Sampling survey

小補充 :

$SRSWOR$ 是 隨機抽出不放回(Simple Random Sample Without Replacement)

$SRSWR$ 是 隨機抽出放回(Simple Random Sample With Replacement)

Part 1. 基礎統計量計算

首先會先分成 SRSWOR 或是 SRSWR
因為計算時會有些許差異

SRSWOR

求出母體均數(

$\bar{Y}$ )，以及母體變異數 (

${\sigma }^2,S^2$)

$\begin{array}{rl}\Rightarrow & \bar{Y}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^N{y}_i}{N}\\ & {\sigma }^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^N(y_i-\bar{Y}{)}^2}{N}\\ & S^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^N(y_i-\bar{Y}{)}^2}{N-1}\end{array}$

分別列出樣本均數(

$\bar{y}$ )，樣本變異數(

$s^2$ )

$\begin{array}{rl}\Rightarrow & \bar{y}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^n{y}_i}{n}\\ & s^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}{n-1}\end{array}$

一些重要觀念 :

$E(\bar{y})=\bar{Y}$

$E(s^2)=S^2$

$\begin{array}{rl}V(\bar{y})& =\frac{1-f}{n}\cdot S^2,f=\frac{n}{N}\\ & =E({\bar{y}}^2)-{[E(\bar{y})]}^2\end{array}$

判斷是否是 unbiased(不偏) :

$\bar{Y}-E(\bar{y})=0\Rightarrow unbiased$

---

下方是例題 :

題目給定 :

$N=3$，母體 :

$\{5,7,9\},n=2,SRSWOR$
求出 :
(1)

$\bar{y},unbias?$
(2)

$s^2,\text{prove }E(s^2)=S^2?$
(3)

$\text{prove }V(\bar{y})=\frac{1-f}{n}\cdot S^2?$

解法 :
首先把已知的樣本估計做成表格 :

$y_i$	$(5,7)$	$(5,9)$	$(7,9)$
$\overline{y_i}$	$6$	$7$	$8$
$P(\bar{y})$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$s^2$	$\frac{(5-6{)}^2+(7-6{)}^2}{2-1}=2$	$\frac{(5-7{)}^2+(9-7{)}^2}{2-1}=8$	$\frac{(7-8{)}^2+(9-8{)}^2}{2-1}=2$

接著計算出一些基本會用到的值 :

$\bar{Y}=\frac{5+7+9}{3}=7$

$S^2=\frac{(5-7{)}^2+(7-7{)}^2+(9-7{)}^2}{3-1}=4$

$\begin{array}{rl}V(\bar{y})& =E({\bar{y}}^2)-(E(\bar{y}){)}^2\\ & =\frac{1}{3}\times (6^2+7^2+8^2)-(\frac{1}{3}\times (6+7+8){)}^2=\frac{2}{3}\end{array}$

最後就可以開始解上述題目
(1)

$E(\bar{y})=\frac{6+7+8}{3}=7$
又

$\because \bar{Y}-E(\bar{y})=7-7=0$

$\therefore unbias$
(2)

$s^2$ 已經在表格中顯示

$E(s^2)=\frac{1}{3}\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{1}{3}\cdot 2=4$

$\therefore E(s^2)=4=S^2$ 得証
(3)

$\because \frac{1-f}{n}\cdot S^2=\frac{1-\frac{2}{3}}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{3}$

$\therefore V(\bar{y})=\frac{2}{3}=\frac{1-f}{n}\cdot S^2$ 得証

SRSWR

求出母體均數(

$\bar{Y}$ )，以及母體變異數 (

${\sigma }^2,S^2$)

$\begin{array}{rl}\Rightarrow & \bar{Y}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^N{y}_i}{N}\\ & {\sigma }^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^N(y_i-\bar{Y}{)}^2}{N}\\ & S^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^N(y_i-\bar{Y}{)}^2}{N-1}\end{array}$

分別列出樣本均數(

$\bar{y}$ )，樣本變異數(

$s^2$ )

$\begin{array}{rl}\Rightarrow & \bar{y}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^n{y}_i}{n}\\ & s^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}{n-1}\end{array}$

一些重要觀念 :

$E(\bar{y})=\bar{Y}$

$E(s^2)={\sigma }^2$

$V(\bar{y})=\frac{{\sigma }^2}{n}$

判斷是否是 unbiased(不偏) :

$\bar{Y}-E(\bar{y})=0\Rightarrow unbiased$

---

下方是例題 :

題目給定 :

$N=3$，母體 :

$\{5,7,9\},n=2,SRSWR$
求出 :
(1)

