2023q1 Homework2 (quiz2)

測驗一

next_pow2 可針對給定無號 64 位元數值 x，找出最接近且大於等於 2 的冪的值，例如:

• next_pow2(7) = 8
• next_pow2(13) = 16
• next_pow2(42) = 64

以下是可能的實作方式:

#include <stdint.h>
static inline uint64_t pow2(uint8_t e) { return ((uint64_t)1) << e; }

uint64_t next_pow2(uint64_t x)
{
    uint8_t lo = 0, hi = 63;
    while (lo < hi) {
        uint8_t test = (lo + hi)/2;
        if (x < pow2(test)) { hi = test; }
        else if (pow2(test) < x) { lo = test+1; }
        else { return pow2(test); }
    }
    return pow2(lo);
}

然而上述程式碼存在分支，於是我們可考慮建構以下「填補」位元表示中的 1:

x = 0010000000000000
x = 0011000000000000
x = 0011110000000000
x = 0011111111000000
x = 0011111111111111

最初 x 是 0010000000000000，經過一系列操作後，成為 0011111111111111，亦即設定 (set，即指派為 1) 自原本最高位元到最低位元中，所有的位元。

我們嘗試改寫為以下:

uint64_t next_pow2(uint64_t x)
{
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> AAAA;
    x |= x >> 16;
    x |= x >> BBBB;
    return CCCC;
}

請補完程式碼，使其符合預期。作答規範:

• AAAA 和 BBBB 皆為數值，且 AAAA 小於 BBBB
• CCCC 為表示式

延伸問題:

1. 解釋上述程式碼原理，並用 __builtin_clzl 改寫

   int __builtin_clz (unsigned int x)
   Returns the number of leading 0-bits in x, starting at the most significant bit position. If x is 0, the result is undefined.
   int __builtin_clzl (unsigned long)
   Similar to __builtin_clz, except the argument type is unsigned long.

2. 在 Linux 核心原始程式碼找出類似的使用案例並解釋
3. 當上述 clz 內建函式已運用時，編譯器能否產生對應的 x86 指令？

   提示: 可執行 cc -O2 -std=c99 -S next_pow2.c 並觀察產生的 next_pow2.s 檔案，確認 bsrq 指令 (表示 "Bit Scan Reverse")

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程式碼原理

程式碼輸入範圍為

$0$~

$2^{64}-1$，將數值帶入前七個式子裡時x |= x >> 1;，相當於右移7次，並在前面填入7個1，跳過x |= x >> AAAA;，並執行x |= x >> 16;時，以

$2^{60}$為例，可看出中間多了8個0，因為本函式的目的為填補位元的1，於是可以推得AAAA的值為8，到執行x |= x >> BBBB;前，共填補了1+7+8+16 ＝ 32個1，輸入值最大有64個位元，於是還須填補32個1才能將所有位元補滿，於是可推得BBBB為32，因為最大只會有64個1，所以超過

$2^{63}$的值，其最接近的2的冪

$2^{64}$無法表示出來。最後將x + 1即為最接近且大於等於 2 的冪的值，但是當輸入為2的冪時，輸出會是大於輸入的值，例如輸入64，輸出為128。

文字訊息不要用圖片展現。

jserv

答案

• AAAA = 8
• BBBB = 32
• CCCC = x + 1

程式碼

uint64_t next_pow2(uint64_t x)
{
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 1;
    x |= x >> 8;
    x |= x >> 16;
    x |= x >> 32;
    return x + 1;
}

改寫

int __builtin_clz (unsigned int x) 會回傳自 MSB 為 1 ，其左邊 0 的數量

uint64_t x = 127
Binary format = 00...001111111
                       ^
                       7
Output：57

64 - 57 = 7，可以藉由這個函式得知 MSB 為 1 的位置，只須往左位移 1 bit 就是最接近且大於等於 2 的冪的值，所以 7 可以看作是位移量，將 1 向左移 7 bit 就是 127 最接近且大於等於 2 的冪的值 (128) ，可以改寫成：

uint64_t next_pow2_2(uint64_t x)
{
    return 1 << (64 - __builtin_clzl(x));;
}

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測驗二

LeetCode 1680. Concatenation of Consecutive Binary Numbers 給定一整數

$n$ ，回傳將 1 到

$n$ 的二進位表示法依序串接在一起所得到的二進位字串，其所代表的十進位數字 mod

${10}^9+7$ 之值。

測試資料 1:
輸入： n = 1
輸出： 1

"1" 於二進位中對應著十進位中 1 的值

測試資料 2:
輸入： n = 3
輸出： 27

二進位中，1 、 2 、 3 對應著 1, 10 和 11。
將它們串接在一起，我們得到 11011，其對應著十進位數值 27

測試資料 3:
輸入： n = 12
輸出： 505379714

串接結果為 1101110010111011110001001101010111100
該十進位值為 118505380540
mod

${10}^9+7$ 後，結果為 505379714

以下是可能的實作:

