以 mapping 的寫法 :

$\{C_i,i=1,2,3,...,n\}\stackrel{X}{⟶}\{X|\text{特徵值}\}$

注意題目設定的 range!!!

Basic

CDF

當

$F(x)=0\text{ or }1$ 時無法計算

$F(x_1)=p$ 所代表的意義是 : 有

$p$ 的可能性看到

$X\le x_1$

算機率

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}1.P(n_1<X<n_2)=P(X\le n_2)-P(X\le n_1)=F(x_2)-F(x_1)\\ 2.P(X=n)=P(X=n)-P(X=n)=\{\begin{array}{l}\text{正常情況 : }0\\ \text{有跳點 : 大 - 小}\end{array}\end{array}$

當題目要求算出 constant c 時，可以運用

${\mathrm{\Sigma }}_{\text{所有的 x 值 }}p(x)=1$

$P(X<x)=F(x)$

小補充 :

• ${\mathrm{\Sigma }}_{x=1}^n(r{)}^x=\frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$
• ${\mathrm{\Sigma }}_{x=1}^{n}x=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$

重要例題-1 :

$f(x)=\frac{1}{x^2},1<x<\mathrm{\infty }$

$\Rightarrow F(x)={\int }_1^x\frac{1}{t^2}dt$

重要例題-2 :

$\text{if }Y=aX+b$

$\Rightarrow F_Y(y)=P(Y\le y)=P(aX+b\le y)=P(X\le \frac{y-b}{a})=\underset{\text{x range}}{\underbrace{\int }}{f}_X(x)dx$

$f_Y(y)=\frac{d}{dy}{F}_Y(y)$

$\frac{d}{dy}\left[F_X(\frac{1}{a}(y-b))\right]=f_X(\frac{1}{a}(y-b))\times \frac{1}{a}$

重要例題-3 :

$\text{if }Z=X+Y$

$\Rightarrow P(Z\le z)=P(X+Y\le z)$
且因為

$y$ 的 range 會被

$x$ 所影響

$\Rightarrow y=z-x$

$\therefore P(Z\le z)=P(X+Y\le z)=\underset{\text{x range}}{\underbrace{\int }}\underset{\text{y range}}{\underbrace{\int }}f(x,y)dydx$

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PMF

給定

$X=f(x)$
當

$Y=X^2$ 要求出 pmf of

$Y$ :
可以先得知

$y$ 的所有值

$\in \{x^3\}$
接著就可以知道

$f(y)=P(Y=y)=P(X^3=y)=P(X=\sqrt[3]{y})=f(\sqrt[3]{y})$

確認是否為 PMF :

• $P(x_1,x_2)>0$ (各點機率
  $>0$)
• ${\mathrm{\Sigma }}_{x_1{x}_2}P(x_1,x_2)=1$ (各點機率相加為
  $1$)

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PDF

用積分的，需要注意積分的範圍(通常會借助畫圖)

pdf 的總和必為

$1$

$P(X<x)=F(x)$

算 joint pdf 時，需特別注意

$x$ 跟

$y$ 各自的範圍 :

$\underset{\text{x range}}{\underbrace{\int }}\underset{\text{y range}}{\underbrace{\int }}f(x,y)dydx$

Distribution

Binomial

計算

$P(x\le x)=1-P(x<3)=1-{\mathrm{\Sigma }}_{x=0}^2{C}_x^n(p{)}^x\cdot (1-p{)}^{n-x}$

$Bin(n,p):P(X<t)={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^t{C}_i^n(p{)}^i\cdot (1-p{)}^{n-i}$

重要延伸 :

$X_1,X_2\sim Bin$ 且

$p$ 相同且獨立

$\Rightarrow X_1+X_2$ 仍是

$Bin$

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Geometric

$Geo(p):(1-p{)}^x\times p$

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Poisson

一段時間發生幾次

$\text{new time = time }\times 2\Rightarrow \text{new }\lambda =\lambda \times 2$

$Poi(\lambda ):\frac{{\lambda }^x\cdot e^{-\lambda }}{x!}$

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Exponential

發生一次等待多少時間

$Exp(\beta ):\frac{1}{\beta }\cdot e^{-x/\beta }$

$\Rightarrow F(x)=1-e^{-x/\beta }$

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Gamma

$Gamma(\alpha ,\beta )$
等待

$\beta$ 時間發生

$\alpha$ 次
也就是

$\alpha$ 個

$exp(\beta )$ 相加的結果

$Gamma(\alpha ,\beta ):\frac{x^{\alpha -1}\cdot e^{-x/\beta }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\cdot {\beta }^{\alpha }}$

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Normal

$N(\mu ,{\sigma }^2):\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }\cdot e^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}\cdot (x-\mu {)}^2}$

雙變數

$f(x_1,x_2)=f_{X_1|X_2}(x_1|x_2)\times f_{X_2}(x_2)$

$\text{if }X\perp \perp Y:P(Y>y|X>x)=P(Y>y)$

$\text{if }X\perp \perp Y\Rightarrow f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\Rightarrow$ 遇到可以拆開的函式就拆開，這樣會比較好算
(

$\because X,Y$ 可能各屬某種分布)