$\bar{y},unbias?$
(2)

$s^2,\text{prove }E(s^2)={\sigma }^2?$
(3)

$\text{prove }V(\bar{y})=\frac{{\sigma }^2}{n}?$

解法 :
首先把已知的樣本估計做成表格 :

$y_i$	$(5,5)$	$(5,7)$	$(5,9)$	$(7,7)$	$(7,9)$	$(9,9)$
$\overline{y_i}$	$5$	$6$	$7$	$7$	$8$	$9$
$P(\bar{y})$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$
$s^2$	$\frac{(5-5{)}^2+(5-5{)}^2}{2-1}=0$	$2$	$8$	$0$	$2$	$0$

接著計算出一些基本會用到的值 :

$\bar{Y}=\frac{5+7+9}{3}=7$

${\sigma }^2=\frac{(5-7{)}^2+(7-7{)}^2+(9-7{)}^2}{3}=\frac{8}{3}$

$\begin{array}{rl}V(\bar{y})& =E({\bar{y}}^2)-(E(\bar{y}){)}^2\\ & =[\frac{1}{9}\times (5^2+7^2+9^2)+\frac{2}{9}\times (6^2+7^2+8^2)]-{\left[7\right]}^2=\frac{4}{3}\end{array}$

最後就可以開始解上述題目
(1)

$E(\bar{y})=\frac{1}{9}\times (5+7+9)+\frac{2}{9}\times (6+7+8)=7$
又

$\because \bar{Y}-E(\bar{y})=7-7=0$

$\therefore unbias$
(2)

$s^2$ 已經在表格中顯示

$E(s^2)=\frac{2}{9}\cdot 2+\frac{2}{9}\cdot 8+\frac{2}{9}\cdot 2=\frac{8}{3}$

$\therefore E(s^2)=\frac{8}{3}={\sigma }^2$ 得証
(3)

$\because \frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{3/8}{2}=\frac{4}{3}$

$\therefore V(\bar{y})=\frac{4}{3}=\frac{{\sigma }^2}{n}$ 得証

Part 2. 估計比例差&其信賴區間

估計比例差，並列出 95% 信賴區間(CI)

$P_1-P_2=\frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}$
接著就可以求出信賴區間 :

$se(P_1-P_2)=\sqrt{V(P_1-P_2)}$

$95\mathrm{\%}CI:(P_1-P_2)\pm 2\times se(P_1-P_2)$
除此之外，當這個 CI 包含

$0$ 的話，就代表沒有顯著差異

但計算

$V(P_1-P_2)$ 有 2 個不同算法，使用時機有差異

$\{\begin{array}{l}i.\mathrm{不}\mathrm{同}\text{color}red\mathrm{組}\mathrm{別}\mathrm{之}\mathrm{間}\mathrm{的}\mathrm{比}\mathrm{較}:V(P_1-P_2)=\frac{p_1\cdot q_1}{n_1}+\frac{p_2\cdot q_2}{n_2}\\ ii.\mathrm{不}\mathrm{同}\text{color}red\mathrm{選}\mathrm{項}\mathrm{之}\mathrm{間}\mathrm{的}\mathrm{比}\mathrm{較}:V(P_1-P_2)=\frac{1}{n}\cdot (p_1\cdot q_1+p_2\cdot q_2+2\cdot p_1\cdot p_2)\end{array}$

---

下方是例題 :

題目給定 :

次數	男性(M)	女性(F)	合計
贊成(1)	180	240	420
不贊成(2)	160	300	460
沒意見(3)	60	60	120
合計	400	600	1000

$n=1000,n_M=400,n_F=600$

(1) 估計男性與女性贊成的比例差(

$P_M-P_F$)，列出

$95\mathrm{\%}CI$，並說明有無顯著差異
(2) 估計女性中贊成與不贊成的比例差(

$P_1-P_2$)，列出

$95\mathrm{\%}CI$，並說明有無顯著差異

解法 :
(1)
可以先看出重點是比較 男性、女性 的贊成數
因此使用第 1 個公式(組別)

$P_M-P_F=\frac{180}{400}-\frac{240}{600}=0.05$

$V(P_M-P_F)=\frac{\frac{180}{400}\cdot \frac{220}{400}}{400}+\frac{\frac{240}{600}\cdot \frac{360}{600}}{600}=0.0062+0.0004=0.0012$

$se(P_M-P_F)=\sqrt{V(P_M-P_F)}=\sqrt{0.0012}=0.03464$

$\therefore 95\mathrm{\%}CI:0.05\pm (2\times 0.03464)=0.05\pm 0.06928$
又

$\because$ 區間包含

$0\Rightarrow$ 無顯著差異
(2)
可以先看出重點是比較女性中的 贊成、不贊成
因此使用第 2 個公式(選項)

