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基礎知識

  • \(|0> = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = | \uparrow >\)
    \(|1> = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = | \downarrow >\)

  • \(|0> \xrightarrow{H \ gate} |+> \equiv \cfrac{1}{\sqrt{2}}(|0>+|1>)\)
    \(|1> \xrightarrow{H \ gate} |-> \equiv \cfrac{1}{\sqrt{2}}(|0>-|1>)\)
    \(\Longrightarrow H \ gate = Ry(\cfrac{\pi}{2}) \ast Rx(\pi)\)

  • 創建 Bell State (糾纏態)

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    1. 第一步 : 放入 H gate : \(\cfrac{1}{\sqrt{2}}(|0>+|1>) \otimes |0> = \cfrac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|01>)\)
    2. 第二步 : 放入 CNOT gate : \(\cfrac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)\)
      這就是 Bell State 了，因為不能被拆解成 2 位元的 "張量積態" (tensor product state) 所以是一種糾纏態

  • \(\otimes\) 的算法是這樣 :

名詞翻譯

  • spherical coordinates : 球座標
  • retrieves : 檢索
  • monitors : 監測
  • fidelity : 保真度
  • depicts : 描述
  • global phase : 全局變量

電路程式觀念

  • qc.compose(qc要結合到的地方,{可多加一項 front = True表示加在要結合的電路的前面}) : 結合電路

  • qiskit.__version__ 或 qiskit.__qiskit_version__ : 是查看 qiskit 的版本

  • job_monitor : 監測現在的工作狀態

  • Aer.get_backend("qasm_simulator") : 獲取名叫 qasm_simulator 的後端

  • operator(qc) : 把電路轉為矩陣

  • qc.to_gate : 把電路轉為可以重複使用的 gate

  • qc.append(HGate(),[0]) : 在編號 0 的 qubit 中放入 H 閘，並且直接應用，沒有轉換

  • execute(...).result().get_memory() : 最後面的get_memory代表需要返回測量結果

  • execute(qc, sim, basic_gates = [u, cx]) : 在 sim 這個模擬器後端中執行 qc 這段電路後，展開到 u 閘 & cx 閘

  • %qiskit_backend_overview : check information on connective

  • qc.measure_all() : 在電路添加新的傳統位元保存狀態

  • .dim : 得知電路的維度，假設有2量子位元，就代表維度是2^2 = 4維，另外，輸入維度會等同於輸出維度

  • QuantumRegister(7) : 創建一個7量子位元的儲存器，英文描述會長這樣:quantum register with 7 qubits

  • 保真度 : 檢查2者是否相同，也就是說，假設2個相同的閘就算全局變量不一樣保真度還是會相同，保真度等於 1
    而看保真度的程式碼是 average_..._fidelity : …當中可以填入gate或state，但比較的雙方一定要是一樣的屬性，如果跑出來等於 1 ，就代表2者是相同的，下方是舉例 :
    \(\Longrightarrow \begin{cases} X gate = exp(-1j / 2) * X gate \ \ \ (gate 對上gate)\\ \\ [0,1] = [0, 1j] \ \ \ (state 對上 state) \end{cases}\) ，這2者的保真度都是 1
    另外看保真度的函式其實有這3種，通常選項出現3種問說哪些是對的時要選 average_..._fidelity 以及 process_fidelity ， 但 state_fidelity 是錯誤的(我也不知為啥)

  • sv.draw('hinton') 或是 sv.draw('hinton_plot') : 用 statevector 畫出 hinton plot

  • qc.qasm() : print in QASM syntax

  • plot_barriers = False in QuantumCircuit.draw : 不會顯示出barriers

  • plot_gate_map 還有 plot_error_map : show the gate map of the device

  • qc.draw('...',style = {'backgroundcolor' = '<color>'}) : 畫出電路圖， … 當中可以填上這3種 \(\Longrightarrow\)
    \(\begin{cases} i. \ \ \ mpl : 一般的電路圖，常看到的那種(內建) \\ ii. \ \ latex : 高質量的圖 \\ iii. \ text : ASCII 的表示圖 \end{cases}\)

