# 【工程數學】 一階微分方程

## 常微分方程式(ODE,Ordinary Differential Equations)

* 當微分方程式中只有**一個自變數**，且導函數皆為**全微分**(非偏微分)，則稱其**常微分方程式**。
* 以下幾個範例，`x`皆為**自變數**，`y = y(x)`為**應變數**。
* $y' + y = 0$
* $x^{2}dy + ydx = 0$
* $y' = y^{2}$
* $x \frac{dy}{dx} + 2y = sinx$
* $y'' + 4 y =0$
* $x^{2}y''+xy'+y=0$

## 偏微分方程式(Partial Differential Equations)

* 偏微分方程式中含有**兩個以上的自變數**，且導函數為**偏微分**。
* 以下幾個範例，`x`,`y`皆為自變數，`u=u(x,y)`為`x`和`y`的函數。
* $xu_{y}-yu_{x}=u$
* $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$

## 微分方程的階(Order)

* 微分方程式中，導函數最高階數代表整個方程式的階。
* 該筆記後面主要介紹**一階**微分方程的計算。

## 解的定義

* 給予`n`階微分方程式：
$$\frac{d^{n}y}{dx} = f\left ( x,y,\frac{dy}{dx},\cdots ,\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} \right )$$
* 若$\phi(x)$滿足
$$\phi^{(n)}(x) = f(x,\phi(x),\phi'(x),\cdots ,\phi^{(n-1)}(x))$$
* 則$\phi(x)$為該微分方程的解。

### 練習

> 證明
>
> 1) $\phi(x)=x^{2}-2x$；
> 2) $\phi(x)=5x^{2}-2x$
>
> 為 $xy'-2y-2x=0$ 的解。

1. 先將$\phi(x)$微分得到$\phi'(x)=2x-2$
代入方程式得到
$xy'-2y-2x=x\phi'(x)-2\phi(x)-2x$
$=x(2x-2)-2(x^{2}-2x)-2x$
$=2x^{2}-2x-2x^{2}+4x-2x$
$=0$#
得證。

2. 一樣先微分得到$\phi'(x)=10x-2$
代入方程式
$xy'-2y-2x=x\phi'(x)-2\phi(x)-2x$
$=x(10x-2)-2(5x^{2}-2x)-2x$
$=10x^{2}-2x-10x^{2}+4x-2x$
$=0$#
得證。

## 變數可分離微分方程式(Separable Differential Equations)

* 一階微分方程式，若經適當處理後可將**自變數`x`與應變數`y`分離**，改寫成$$A(y)dy=B(x)dx$$
* 我們稱之**變數可分離微分方程式**
* 方程式中$A(y)$只有`y`、$B(x)$只有`x`，因此只要對兩邊積分，加入常數`c`，得到解$$\int A(y)dy = \int B(x)dx + c$$

### 練習

> 解微分方程式
> $$(y+1)y'+x^{2}-x=0$$

* 用$\frac{dy}{dx}$代替$y'$得到$$(y+1)\frac{dy}{dx}+x^{2}-x=0$$
* 移項整理得到$$(y+1)dy=(-x^{2}+x)dx$$
* 兩邊積分得到$$\int (y+1)dy=\int (-x^{2}+x)dx$$ $$\frac{1}{2}y^2+y = -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^2+c$$
* 結果即為解。

### 通解與特解(General Solution and Particular Solution)

* 前面例題可以發現，解裡面含有常數`c`，不同的`c`就有不同的解，因此解有**無窮多**個。這種含有`c`的解稱為**通解**。
* 如果題目有給初始條件，決定最後的`c`，這樣就可以進一步得到該方程式的**特解**。

### 練習

> 求下面微分方程式的通解和特解$$\frac{dy}{dx}=2x,y(0)=2$$

* 先得到通解，將$dx$移項得到$$dy=2xdx$$
* 兩邊積分並加入常數，得到$$\int dy = \int 2xdx+c$$ $$y=x^2+c$$
* 上式即為**通解**。
* 將初始條件代入，可得到$x=0,y=2$時$$2=0+c$$
* $c=2$，因此特解即為$$y=x^2+2$$

## 正合微分方程式(Exact Differential Equation)

* 給一方程式$$u(x,y)=c$$將兩邊取微分得到$$du(x,y)=0$$再將偏微寫出來得到$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$$
* 顯然，一開始的方程式$u(x,y)=c$為上式的**通解**。
* 而任意一個微分方程式 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 只要滿足$$1.\,\,\,\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$$ $$2.\,\,\,\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$$該微分方程稱為**正合微分方程**。
* 要滿足正合條件，可推導出$$\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=0$$進一步得到$$du(x,y)=0$$積分後得到通解$\int du(x,y)=c$ $$u(x,y)=c$$

### 正合微分方程的計算

* 當 $\int M(x,y)dx$ 容易計算時，我們使用以下步驟：
1. 由 $\frac{\partial u}{\partial x}=M$ 得到$$u(x,y)=\int M(x,y)dx + k(y)$$
2. 由 $\frac{\partial u}{\partial y}=N$ 得到$$\frac{\partial}{\partial y} \int M(x,y)dx + k'(y)=N(x,y)$$上式可求得$k(y)$，將之再代回$u(x,y)$。
3. 加入常數`c`，得到通解$$u(x,y)=\int M(x,y)dx+k(y)=c$$
* 當 $\int N(x,y)dy$ 容易計算時就反過來做。

### 練習

> 求下微分方程式的通解$$(x^2+2y^2)dx+(4xy-y^2)dy=0$$

1. 確認是否為正合，令$M=x^2+2y^2$,$N=4xy-y^2$，則$$\frac{\partial M}{\partial y}=4y,\frac{\partial N}{\partial x}=4y$$得知$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$原方程式為正合微分方程式。
2. 感覺前面的積分比較好做，因此對$M$下手。
令$\frac{\partial u}{\partial x}=M$得到$$u(x,y)=\int M(x,y)dx+k(y)$$ $$=\int(x^2+2y^2)dx+k(y)$$ $$=\frac{1}{3}x^3+2y^2x+k(y)$$
3. 再由$\frac{\partial u}{\partial y}=N$，將上式對`y`偏微分得到$$4yx+k'(y)=4xy-y^2$$ $$k'(y)=-y^2$$
積分$k'(y)$得到$$k(y)=-\frac{1}{3}y^3+c_1$$
4. 將$k(y)代回2.的式子$得到$$u(x,y) = \frac{1}{3}x^3+2y^2x-\frac{1}{3}y^3+c_1$$
5. 通解為$$\frac{1}{3}x^3+2y^2x+-\frac{1}{3}y^3+c_1 = c_2$$
將常數合併得到答案$$\frac{1}{3}x^3+2y^2x-\frac{1}{3}y^3 = c$$

## 積分因子

* 當你發現一個方程式不是正合微分方程式的時候，我們可以將式子同乘一個積分因子$\phi(x,y)$，讓方程式變成正合微分方程式。
* 不同的情況，積分因子算的方法不一樣；因為有夠麻煩，請直接查表代入公式。
* *來源：課堂投影片

## 統整
* 統整步驟：

1. 確認是否為變數可分離
    * 如果是，跳至5.
2. 確認能不能變數代換成可分離
    * 如果能，跳至5.
3. 確認是否為正合微分方程式
    * 如果是，跳至5.
4. 計算積分因子
5. 計算通解
6. 如果需要，計算特解

## Info
* [我的網頁 Zerone](https://zero871015.github.io/)
* [name=Zero871015][time=Wed, Jun 5, 2019 2:44 AM]

###### tags: `note` `ODE`