機率與統計 - Ch3 : Random Variables and Probability Distributions

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前言 ： 本章要搞懂的

1. 隨機變數的定義 ： mapping函數的概念。
2. 離散、連續之下的函數性質 ：
   • 離散 ： 機率函數。
   • 連續 ： 機率密度函數。
3. 多變數函數的性質 ：
   • 邊際分佈。

一 . 隨機變數

(一) . 隨機變數的基本概念

1. 定義 ： 是一個相sample point 映射到一個數值set的函數。
   • sample point 是定義域；random variable 為值域 -
   • random variable常常視為事件。
2. 例 ： 值一枚硬幣，設隨機變數的關係為此二次正面的次數。
   • 多個sample point 可以指向同一個點 ： 因為sample point是定義域。
   • 依照函數的離散定義 ： 一個sample point不可以有多個random variable。
3. 注意 ： 是同一個隨機變數會可能代表多個樣本點，這個概念很重要。
   

(二) . 機率分布

1. 離散型機率分佈 ： 代表sample point 的數量是有限的。
   • 良率、不良率。
2. 連續型機率分佈 ： 代表sample point 的數量是無限的。
   • 身高、體重。

二 . 離散型機率分佈

(一) . 機率函數(Probability function)

1. 定義 ： 將隨機變數映射到機率值的函數。
   • random variable是定義域。
   • random variable代表的機率是值域。
2. 例 ： 以上例，可以將隨機變數對應到機率。
   • 投擲兩次硬幣，0次為正的機率為 ： 1/4。
   • 投擲兩次硬幣，1次為正的機率為 ： 1/2。
   • 投擲兩次硬幣，2次為正的機率為 ： 1/4。
     
3. 機率函數的性質 ：
   • $f(x)>=0$ : 代表每個事件的機率必大於1。
   • $\sum _{x=1}^{x}f(x)=1$ : 所有事件的總何必為1。
   • $f(x)=P(x):\mathrm{將}\mathrm{隨}\mathrm{機}\mathrm{變}\mathrm{數}\mathrm{帶}\mathrm{入}\mathrm{即}\mathrm{可}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{所}\mathrm{對}\mathrm{應}\mathrm{的}\mathrm{機}\mathrm{率}。$
4. 將實際發生的情況進行數值化 ： 經由多次的mapping。
   • 原本樣本空間的每一個樣本點都是機率相等的。
   • 將樣本點映射到隨機變數，由隨機變數整合形成『事件』
   • 隨機變數的機率，可以視為一個『事件』的機率。
     

(二) . 機率累積函數

1. 定義 ： 我們定義
   $F(X)=f(X>=x)$
   • 其中 ：
     $F(x)$為機率累加函數。
   • 其中 ：
     $f(x)$為機率函數。
   • 可以知道機率累加函數即為隨機變數到某指的總和。
2. 注意 ： 因為分佈是離散的，所以，
   $F(x)$的值是到某個點才上升的。
   

三 . 連續型機率分佈

(一) . 機率密度函數(PDF)

1. 定義 ： 將隨機變數映射到機率密度的函數。
   • 機率密度 ：
     $\mathrm{隨}\mathrm{機}\mathrm{變}\mathrm{數}\ast \mathrm{機}\mathrm{率}\mathrm{密}\mathrm{度}=\mathrm{發}\mathrm{生}\mathrm{機}\mathrm{率}$。
   • random variable是定義域。
   • random variable代表的機率密度是值域。
2. 例子 ： 若一群人的身高分佈為下。
   • 連續下
     $f(x)$代表的意思 ： 為機率密度，代表『相對』機率。
   • 離散下
     $f(x)$代表的意思 ： 為機率值，代表『絕對』機率。

3. 機率密度函數的性質 ：
   • $f(x)>=0,x\mathrm{屬}\mathrm{於}R$
   • ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$ : 代表機率密度『相對』的概念。
   • $P(a<x<b)={\int }_a^{b}f(x)dx$。
   • $P(a)={\int }_a^{a}f(x)dx=0$。

(二) . 累積分佈函數

1. 定義 ：
   $F(x)=P(X<=x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx$。
   • 其中 ：
     $F(x)$為累積分佈函數。
   • 其中 ：
     $f(x)$為機率密度函數。
   • 可以知道累加分佈函數即為隨機變數到某指的機率密度總和。
2. 和PDF的關係 ： 由微積分基本定理可以知道
   • ${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x)=f(x)$。
   • ${\int }_{}^{}f(x)dx=F(x)$

四 . 多變數機率分佈

(一) . 多變數時的函數

1. 隨機變數： 將兩個自變數的有序對
   $x,y$ (代表的是x,y事件內的樣本點)，映射到同一個隨機變數
   $g(x,y)$。
2. 機率函數、機率密度函數 ： (基本上定義不變)
   • 機率函數 ： 離散下，將隨機變數映射到機率的函數。
   • 機率密度函數 ： 連續下，將隨機變數映射到機率密度的函數。
3. 例 ： 以離散型機率為例
   • 隨機變數 ：
     $g(x,y)$可以視為
     $z$ 軸。
   • 機率函數 ： 可以視為在
     $x-y$ 平面的向量。

(二) . 離散型和連續的多機率分佈

1. 離散型機率分佈的機率函數 ：
   • $1>=f(x,y)>=0,(x,y)$。
   • $\sum _x^{}\sum _y^{}f(x,y)=1$。
   • $P(X=x,Y=y)=f(x,y)$。
2. 連續型機率分佈的機率密度函數 ：
   • $f(x,y)>=0,(x,y)$ : 注意，
     $f(x,y)$可能>1，因為
     $f(x,y)$不是機率。
   • ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=1$。
   • $P[(x,y)\in A]={\int }_{}^{}{\int }_A^{}f(x,y)dxdy$。
3. 注意 ： 連續下的機率值為機率密度函數下的面積；而離散時則單個機率密度函數即為機率。(和單變量的定義一樣)

(三) . 邊際機率分佈

1. 定義 ： 在二變數的機率分布下，我們只固定觀察一個變量。
2. 解釋 ： 簡述與圖
   • 對一個離散型變數
     $f(x,y)$ 而言。
   • 設
     $g(x)$為x的邊際分佈，
     $h(y)$為y的邊際分佈。
   • 可以知道
     $g(x)=\sum f(x,y)$，
     $\sum$的x為定數。
   • 可以知道
     $h(y)=\sum f(x,y)$，
     $\sum$的y為定數。
     
     
     
3. 公式 - 離散下 ： 對雙變數分佈的
   $f(x,y)$。
   • $x$ 的邊際分佈 ：
     $g(x)=\sum _{y}f(x,y)$。
   • $y$ 的邊際分佈 ：
     $h(y)=\sum _{x}f(x,y)$。
   • 例 ： 對
     $f(x,y)=1/4$；且
     $0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1$。
     • $g(1)=\sum _{y}f(1,y)=1/2$。
     • $h(1)=\sum _{x}f(1,y)=1/2$。
4. 公式 - 連續下 ： 對雙變數分佈的
   $f(x,y)$。
   • $x$ 的邊際分佈 ：
     $g(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$，此時積分的範圍為y的範圍。
   • $y$ 的邊際分佈 ：
     $h(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$，此時積分的範圍為x的範圍。