  • QuantumRegister(int, name = '') 是叫出量子位元，可以附上名字，假設名字寫 a ，那出來的電路會寫 a0, a1 ,…；
    ClassicalRegister(int, name = '') 是叫出傳統位元，可以附上名字；
    QuantumCircuit(q,c) 是創建量子電路，裡面可以放入上述2種位元或是用 int 叫出

  • qc.measure(qubit, cbit) : 當中填入的 qubit & cbit 可以用 list 取代，像這樣
    qc.measure([0,1,2],[0,2,1]) 是代表 \(\begin{cases} 0 \ qubit \Rightarrow 0 \ cbit \\ 1 \ qubit \Rightarrow 2 \ cbit \\ 2 \ qubit \Rightarrow 1 \ cbit \end{cases}\)

  • 如果要在所有 qubits 中放上 barriers 可以用以下方法 :

    ​# 先假設創建 3 qubits & 3 cbits
​qc = QuantumCircuit(3,3)
​# 第一種
​qc.barrier([0,1,2])
​
​# 第二種
​qc.barrier([0:3])
​
​# 第三種
​qc.barrier()
​
​# 第四種
​qc.barrier(0,1,2)

  • 要輸出 matrix1 \(\otimes\) matrix2 :

    ​​​​matrix1 = DensityMatrix(matrix1)
​​​​result = matrix1.tensor(matrix2)
​​​​print(result)

  • 創建一個用 QASM 字串表達的量子電路 :

    ​​​​qc = QuantumCircuit.from_qasm_str(qasm_str)

  • qc.initialize(state, qubit) : state 可以放入 list 或 int 之類的，範例如下 \(\Longrightarrow\)
    假設要創建這樣的 statevector : [0.707+0.j, 0.+0.j, 0.+0.j, 0.707+0.j] 可以由以下2種方法達成

    ​# 第一種
​qc = QuantumCircuit(2)
​v = [1/sqrt(2), 0, 0, 1/sqrt(2)]
​qc.initialize(v,[0,1])
​
​#第二種
​qc = QuantumCircuit(2)
​qc.h(0)
​qc.cx(0,1)

    但如果有 2 個 qubit 的話就要這樣寫

    ​​​​qc.initialize([1,0,0,0],[0,1])

  • plot_state_city(sv, color = ["red","red"]) : 做出 3 維的柱狀圖，柱子顏色是紅色

  • plot_histogram(dict) : dict 放入字典，並且在後面可以加上 bar_labels=False ，讓圖上不會出現數字，下面是舉例
    plot_histogram({'000' : 450, '111' : 550}, bar_labels = False) 如果沒有 bar_labels=False 的話在橘色圈圈處會出現 450 以及 550

  • plot_bloch_multivector : 在球上有 statevector ，有多少 qubit 就會有多少球
    plot_bloch_vector : 只會出現 1 顆球而已
    plot_bloch_cartesian : 以笛卡爾座標繪製，在球上標點而已

  • qc.decompose().draw() : 把電路上的 gate 拆成單量子或是雙量子位元的 gate (英文會這樣描述 : draw the circuit as single and two-qubits gates only)，像是假設電路上放了 ccx gate 那就會被拆成很多 H CX T gate 之類的

  • plot_error_map() : 畫出錯誤率圖，長的像下圖這樣

  • plot_gate_map() : 畫出 物理qubit 以及 邏輯qubit 之間的關係，幫助了解現在的量子拓樸結構，長的像下圖這樣

  • execute(..., ..., optimization_level) : in the execute function, the parameter – optimization_level can set how much optimization to perform on the circuit

  • plot_bloch_multivector(vector) : vector 是要放入經過計算之後的 statevector，下方是舉例
    要產生這個圖 :

    首先我們知道要用 plot_bloch_multivector
    接著可以透過圖得知 qubit 0 沒有經過 gate 的旋轉，但 qubit 1 經過了 H gate 的旋轉
    那我們就可以先畫出電路圖 :

