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## MAM3 - MI2
# TD 2 - Théorème de Cauchy-Lipschitz

Soit $f:\Omega \subset \mathbf{R} \times \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$, $\Omega$
ouvert, $f$ continue, et soit $(t_0,x_0) \in \Omega$. Une solution du
problème de Cauchy de second membre $f$ et de condition initiale
$(t_0,x_0)$ est un couple $(I,x)$ où $I$ est un intervalle ouvert de $\mathbf{R}$ et $x:I
\to \mathbf{R}^n$ une fonction dérivable telle que

$$ \left\{ \begin{array}{l}
\dot{x}(t)=f(t,x(t)),\ t \in I\\
x(t_0)=x_0.
\end{array} \right. $$

La définition précédente implique en particulier qu'une solution
$(I,x)$ est telle que $t_0 \in I$ (l'intervalle ouvert est donc non-vide),
que $(t,x(t)) \in \Omega$ quel que soit $t \in I$, et que $x \in
\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R}^n)$.

La définition précédente implique en particulier qu'une solution
$(I,x)$ est telle que $t_0 \in I$ (l'intervalle ouvert est donc non-vide),
que $(t,x(t)) \in \Omega$ quel que soit $t \in I$, et que $x \in
\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R}^n)$. On aura besoin de la généralisation suivante du
théorème du point fixe.

## Exercice 1
Soit $F$ une partie fermée (et non-vide) d'un espace de Banach $E$,
et soit $g:F \to F$ telle que $g^p$ soit contractante pour un certain naturel $p$.
Montrer que $g$ possède un unique point fixe.

## Exercice 2
### 2.1
On suppose $f$ continue sur l'ouvert $\Omega$. Montrer que l'ensemble des solutions ordonné par
$$ (I,x) \leq (J,y) \iff I \subset J \text{ et } x=y_{|I} $$
et dont on admet qu'il est non-vide (Théorème de Peano : la
seule continuité de $f$ garantit l'existence de solution)
possède un élément maximal (on parle de _solution maximale_ du
problème de Cauchy).

$\rhd$ On utilise l'axiome du choix sous la forme [Lemme de Zorn](https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Zorn). Soit $\mathscr{E}$ l'ensemble des solutions, _i.e._ l'ensemble des couples $(I,x)$ où $I$ est un intervalle ouvert contenant $t_0$ et où $x:I \to \mathbf{R}$ est une fonction dérivable vérifiant l'équa. diff. et la condition initiale. Sous l'hypothèse que $f$ est continue sur $\Omega$, on démontre que $\mathscr{E}$ est non-vide ([Théorème de Péano](https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cauchy-Peano-Arzelà)), et le Lemme de Zorn garantit qu'il existe un élément maximal si l'ensemble est _ordonné inductif_, _i.e._ si toute partie totalement majorée possède un majorant. Notons qu'être maximale au sens de l'ordre qu'on a défini signifie pour une solution "ne pas pouvoir être strictement prolongée". Soit donc $\mathscr{A} \subset \mathscr{E}$ une partie totalement ordonnée,
$$ \mathscr{A} = (I_j,x_j)_{j \in J}. $$
(On écrit la partie comme une famille, ce que l'on peut toujours faire.) On pose
$$ I := \bigcup_{j \in J} I_j, $$
et on définit $x : I \to \mathbf{R}$ comme suit : soit $t \in I$, il existe $j \in J$ tel $t \in I_j$, et on pose
$$ x(t) := x_j(t). $$
Il convient tout d'abord de vérifier qu'on définit bien ainsi une fonction : s'il existe $j$ et $k \in J$ tels que $t$ appartient à $I_j$ et $I_k$, l'ordre étant total sur la partie soit $(I_j,x_j) \leq (I_k,x_k)$, soit le contraire. Dans le premier cas (l'autre situation est symétrique), $I_j \subset I_k$ et la restriction de $x_k$ à $I_j$ est égale à $x_j$, donc $x_k(t)=x_j(t)$ de sorte que la valeur commune définit bien $x(t)$. Vérifions maintenant que $(I,x)$ appartient à l'ensemble des solutions (sinon c'est pas la peine de se demander si c'est un majorant...) Comme réunion d'intervalles _ayant tous un point commun_ (l'instant $t_0$), $I$ est un intervalle [ vérifiez-le ! ], qui plus est ouvert (réunion d'ouverts). De plus, soit $t \in I$, il existe $j \in J$ tel que $t$ appartienne à $I_j$ ; par définition, $x=x_j$ sur $I_j$, donc $x$ est dérivable en $t$ et
$$ \dot{x}(t)=\dot{x}_j(t)=f(t,x_j(t))=f(t,x(t)). $$
Comme $x(t_0)=x_0$ (valeur commune à toutes les fonctions $x_j$ en $t=t_0$), on a bien une solution. Vérifions finalement que cette solution est un majorant de la famille totalement ordonnée. Soit $j \in J$, par construction $I_j \subset I$, et la restriction de $x$ à $I_j$ est égale à $x_j$ : $(I_j,x_j) \leq (I,x)$. L'ensemble des solutions est donc ordonné inductif, et possède un élément maximal. Noter que cet élément n'est pas nécessairement unique (_cf._ question 2.5, dernier exemple).

