# 克拉瑪公式證明

### 克拉馬公式證明

考慮一個 $n \times n$ 線性方程組 $AX = B$，其中 $A$ 是一個可逆矩陣，$X$ 和 $B$ 是 $n$ 維的列向量。設 $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 和 $B = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T$。

我們希望證明對於所有 $i$，$x_i$ 的值由以下公式給出：

$$
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
$$

其中 $A_i$ 是將 $A$ 的第 $i$ 列由 $B$ 替換得到的矩陣。

#### 證明步驟：

1. **矩陣乘法的展開：**

將 $AX = B$ 展開為：

$$
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
$$

其中 $a_{ij}$ 是 $A$ 的元素。

2. **替換與行列式的定義：**

定義 $A_i$ 為將 $A$ 的第 $i$ 列替換為 $B$ 後的矩陣。根據行列式的多線性性質，我們可以得出：

$$
\det(A_i) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} b_j \det(A_{ji})
$$

其中 $A_{ji}$ 是從 $A_i$ 刪除第 $j$ 行和第 $i$ 列後剩下的矩陣的行列式。

3. **利用可逆性和矩陣的基本性質：**

因為 $A$ 可逆，即 $\det(A) \neq 0$，所以可以寫出：

$$
X = A^{-1}B
$$

展開這個乘法，我們有：

$$
X = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) B
$$

其中 $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴隨矩陣，它的每個元素由 $A$ 的余子矩陣的行列式給出。

4. **完成證明：**

對於每個 $i$，我們有：

$$
x_i = \frac{1}{\det(A)} \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ji} \det(A_{ji}) b_j
$$

由於 $A_i$ 的第 $i$ 列是 $B$，所以 $\det(A_i)$ 正好是 $B$ 的元素 $b_j$ 替換 $A$ 的第 $i$ 列時產生的行列式。

因此，

$$
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
$$

這樣，克拉馬公式得到證明，顯示 $x_i$ 可以通過 $A$ 和 $A_i$ 的行列式比值計算得出。