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以 mapping 的寫法 :

{Ci, i=1, 2, 3, ..., n}X{X|特徵值}

注意題目設定的 range!!!

Basic

CDF

F(x)=0 or 1 時無法計算
F(x1)=p
所代表的意義是 : 有
p
的可能性看到
Xx1

算機率

{1.  P(n1<X<n2)=P(Xn2)P(Xn1)=F(x2)F(x1)2.  P(X=n)=P(X=n)P(X=n)={正常情況 : 0有跳點 : 大 - 小

當題目要求算出 constant c 時,可以運用

Σ所有的 x 值 p(x)=1

P(X<x)=F(x)

小補充 :

  • Σx=1n (r)x=a1(1rn)1r
  • Σx=1n x=n(n+1)2

重要例題-1 :

f(x)=1x2, 1<x<
F(x)=1x 1t2 dt

重要例題-2 :

if Y=aX+b
FY(y)=P(Yy)=P(aX+by)=P(Xyba)=\colorpurplex rangefX(x) dx

fY(y)=ddyFY(y)

ddy[FX(1a(yb))]=fX(1a(yb))×1a

重要例題-3 :

if Z=X+Y
P(Zz)=P(X+Yz)

且因為
y
的 range 會被
x
所影響
y=zx

P(Zz)=P(X+Yz)=\colorpurplex range\colorpurpley rangef(x, y) dy dx


PMF

給定

X=f(x)
Y=X2
要求出 pmf of
Y
:
可以先得知
y
的所有值
{x3}

接著就可以知道
f(y)=P(Y=y)=P(X3=y)=P(X=y3)=f(y3)

確認是否為 PMF :

  • P(x1, x2)>0
    (各點機率
    >0
    )
  • Σx1 x2P(x1, x2)=1
    (各點機率相加為
    1
    )

PDF

用積分的,需要注意積分的範圍(通常會借助畫圖)

pdf 的總和必為

1

P(X<x)=F(x)

算 joint pdf 時,需特別注意

x
y
各自的範圍 :
\colorpurplex range\colorpurpley rangef(x, y) dy dx

Distribution

Binomial

計算

P(xx)=1P(x<3)=1Σx=02 Cxn (p)x(1p)nx

\colorblueBin(n, p):P(X<t)=Σi=1t Cin (p)i(1p)ni

重要延伸 :

X1, X2Bin
p
相同且獨立
X1+X2
仍是
Bin


Geometric

\colorblueGeo(p):(1p)x×p


Poisson

一段時間發生幾次

new time = time ×2new λ=λ×2

\colorbluePoi(λ):λxeλx!


Exponential

發生一次等待多少時間

\colorblueExp(β):1βex/β
\colorredF(x)=1ex/β


Gamma

Gamma(α, β)
等待
β
時間發生
α

也就是
α
exp(β)
相加的結果

\colorblueGamma(α, β):xα1ex/βΓ(α)βα


Normal

\colorblueN(μ, σ2):12πσe12σ2(xμ)2

雙變數

f(x1, x2)=fX1|X2(x1|x2)×fX2(x2)

if XY:P(Y>y|X>x)=P(Y>y)

if XYf(x, y)=fX(x)fY(y) 遇到可以拆開的函式就拆開,這樣會比較好算
(
X, Y
可能各屬某種分布)