# Jordan form 理解

我學的脈絡大概是這樣

1. 先學 nilpotent 定義、性質、證明

2. 然後講了一個 lemma 是 $V = ker(T^k)\oplus Im(T^k)$

3. 然後講了 $heig(v) = k$ 的話 取 {$v,T(v),T^2(v),...,T^{k-1}(v)$} 會是線性獨立，用這個基底可以造循環子空間 $C_v(T)$

4. 然後之前學了 $V=V(\lambda_1)\oplus...\oplus V(\lambda_r)$ 需要可對角化的條件
5. 如果改成 $V=C_{v_1}(T)\oplus...\oplus C_{v_r}(T)$ ，$[T_w]_\beta = S_k(下移矩陣)$就不用條件

6. 講了一個定理 :
$T : V->V\space nilpotent\space with\space index\space k$，則 $V=C_{v_1}(T)\oplus...\oplus C_{v_r}(T)$，$W_i=C_{v_i}(T)，dim(W_i)=n_i$
$n_1\ge n_2\ge ...\ge n_r$
$r=dim(ker(T))，n_1=k$

然後強調要 nilpotent 才能這樣

此時 $[T]_\beta=\begin{pmatrix}
S_{n_1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & S_{n_2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \cdots & S_{n_r}\end{pmatrix}$

然後 $S_k$ 就是 5. 講的那個 $S_k$

7. 但是上述定理要 nilpotent，要想辦法套用到一般算子都能的情況，所以從 2. 的 lemma 開始推

8. $V=ker(T^k)\oplus Im(T^k)$

$W_1=ker(T^k)$ 就是最大冪零區，$W_2=Im(T^k)$是最大可逆區

然後 $dim(W_1)=m$

所以 $[T]_\beta = \begin{bmatrix}A_1 & 0 \\0 & A_2\end{bmatrix}，A_1 = [T_{W_1}]_{\beta_1}，A_2 = [T_{W_2}]_{\beta_2}$

然後發現 $A_1$ 是 nilpotent，eigenvalue 都是0，幾何重數 $am(0)=dim(W_1)=m$

但是 $A_2$ 可逆，無法確認他的 eigenvalue 是多少、代數重數多少，而且根據 6. 的定理，必須弄到 nilpotent 才做得下去

所以就想到平移，並縮小定義域

變成 $T-\lambda I$，然後仿造上面取 $W=ker((T-\lambda I)^k)$，$dim(W)=m$

弄成 $(T-\lambda I)_W$ 就會 nilpotent

平移之後就可以確保 $am(\lambda) = m$

9. 然後講到了 平移、縮小定義域之後的最大冪零區 (就是 8. 的 $W$) 這個東西其實就是廣義 eigenspace $K(\lambda)$

10. $(T-\lambda I)_{K(\lambda)}:K(\lambda)->K(\lambda)$ 為 nilpotent，就可以套用 6. 的定理

$K(\lambda)=C_{v_1}(T)\oplus...\oplus C_{v_r}(T)$

然後$[(T-\lambda I)_{K(\lambda)}]_\beta=\begin{pmatrix}S_{n_1} & 0 & \cdots & 0\\0 & S_{n_2} & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & \cdots & S_{n_r}\end{pmatrix}$

再把 $T$ 平移回去變成 $[T_{K(\lambda)}]=\begin{pmatrix}S_{n_1}+\lambda I & 0 & \cdots & 0\\0 & S_{n_2}+\lambda I & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & \cdots & S_{n_r}+\lambda I\end{pmatrix}$

裡面就是 Jordan block $[T_{K(\lambda)}]_\beta=\begin{pmatrix}J_{n_1}(\lambda) & 0 & \cdots & 0\\0 & J_{n_2}(\lambda) & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & \cdots & J_{n_r}(\lambda)\end{pmatrix}$

11. 最後一個定理 :

$T:V->V\space linear$

不用 nilpotent，只要找 $\lambda_1,...,\lambda_r$ 相異

$V = K(\lambda_1)\oplus...\oplus K(\lambda_r)$

$[T]_\beta = \begin{pmatrix}A_1 & 0 & \cdots & 0\\0 & A_2 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & \cdots & A_r\end{pmatrix}$

其中，$A_i=[T_{K_(\lambda_i)}]{_\beta}$

所以我才會說 直和之後再直和