int concatenatedBinary(int n)
{
    const int M = 1e9 + 7;
    int len = 0; /* the bit length to be shifted */
    /* use long here as it potentially could overflow for int */
    long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // removing the rightmost set bit
        // e.g. 100100 -> 100000
        //      000001 -> 000000
        //      000000 -> 000000
        // after removal, if it is 0, then it means it is power of 2
        // as all power of 2 only contains 1 set bit
        // if it is power of 2, we increase the bit length
        if (!(DDDD))
            len++;
        ans = (i | (EEEE)) % M;
    }
    return ans;
}

請補完程式碼，使其符合預期。作答規範:

• DDDD 和 EEEE 皆為表示式

延伸問題:

1. 解釋上述程式碼運作原理
2. 嘗試使用 __builtin_{clz,ctz,ffs} 改寫，並改進 mod
   ${10}^9+7$ 的運算

程式碼原理

DDDD是為了判斷 i 是否為 2 的冪，將 2 的冪轉成二進位，可以發現除了最高位元是 1 其餘都是 0，又可以發現，2 的冪減 1 後，剛好等於原數 NOT 後的值。在數位邏輯中 N & !N = 0，我們可以透過這個方法來判斷 N 是否為 2 的冪，所以是否為 2 的冪的判斷規則為N & (N-1) == 0，也就是!(i & (i - 1))。

ans每次須左移，才能將後續的二進位數值放入，位移量就是 len 的值，len 的值要增加，需要上述判斷式為 2 的冪才會增加，當 i = 1 時，len = 1，當 i = 2 時，len = 2，所以 len 恰為所需的位移量，於是為ans << len。

答案

• DDDD = i & (i - 1)
• EEEE = ans << len

程式碼

int concatenatedBinary(int n)
{
    const int M = 1e9 + 7;
    int len = 0; /* the bit length to be shifted */
    /* use long here as it potentially could overflow for int */
    long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // removing the rightmost set bit
        // e.g. 100100 -> 100000
        //      000001 -> 000000
        //      000000 -> 000000
        // after removal, if it is 0, then it means it is power of 2
        // as all power of 2 only contains 1 set bit
        // if it is power of 2, we increase the bit length
        if (!(i & (i - 1)))
            len++;
        ans = (i | (ans << len)) % M;
    }
    return ans;
}

改寫

• int __builtin_clz (unsigned int x) 會回傳自 MSB 為 1 ，其左邊 0 的數量
• int __builtin_ctz (unsigned int x) 會回傳自 LSB 為 1 ，其右邊 0 的數量
• int __builtin_ffs (unsigned int x) 會回傳 1 + LSB 為 1 的 index

int x = 128;
binary format = 10000000
__builtin_clz = 24
__builtin_ctz = 7
__builtin_ffs = 8

可以觀察到，當輸入為 2 的冪時，其__builtin_clz(x) + __builtin_ffs(x) 會等於 bits 數，所以判斷式可以改寫成：

int concatenatedBinary(int n)
{
    const int M = 1e9 + 7;
    int len = 0; 
    long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (__builtin_ffs(i) + __builtin_clz(i) == 32)
            len++;
        ans = (i | (ans << len)) % M;
    }
    return ans;
}

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測驗三

SWAR 通常不易實作，因此，我們觀察它們的位元模式：(從最低位元起算) 第 7 位元為 1，且第 6 位元為 0。於是我們可採用以下表示式:

not bit6 and bit7

再計算 (使用 population count 指令) 有多少位元組裡頭的 1 (即具有此屬性)。__builtin_popcount

1. 輸入的位元組

t0 = [00xx.xxxx|01xx.xxxx|10xx.xxxx|11xx.xxxx]
                          ^^^^^^^^^
                          continuation byte

2. 反向運算 (not bit6)

t1 = ~t0
t1 = [11xx.xxxx|10xx.xxxx|01xx.xxxx|00xx.xxxx]

3. 隔離反向的第 6 個位元

t2 = t1 & 0x40404040
t2 = [0100.0000|0000.0000|0100.0000|0000.0000]

4. 對第 6 個位元，向左位移 1 個位元 (移至第 7 個位元的位置)

t3 = t2 + t2
t3 = [1000.0000|0000.0000|1000.0000|0000.0000]

5. 進行 not bit6 and bit7

t4 = t0 & t3
t4 = [00xx.xxxx|01xx.xxxx|10xx.xxxx|11xx.xxxx] 
   & [1000.0000|0000.0000|1000.0000|0000.0000]
   = [0000.0000|0000.0000|1000.0000|0000.0000]
                          ^^^^^^^^^
                          the only non-zero byte

