# 希爾伯特空間 粗略來說，希爾伯特空間是裝配了內積和"收斂性"的**複線性空間**，增加了"無窮但可數"基底的存在可能性。 本條目的數學用語請參考**線性空間**、**拓撲空間**和**距離空間**。 ## 基本定義 ### 內積空間 複**線性空間**$\displaystyle H$，裝配$g:H^2\to\mathbb{C}$（$\displaystyle g(x,y)$簡寫為$\langle x,y\rangle$） 滿足 :::success (1)$(\forall x\in H)(\forall y\in H)(\langle x,y\rangle=\overline{\langle x,y\rangle})$ (**內積沒有交換律**，對調為共軛**複數**) (2)$(\forall x\in H)(\forall y\in H)(\forall z\in H)(\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle)$ (內積有分配律) (3)$(\forall \lambda\in\mathbb{C})(\forall x\in H)(\forall y\in H)(\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle)$ (4)$(\forall x\in H)(\langle x,x\rangle\geq 0)$ (由內積可以定義"距離"的條件) (5)$(\forall x\in H)[(x=0_{H})\Leftrightarrow(\langle x,x\rangle=0)]$ (由內積可以定義"距離"的條件) ::: 稱$\displaystyle H$為一內積空間(inner product space) 關於(3)，我們採用的**量子力學**的後置規則，而前置規則是$\langle \lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle$；經過順序轉換就可以得到同樣的理論。 我們將$\sqrt{\langle x,x\rangle}$簡記為$\displaystyle \|x\|$，由此可以發現內積空間本身是一個**賦範空間**。 ### 度量 先注意到內積空間$\displaystyle H$定義的(4)、(5)款，我們可以定義 :::success $d_H:H^2\to[0,\infty):d_H(x,y)=\|x-y\|$ ::: **距離空間#基本定義**的(1)、(2)款顯然成立，為了證明(3)，我們先證明以下重要的不等式 :::success **定理**：(Cauchy-Schwarz不等式) $(\forall x\in H)(\forall y\in H)(|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|)$ **證明**： <details> 若 $r\in\mathbb{R}$ 和 $\alpha\in\mathbb{C}$ ，和$\displaystyle\chi=\frac{x}{\|x\|}$、$\displaystyle\upsilon=\frac{y}{\|y\|}$則 $\langle \chi-r\alpha\upsilon,\chi-r\alpha\upsilon\rangle=1-r[2\Re(\alpha\langle\chi,\upsilon\rangle)]+r^2{|\alpha|}^2$ 此時取$\alpha=\langle\upsilon,\chi\rangle$則有 ${|\alpha|}^2(r-1)^2+1-{|\alpha|}^2\geq 0$ 定裡就得到證明。$\Box$ </details> ::: 由定義(5)很容易證明 由Schwarz不等式可以輕鬆得到以下定理 :::success **定理**：(三角不等式) $(\forall x \in H)(\forall y \in H)[(\|x\|+\|y\|\geq\|x+y\|)\wedge(|\|x\|-\|y\||\le\|x+y\|)]$ ::: 這樣就證明了$\displaystyle (H,d_H)$是**距離空間**。而且根據**距離空間#完備化**，還可以擴張成完備的$(\overline{H},d_{\overline{H}})$。 其實$\overline{H}$也有一個內積；如果$\{x_i\in H\}_{i\in\mathbb{N}}$和$\{y_i\in H\}_{i\in\mathbb{N}}$都是柯西數列，則根據Schwarz不等式 $|\langle x_n,y_n\rangle-\langle x_m,y_m\rangle|=|\langle x_n,y_n\rangle-\langle x_n,y_m\rangle+\langle x_n,y_m\rangle+\langle x_m,y_m\rangle|\le\|x_n\|\cdot\|y_n-y_m\|+\|y_m\|\cdot\|x_n-x_m\|$ 因為$|\|x_{n+m}\|-\|x_n\||\le\|x_{n+m}-x_n\|$，所以$\forall n(\exists M>0)(\|x_n\|\le M)$，$\displaystyle \|y_n\|$也有類似的結果。以此為基礎連續套用**實數#完備性**，$\langle x_i,y_i\rangle$會收斂到一個複數。仿**距離空間#等價類**同模子的證明，可以證明一對等價類對著唯一個這樣的複數。這樣我們就可以把內積擴張到$\overline{H}$，讀者可以自己一一檢驗，這樣擴張的"內積"的確符合內積空間的定義。 所以就算內積空間不完備，也可以把它擴張成**完備的內積空間**，也別稱為**希爾伯特空間**(Hilbert space) ### 內積的連續性 :::success **定理**： 對希爾伯特空間$H$和$y\in H$，$f:H\to\mathbb{C}:f(x)=\langle x,y\rangle$是均勻連續函數。(所以必為連續函數) **證明提示**：$|\langle x_1,y\rangle-\langle x_2,y\rangle|=|\langle x_1-x_2,y\rangle|\le\|x_1-x_2\|\|y\|$ ::: :::success **定理**： 對希爾伯特空間$H$，$g:H\to[0,\infty):g(x)=\|x\|$是均勻連續函數 **證明提示**：$|\|x_1\|-\|x_2\||\le\|x_1-x_2\|$ ::: ### 正交集 對內積空間$H$，依據**集合|集合論**的公理，我們可以取任意$x\in H$規定 :::success $x^{\perp}:=\{y\in H\,|\,\langle x,y\rangle=0\}$ ::: 因為內積是連續函數，所以$x^{\perp}$是$H$的閉子空間。再回憶到**距離空間**裡開集的任意聯集仍是開集，那對子空間$M$，我們可以"規定" :::success $\displaystyle M^{\perp}:=\bigcap_{x\in M} x^{\perp}$ ::: 那麼$M^{\perp}$也會是一個閉子空間 ## 投影 在討論投影前，我們需要一個重要的輔助定理 :::success **定理**：(最小範數元) $H$是**巴拿赫空間**，$E$是$H$的一個非空閉**凸集**，則 $\exists! v[(v\in E)\wedge(\forall w\in E)(\|w\|\geq\|v\|)]$ **證明**： <details> 首先根據**實數#完備性**，我們可以令$\displaystyle\delta=\inf_{v\in E}\|v\|$，而對$x,\,y\in E$有 ${\|\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\|}^2+{\|\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\|}^2=\frac{1}{2}({\|x\|}^2+{\|y\|}^2)$ 注意到因為$E$是**凸集**，所以$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\in E$，那這樣我們有 ${\|x-y\|}^2\leq 2({\|x\|}^2+{\|y\|}^2)-4{\delta}^2$ (*) (唯一性) 若$\|x\|=\|y\|=\delta$，根據**巴拿赫空間#基本定義**的(3)和上面的(*)，可以得到$x=y$。 (存在性) 根據**集合#可數選擇公理**，$\exists f[(\,{\{f_i\in E\}}_{i\in\mathbb{N}}\,)\wedge(\|f_i\|\to\delta)]$ 若$(|\|f_n\|-\delta|<\epsilon)\wedge(|\|f_m\|-\delta|<\epsilon)$則配合(*)和$\delta$的定義可以推出 $\|f_n-f_m\|< 2\sqrt{{\epsilon}^2+2\epsilon\delta}$ 這就證明了${\{f_i\in E\}}_{i\in\mathbb{N}}$是一個**柯西數列**，$E$是巴拿赫空間保證這個柯西數列必定收斂；且因為$E$是閉的，收斂點也必在$E$裡。另外範數在巴拿赫空間裡是連續函數，這確保了這個收斂點的範數就是$\delta$。$\Box$ </details> ::: 這樣我們就可以建立"投影"的概念 :::success **定理**：(投影算符) $H$是希爾伯特空間。那對每個$H$的閉子空間$M$；存在$P:H\to M$使 (1)$\displaystyle (\forall x\in H)[\|x-P(x)\|=\inf_{m\in M}\|x-m\|]$ (2)$[(v\in M)\wedge(w\in M^{\perp})\wedge(x=v+w)]\Leftrightarrow\{[v=P(x)]\wedge[w=x-P(x)]|\}$ (3)$[(\alpha\in\mathbb{C})\wedge(x\in H)]\Rightarrow[P(\alpha x)=\alpha P(x)]$ (4)$(x,\,y\in H)\Rightarrow[P(x+y)=P(x)+P(y)]$ **證明**： <details> 希爾伯特空間是巴拿赫空間的一種，若$x\in H$則 $\{h\in H\,|\,(\exists m\in M)(h=x-m)\}$ 顯然也是一個閉子空間。因子空間顯然是凸集，令$Q_x$是上面這個集合的最小範數元，我們定義$P(x)=x-Q_x$。這樣就證明了(1)。 為了證明(2)，首先從$Q_x$的定義有 $(\forall m\in M)(\forall \beta\in\mathbb{C})({\|Q_x\|}^2\leq{\|Q_x-\beta m\|}^2)$ 展開不等式，並取$\|m\|=1$和$\beta=\langle m, Q_x\rangle$，就有 $(\forall m\in M)(0\leq -{|\langle Q_x, m\rangle|}^2)$ 也就是 $(\forall x\in H)[x-P(x)\in M^{\perp}]$ 注意到$M^{\perp}\cap M =\{0_H\}$，設$(v\in M)\wedge(w\in M^{\perp})\wedge(x=v+w)$，我們就會得到 $v-P(x)=w-Q_x=0_H$ 這就證明了(2)。 (3)的證明，只要注意到 $\alpha x = \alpha[P(x)+Q_x]=P(\alpha x)+Q_{\alpha x}$ 整理一下，同樣注意到$M^{\perp}\cap M =\{0_H\}$可得 $\alpha P(x)-P(\alpha x)=\alpha Q_x-Q_{\alpha x}=0_H$ (4)同法證明，至此已經將所有性質證明完畢。$\Box$ </details> ::: ## 可分性
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一階邏輯

