克拉瑪公式證明

考慮一個

n \times n

線性方程組

A X = B

，其中

A

是一個可逆矩陣，

X

和

B

是

n

維的列向量。設

X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}

和

B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})^{T}

。

我們希望證明對於所有

i

，

x_{i}

的值由以下公式給出：

x_{i} = \frac{det (A_{i})}{det (A)}

其中

A_{i}

是將

A

的第

i

列由

B

替換得到的矩陣。

矩陣乘法的展開：

將
$A X = B$ 展開為：

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n}$

其中
$a_{i j}$ 是
$A$ 的元素。
替換與行列式的定義：

定義
$A_{i}$ 為將
$A$ 的第
$i$ 列替換為
$B$ 後的矩陣。根據行列式的多線性性質，我們可以得出：

$det (A_{i}) = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} b_{j} det (A_{j i})$

其中
$A_{j i}$ 是從
$A_{i}$ 刪除第
$j$ 行和第
$i$ 列後剩下的矩陣的行列式。
利用可逆性和矩陣的基本性質：

因為
$A$ 可逆，即
$det (A) \neq 0$ ，所以可以寫出：

$X = A^{- 1} B$

展開這個乘法，我們有：

$X = \frac{1}{det (A)} adj (A) B$

其中
$adj (A)$ 是
$A$ 的伴隨矩陣，它的每個元素由
$A$ 的余子矩陣的行列式給出。
完成證明：

對於每個
$i$ ，我們有：

$x_{i} = \frac{1}{det (A)} \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{j i} det (A_{j i}) b_{j}$

由於
$A_{i}$ 的第
$i$ 列是
$B$ ，所以
$det (A_{i})$ 正好是
$B$ 的元素
$b_{j}$ 替換
$A$ 的第
$i$ 列時產生的行列式。

因此，

$x_{i} = \frac{det (A_{i})}{det (A)}$

這樣，克拉馬公式得到證明，顯示

x_{i}

可以通過

A

和

A_{i}

的行列式比值計算得出。