【工程數學】 一階微分方程

常微分方程式(ODE,Ordinary Differential Equations)

• 當微分方程式中只有一個自變數，且導函數皆為全微分(非偏微分)，則稱其常微分方程式。
• 以下幾個範例，x皆為自變數，y = y(x)為應變數。
  • $y^{\prime }+y=0$
  • $x^{2}dy+ydx=0$
  • $y^{\prime }=y^2$
  • $x\frac{dy}{dx}+2y=sinx$
  • $y^{″}+4y=0$
  • $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+y=0$

偏微分方程式(Partial Differential Equations)

• 偏微分方程式中含有兩個以上的自變數，且導函數為偏微分。
• 以下幾個範例，x,y皆為自變數，u=u(x,y)為x和y的函數。
  • $x{u}_y-y{u}_x=u$
  • $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

微分方程的階(Order)

• 微分方程式中，導函數最高階數代表整個方程式的階。
• 該筆記後面主要介紹一階微分方程的計算。

解的定義

• 給予n階微分方程式：
  
  $$\frac{d^{n}y}{dx}=f(x,y,\frac{dy}{dx},\cdots ,\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}})$$
• 若
  $\varphi (x)$滿足
  
  $${\varphi }^{(n)}(x)=f(x,\varphi (x),{\varphi }^{\prime }(x),\cdots ,{\varphi }^{(n-1)}(x))$$
• 則
  $\varphi (x)$為該微分方程的解。

練習

證明

1. $\varphi (x)=x^2-2x$；
2. $\varphi (x)=5x^2-2x$

為

$x{y}^{\prime }-2y-2x=0$ 的解。

1. 先將

   $\varphi (x)$微分得到
   ${\varphi }^{\prime }(x)=2x-2$
   代入方程式得到
   
   $x{y}^{\prime }-2y-2x=x{\varphi }^{\prime }(x)-2\varphi (x)-2x$
   
   $=x(2x-2)-2(x^2-2x)-2x$
   
   $=2x^2-2x-2x^2+4x-2x$
   
   $=0$#
   得證。

2. 一樣先微分得到

   ${\varphi }^{\prime }(x)=10x-2$
   代入方程式
   
   $x{y}^{\prime }-2y-2x=x{\varphi }^{\prime }(x)-2\varphi (x)-2x$
   
   $=x(10x-2)-2(5x^2-2x)-2x$
   
   $=10x^2-2x-10x^2+4x-2x$
   
   $=0$#
   得證。

變數可分離微分方程式(Separable Differential Equations)

• 一階微分方程式，若經適當處理後可將自變數x與應變數y分離，改寫成
  $$A(y)dy=B(x)dx$$
• 我們稱之變數可分離微分方程式
• 方程式中
  $A(y)$只有y、
  $B(x)$只有x，因此只要對兩邊積分，加入常數c，得到解
  $$\int A(y)dy=\int B(x)dx+c$$

練習

解微分方程式

$$(y+1)y^{\prime }+x^2-x=0$$

• 用
  $\frac{dy}{dx}$代替
  $y^{\prime }$得到
  $$(y+1)\frac{dy}{dx}+x^2-x=0$$
• 移項整理得到
  $$(y+1)dy=(-x^2+x)dx$$
• 兩邊積分得到
  $$\int (y+1)dy=\int (-x^2+x)dx$$
  $$\frac{1}{2}{y}^2+y=-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+c$$
• 結果即為解。

通解與特解(General Solution and Particular Solution)

• 前面例題可以發現，解裡面含有常數c，不同的c就有不同的解，因此解有無窮多個。這種含有c的解稱為通解。
• 如果題目有給初始條件，決定最後的c，這樣就可以進一步得到該方程式的特解。