簡介 不同於命題邏輯，自一階邏輯，我們開始關心一段敘述如何組成。 從一般語言敘述的構成來看，如果我們不照慣例，而把所有的東西都說得清清楚楚的話，照理來說一段敘述應該是 "主詞+動詞+受詞"、"主詞+動詞"、"主詞+動詞謂語+修飾詞"的主要架構，配上動詞、主詞和受詞的修飾語或修飾子句構成的。但數學關心的，只是一個對象有怎麼樣的狀態，則另一個對象會有怎樣的狀態，也就是"主詞+動詞謂語+修飾詞"的架構配上推理的關係。描述狀態不外乎辨識特徵，事實上跟定義"集合"的本質，也就是辨別一個群體的共通性做的事是一樣的。 一段敘述都有它敘述的對象；比如說「業界(有人)對這個產品有興趣」、「(所有)外國旅客入境前都要防疫隔離」；邏輯學上，"有人"(更一般的說存在一個人)跟"所有人"(注意到所有外國旅客是不是本國籍且身在我國的所有人的略語)這兩個表述敘述對象範圍的詞語被稱為量詞(quantifier)。顯然外國的旅客不只一個，這就是需要在語意上說明描述範圍的變數(variable)，也就是每個變數都有它的取值範圍。(外國旅客是從所有人類裡取值，找有外國國籍且身在我國的人類) 數理邏輯上，"所有的變數$\displaystyle x$的取值滿足合式公式$\mathcal{A}$"以$(\forall x)\mathcal{A}$代表；類似的"存在變數$\displaystyle x$的取值滿足合式公式$\mathcal{A}$"以$(\exists x)\mathcal{A}$代表，其實也就是$\neg(\forall x)(\neg\mathcal{A})$。類似的，$(\forall x)\mathcal{A}$就是$\neg(\exists x)(\neg\mathcal{A})$。 要構成一段敘述，我們還需要其他要素；比如說"這個產品"就是一個常數(constant)；有興趣代表著一種人和產品之間的關係；類似的，外國旅客的"定義"是來自國家和入境旅客的國籍隸屬"關係"。在邏輯學上我們用謂詞符號(predicate letter)去形式的表示"關係"。

