VRGDA 算法浅析

本文将Paradigm的blog VRGDA做了简单整理，如需了解更多细节，请阅读原文。

概述

VRGDA全称是Variable Rate Gradual Dutch Auctions（可变速率渐进式荷兰拍卖），是Paradigm提出的一种代币发行机制。其目的是通过可定制的代币发行模型，实现渐进式荷兰拍的效果：当市场热度超出预期时，价格上涨；反之，当市场热度低于预期时，价格下跌；而当市场热度与预期一致时，其价格等于设定的目标价格。

在Art Gobblers项目中，有两种NFT通过VRGDA方式进行拍卖：一种是Gobbler，其总量具有固定上限10,000个；另一种是Page，无总量上限。这两种代币发行速率如下图所示：

定义

函数

为了实现荷兰拍卖的效果，需要寻找一种价格

$p$ 与时间

$t$ 的函数，使得随着时间

$t$ 的增长，价格

$p$ 呈下降趋势。

有很多函数可以满足要求，如paradigm在GDA文章中提到的：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& p_n(t)=k\cdot {\alpha }^n{e}^{-\lambda t}\end{array}$$

这里我们选择如下函数：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& p_n(t)=p_0\cdot c^t\text{, 0 < c < 1}\end{array}$$

其中，

$p_0$ 为起始价格，由于

$0<c<1$，因此随着时间

$t$ 增加，价格

$p_n$ 将小于

$p_0$。

假设

$c=0.7$，

$t$ 的时间单位为天，则其表示每天的价格为前一天的70%。

价格（纵轴）与时间（横轴）曲线如下图所示：

参数

定义如下参数：

• $p_0$ - 目标价格，如果NFT按照计划的速度拍卖，即市场热度符合预期，则每个NFT都将以该价格卖出
• $k$ - 在单位时间内，如果没有NFT成交，则NFT价格按照该百分比递减
• $f(t)$ - 代币发行模型，在时间
  $t$ 内，预计将有多少数量的NFT发行

我们使用

$1-k$ 替换公式（1）中的

$c$，可得：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& p_n(t)=p_0\cdot (1-k{)}^t\end{array}$$

假设

$k=0.30$，

$t$ 的时间单位为天，起始价格为

$p_0$，则表示如果没有成交，每天价格下降30%（为前一天的70%）。

代币模型

到目前为止，公式（3）已经实现了价格随时间下降的效果。

为了使价格能够反映市场热度，我们使用

$t-s_n$ 代替

$t$，即用一个由已拍卖代币数量

$n$ 定义的函数

$s_n$ 来控制

$t$。

我们希望

$s_n$ 能够实现以下效果：

1. 如果拍卖进度快于预期，则下一个NFT的起拍价格大于
   $p_0$
2. 如果拍卖进度慢于预期，则下一个NFT的起拍价格小于
   $p_0$
3. 如果拍卖进度等于预期，则下一个NFT的起拍价格等于
   $p_0$

假设拍卖进度等于预期，我们可以得出：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& p_0\cdot (1-k{)}^{t_n-s_n}=p_0\end{array}$$

可知此时

$t_n=s_n$，因此

$s_n$ 可以看作时间与代币数量的函数，即代币数量与时间函数

$f(t)$ 的反函数：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& s_n=t_n=f^{-1}(n)\end{array}$$

其中，代币数量与时间函数

$f(t)$，即为代币发行模型。

因为

$0<(1-k)<1$，如果拍卖进度快于预期，则

$t<s_n$，即

$t-s_n<0$，因此

$(1-k{)}^{t-s_n}>1$，可知：

$p_n>p_0$，即起拍价格大于

$p_0$；同理，如果拍卖进度慢于预期，则

$p_n<p_0$，即起拍价格小于

$p_0$。

特别地，当市场过热时，拍卖价格会急速上升，以降低市场热度，可以防止巨鲸批量拍卖。

这就实现了拍卖价格与市场热度相互作用。

VRGDA公式

VRGDA最终公式如下：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& vrgd{a}_n(t)=p_0(1-k{)}^{t-f^{-1}(n)}\end{array}$$

其中，

• $p_0$ - 目标价格
• $k$ - 每单位时间价格衰减百分比
• $f^{-1}(n)$ - 时间与代币数量的函数，即代币发行模型
  $f(t)$ 的反函数
• $t$ - 起拍到当前的时间

常见的代币发行模型

接下来我们以几个常见的代币发行模型为例，介绍VRGDA算法。

线性

假设预期每天卖出

$r$ 个NFT，则代币数量与时间的函数（发行模型）为：

$$f(t)=rt$$

对应的曲线为：

其反函数（时间与代币数量的函数）为：

$$f^{-1}(n)=\frac{n}{r}$$

代入公式（6）可得，线性发行速率的VRGDA公式为：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {linear\mathrm{\_}vrgda}_n(t)=p_0(1-k{)}^{t-\frac{n}{r}}\end{array}$$

