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機率與統計 - Ch3 : Random Variables and Probability Distributions
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李廷偉
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Nov 9, 2020
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機率與統計 - Ch3 : Random Variables and Probability Distributions
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statistics
前言 : 本章要搞懂的
隨機變數的定義 : mapping函數的概念。
離散、連續之下的函數性質 :
離散 : 機率函數。
連續 : 機率密度函數。
多變數函數的性質 :
邊際分佈。
一 . 隨機變數
(一) . 隨機變數的基本概念
定義 :
是一個相sample point 映射到一個數值set的函數
。
sample point 是定義域;random variable 為值域 -
random variable常常視為事件。
例 : 值一枚硬幣,設隨機變數的關係為此二次正面的次數。
多個sample point 可以指向同一個點 : 因為sample point是定義域。
依照函數的離散定義 : 一個sample point不可以有多個random variable。
注意 :
是同一個隨機變數會可能代表多個樣本點,這個概念很重要。
(二) . 機率分布
離散型機率分佈 : 代表sample point 的數量是
有限的
。
良率、不良率。
連續型機率分佈 : 代表sample point 的數量是
無限的
。
身高、體重。
二 . 離散型機率分佈
(一) . 機率函數(Probability function)
定義 : 將隨機變數映射到機率值的函數。
random variable是定義域。
random variable代表的機率是值域。
例 : 以上例,可以將隨機變數對應到機率。
投擲兩次硬幣,0次為正的機率為 : 1/4。
投擲兩次硬幣,1次為正的機率為 : 1/2。
投擲兩次硬幣,2次為正的機率為 : 1/4。
機率函數的性質 :
f
(
x
)
>=
0
: 代表每個事件的機率必大於1。
∑
x
=
1
x
f
(
x
)
=
1
: 所有事件的總何必為1。
將
隨
機
變
數
帶
入
即
可
得
到
所
對
應
的
機
率
。
f
(
x
)
=
P
(
x
)
:
將
隨
機
變
數
帶
入
即
可
得
到
所
對
應
的
機
率
。
將實際發生的情況進行數值化
: 經由多次的mapping。
原本樣本空間的每一個樣本點都是機率相等的。
將樣本點映射到隨機變數,由隨機變數整合形成『事件』
隨機變數的機率,可以視為一個『事件』的機率。
(二) . 機率累積函數
定義 : 我們定義
F
(
X
)
=
f
(
X
>=
x
)
其中 :
F
(
x
)
為機率累加函數。
其中 :
f
(
x
)
為機率函數。
可以知道機率累加函數即為隨機變數到某指的總和。
注意 : 因為分佈是離散的,所以,
F
(
x
)
的值是到某個點才上升的。
三 . 連續型機率分佈
(一) . 機率密度函數(PDF)
定義 : 將隨機變數映射到
機率密度
的函數。
機率密度 :
隨
機
變
數
機
率
密
度
發
生
機
率
隨
機
變
數
∗
機
率
密
度
=
發
生
機
率
。
random variable是定義域。
random variable代表的機率密度是值域。
例子 : 若一群人的身高分佈為下。
連續下
f
(
x
)
代表的意思 : 為機率密度,代表『相對』機率。
離散下
f
(
x
)
代表的意思 : 為機率值,代表『絕對』機率。
機率密度函數的性質 :
屬
於
f
(
x
)
>=
0
,
x
屬
於
R
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
: 代表機率密度『相對』的概念。
P
(
a
<
x
<
b
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
。
P
(
a
)
=
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
。
(二) . 累積分佈函數
定義 :
F
(
x
)
=
P
(
X
<=
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
x
)
d
x
。
其中 :
F
(
x
)
為累積分佈函數。