6. 以 population count 指令計算，即 popcount(t4)

SWAR 實作如下:

size_t swar_count_utf8(const char *buf, size_t len)
{
    const uint64_t *qword = (const uint64_t *) buf;
    const uint64_t *end = qword + len >> 3;

    size_t count = 0;
    for (; qword != end; qword++) {
        const uint64_t t0 = *qword;
        const uint64_t t1 = ~t0;
        const uint64_t t2 = t1 & 0x04040404040404040llu;
        const uint64_t t3 = t2 + t2;
        const uint64_t t4 = t0 & t3;
        count += __builtin_popcountll(t4);
    }

    count = (1 << AAAA) * (len / 8)  - count;
    count += (len & BBBB) ? count_utf8((const char *) end, len & CCCC) : DDDD;

    return count;
}

程式碼原理

const uint64_t *qword = (const uint64_t *) buf;
const uint64_t *end = qword + len >> 3;

為了提升效能，將1 byte 的 char * 強制轉形成8 bytes 的 qword ，因為每次讀取8個bytes，所以字串總長度要除8，也就是 len >> 3 。

for (; qword != end; qword++) {
        const uint64_t t0 = *qword;
        const uint64_t t1 = ~t0;
        const uint64_t t2 = t1 & 0x04040404040404040llu;
        const uint64_t t3 = t2 + t2;
        const uint64_t t4 = t0 & t3;
        count += __builtin_popcountll(t4);
    }

迴圈會去計算 continuation bytes 數量。

count = (1 << 3) * (len / 8)  - count;

是為了計算出能被8 bytes整除中的 UTF-8 字元數量，(1 << 3) * (len / 8) 能計算出總共有多少能被8 bytes 整除的 bytes 數量，再去減掉 continuation bytes 數量，即為 UTF-8 字元數量。

count += (len & 7) ? count_utf8((const char *) end, len & 7) : 0;

這部份是用來計算那些無法被8 bytes 整除的部份，使用 count_utf8 來計算剩餘的 UTF-8 字元數量，再加上之前計算的 UTF-8 字元數量，即為總字元數量。

答案

• AAAA = 3
• BBBB = 7
• CCCC = 7
• DDDD = 0

程式碼

size_t swar_count_utf8(const char *buf, size_t len)
{
    const uint64_t *qword = (const uint64_t *) buf;
    const uint64_t *end = qword + len >> 3;

    size_t count = 0;
    for (; qword != end; qword++) {
        const uint64_t t0 = *qword;
        const uint64_t t1 = ~t0;
        const uint64_t t2 = t1 & 0x04040404040404040llu;
        const uint64_t t3 = t2 + t2;
        const uint64_t t4 = t0 & t3;
        count += __builtin_popcountll(t4);
    }

    count = (1 << 3) * (len / 8)  - count;
    count += (len & 7) ? count_utf8((const char *) end, len & 7) : 0;

    return count;
}

---

測驗四

以下程式碼可判定 16 位元無號整數是否符合特定樣式 (pattern):

#include <stdint.h>
#include <stdbool.h>

bool is_pattern(uint16_t x)
{
    if (!x)
        return 0;

    for (; x > 0; x <<= 1) {
        if (!(x & 0x8000))
            return false;
    }

    return true;
}

符合上述程式碼的樣式，如下:

pattern: 8000 (32768)
pattern: c000 (49152)
pattern: e000 (57344)
pattern: f000 (61440)
pattern: f800 (63488)
pattern: fc00 (64512)
pattern: fe00 (65024)
pattern: ff00 (65280)
pattern: ff80 (65408)
pattern: ffc0 (65472)
pattern: ffe0 (65504)
pattern: fff0 (65520)
pattern: fff8 (65528)
pattern: fffc (65532)
pattern: fffe (65534)
pattern: ffff (65535)

改寫上述程式碼，使其達到等價行為，但更精簡有效。

bool is_pattern(uint16_t x)
{
    const uint16_t n = EEEE;
    return (n ^ x) < FFFF;
}

程式碼原理

若為符合 pattern 的數值，在做完二補數後，其值會是最左邊的一個 bit 為 1，其餘是 0 ，再對自己做 XOR ，則會使原本值的最右邊的 1 變成 0 ，故結果會小於原本的值。若為不符合 pattern 的數值，再做完 XOR ，其值會是除了最右邊一個 bit 為 0 ，其餘為 1 ，故結果會大於原本的值。

32565
 x     = 0111111100110101
-x     = 1000000011001011
-x ^ x = 1111111111111110

63488
x      = 1111100000000000
-x     = 0000100000000000
-x ^ x = 1111000000000000

答案

• EEEE = -x
• FFFF = x

程式碼

bool is_pattern(uint16_t x)
{
    const uint16_t n = -x;
    return (n ^ x) < x;
}