$P_1-P_2=\frac{240}{600}-\frac{300}{600}=-0.1$

$V(P_1-P_2)=\frac{1}{600}\cdot (\frac{240}{600}\cdot \frac{360}{600}+\frac{300}{600}\cdot \frac{300}{600}+2\cdot \frac{240}{600}\cdot \frac{300}{600})=0.00148$

$se(P_1-P_2)=\sqrt{V(P_M-P_F)}=\sqrt{0.00148}=0.03847$

$\therefore 95\mathrm{\%}CI:-0.1\pm (2\times 0.03847)=-0.1\pm 0.07694$
又

$\because$ 區間不包含

$0\Rightarrow$ 有顯著差異

Part 3. 計算估計量

總共有 3 種估計量

• 比率估計量(ratio estimator,

  ${\bar{y}}_R$)
  估計平均(
  $\bar{Y}$)，標準誤(
  $se({\bar{y}}_R)$)
  
  $\Rightarrow \hat{R}=\frac{\bar{y}}{\bar{x}},{\bar{y}}_R=\hat{R}\cdot \bar{X}=\bar{Y}$
  
  $\Rightarrow se({\bar{y}}_R)=\sqrt{V({\bar{y}}_R)}=\sqrt{\frac{N-n}{N\cdot n}\cdot (s_y^2+{\hat{R}}^2\cdot s_x^2-2\cdot \hat{R}\cdot s_{xy})}$

• 回歸估計量(regression estimator,

  ${\bar{y}}_{lr}$)
  估計平均(
  $\bar{Y}$)，標準誤(
  $se({\bar{y}}_{lr})$)
  
  $\Rightarrow {\bar{y}}_{lr}=\bar{y}+\frac{s_{xy}}{s_x^2}\cdot (\bar{X}-\bar{x})$
  
  $\Rightarrow se({\bar{y}}_{lr})=\sqrt{V({\bar{y}}_{lr})}=\sqrt{\frac{N-n}{N\cdot n}\cdot s_y^2\cdot (1-(\frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}{)}^2)\cdot (\frac{n-1}{n-2})}$

• 單位估計量(mean per unit estimator,

  $\bar{y}$)
  
  $\bar{y}=\frac{\mathrm{\Sigma }{y}_i}{n}$
  
  $V(\bar{y})=\frac{N-n}{N\cdot n}\cdot s_y^2$

• 計算上述估計量的相對效率(relative efficiency)
  

  $\widehat{RE}(\frac{{\bar{y}}_R}{{\bar{y}}_{lr}})=\frac{V({\bar{y}}_{lr})}{V({\bar{y}}_R)},if>1\Rightarrow {\bar{y}}_R\text{ better}$
  以此類推
  (也可以看標準誤越小越好)

補充 :

• $s_y^2=\frac{\mathrm{\Sigma }{y}_i^2-n\cdot (\frac{\mathrm{\Sigma }{y}_i}{n}{)}^2}{n-1}$
• $s_x^2=\frac{\mathrm{\Sigma }{x}_i^2-n\cdot (\frac{\mathrm{\Sigma }{x}_i}{n}{)}^2}{n-1}$
• $s_{xy}=\frac{\mathrm{\Sigma }xy-n\cdot (\frac{\mathrm{\Sigma }{x}_i}{n})(\frac{\mathrm{\Sigma }{y}_i}{n})}{n-1}$

---

下方是例題 :

題目給定 :

$N=600,n=60,\bar{X}=20,{\mathrm{\Sigma }}_1^{60}x=900,{\mathrm{\Sigma }}_1^{60}y=1350,s_x^2=3600,s_y^2=6400,s_{xy}=4320$
求出上述

${\bar{y}}_R,{\bar{y}}_{lr},V(\bar{y}),V({\bar{y}}_R),V({\bar{y}}_{lr})$
並且計算出相對效率以及比較分析其精確度

解法 :
首先可以先做出

$\bar{x},\bar{y},\hat{R}$

$\bar{x}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}_1^{60}x}{60}=\frac{900}{60}=15$

$\bar{y}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}_1^{60}y}{60}=\frac{1350}{60}=22.5$

$\hat{R}=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}=\frac{22.5}{15}=1.5$

接著就可以計算出

${\bar{y}}_R=\hat{R}\cdot \bar{X}=1.5\cdot 20=30$

$\begin{array}{rl}{\bar{y}}_{lr}& =\bar{y}+\frac{s_{xy}}{s_x^2}\cdot (\bar{X}-\bar{x})\\ & =22.5+\frac{4320}{3600}\cdot (20-15)=28.5\end{array}$

