01_原子組成與特性

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自從生科系畢業並踏入職場後，總有一種無力感–-開發檢驗試劑比不過化學系、開發藥物比不過藥學系、開發資訊軟體比不過資工系，果然書到用時方恨少…只好回頭惡補基礎化學惹。

原子

JJ Thomson's Plum Pudding Model

1897年，J.J. Thomson使用陰極射線(cathode rays)實驗發現了電子並測定了電子的荷質比。實驗設計如下:

$e_{(-)}$代表帶負電的帶電量(charge);

$m_{(-)}$代表帶負電的帶電量。

$e_{(+)}$代表帶正電的帶電量(charge);

$m_{(-)}$代表帶正電的帶電量。

J.J. Thomson發現:

1. 帶負電粒子受偏移面板影響的偏移距離遠大於帶正電粒子。
   

   $$|\mathrm{\Delta }{x}_{(-)}|>>|\mathrm{\Delta }{x}_{(+)}|$$

2. 兩帶電粒子帶電量相同，因為陰極射線使用的是氫氣，為中性(neutral)，帶電量為0:
   

   $$|e_{(-)}|=|e_{(+)}|$$

3. 帶負電粒子質量遠小於帶正電粒子約2,000倍。
   

   $$\frac{|\mathrm{\Delta }{x}_{(-)}|}{|\mathrm{\Delta }{x}_{(+)}|}=\frac{|\frac{e_{(-)}}{m_{(-)}}|}{|\frac{e_{(+)}}{m_{(+)}}|}=\frac{m_{(-)}}{m_{(+)}}=2000$$

4. J.J. Thomson's plum pudding model，電子像是梅子布丁中的梅子，分布在正電粒子中。

Rutherford Model

1911年，Ernest Rutherford使用

$\alpha$粒子檢驗plum pudding model，實驗發現大部分

$\alpha$粒子都可以穿過原子(很薄的金箔)，少部分會反彈(backscatter)，繪製模型如下:

Rutherford發現質子(nucleus)的直徑(diameter)為10^-14m，推論方式如下:

$$P=\frac{\text{count rate backscattered}}{\text{count rate of incident particles}}=\frac{20}{132,000}=2\times {10}^{-4}$$

$$P=\frac{\text{number of particles backscattered}}{\text{total number of alpha particles}}=\frac{\text{area of nuclei}}{\text{area of atoms}}$$

$$P=\frac{(\text{\# of nuclei})\times \text{area per nucles}}{\text{total area of monolayer Au foil}}=\frac{119\times \pi r^2}{\text{total area of monolayer Au foil}}$$

$$d=2r={10}^{-14}m$$

P代表反彈的機率(Prabability of backscattering)；d代表直徑(diameter)；r代表半徑(radius)。

$\alpha$粒子由2個質子及2個中子組成，並不帶任何電子，詳細說明請參考維基百科alpha particle

古典物理無法解釋的現象

庫倫定律 Coulomb's law

在真空中兩個靜止點電荷之間的交互作用力稱為電磁力(Electomagnetic force)或簡稱為庫倫力(Coulomb force)。
以氫原子而言，帶正電質子與帶負電電子根據庫倫定律表示如下:

$$F(r)=\frac{(-e)(e)}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{-e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

e = 帶電荷的絕對值
r = 兩點電荷之間的距離

${\epsilon }_0$ = 真空電容率(電常數) =

$8.854\times {10}^{-12}{C}^2{J}^{-1}{m}^{-1}$

當

$r\to \mathrm{\infty }$,

$F(r)=0$，庫倫力為0。
當

$r\to 0$,

$F(r)=-\mathrm{\infty }$，庫倫力為

$-\mathrm{\infty }$，即質子與電子的交互吸引力為

$\mathrm{\infty }$。

根據牛頓第二定律:

$$F=ma$$

$$F=m(\frac{dv}{dt})=m(\frac{d^{2}r}{d{t}^2})$$

如果原子的初始半徑

$r_{initial}$為10

$\text{unicode}x212B$(

${10}^{-10}m$)，代表電子將在0.1ns內塌陷至質子中:

$$r=0\text{ at }t=0.1\times {10}^{-9}sec$$

從上述推論可知，古典物理定律推論次原子等級的機制並不合理。
而量子力學反而更能描述原子等級(奈米或更小)尺寸的物質行為!