### 2.2
On suppose désormais que $f$ est
_localement Lipschitzienne en_ $x$, _i.e._
que tout point de $\Omega$ possède un voisinage $V$ sur lequel $f$ est
Lipschitzienne en $x$ : il existe $k \geq 0$ tel que pour tous $t,x,y$ tels
que $(t,x)$ et $(t,y)$ soient dans $V$,
\begin{equation} \tag{1}
|f(t,x)-f(t,y)| \leq k|x-y|.
\end{equation}
Dans (1), $|.|$ désigne l'une quelconque des normes
équivalentes sur $\mathbf{R}^n$.

Montrer qu'il existe un voisinage $C=B_f(t_0,\eta) \times
B_f(x_0,\varepsilon)$ (ou _cylindre de sécurité_) sur lequel $f$ est
Lipschitzienne en $x$ et tel que $\eta \sup_C |f| \leq \varepsilon$.

### 2.3
Soit $E=\mathscr{C}^0(B_f(t_0,\eta),\mathbf{R}^n)$ muni de la norme
$\|x\|_\infty = \sup_{B_f(t_0,\eta)} |x|$,
soit $F \subset E$ l'ensemble des fonctions de $E$ à valeurs dans $B_f(x_0,\varepsilon)$,
et soit $\phi : F \to F$ définie par
$$ \phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s,x(s))\,\mathrm{d}s. $$
Montrer que $\phi$ possède un unique point fixe. En déduire
l'existence d'une solution pour le problème de Cauchy.

### 2.4
Montrer que le problème possède une et une seule
solution maximale (au sens de la question 2.1). Montrer que les
courbes intégrales maximales forment une partition de $\Omega$.

### 2.5.
Discuter les trois exemples suivants : $\dot{x}(t)=x(t)$,
$\dot{x}(t)=x^2(t)$, et $\dot{x}(t)=\sqrt{|x(t)|}$.

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
plt.ion() # interactive mode on

def f1(t, x):
    """dx = f1(t, x)
      
    Second membre"""
    dx = x
    return dx

N = 20
xx0 = np.linspace(-1., 1., N)
t0 = -1.
tf = 1.
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('$x(t)$')
plt.title('$\dot{x}(t)=x(t)$')
plt.xlim(t0, tf)
plt.ylim(-1., 1.)
for x0 in np.nditer(xx0):
    M = 100
    tspan = np.linspace(t0, tf, M)
    x = odeint(lambda x, t: f1(t, x), x0, tspan)
    plt.plot(tspan, x)
plt.show()

def f2(t, x):
    """dx = f2(t, x)
      
    Second membre"""
    dx = x**2
    return dx

N = 10
xx0 = np.hstack((np.linspace(-20., 0., 10*N), np.linspace(0., 1., N)))
t0 = -1.
tf = 1.
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('$x(t)$')
plt.title('$\dot{x}(t)=x(t)$')
plt.xlim(t0, tf)
plt.ylim(-1., 1.)
for x0 in np.nditer(xx0):
    M = 100
    if x0 < 0.:
         tf = 1.
         tspan = np.linspace(t0, tf, M, endpoint=False)
    elif x0 > 0.:
         tf = np.amin([ 1., t0+1./x0 ])
         tspan = np.linspace(t0, tf, M, endpoint=False)
    x = odeint(lambda x, t: f2(t, x), x0, tspan)
    plt.plot(tspan, x)
plt.show()

## Exercice 3
Soit $f : I \times \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$, $I$ ouvert, $f$ continue ;
on suppose que $f$ est Lipschitzienne en $x$ sur tout $I \times \mathbf{R}^n$.

### 3.1
Montrer que le problème possède une
_solution globale_ (_i.e._ définie sur $I$ tout entier).

### 3.2
Appliquer la question précédente au problème de
Cauchy linéaire
$$ \dot{x}=A(t)x+b(t)$$
avec $A$ et $b$ continues
de $I$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{R}^n,\mathbf{R}^n)$ et $\mathbf{R}^n$, respectivement.