練習

求下面微分方程式的通解和特解

$$\frac{dy}{dx}=2x,y(0)=2$$

• 先得到通解，將
  $dx$移項得到
  $$dy=2xdx$$
• 兩邊積分並加入常數，得到
  $$\int dy=\int 2xdx+c$$
  $$y=x^2+c$$
• 上式即為通解。
• 將初始條件代入，可得到
  $x=0,y=2$時
  $$2=0+c$$
• $c=2$，因此特解即為
  $$y=x^2+2$$

正合微分方程式(Exact Differential Equation)

• 給一方程式
  $$u(x,y)=c$$將兩邊取微分得到
  $$du(x,y)=0$$再將偏微寫出來得到
  $$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$$
• 顯然，一開始的方程式
  $u(x,y)=c$為上式的通解。
• 而任意一個微分方程式
  $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 只要滿足
  $$1.\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$$
  $$2.\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$$該微分方程稱為正合微分方程。
• 要滿足正合條件，可推導出
  $$\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=0$$進一步得到
  $$du(x,y)=0$$積分後得到通解
  $\int du(x,y)=c$
  $$u(x,y)=c$$

正合微分方程的計算

• 當
  $\int M(x,y)dx$ 容易計算時，我們使用以下步驟：
  1. 由
     $\frac{\partial u}{\partial x}=M$ 得到
     $$u(x,y)=\int M(x,y)dx+k(y)$$
  2. 由
     $\frac{\partial u}{\partial y}=N$ 得到
     $$\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx+k^{\prime }(y)=N(x,y)$$上式可求得
     $k(y)$，將之再代回
     $u(x,y)$。
  3. 加入常數c，得到通解
     $$u(x,y)=\int M(x,y)dx+k(y)=c$$
• 當
  $\int N(x,y)dy$ 容易計算時就反過來做。

練習

求下微分方程式的通解

$$(x^2+2y^2)dx+(4xy-y^2)dy=0$$

1. 確認是否為正合，令
   $M=x^2+2y^2$,
   $N=4xy-y^2$，則
   $$\frac{\partial M}{\partial y}=4y,\frac{\partial N}{\partial x}=4y$$得知
   $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$原方程式為正合微分方程式。
2. 感覺前面的積分比較好做，因此對
   $M$下手。
   令
   $\frac{\partial u}{\partial x}=M$得到
   $$u(x,y)=\int M(x,y)dx+k(y)$$
   $$=\int (x^2+2y^2)dx+k(y)$$
   $$=\frac{1}{3}{x}^3+2y^{2}x+k(y)$$
3. 再由
   $\frac{\partial u}{\partial y}=N$，將上式對y偏微分得到
   $$4yx+k^{\prime }(y)=4xy-y^2$$
   $$k^{\prime }(y)=-y^2$$
   積分
   $k^{\prime }(y)$得到
   $$k(y)=-\frac{1}{3}{y}^3+c_1$$
4. 將
   $k(y)\mathrm{代}\mathrm{回}2.\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}$得到
   $$u(x,y)=\frac{1}{3}{x}^3+2y^{2}x-\frac{1}{3}{y}^3+c_1$$
5. 通解為
   $$\frac{1}{3}{x}^3+2y^{2}x+-\frac{1}{3}{y}^3+c_1=c_2$$
   將常數合併得到答案
   $$\frac{1}{3}{x}^3+2y^{2}x-\frac{1}{3}{y}^3=c$$

積分因子

• 當你發現一個方程式不是正合微分方程式的時候，我們可以將式子同乘一個積分因子
  $\varphi (x,y)$，讓方程式變成正合微分方程式。
• 不同的情況，積分因子算的方法不一樣；因為有夠麻煩，請直接查表代入公式。
  • *來源：課堂投影片

統整

• 統整步驟：

1. 確認是否為變數可分離
    * 如果是，跳至5.
2. 確認能不能變數代換成可分離
    * 如果能，跳至5.
3. 確認是否為正合微分方程式
    * 如果是，跳至5.
4. 計算積分因子
5. 計算通解
6. 如果需要，計算特解

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• Zero871015Wed, Jun 5, 2019 2:44 AM

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