變分法入門

tags: physics

Euler-Lagrange equation

Question:

假設路徑

y=f(x),從
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
,試求
f(x)
之微分方程,使
H(y,y,x)=x1x2F(y,y,x)dx
有最小值。

Answer:

p.s. 此非正規證明,僅是一個簡易推導
因為要求

H有最小值,因此對於任意微小偏移量
η(x)
所有路徑皆必須有相同起始點和終點,
η(x1)=0
η(x2)=0
),
H
之變化量(稱為
H
的變分
δH
)應為0。
δH=x1x2F((y+η),y+η,x)F(y,y,x)dx=x1x2F(y+η,y+η,x)F(y,y,x)dx=x1x2Fyη+Fyηdx=x1x2Fyηdx+[Fyη]x1x2x1x2ddxFyηdx=x1x2(FyddxFy)ηdx

我們要求
y=f(x)
使得
H(y,y,x)
有最小值
η,δH=0FyddxFy=0

此式稱為歐拉─拉格朗日方程式(Euler-Lagrange equation)。

Reference

  1. Feynman's Lecture on Physics:Volume II Chapter 19