1) 裡面的 和 是多少?數學式 (2) 的 和 是多少? 請注意 可以找“碳或石墨”的導電度/電阻率做為數據,而 使用“紙”的 dielectric constant。本題需要計算過程,沒有計算過程不計分。另外, 以及 的直在哪裡找到的,要附上參考文獻(網址或書都可以),沒有附上參考文獻,本題不計分。
Solution:
- 根據網路上找到的論文(https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1144/1/012165/pdf),鉛筆的電阻率大概是:
也就是
一張A4只的厚度大概 (https://zhidao.baidu.com/question/1372229580220774859.html),我們假設用2B鉛筆塗在一張A4的紙上,圖成黑色的部份是厚度為 ,寬度為 ,長度為 ,金黃色的部分是迴紋針可以導電,也就是電阻的兩端,所以由導電的迴紋針看進去這個電阻,截面積 ,長度是 。

電阻值就可以估計為:
把鉛筆畫在紙上可以假設是A4紙厚度的 ,也就是 寬度是,則長度可以是:
2.因為鋁箔紙中間夾的是A4紙,所以我們要到紙的 dielectric constant (https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_permittivity),而A4紙的厚度是 ,在 的情況下,兩張鋁箔紙重疊的面積是:
若鋁箔紙是正方形,則邊長為
Problem 5
請手寫推導出以下問題:
若
且
則
Solution:


Problem 6
使用 Geogebra 繪製 Problem 5 的 以及 ,將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。
從上圖可以發現到,輸出的 比較於 沒有快速上下跳動信號,因為那些快速上下跳動的信號就是頻率比較高的成分, 的高頻成分 ( 比較大的部分),振幅會被衰減的比較嚴重。
進階題:RLC Filter 製作
回答以下 Problems 7-11 (每一題都 15 Points)
Problem 7
如圖二,請求取圖中的 以及

圖2:電阻 (R)、電容(C)、電感(L)串並聯電路 Solution:

Problem 8
續 Problem 7,若 、、以及 ,請用 Geogebra 繪製 以及 ,小心!橫軸是用 不是用 。繪製圖形的時候要調整x/y兩軸的範圍,方便觀察,建議 、、以及 。將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。
Solution for :
Solution for
Problem 9
續 Problem 8,請找到 這個函數的水平漸近線、以及垂直漸近線。
Solution:
沒有垂直漸近線,只有水平漸近線
Problem 10
續 Problem 8,若圖2中的 (數學式(3)、(4)的定義),則 為何? 請將數學式寫出來。
Solution:

Problem 11
續 Problem 10,使用 Geogebra 繪製 Problem 10 的 以及 ,將繪製好的 GeoGebra 圖形連結製作成 QR Code,放在繳交作業的 pdf 檔裡。
Solution: