Adagrad、RMSprop、Momentum and Adam -- 特殊的學習率調整方式
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>* 本文內容節錄自Hung-yi Lee , [Machine Learning](http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML17_2.html)(2017) 課程內容 : Gradient Descent、Tips for training DNN
>* 本文圖片均來自於課程講義內容
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在深度學習中,我們進行優化的方式大多使用的是 Gradient Descent,其一般化的形式
矩陣型態 : $\boldsymbol{W}^{t+1}\leftarrow\boldsymbol{W}^t-\eta\cdot\nabla L(\boldsymbol{W}^t)$
我們也可以單看其中一個分量權重 : $w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\eta\cdot\frac{\partial L}{\partial w_i}$
我們曾經在 [Gradient descent 梯度下降](https://hackmd.io/s/ryQypiDK4) 一文中有討論過,若 $\eta$ ( 學習率 )固定時,太大太小都可能讓我們在優化的過程中遇到困難,最好的方式就是讓 $\eta$ 隨著優化的過程逐漸地減少。[^1]
[^1]: 在 Keras 裡面 ,當我們要進行 model compile 時,需要設置一個 optimizer 參數,系統內提供了許多的優化器可供使用 : RMSprop、SGD、Adagrad、....,這些都是基於 Gradient Descent 之上,但在學習率上面進行不同的設置。
## Adagrad --- 彈性使用 Learning Rate
$\eta$ 應該怎麼設 ? 跟次數成反比的 $\frac{1}{t}$ decay 是最簡單的方式 $\eta^t=\frac{\eta}{\sqrt{t+1}}$ ,但這顯然太過簡單。
Adagrad 所使用的 $\eta^t=\displaystyle{\frac{\eta}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{t}(\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W}^n))^2+\epsilon}}}$
( 此處的 $\epsilon$ 旨在不讓分母為 0 的情況產生,一般 $\epsilon=$ 10e-8 )
我們稍微調整一下,Adagrad 的參數優化方式可以這樣寫 :
$w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\displaystyle{\frac{\eta}{\sigma^t}}g^t$ , whare $g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})$ and $\sigma^t=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{t}(\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W}^n))^2+\epsilon}$
<font color="#dd0000">**參數建議 $\eta=0.01$**</font>
白話一點來說,$g^t$ 代表的是第 $t$ 次的梯度更新值,而 $\sigma^2$ 則代表的是第 $t$ 次以前的所有梯度更新值之平方和開根號。
### Adagrad 的矛盾 ?
上式中 $g^t$ 清楚地描繪了「當斜率越大,就必須要跨越大步」的這一個事實,但也別忽略了分母的 $\sigma^2$ 卻會造成相反的結論。
要了解這一個狀況是否會產生矛盾,我們要從斜率 (一次微分) 與跨多大步的關係來看 :
![](https://i.imgur.com/e29ZoCj.png)
假定 Loss function 為一個二次函數,現有一點 $x_0$,從基本數學來看,最好的一步便是 $\mid x_0+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\mid$ 。從這裡我們可以看出來,當一次微分值越大,表示 $x_0$ 距離最低點越遙遠,要跨得步伐便越大。
然而事情並沒有想像的這麼簡單,倘若在一個高維度空間下,光看一次微分是無法進行跨維度、跨參數的比較
![](https://i.imgur.com/lFmmFnb.png)
上圖中的 a 與 c 單從一次微分來看,無法進行比較。
從上上一張圖片中,我們其實忽略了 $\mid x_0+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\mid=\displaystyle{\frac{\mid 2ax_0+b\mid}{2a}}$ 式中分母 $2a$ 其實就是 Loss function 的二次微分值,在單一維度中,這個常數項或許可以被忽略,但要進行跨參數的比較時,這樣一個數值便不可忽略。
倘若加入這一個分母進行討論,上圖 a 與 c 就可以進行比較了。
![](https://i.imgur.com/gL6dddh.png)
但在 Adagrad 中,為了不增加計算的負擔,我們更進一步的採用一次微分值來對二次微分值進行推估,不僅能達到相同的效果,也不用再一次計算二次微分值。
### Adagrad 的優缺點
#### 優點
1. 當 $t$ 持續增加,$\sigma$ 項會約束梯度,也就是說,Adagrad 可以自動調整 learning rate 直至收斂。
2. 適合處理稀疏梯度
#### 缺點
1. 當後期 $\sigma^t$ 值很大的時候,整個梯度會被約束到趨近於 0 ,導致訓練提前結束。
2. 仍然需要先設置一個全局學習率 $\eta$,且其大小仍然會影響訓練的過程。
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## RMSprop --- 處理複雜 error surface
然而,我們現實中常會碰到的 Loss function 並非都是平穩、簡單的,甚至絕大多數我們遇到的 Error surface 都非常複雜。
![](https://i.imgur.com/5N3U3Uy.png)
如上圖,即使在同一個維度上,學習率都有可能必須要能夠快速的反應、變動,因此 Hinton 提出了一個新的優化方式 : RMSprop
RMSprop 在 學習率調整上面多了一個參數 $\alpha$ ,可以在新舊梯度上面做調節
$w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\displaystyle{\frac{\eta}{\sigma^t}}g^t$ , whare $g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})$ and $\sigma^t=\sqrt{\alpha(\sigma^{t-1})^2+(1-\alpha)(g^t)^2+\epsilon}$
<font color="#dd0000">**參數建議 $\eta=0.001$ , $\alpha=0.9$**</font>
若 $\alpha$ 上調,便對於舊的梯度有更大的佔比,也就是說在整個調節的過程中較傾向相信舊梯度帶給我們的資訊。
### RMSprop 的優缺點
#### 優點
1. 有效改善 Adagrad 提前結束訓練的問題。
2. 適合處理複雜的、non-convex 的 error surface。
#### 缺點
1. 仍然需要先設置一個全局學習率 $\eta$
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## Momentum --- 跳脫出 Local minimum 的困境
在 Gradient Descent based algorithm 中,很容易會進入 Local minimum 中而跳脫不出來,雖然說有學者認為 Local minimum 在複雜多維度的 error space 中並不會這麼容易遇到,但 Momentum 或許也能為這個問題找出一個合適的處理方式。
![](https://i.imgur.com/V5wDXNv.png)
Momentum 是利用物理學中動量的概念來進行梯度更新 ( $\lambda$ 為動量因子 )
$v^0=0$
$w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t+v^t$ , where $v^t=\lambda\cdot v^{t-1}-\eta\cdot g^t$ , and $g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})$
<font color="#dd0000">**參數建議 $\lambda=0.9$**</font>
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![](https://i.imgur.com/pY7ZrkX.png =400x)
(註 : 此圖中的 $\theta^t$ 即本文中 $\boldsymbol{W}^t$)
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這樣的梯度更新包含了前次梯度的量值,也是在某種程度上面保留了原本的動能,如果遇到 local minimum 便有機會可以跳脫出來。
### Momentum 的優缺點
#### 優點
1. 當梯度更新時,$\lambda\cdot v^t$ 這項有助於減緩更新,可以抑制震盪,加快收斂。
2. 在初期,我們可以藉由較大的 $\lambda$ 來對整個訓練加速
3. 中後期由於梯度逐漸下降,因為我們有 $\lambda\cdot v^t$ 這項,可以使得擺動幅度加大,有助於跳脫出 Local minimum
#### 缺點
1. $\lambda$ 、$\eta$ 固定無法隨時調整
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## Adam --- 常用的 optimizer
Adaptive Moment Estimation ( Adam ) 其實就是加入了動量概念的 RMSprop,且在更新梯度過程中考慮了偏差校正 ( bias-correction )
$m^0=v^0=0$
$w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\eta\cdot\displaystyle{\frac{\hat{m}^t}{\sqrt{\hat{v}^t}+\epsilon}}$
where $m^{t+1}=\beta_1\cdot m^{t}+(1-\beta_1)\cdot g^t$ , and $v^{t+1}=\beta_2\cdot v^{t}+(1-\beta_2)\cdot (g^t)^2$
and $\hat{m}^t=\displaystyle{\frac{m^t}{1-\beta_1}}$ , $\hat{v}^t=\displaystyle{\frac{v^t}{1-\beta_2}}$ , $g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})$
<font color="#dd0000">**參數建議 $\beta=0.9$** , $\beta_2=0.999$</font>
上面的式子看起來有點恐怖,但其實仔細跟 RMSprop 比較一下,不管從更新方向或是更新步伐都帶入了 RMSprop 新舊權衡的概念,而其中參數 $\beta_1$ 及 $\beta_2$ 可以視為每一次更新後方向及不乏上的衰減率。
比較值得注意的是參數更新的部分是藉由 $\hat{m}^t$ / $\hat{v}^t$ 而非 $m^t$ / $v^t$ 來進行更新,$\hat{m}^t$ / $\hat{v}^t$ 可以視為是對 $m^t$ / $v^t$ 的偏差校正。
### Adam 的優缺點
#### 優點
1. 結合了 Adagrad、RMSprop 及 Momentum 的優點
2. 對內存的需求小
3. 對所有不同的參數都有新舊之間的權衡調節
4. 各種狀況均適用,是目前較為推薦的優化方式。
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#### 參考內容
1. Hung-yi Lee , [Machine Learning](http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML17_2.html)(2017) : Gradient Descent、Tips for training DNN
2. [深度学习最全优化方法总结比较(SGD,Adagrad,Adadelta,Adam,Adamax,Nadam)](https://zhuanlan.zhihu.com/p/22252270)
3. [深度学习——优化器算法Optimizer详解(BGD、SGD、MBGD、Momentum、NAG、Adagrad、Adadelta、RMSprop、Adam)](https://www.cnblogs.com/guoyaohua/p/8542554.html)
4. [深度学习笔记:优化方法总结(BGD,SGD,Momentum,AdaGrad,RMSProp,Adam)](https://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52989301)