其中 :
f
(
x
)
為機率密度函數。
可以知道累加分佈函數即為隨機變數到某指的機率密度總和。
和PDF的關係 : 由微積分基本定理可以知道
d
d
x
F
(
x
)
=
f
(
x
)
。
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
四 . 多變數機率分佈
(一) . 多變數時的函數
隨機變數: 將
兩個自變數的有序對
x
,
y
(代表的是x,y事件內的樣本點),映射到同一個隨機變數
g
(
x
,
y
)
。
機率函數、機率密度函數 : (基本上定義不變)
機率函數 : 離散下,將隨機變數映射到機率的函數。
機率密度函數 : 連續下,將隨機變數映射到機率密度的函數。
例 : 以離散型機率為例
隨機變數 :
g
(
x
,
y
)
可以視為
z
軸。
機率函數 : 可以視為在
x
−
y
平面的向量。
(二) . 離散型和連續的多機率分佈
離散型機率分佈的機率函數 :
1
>=
f
(
x
,
y
)
>=
0
,
(
x
,
y
)
。
∑
x
∑
y
f
(
x
,
y
)
=
1
。
P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
=
f
(
x
,
y
)
。
連續型機率分佈的機率密度函數 :
f
(
x
,
y
)
>=
0
,
(
x
,
y
)
: 注意,
f
(
x
,
y
)
可能>1,因為
f
(
x
,
y
)
不是機率。
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
1
。
P
[
(
x
,
y
)
∈
A
]
=
∫
∫
A
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
。
注意 : 連續下的機率值為機率密度函數下的面積;而離散時則單個機率密度函數即為機率。(和單變量的定義一樣)
(三) . 邊際機率分佈
定義 : 在二變數的機率分布下,我們只固定觀察一個變量。
解釋 : 簡述與圖
對一個離散型變數
f
(
x
,
y
)
而言。
設
g
(
x
)
為x的邊際分佈,
h
(
y
)
為y的邊際分佈。
可以知道
g
(
x
)
=
∑
f
(
x
,
y
)
,
∑
的x為定數。
可以知道
h
(
y
)
=
∑
f
(
x
,
y
)
,
∑
的y為定數。
公式 - 離散下 : 對雙變數分佈的
f
(
x
,
y
)
。
x
的邊際分佈 :
g
(
x
)
=
∑
y
f
(
x
,
y
)
。
y
的邊際分佈 :
h
(
y
)
=
∑
x
f
(
x
,
y
)
。
例 : 對
f
(
x
,
y
)
=
1
/
4
;且
0
≦
x
≦
1
,
0
≦
y
≦
1
。
g
(
1
)
=
∑
y
f
(
1
,
y
)
=
1
/
2
。
h
(
1
)
=
∑
x
f
(
1
,
y
)
=
1
/
2
。
公式 - 連續下 : 對雙變數分佈的
f
(
x
,
y
)
。
x
的邊際分佈 :
g
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
,
y
)
d
y
,此時積分的範圍為y的範圍。
y
的邊際分佈 :
h
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
,
y
)
d
x
,此時積分的範圍為x的範圍。
機率與統計 - Ch3 : Random Variables and Probability Distributions
前言 : 本章要搞懂的
一 . 隨機變數
(一) . 隨機變數的基本概念
(二) . 機率分布
二 . 離散型機率分佈
(一) . 機率函數(Probability function)
(二) . 機率累積函數
三 . 連續型機率分佈
(一) . 機率密度函數(PDF)
(二) . 累積分佈函數
四 . 多變數機率分佈
(一) . 多變數時的函數
(二) . 離散型和連續的多機率分佈
(三) . 邊際機率分佈
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機率與統計 - Ch3 : Random Variables and Probability Distributions
前言 : 本章要搞懂的
一 . 隨機變數
(一) . 隨機變數的基本概念
(二) . 機率分布
二 . 離散型機率分佈
(一) . 機率函數(Probability function)
(二) . 機率累積函數
三 . 連續型機率分佈
(一) . 機率密度函數(PDF)
(二) . 累積分佈函數
四 . 多變數機率分佈
(一) . 多變數時的函數
(二) . 離散型和連續的多機率分佈
(三) . 邊際機率分佈
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