以 mapping 的寫法 :
$\{ C_i,\ i = 1,\ 2,\ 3,\ ... ,\ n \} \stackrel{X}{\longrightarrow} \{ X | \text{特徵值} \}$

**注意題目設定的 range!!!**

# Basic

## CDF
當 $F(x) = 0 \text{ or } 1$ 時無法計算
$F(x_1) = p$ 所代表的意義是 : 有 $p$ 的可能性看到 $X \le x_1$

算機率 $\Rightarrow \begin{cases} 1.\ \ P(n_1 < X < n_2) = P(X \le n_2) - P(X \le n_1) = F(x_2) - F(x_1) \\ 2.\ \ P(X = n) = P(X = n) - P(X = n) = \begin{cases} \text{正常情況 : } 0 \\ \text{有跳點 : 大 - 小} \end{cases} \end{cases}$

當題目要求算出 constant c 時，可以運用 $\Sigma_{\text{所有的 x 值 }} p(x) = 1$

$P(X < x) = F(x)$

::: success
小補充 :
* $\Sigma_{x = 1}^{n} \ (r)^x = \cfrac{a_1 \cdot (1-r^n)}{1-r}$
* $\Sigma_{x = 1}^{n} \ x = \cfrac{n \cdot (n+1)}{2}$
:::

::: info
重要例題-1 :
$f(x) = \cfrac{1}{x^2},\ 1 < x < \infty$
$\Rightarrow F(x) = \int_{1}^{x}\ \cfrac{1}{t^2} \ dt$
:::

:::info
重要例題-2 :
$\text{if } Y = aX + b$
$\Rightarrow F_Y(y) = P(Y \le y) = P(aX + b \le y) = P(X \le \cfrac{y-b}{a}) = \underbrace{\int}_{\color{purple}{\text{x range}}} f_X(x) \ dx$
$f_Y(y) = \cfrac{d}{dy}F_Y(y)$
$\cfrac{d}{dy} \left[ F_X \left( \cfrac{1}{a}(y-b) \right) \right] = f_X \left( \cfrac{1}{a}(y-b) \right) \times \cfrac{1}{a}$
:::

::: info
重要例題-3 :
$\text{if } Z = X + Y$
$\Rightarrow P(Z \le z) = P(X+Y \le z)$
且因為 $y$ 的 range 會被 $x$ 所影響 $\Rightarrow y = z - x$
$\therefore P(Z \le z) = P(X+Y \le z) = \underbrace{\int}_{\color{purple}{\text{x range}}} \underbrace{\int}_{\color{purple}{\text{y range}}} f(x,\ y) \ dy \ dx$
:::

---

## PMF
給定 $X = f(x)$
當 $Y = X^2$ 要求出 pmf of $Y$ :
可以先得知 $y$ 的所有值 $\in \{ x^3 \}$
接著就可以知道 $f(y) = P(Y = y) = P(X^3 = y) = P(X = \sqrt[3]{y}) = f(\sqrt[3]{y})$

確認是否為 PMF :
* $P(x_1,\ x_2) > 0$ (各點機率 $>0$)
* $\Sigma_{x_1 \ x_2} P(x_1,\ x_2) = 1$ (各點機率相加為 $1$)

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## PDF
用積分的，需要注意積分的範圍(通常會借助**畫圖**)

pdf 的總和必為 $1$

$P(X < x) = F(x)$

算 joint pdf 時，需特別注意 $x$ 跟 $y$ 各自的範圍 :
$\underbrace{\int}_{\color{purple}{\text{x range}}} \underbrace{\int}_{\color{purple}{\text{y range}}} f(x,\ y) \ dy \ dx$

# Distribution

## Binomial
計算 $P(x \le x) = 1 - P(x<3) = 1 - \Sigma_{x = 0}^{2} \ C_x^n \ (p)^x \cdot (1-p)^{n-x}$

$\color{blue}{Bin(n,\ p) : P(X < t) = \Sigma_{i = 1}^{t} \ C_i^n \ (p)^i \cdot (1-p)^{n-i}}$

::: danger
重要延伸 :
$X_1,\ X_2 \sim Bin$ 且 $p$ 相同且獨立 $\Rightarrow X_1 + X_2$ 仍是 $Bin$
:::

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## Geometric
$\color{blue}{Geo(p) : (1-p)^x \times p}$

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## Poisson
一段時間發生幾次

$\text{new time = time } \times 2 \Rightarrow \text{new } \lambda = \lambda \times 2$

$\color{blue}{Poi(\lambda) : \cfrac{\lambda^x \cdot e^{-\lambda}}{x!}}$

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## Exponential
發生一次等待多少時間
$\color{blue}{Exp(\beta) : \cfrac{1}{\beta} \cdot e^{-x/ \beta}}$
$\Rightarrow \color{red}{F(x) = 1 - e^{-x/ \beta}}$

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## Gamma
$Gamma(\alpha,\ \beta)$
等待 $\beta$ 時間發生 $\alpha$ 次
也就是 $\alpha$ 個 $exp(\beta)$ 相加的結果

$\color{blue}{Gamma(\alpha,\ \beta) : \cfrac{x^{\alpha - 1} \cdot e^{-x / \beta}}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha}}}$

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## Normal
$\color{blue}{N(\mu,\ \sigma^2) : \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma} \cdot e^{-\frac{1}{2 \sigma^2} \cdot (x - \mu)^2}}$

# 雙變數
$f(x_1,\ x_2) = f_{X_1|X_2}(x_1 | x_2) \times f_{X_2}(x_2)$

$\text{if } X \perp\kern-5pt \perp Y : P(Y > y | X > x) = P(Y > y)$

$\text{if } X \perp\kern-5pt \perp Y \Rightarrow f(x,\ y) = f_X(x) f_Y(y) \Rightarrow$ 遇到可以拆開的函式就拆開，這樣會比較好算
($\because X,\ Y$ 可能各屬某種分布)