我們在CH1討論了1st ODE，包含線性（我們能全部解決）以及非線性（我們僅能解決部分）。我們在一階的時候使用的方法，包含直接移項、積分因子（Integral Factor）、化為正和(Exact)、分離變數、變數變換等。 在高階（二階以上），我們需要面對的問題都會比一階還要難，包含我們不能直接移項，更不用說後面的技巧。 在高階，我們首先面對的是線性常係數齊性這麼簡單的形式，再來納入非齊性、再來納入變係數（也只能討論Eular Cauchy形式）。在非齊性中，就有不少方法協助解方程式，我認為方法都學起來是比較方便的。 方程總覽 $$ \begin{array}{c|r|r} ODE&H&NH\

微分方程領域，包含常微分方程與偏微分方程，是科學領域非常常見的數學表達。包含自然科學、環境科學、工程科學、經濟學等都會會出現微分方程的表達。我們面對微分方程式的最終目的，就是希望找到方程式的解，也就是$y$函數。 代數方程式：$x^2+4x+3=0$，解：$x=-1,-3$ 微分方程式：$y'+xy=0$，解：$y=Ce^{{1\over 2}x^2}$ 以上就會知道微分方程這個特殊的方程式的目的就是要找到應變數$y$的函數型態。 微分方程的分類 微分方程粗略的分類包含用自變數個數、微分項階數、線性或非線性、齊性或非齊性。

我們在CH1-CH2處理的問題都是要解$y(x)$，其實都只解一個函數。在許多議題中，系統之內的因子會互相影響，因此同時會牽扯到多的函數$y_1,y_2...$，注意這裡的$y_1,y_2$與齊性解$y_h=c_1y_1+c_2y_2$中的不同，指的是兩個不同的事情了。 案例：兩個湖（A,B）有自己的入流河與出流河，A湖上游有一個污染物流入，會隨著河流流入流出。AB之間的土壤會傳輸污染物，污染物會擴散到B湖，B湖也會隨著河川稀釋污染物。因此兩湖污染物濃度變化量就分別是兩湖污染物濃度的函數。 對於這個題目，我們需要知道一些環境化學的基礎才能建立模型，但我大概描述一下方程式： $$ \begin{cases} {dC_1\over dt}=-\left[{Q+k_wA+{DA'\over L}\over V}\right]C_1+\left[{{DA'\over L}\over V}\right]C_2+{C_sQ\over V}e^{-k_st}\\ {dC_2\over dt}=\left[{{DA'\over L}\over V}\right]C_1-\left[{Q+k_wA+{DA'\over L}\over V}\right]C_2