02_原子軌域

這是MIT OpenCourseWare所提供的免費線上課程，課程連結點這裡!

薛丁格方程式 Schrodinger Equation

1927年，Erwin Schrodinger寫下以下方程式來代表粒子在微觀世界的行為。
Schrodinger equation:

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

$\hat{H}$ = Hamiltonian operator，為計算粒子的動能K.E.及位能P.E.加總的表達式。

$\psi$ = 波函數(wavefunction)，描述粒子的量子態。

$E$ = 粒子的總能量，以電子而言，代表電子與質子間的結合能(binding energy)。

解薛丁格方程式的目標在於:

• 找出
  $\psi$，波函數(wavefunction)，又成為軌域(Orbitals)。
• 找出
  $E$，結合能binding energy，也就是動能K.E加上位能P.E，其中P.E.即是庫倫力Coulomb force。

對氫原子而言，將電子的K.E.及P.E.加總後可以得出以下公式:

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

$$\hat{H}\psi =\frac{-1}{n^2}\frac{m{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}\psi =-\frac{R_H}{n^2}\psi$$

$R_H$ = Rydberg's constant n = 1, 2, 3…

$\mathrm{\infty }$ (n只能是整數)

n只能是整數的原因可以參考這部影片，這也是為什麼這們科學稱為量子力學的原因(principle quantum)。

氫原子的能量階層:

所有的結合能均為負值，負值越高，電子越穩定。當n=

$\mathrm{\infty }$,

$E_n$=0，代表電子為自由狀態不受質子束縛。

n = 1, 稱為ground state，是最穩定也是

$E_n$值最低的狀態。

游離能Ionization energy (IE)

游離能代表將位在

$n^{th}$state的電子變成自由電子所需要的能量。

$$E_n=-IE$$

• 氫原子在ground state的游離能(IE)=
  $2.18\times {10}^{-18}$J，代表氫原子需要這麼多能量才能將位在ground state的電子，釋放為自由電子。
• 氫原子的第一個激發態first excited state代表(n = 2) =
  $5.45\times {10}^{-19}$J。
• 注意: 第三個激發態代表n = 4，以此類推。

計算不同元素的結合能binding energy

任何單電子的元素可用以下公式描述:

$$E_n=-\frac{Z^2{R}_H}{n^2}$$ Z = 原子量Atomic number

確認氫原子的能量位階

發散光子

當激發態的光子降到較低的能量態時便會發散光子，其中光子所帶的能量等同於激發態與較低能量態之間的能量差。

$$\mathrm{\Delta }E=E_i-E_f$$

$E_i$ = Energy of initial state，初始能量態

$E_f$ = Energy of final state，到達的能量態
其中

$E_i>E_f$

由於能量可由以下公式換算:

$$\mathrm{\Delta }E=h\nu$$

$$\nu =\frac{\mathrm{\Delta }E}{h}=\frac{E_i-E_f}{h}$$

$$c=\lambda \nu$$

當能量差

$\mathrm{\Delta }E$越大，頻率

$\nu$也就越高(波長

$\lambda$越短)，發散的光就越接近紫光；反之能量差

$\mathrm{\Delta }E$越小，頻率

$\nu$也就越低(波長

$\lambda$越長)，發散的光就越接近紅光。