名古屋大学情報学部編入試験 数学 2023

2022年度実施、1 時間

問題1

1. 次の積分値を求めよ。

   $${\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx$$
   解:
   $${\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi }{4}$$

2. $x^4(x-1{)}^4+4=(x^2+1)p(x)$ となるような多項式
   $p(x)$ を求めよ。

   解1:

   $$\begin{array}{rl}{x}^4(x-1{)}^4+4& =x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4+4\\ & =(x^2+1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)\end{array}$$ より、
   $p(x)=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4$

   解2(どうしても多項式除算したくない場合):

   $$\begin{array}{rl}{x}^4(x-1{)}^4+4& =x^4\{(x^2+1)-2x{\}}^2+4\\ & =x^4(x^2+1)\{(x^2+1)-4x\}+4x^6+4\\ & =x^4(x^2+1)(x^2-4x+1)+4(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\ & =(x^2+1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)\end{array}$$ より、
   $p(x)=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4$

3. $${\int }_0^1\frac{x^4(x-1{)}^4}{x^2+1}dx>0$$ であることを利用して、
   $\pi <3.143$ であることを示せ。

   解:

   $$\frac{x^4(x-1{)}^4}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)p(x)-4}{x^2+1}=p(x)-\frac{4}{x^2+1}$$ より
   $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{x^4(x-1{)}^4}{x^2+1}dx& ={\int }_0^1\{p(x)-\frac{4}{x^2+1}\}dx\\ & =\frac{1}{7}-\frac{4}{6}+\frac{5}{5}-\frac{4}{3}+4-4\cdot \frac{\pi }{4}\\ & =\frac{22}{7}-\pi >0\end{array}$$ より
   $$\pi <\frac{22}{7}=3.1428\cdots <3.143$$

問題2

$3\times 3$ 行列

$A=\left(\begin{array}{ccc}-3& -3& -6\\ 2& 2& a+3\\ -a+1& 2& 5\end{array}\right)$ を考える。

1. $A$ が正則でないとき、
   $a$ として可能な値をすべて求めよ。

   解:

   $$\begin{array}{rl}|A|& =\left|\begin{array}{ccc}-3& -3& -6\\ 2& 2& a+3\\ -a+1& 2& 5\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& -3& 0\\ 0& 2& a-1\\ -a-1& 2& 1\end{array}\right|\text{(列基本変形)}\\ & =-3(a-1)(-a-1)=0\end{array}$$ より、
   $a=1,-1$

2. 1. でさらに
      $A$ が
      $1$ を固有値にもつとき、
      $a$ の値を求めよ。

   解:

   $3$ 次の単位行列を
   $E$ とすると
   $$\begin{array}{rl}|A-E|& =\left|\begin{array}{ccc}-4& -3& -6\\ 2& 1& a+3\\ -a+1& 2& 4\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& -3& 0\\ \frac{2}{3}& 1& a+1\\ -a-\frac{5}{3}& 2& 0\end{array}\right|\text{(列基本変形)}\\ & =-3(a+1)(-a-\frac{5}{3})=0\end{array}$$ と 1. より、
   $a=-1$

3. 2. のとき、
      $A$ の固有値をすべて求め、
      $A$ の各固有値に属する固有ベクトルをすべて求めよ。

   解: 固有値を

   $\lambda$ とすると
   $$\begin{array}{rl}|A-\lambda E|& =\left|\begin{array}{ccc}-3-\lambda & -3& -6\\ 2& 2-\lambda & 2\\ 2& 2& 5-\lambda \end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}-3-\lambda & -3& -6\\ -1-\lambda & -1-\lambda & -4\\ 2& 2& 5-\lambda \end{array}\right|\text{(行基本変形)}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & -3& -6\\ 0& -1-\lambda & -4\\ 0& 2& 5-\lambda \end{array}\right|\text{(列基本変形)}\\ & =-\lambda \{(-1-\lambda )(5-\lambda )+8\}\\ & =-\lambda (3-4\lambda +{\lambda }^2)\\ & =-\lambda (1-\lambda )(3-\lambda )\end{array}$$ より、
   $\lambda =0,1,3$ である。それぞれ対応する固有ベクトルを
   $x_1,x_2,x_3$ とすると
   $$\begin{array}{rl}A{x}_1& =\left(\begin{array}{ccc}-3& -3& -6\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 5\end{array}\right)x_1=0\\ (A-E)x_2& =\left(\begin{array}{ccc}-4& -3& -6\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right)x_2=0\\ (A-3E)x_3& =\left(\begin{array}{ccc}-6& -3& -6\\ 2& -1& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)x_3=0\end{array}$$ より、
   $c_1,c_2,c_3$ をそれぞれ
   $0$ でない任意の実数として
   $$x_1=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),x_2=c_2\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right),x_3=c_3\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$ である。

問題3

（著作権が存在しないとも言い切れない気がしたため、ストーリーを改変）

正十二面体

$D$ があり、そのある面を

$A$ とし、反対側の面を

$B$ とする。時刻を非負整数で表すものとする。時刻

$0$ において、コマが

$A$ に隣接する面に置かれている。時刻が

$1$ 増えるごとに、コマのある面に隣接する面のうち、

$A$ を除くいずれかを等確率で選んで、その面にコマを移動させる。時刻

$n$ において、コマが

$B$ にある確率を

$p_n$ とする。

1. $p_2,p_3$ を求めよ。

   解:

   $A$ に隣接する面を高さ
   $1$、
   $B$ に隣接する面を高さ
   $2$、
   $B$ を高さ
   $3$ とする。
   
   $p_2$ は、高さ
   $1\to 2\to 3$ と移動する確率であるから
   $$p_2=\frac{2}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{10}$$
   $p_3$ は、高さ
   $1\to 2\to 3\to 3$ または
   $1\to 2\to 2\to 3$ または
   $1\to 1\to 2\to 3$ と移動する確率であるから
   $$p_3=\frac{2}{4}\times \frac{1}{5}\times 1+\frac{2}{4}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{4}\times \frac{2}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{19}{100}$$

2. 時刻

   $n$
   $(n=0,1,2,3,\dots )$ にコマが
   $A$ に隣接するいずれかの面にある確率を
   $r_n$、
   $B$ に隣接するいずれかの面にある確率を
   $q_n$ でそれぞれ表すとき、
   $p_{n+1},q_{n+1},r_{n+1}$ をそれぞれ
   $p_n,q_n,r_n$ を用いて表せ。

   解: 時刻

   $n$ に高さ
   $3,2,1$ の面の中心にいる確率がそれぞれ
   $p_n,q_n,r_n$ である。
   $$\begin{array}{ccccccc}{p}_{n+1}& =& p_n& +& {\displaystyle \frac{1}{5}}{q}_n& & \\ q_{n+1}& =& & & {\displaystyle \frac{2}{5}}{q}_n& +& {\displaystyle \frac{2}{4}}{r}_n\\ r_{n+1}& =& & & {\displaystyle \frac{2}{5}}{q}_n& +& {\displaystyle \frac{2}{4}}{r}_n\end{array}$$

3. $p_n$
   $(n=0,1,2,3,\dots )$ を求めよ。

   解1:

   $q_1=r_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であることと、漸化式から、
   $n\ge 1$ のとき
   $q_n=r_n$ である。ゆえ、
   $n\ge 1$ のとき
   $q_{n+1}={\displaystyle \frac{9}{10}}{q}_n$ であって、
   $$q_n={\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}{q}_1=\frac{1}{2}{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}$$ となる。また、
   $p_1=0$ と、漸化式から、
   $n\ge 1$ のとき
   $$\begin{array}{rl}{p}_n& =\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{5}{q}_k=\frac{1}{10}\sum _{k=1}^{n-1}{\left(\frac{9}{10}\right)}^{k-1}\\ & =\frac{1}{10}\frac{1-{\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^{n-1}}{1-{\displaystyle \frac{9}{10}}}=1-{\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^{n-1}\end{array}$$ である。すなわち
   $$p_n=\{\begin{array}{ll}0& (n=0)\\ 1-{\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^{n-1}& (n>0)\end{array}$$ である。

   解2(普通はこっちかも):

   $$P=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}10& 2& 0\\ 0& 4& 5\\ 0& 4& 5\end{array}\right)$$ とおくと
   $$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\\ r_{n+1}\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\\ r_n\end{array}\right)$$ であるから
   $$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\\ r_n\end{array}\right)=P^n\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\\ r_0\end{array}\right)=P^n\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$ が成り立つ。
   ここで、
   $P$ の固有値を
   ${\displaystyle \frac{\lambda }{10}}$ とすると
   $|P-{\displaystyle \frac{\lambda }{10}}E|=0$ より
   $$\begin{array}{rl}|10P-\lambda E|& =\left|\begin{array}{ccc}10-\lambda & 2& 0\\ 0& 4-\lambda & 5\\ 0& 4& 5-\lambda \end{array}\right|\\ & =(10-\lambda )\{(4-\lambda )(5-\lambda )-20\}\\ & =\lambda (10-\lambda )(-9+\lambda )=0\end{array}$$ すなわち
   ${\displaystyle \frac{\lambda }{10}}=0,{\displaystyle \frac{9}{10}},1$ である。対応する固有ベクトルをひとつずつとって
   $x_1,x_2,x_3$ とすると
   $$\begin{array}{rl}10P{x}_1& =\left(\begin{array}{ccc}10& 2& 0\\ 0& 4& 5\\ 0& 4& 5\end{array}\right)x_1=0\\ (10P-9E)x_2& =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -5& 5\\ 0& 4& -4\end{array}\right)x_2=0\\ (10P-10E)x_3& =\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 0& -6& 5\\ 0& 4& -5\end{array}\right)x_3=0\end{array}$$ より
   $$x_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 4\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right),x_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$ とできる。ここで
   $$M=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -5& 1& 0\\ 4& 1& 0\end{array}\right)$$ とおくと
   $$M^{-1}PM=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{9}{10}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$ である。
   $$y=M^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$ とおくと
   $$My=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -5& 1& 0\\ 4& 1& 0\end{array}\right)y=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$ であるから、これを解いて
   $$y=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 9\end{array}\right)$$ を得る。ゆえに、
   $0^0=1$ の仮定のもと
   $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\\ r_n\end{array}\right)& =M(M^{-1}PM{)}^n{M}^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{9}M\left(\begin{array}{ccc}{0}^n& 0& 0\\ 0& {\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^n& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 9\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -5& 1& 0\\ 4& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{0}^n\\ 5{\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^n\\ 9\end{array}\right)\end{array}$$ すなわち
   $$\begin{array}{rl}{p}_n& =\frac{0^n}{9}+1-{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}\\ & =\{\begin{array}{ll}0& (n=0)\\ 1-{\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^{n-1}& (n>0)\end{array}\end{array}$$ である。