量子力學 Quantum Mechanics

• 物質(Matter)和輻射(Radiation)同時具有 波(wavelike) 和 粒子(particle-like) 的特性。
• 光由一個一個的能量單位組成(稱為光子)Light consists of discrete packets of energy (called photon)。

底下內容編排好像要再調整順序，這邊只講了光的特性，對奈米等級的原子行為著墨不夠多。

光的波特性

波具有週期性的數量變化。

波的名詞定義:

• 震幅Amplitude(a): 與平均水平Average level的偏差。
• 波長Wavelength(
  $\lambda$): 相鄰最高值或相鄰最低值之間的距離。發音為"lambda"
• 頻率Frequency(
  $\nu$): 單位時間內循環(cycle)的次數。發音為"nu"。
• 赫茲Hz: 每秒的循環次數。

電磁輻射可以用以下數學式來描述:

$$E(x,t)=a\cos [\frac{2\pi x}{\lambda }-2\pi \nu t]$$

E = 電磁輻射

$x$ = 位置

$t$ = 時間

如果固定時間

$t=0$，觀察光的電磁輻射狀態如下:
At

$t=0$

$$E(x,0)=a\cos (\frac{2\pi x}{\lambda })$$

$E(x,0)=a$(可能的最大值)，

$x=...-2\lambda ,-\lambda ,0,\lambda ,2\lambda ...$
並且可以得知光強度(Intensity)的最大值=

$a^2$

這裡應該要補cosine及intensity的介紹

如果固定位置

$x=0$，觀察光的電磁輻射狀態如下:
At

$x=0$

$$E(0,t)=a\cos (2\pi \nu t)$$

$E(x,0)=a$(可能的最大值)，

$x=...-3/\nu ,-2/\nu ,0,1/\nu ,2/\nu ...$

$1/\nu$ = 週期(period) = 1個循環所需要的時間。

波速

波速 = 波傳遞距離/經歷的時間 =

$\frac{\lambda }{1/\nu }$ =

$\lambda \nu$
所有電磁輻射(可見光,x ray, 紅外線等等…)具有固定的速度c，稱為光速。

$$c=\lambda \nu =2.9979\times {10}^{8}m{s}^{-1}$$

也因此，只要知道波長

$\lambda$，便可以得知頻率

$\nu$，反之亦然。

光譜顏色的波長及頻率可參考維基百科，這裡

光的粒子特性

光電效應 Photoelectric effect

指光束照射在金屬表面時可以使其發射出電子的物理現象，被釋出的電子具有最大動能

$K.E.=(1/2)m{v}^2$。

m = 質量
v = 速度

其中光束的頻率

$\nu$必須大於金屬的閾值頻率

${\nu }_0$才能使其發射出電子，在未達到閾值前不會有電子被發射出。每種金屬的閾值頻率

${\nu }_0$均不相同。
在固定光強度(intensity)下，光的頻率不影響電子發射的數量。

達到閾值頻率

${\nu }_0$後，光頻率

$\nu$越高，電子動能

$K.E.$越高。

光強度

$I$(Intensity)提高不影響發射電子的動能

$K.E.$。

光強度

$I$越高，發射的電子數量越多。

1905年，愛因斯坦(Einstein)分析各種金屬的閾值頻率

${\nu }_0$與發射電子動能

$K.E.$的圖表，發現具有線性關係。

$y=mx+b$

$slope(m)=6.626\times {10}^{-34}Js$

$y-intercept(b)=(6.626\times {10}^{-34}Js){\nu }_0$

$\text{Planck's constant}=h=6.626\times {10}^{-34}Js$

可以重新改寫如下:

$$y=mx+b$$

$$K.E.=h\nu -h{\nu }_0$$

$h\nu$ = 光束的能量 =

$E_i$

由推論可知，光子的能量正比於其頻率:

$$E_i=h\nu$$

發射一個電子所需的能量 =

$h{\nu }_0$ = 功函數

$\varphi$(workfunction)

總結如下:

$$K.E.=E_i-\varphi$$

$$E_i=K.E.+\varphi$$
一具有能量

$E_i$的光束照射在金屬表面，超過功函數

$\varphi$的能量，將發射含有動能

$K.E.$的電子。

而發射電子的數量正比於金屬表面吸收的光子數量，與光子能量無關。

因此:

• 光強度(energy/sec)正比於每秒光子發射的數量(# of photons ejected/sec)
• 高光強度代表每秒更多光子，但不代表每顆光子的能量增加。
  -光強度的單位(I): W = J/s

根據狹義相對論(Speciality relativity)，真空環境下，能量與動量的關係為:

$$E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$$
E = 能量 Energy
p = 動量 Momentum
c = 光速 Speed of light
m = 質量 Mass

由於光子沒有質量，因此可以簡化如下:

$$E=pc$$

$$p=E/c=h\nu /c$$

又

$c=\lambda \nu$，可得知動量p與波長

$\lambda$之間的關係:

$$p=h\nu /\lambda \nu =h/\lambda$$