    再來可以去算 statevector :
    \(q_0 : \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
    \(q_1 : \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \cfrac{1}{\sqrt{2}} \ \cfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cfrac{1}{\sqrt{2}} \ \cfrac{-1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\)
    我們知道了 \(q_0, q_1\) 各自的 statevector 後接著就可以算綜合的 :
    \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \cfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \cfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}\)
    所以如果要畫出上述的2顆球的程式碼就會是這樣 :
    plot_bloch_multivector([1/sqrt(2),0, 1/sqrt(2),0])

  • job.status() 以及 job_monitor(job) : 查看目前的 job 的詳細資料(to get the information of the job when job = execute(qc,backend))
    補充 : 沒有這幾個用法

    • job_monitor(backend) : 不能把 backend 放在裡面
    • provider.status() : Account 不能得知目前狀態
    • backend.status() : 雖然可以執行，但不能得知 job 的詳細資料，只能得到 backend 的詳細資料

  • random_unitary(2) : 輸出 \([[\ ... ,\ ...], \ [\ ...,\ ...]],\ input\ dim = 2, \ output\ dim = 2\)
    random_statevector(2) : 輸出 \([...,\ ...],\dim = 2\)

重要觀念

  • circuit 也就是電路才有辦法 draw 出來， Register 或閘門之類的不能單純 draw 出來

  • 閱讀這種類型的東西時，注意是從高位到低位:|00>+|11> \(\Rightarrow\) |00>+|10> 代表是經過CNOT並且控制的部分是 1 號位元而目標是 0 號位元

  • .get_backend() 非常重要，就是要用哪個simulator來當後端

  • 只有 plot_histogram 沒有 plot_bar_chart 之類的，但可以透過plot_histogram([c1, c2],...) 來達成製作 bar 圖的目的

  • text is the default output method used to draw the circuit

  • execute 這個函數非常重要， execute(qc, sim, backend, basic_gates = [...], coupling_map = [[...],[...],...], optimization_level = n).result().get_memory() 這些都是常用會加上去的，請注意除了這些之外其他一些奇怪的不會加，例如甚麼mode, device之類的就不會

  • 如果要建立最大糾纏態 (entangle value) ，以 2 qubit 為例 :

    ​qc = QuantumCircuit(2)
​qc.h(0)
​qc.cx(0,1)
​# 注意 cx 的部分不可被改為 cy 或 cz

  • 基礎的 python 觀念 : [ a : b ] 是代表輸出 a ~ (b-1) 的數字不是 a~b

  • 判斷電路深度 : 畫出來，下面是範例

qc = QuantumCircuit(5)
qc.cx(0,1)
qc.cx(2,3)
qc.cx(3,4)


畫出來會長這樣，所以深度是 2

  • 不存在以下函數 :
    • 關於 bar_chart 的
    • plot_error.gate_map()
    • plot_VisualizationError()
    • qc.cexchange()
    • qc.ct()

Bloch Sphere

先釐清一個重要觀念，所謂的rotate X(或是Y、Z之類的)，就是圍繞該軸旋轉，像是下圖:

對於 |0> 來說原本是指向 0 的相位(粉色的線)，經過 RY gate 的旋轉 \(\pi\) 後(藍色的線)，會變成圖上箭頭的相位，也就是 1 ；同時最重要的，他的狀態向量會從 1|0> + 0|1> 變成 0|0> + 1|1>，在"|"前面的是出現的機率，後面的是出現的相位會是 0 或是 1
所以同理可以知道這樣是經過RY gate轉了 \(3/4 \pi\)後的結果(箭頭始終在x-z平面上旋轉所以只有經過RY gate 而已)

接下來介紹箭頭指向不同方向的 statevector 是甚麼 :

然後這是不同方向對應到的 statevector :

除此之外，如果是純vector的話就是一般的 3 維概念 :
像這張圖片就是用這個向量表現出來的 [1/sqrt(2),-1/sqrt(2),0]

接著，我們要判斷有多少 qubits 在 qsphere 上，可以藉由這些方法 :
先藉由數上面共有多少個點，像現在有8個點，也就是 2^3，所以共有 3 qubits

但像這個上面就已經有標向量了就看是幾位數，像 |000>就是 3 qubits

  • 補充 :
    逆時針方向是正向，非常重要!!!