5/19/2023
命題邏輯

首先我們用一個簡單的邏輯系統來介紹一些必要的符號。"$\displaystyle A:=B$"代表$\displaystyle A$是$\displaystyle B$這一連串符號的代稱(我們稱為符號定義)。 在這個簡單的系統裡，關注於敘述之間的推理關係，不去煩惱敘述的構成細節。如此一來我們稱這個邏輯系統為命題邏輯(Propositional calculus)。我們用英文大寫字母$\displaystyle A_1, A_2, A_3$來代表一段基本敘述，稱為敘述字母(statement letter)，並可以下標數碼來進一步分辨。(事實上就是承認自然數先於邏輯而存在)。 我們姑且先假設每段敘述都有真假之分，其中$\top$代表真；和$\bot$代表假。 否定 在邏輯上最簡單的概念就是否定(negation)了，否定一段敘述字母$\displaystyle A$我們用$\neg A$代表。我們用一個表稱為真值表(truth table)描述它在邏輯上的真假狀況。真值表的意思是，"如果$\displaystyle A$是假的，那否定$\displaystyle A$的敘述是真的"。 $\displaystyle A$

9/14/2022
常用的邏輯定理

用語說明 前提假設以Hyp簡記 推論元定理以"D"簡記。 由推論元定理可以知道$\vdash\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}$和$\mathcal{A}\vdash\mathcal{B}$是一樣的意思。所以證明過程中，你會看到代號D跟中途運用定理的代號寫在一起的簡記法，因為我們有時候會用$\mathcal{A}\vdash\mathcal{B}$的形式表達定理。 另外有兩個常用的推論，是來自於推論元定理 :::success $\displaystyle (D1)$$\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B},\mathcal{B}\Rightarrow\mathcal{C}\vdash\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{C}$

7/8/2022
形式理論

元邏輯 研究一個邏輯系統，好比一個語言學家研究英文的文法跟規則，他需要其他語言來當一個客觀的參照，避免陷入自己解釋自己的矛盾循環中。我們要研究的邏輯語言稱為目標語言(object language)，研究邏輯系統時，用來客觀參照目標語言的語言稱為元語言(metalanguage)，元語言的邏輯也會稱為元邏輯(metalogic)。而在元邏輯下，推出目標語言的有關性質特稱為元定理(metatheorem)。 事實上我們採用的元語言只是比較有條理的中文，配上一些邏輯符號: :::success (1)$\displaystyle \to$：實質條件意義下的推理 (2)$\ulcorner$, $\urcorner$：引用一段目標語言的敘述 :"「他是醫生」這句話是肯定句"，和"他是醫生"有使用上的差別，元語言的引號就跟前者代表引用這句話並做語言學的說明是一樣的，但後者是單純的使用這句話。

11/1/2021
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Published on HackMD