平方根

假设预期第1个NFT在第1天卖出，第2个NFT在第4天卖出，第

$n$ 个NFT在

$n^2$ 天卖出，即代币数量与时间的函数为：

$$f(t)=\sqrt{t}$$

对应的曲线为：

其反函数为：

$$f^{-1}(n)=n^2$$

代入公式（6）可得：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {sqrt\mathrm{\_}vrgda}_n(t)=p_0(1-k{)}^{t-n^2}\end{array}$$

逻辑函数

逻辑斯蒂函数（Logistic Function）是一种S型函数，简化定义为：

$$l(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$$

其可将任意输入压缩到

$(0,1)$的范围内，如图所示：

我们可以使用逻辑函数作为具备总量上限的发行模型函数。

首先将函数沿纵坐标下移0.5（因为

$t=0$时，

$l(t)=0.5$），取

$t>0$，则

$0<l(t)<0.5$，函数表示为：

$$l(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}-0.5\text{, t > 0}$$

假设我们希望代币总量为

$L-1$，可将上述公式放大

$2L$，并引入一个时间乘数

$s$ 以控制发行速率，即可得到发行函数：

$$f(t)=\frac{2L}{1+e^{-st}}-L\text{, t > 0}$$

当

$t=\frac{1}{s}$ 时，可得：

$$\frac{f(\frac{1}{s})}{L}=\frac{2}{1+e^{-1}}-1\approx 0.46$$

因此可以选择

$s$ 为使得代币发行量达到总量的46%的时间。比如，如果希望100天以后发行量达到总量的46%，则

$\frac{1}{s}=100$，因此

$s=\frac{1}{100}=0.01$。

可计算

$f(t)$ 的反函数为：

$$f^{-1}(n)=-\frac{ln(\frac{2L}{L+n}-1)}{s}$$

代入公式（6），可得到基于逻辑函数的VRGDA公式：

$$\begin{array}{}\text{(9)}& logistic\mathrm{\_}vrgd{a}_n(t)=p_0(1-k{)}^{t+\frac{ln(\frac{2L}{L+n}-1)}{s}}\end{array}$$

对应的代币发行曲线如下图所示：

Art Gobblers 中的 VRGDA

在 Art Gobblers 项目中，Gobbler和Page两种NFT使用VRGDA方式拍卖，其中：

• Gobbler使用逻辑函数作为发行模型，其总量上限为10,000个
• Page使用了逻辑函数和线性发行相结合的方式，在一定时间后切换到线性发行，其总量无上限

以Gobbler为例，我们看看源码中是如何定义VRGDA拍卖相关参数的：

constructor(
    // Mint config:
    bytes32 _merkleRoot,
    uint256 _mintStart,
    // Addresses:
    Goo _goo,
    Pages _pages,
    address _team,
    address _community,
    RandProvider _randProvider,
    // URIs:
    string memory _baseUri,
    string memory _unrevealedUri
)
    GobblersERC721("Art Gobblers", "GOBBLER")
    Owned(msg.sender)
    LogisticVRGDA(
        69.42e18, // Target price.
        0.31e18, // Price decay percent.
        // Max gobblers mintable via VRGDA.
        toWadUnsafe(MAX_MINTABLE),
        0.0023e18 // Time scale.
    )

这里只需关注最后几行：

• 69.42e18：即目标价格（起始价格）
  $p_0$
• 0.31e18：表示如果一天内没有拍卖成功，则价格变为前一天价格的
  $1-0.31=69\mathrm{\%}$
• MAX_MINTABLE：最大可拍卖数，即
  $L-1$（注意，不是
  $L$）
• 0.0023e18：即时间乘数
  $s$，
  $\frac{1}{0.0023}\approx 435$ 表示预期在435天后拍卖出总量46%的代币，根据gobbler的拍卖计划，大概在第15个月（435天左右）达到拍卖量的46%。

总结

VRGDA提出了一种可定制代币模型的渐进式荷兰拍卖方式，让市场参与拍卖代币的定价。实际上该算法不仅可以应用在NFT拍卖中，也适用于ERC20代币拍卖。VRGDA算法本质上是一种AMM，通过算法动态调整市场价格。

参考文章

• Variable Rate GDAs: https://www.paradigm.xyz/2022/08/vrgda
• Gradual Dutch Auctions: https://www.paradigm.xyz/2022/04/gda
• Art Gobblers: https://www.paradigm.xyz/2022/09/artgobblers