Gate

(以下沒特別註明的話都是放在qubit中)
\(\cfrac{1}{\sqrt{2}} = 0.707\)

  • H gate :
    函數 : qc.h(target)
    電路圖 : qc.h(0)

    矩陣 : \(\cfrac{1}{\sqrt{2}} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
    補充 : H = Ry(\(\cfrac{\pi}{2}\)) * Rx(\(\pi\))， 如果有 2 個 H gate 會互相抵銷回到原始態
    另外 H gate 的bloch sphere 長這樣 :

  • T gate :
    函數 : qc.t(target)
    電路圖 : qc.t(0)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i \cdot \pi/4}\\ \end{bmatrix}\)
    補充 : 等同於繞 Z 軸旋轉 \(\cfrac{\pi}{4}\)，也就是說 T = Rz(\(\cfrac{\pi}{4}\))

  • S gate :
    函數 : qc.s(target)
    電路圖 : qc.s(0)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i \cdot \pi/2}\\ \end{bmatrix}\)
    補充 : 等同於繞 Z 軸旋轉 \(\cfrac{\pi}{2}\)，也就是說 \(S\) = \(T^2\) = \(Rz(\cfrac{\pi}{2})\)

  • Sdg gate :
    函數 : qc.sdg(target)
    電路圖 : qc.sdg(0)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{-i \cdot \pi/2}\\ \end{bmatrix}\)
    補充 : 等同於 S gate 的逆門(共軛)，也就是說會跟 S gate 抵銷掉，\(S^{\dagger} = Rz(-\cfrac{\pi}{2})\)

  • X gate :
    函數 : qc.x(target)
    電路圖 : qc.x(0)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}\)

  • Y gate :
    函數 : qc.y(target)
    電路圖 : qc.y(0)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0\\ \end{bmatrix}\)
    補充 : 是 X gate 和 Z gate 的組合，也就是說 Y gate 不只交換了 |0> 和 |1> 的狀態，還在結果狀態中添加了 i 的相對相位

  • Z gate :
    函數 : qc.z(target)
    電路圖 : qc.z(0)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix}\)
    補充 : 對 |0>、|1>沒有影響，但會更改相位，像是\(\begin{cases} Z|0> = \ \ \ |0> \\ Z|1> = -|1> \end{cases}\)

  • CNOT (CX) gate :
    函數 : qc.cx(control, target)
    電路圖 : qc.cx(0, 1)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix}\)

  • CRY gate :
    函數 : qc.cry(theta, control, target)
    電路圖 : qc.cry(np.pi, 0,1)

  • MCT gate : 一次串聯好幾個控制位元(用 list 串起來)
    函數 : mct([x1, x2, x3, ...], target)
    電路圖 : qc.mct([0,1,2], 3)

  • CCNOT (CCX) gate :
    函數 : qc.ccx(control_q1, control_q2, target)
    電路圖 : qc.ccx(0,1,2)

  • CZ gate :
    函數 : qc.cz(control, target)
    電路圖 : qc.cz(0,1)

    矩陣 : \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \end{bmatrix}\)

  • 補充-1 : 其實不只有CZ可以對 Z 軸旋轉，事實上可以藉由這 3 種 gate 達到: CZ, CP, CRZ，對應到的 gate 依序長這樣 \(\Longrightarrow\)

    此外 CZ gate 等價於 H, CNOT, H 組合再一起

  • 補充-2 : 創建 Bell state

    ​qc = QuantumCircuit(2)
​qc.h(0)
​qc.cx(0,1)

statevector 長這樣
電路圖長這樣

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  • 補充-3 : 創建 GHZ state

    ​qc = QuantumCircuit(2)
​qc.h(0)
​qc.cx(0,1)
​qc.cx(0,2)

    statevector 長這樣
    電路圖長這樣

  • 補充-4 :