$V(\bar{y})=\frac{600-60}{600\cdot 60}\cdot s_y^2=\frac{540}{36000}\cdot 6400=96$

$V({\bar{y}}_R)=\frac{600-60}{600\cdot 60}\cdot (s_y^2+{\hat{R}}^2\cdot s_x^2-2\cdot \hat{R}\cdot s_{xy})=23.1$

$\begin{array}{rl}V({\bar{y}}_{lr})& =\frac{600-60}{600\cdot 60}\cdot s_y^2\cdot (1-(\frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}{)}^2)\cdot (\frac{n-1}{n-2})\\ & =\frac{540}{36000}\cdot 6400\cdot (1-(\frac{4320}{60\cdot 80}{)}^2)\cdot (\frac{60-1}{60-2})=18.55\end{array}$

最後就可以比較他們之間的相對效率&精確度

$\widehat{RE}(\frac{{\bar{y}}_R}{\bar{y}})=\frac{V(\bar{y})}{V({\bar{y}}_R)}=\frac{96}{23.1},>1\Rightarrow {\bar{y}}_R\text{ better}$

$\widehat{RE}(\frac{{\bar{y}}_{lr}}{\bar{y}})=\frac{V(\bar{y})}{V({\bar{y}}_{lr})}=\frac{96}{18.55},>1\Rightarrow {\bar{y}}_{lr}\text{ better}$

$\widehat{RE}(\frac{{\bar{y}}_R}{{\bar{y}}_{lr}})=\frac{V({\bar{y}}_{lr})}{V({\bar{y}}_R)}=\frac{18.55}{23.1},<1\Rightarrow {\bar{y}}_{lr}\text{ better}$

$\therefore \text{precision : }{\bar{y}}_{lr}>{\bar{y}}_R>\bar{y}$

Part 4. 估計樣本大小

估計樣本大小，總共有 2 種估計法

• 估計母體比例 :
  通常題目會提到 : 支持率、比例介在…之間
  

  $P(|p-P|\le d)=1-\alpha$
  
  $n_0=\frac{t^2\cdot P\cdot Q}{d^2}$
  通常
  $t=2,P$ 會取最接近
  $50\mathrm{\%}$ 的
  $,Q=1-P,d$ 為題目給定(通常會是
  $3$)
  最終計算出樣本大小
  $n$
  
  $n\ge \frac{n_0}{1-\frac{1}{N}+\frac{n_0}{N}}$
  最後是把
  $n$ 無條件進位

• 估計母體均數 :
  通常題目會提到 : 在平均

  $(\bar{Y})$ 的
  $5\mathrm{\%}$ 內，這樣就代表求出
  $95\mathrm{\%}CI$
  
  $P(|\bar{y}-\bar{Y}|\le d)=1-\alpha$
  
  $n_0=\frac{t^2\cdot S^2}{d^2}$
  通常
  $t=2,S$ 是標準差
  $,d$ 為題目給定(通常會是
  $0.05$)
  最終計算出樣本大小
  $n$
  
  $n\ge \frac{n_0}{1+\frac{n_0}{N}}$
  最後是把
  $n$ 無條件進位

最終選取樣本大小時，應該採用這 2 種方法的最大值

---

下方是例題 :

題目給定 :

$N=1000,S=20,P=65\mathrm{\%}\sim 85\mathrm{\%},CI:95\mathrm{\%}$
精確度要求 :

$P(|p-P|\le 0.03)=0.95,P(|\bar{y}-\bar{Y}|\le 2.5)=0.95$

解法 :
首先先做估計母體比例 :

$P(|p-P|\le 0.03)=0.95$

$d=0.03,P$ 取

$0.65$ (因為最接近

$50\mathrm{\%}$)

$\Rightarrow n_0=\frac{2^2\cdot 0.65\cdot (1-0.65)}{(0.03{)}^2}=1011.11$

$\Rightarrow n=\frac{1011.11}{1-\frac{1}{1000}+\frac{1011.11}{1000}}=503.0127$
無條件進位取

$n=504$

接著做估計母體均數 :

$P(|\bar{y}-\bar{Y}|\le 2.5)=0.95$

$d=2.5$

$\Rightarrow n_0=\frac{2^2\cdot {20}^2}{(2.5{)}^2}=256$

$\Rightarrow n=\frac{256}{1+\frac{256}{1000}}=203.82$
無條件進位取

$n=204$

最終得到答案

$max(504,204)=504$