    ​from qiskit import QuantumCircuit, Aer
​
​qc = QuantumCircuit(1)
​qc.h(0)
​qc.x(0)
​
​simulator=Aer.get_backend('unitary_simulator')
​result = execute(qc,simulator).result()
​
​unitary = result.get_unitary(qc)
​
​print(unitary)

    在 unitary_simulator 中執行這段程式碼會得到這個2維矩陣(非1維)，而矩陣的值可以通過計算經過的 gate 得到

  • 補充-5 : Pauli gates

    • X = HZH
    • Z = HXH
    • Y = |1>, \(\pi\)/2
      HYH = |1>, \(3\pi\)/2
    • XY = XYZ = \(| \uparrow >\), \(3\pi\)/2
    • XZ = \(| \downarrow >\), \(\pi\)
    • YZ = \(| \downarrow >\), \(3\pi\)/2
    • XX = \(| \uparrow >\), 0

  • 補充-6 : 旋轉門

    • 不能回到初始值 :
      \(\begin{cases} crz(\pi, 0, 1) \\ cp(\pi, 0, 1) \end{cases}\)
    • 可以回到初始值 :
      \(\begin{cases} cz(0, 1) \\ cp(\pi, 0, 1) \end{cases}\)

      \(\begin{cases} crz(\pi, 0, 1) \\ crz(-\pi, 0, 1) \end{cases}\)

      \(\begin{cases} cz(0, 1) \\ cz(1, 0) \end{cases}\)

  • 補充-7 : 暱稱

    • Reverse-Flip : H gate
    • Control-Flip : CNOT gate
    • Phase-Flip : Z gate
    • Bit-Flip : X gate

Qiskit & Simulators

  • Qiskit 共有4大組件，分別是 :

    1. Terra : 提供基本電路元件
    2. Aer : 提供用於傳統電腦的量子模擬
    3. Aqua : 提供關於量子演算法
    4. Ignis : 提供關於減少雜訊跟誤差的物件

  • 然後有這幾個重要的 simulator :

    1. aer_simulator : 提供統計結果
      輸出結果會類似這樣 : {'11': 504, '00': 520}
    2. unitary_simulator : 輸出是用單位矩陣表示
    3. aer_simulator_density_matrix : 輸出是用密度矩陣表示
    4. statevactor_simulator : 提供完整的狀態向量
      輸出結果會類似這樣 : Statevector([0.70710678+0.j, 0.+0.j, 0.+0.j,0.70710678+0.j],dims=(2, 2))
    5. ibmq_manila : 可以跑出字典以及生成柱狀圖

  • 在 BasicAer 中可以用的模擬器有這3個:

    1. qasm_simulator : 模擬電路的運行&生成結果
    2. unitary_simulator : 計算電路的結果，用矩陣表示
    3. statevector_simulator : 計算電路的結果，用向量表示
      補充 : 沒有basic_qasm_simulator, quantum…之類的

  • 在ibmq quito當中畫出讀取誤差 :

    ​​​​provider = IBMQ.load_account()
​​​​backend = provider.get_backend('ibmq_quito')
​​​​plot_error_map(backend)

  • assign qasm_simulator :

    1. BasicAer.get_backend('qasm_simulator')
    2. Aer.get_backend('qasm_simulator')

  • obtain the unitary of a circuit : unitary_simulator

  • 在 OpenQASM 當中創建 1 qubit & 1 cbit 的疊加態 :

    ​​​​qreg q[1] # 建 1 qubit
​​​​creg c[1] # 建 1 cbit
​​​​h q[0]    # 在 qubit 上放 H gate

  • 區分 Aer 跟 BasicAer 的用法:

    • Aer : 
      ​​​​​​​​Aer.get_backend("unitary_simulator")
​​​​​​​​result = execute(qc, simulator).result()
​​​​​​​​unitary = result.get_unitary(qc)
    • BasicAer : 
      ​​​​​​​​BasicAer.get_backend("unitary_simulator")
​​​​​​​​result = execute(qc, simulator).result()
​​​​​​​​unitary = result.get_unitary(qc)

    結論 : 似乎沒什麼差別，都要先經過 get_backend execute 最後是 get_unitary

  • BasicAer.backends() : 列出所有可用的 backends(會用 list 表示)

Statevalue & Statevector

  • Statevector.from_int(3,2**3) : 第一個 3 代表改變第 3 個(從 0 開始算，左到右)，第二部分 2 ** 3 代表共有 2 ** 3=8 個qubits

  • 如果 qubits 是特徵態 (eigenstate) : 那該電路的statevector會是最少並且全部包含，像是 \(\Longrightarrow\) 在 3 qubits 中會出現 000 –- 111、 001 –- 110、 011 –- 100之類的

  • 注意 qiskit 當中的 qubit 是依照(大到小)顯示的，也就是
    {'\(\underbrace{0}_{這是第2號位元}\) \(0\) \(\underbrace{1}_{這是第0號位元}\) \(:\) \(1000\) '}
    這樣是經過了qc.x(0)所產生的結果

  • eigenstate of \(\begin{cases} X \ axis \Rightarrow |+> ,\ |-> \\ Y \ axis \Rightarrow |1> ,\ |-1> \\ Z \ axis \Rightarrow |\Psi_1> , \ |\Psi_2> (\Psi是非0複數) \end{cases}\)

  • 經過 CX gate :
    eg.

    ​​​​qc.h(0)     # q_0 : 1/sqrt(2) * (|0>+|1>), q_1 : |0>
​​​​qc.cx(0,1)  
​​​​# 先把q_0 q_1 綜合起來(用otimes) : 1/sqrt(2) * (|00>+|01>)
​​​​# 接者套用 cx gate 的概念 當q_0 是 1 的時後翻轉 q_1
​​​​# 最後得到 1/sqrt(2) * (|00>+|11>)
​​​​

  • 閱讀 plot_state_city : (目前其實也還沒很懂)
    先看會出哪幾種 state (|00>, |11> 之類的)
    而至於會出現甚麼 state 需要自己計算
    eg. 創建 Bell State :

    ​​​​qc = QuantumCircuit(2)
​​​​qc.h(0)
​​​​qc.cx(0,1)

    從程式碼中我們可以計算出 state = \(\cfrac{1}{\sqrt{2}} \times (|00>+|11>)\)
    所以在 plot_state_city 中我們只會看到 00 跟 11 有柱子而已

參考資料

  1. 題目練習–1 :
    https://medium.com/@shraddhaaangiras0911/full-length-qiskit-certification-test-9a4f0b12d5d5
  2. 題目練習–2 :
    https://slides.com/javafxpert/prep-qiskit-dev-cert-exam#/18/0/0
  3. chatgpt教我怎麼作圖還有印出向量，程式碼如下 :
# 做出ry gate並且輸出statevector以及blochsphere
from qiskit import QuantumCircuit, Aer, transpile, assemble
from qiskit.visualization import plot_bloch_multivector
import numpy as np

theta = np.pi
# 創建量子電路
qc = QuantumCircuit(1)
a = qc.ry(theta, 0)


# 使用模擬器來模擬量子電路並取得輸出狀態向量
simulator = Aer.get_backend('statevector_simulator')
qc_transpiled = transpile(qc, simulator)
result = simulator.run(qc_transpiled).result()
statevector_result = result.get_statevector()

print(statevector_result)

# 繪製Bloch球
plot_bloch_multivector(statevector_result)

  1. 教我基礎知識的網站(裡面還有很多可以探索) :
    https://www.sharetechnote.com/html/QC/QuantumComputing_BlochSphere.html

  2. 其他人寫的復習手冊 :
    https://github.com/bartubisgin/qiskit-certified-exam-workbook/blob/main/Workbook-for-Qiskit-Developer-Certification.ipynb

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