# Le premier nombre transcendant

Tentative de conducteur pour un épisode avec Mathilde.

## Les transcendants

On va parler de nombres qu'on appelle les **nombres transcendants**.

### On classe les nombres

Intuitivement, on peut se dire qu'il y a des nombres qui sont en quelque sorte plus "compliqués" que d'autres. Par exemple, il est raisonnable de dire que les nombres 1 ou 2 ou 3 sont assez simples (ne serait-ce que parce que c'est les premiers qu'on apprends à l'école), alors que des nombres comme $\sqrt 2$ ou même $\pi$ nous paraissent plus "sophistiqués".

Pour tenter de préciser un peu ce qu'on entend par là, on va chercher à évaluer à quel point un nombre est éloigné algébriquement de zéro, c'est-à-dire : de quels types d'opérations on a besoin pour passer de ce nombre à 0 et vice versa.

Prenons un exemple, le nombre $\sqrt 3$ : comment je peux faire, à partir de ce nombre, pour revenir à 0 en faisant des opérations ?

Ici on peut le faire en deux étapes :
* Première étape, je prends le carré, et j'obtiens 3 ;
* Deuxième étape, je soustrais 3, et c'est gagné, je suis à 0.

On peut tracer ce diagramme au tableau :

$$\sqrt{3} \xrightarrow{\qquad.^2\qquad} 3 \xrightarrow{\qquad-3\qquad} 0$$

J'ai donc utilisé deux opérations : une puissance (le carré) et une soustraction. Et ces deux opérations je les ai faites avec des nombres entiers naturels (j'ai mis à la puissance 2, et j'ai soustrais 3).

Donc voilà mes règles du jeu : à partir d'un nombre, je veux revenir à 0 en utilisant des entiers naturels et un certain nombre d'opérations.

Et à partir de là, on peut classer tous les nombres en plusieurs catégories selon les opérations qu'on a besoin d'utiliser. Plus précisément, en général, on distingue quatre grandes catégories :

1) Les nombres qui n'ont besoin que de l'addition et la soustraction (les deux opérations les plus simples) : ce sont **les nombres entier**. Par exemple : 5, car 5-5 = 0 ; -12, car -12 + 12 = 0. Bon ça paraît un peu idiot dit comme ça, mais ça va devenir plus intéressant avec les catégories suivantes.
2) les nombres qui (en plus de + et -) ont besoin de multiplication et division. Ce sont les **rationnels** Par exemple $2/3$, car $(2/3)\times 3 = 2$ ; puis $2-2 = 0$... Au tableau, ça peut être intéressant de montrer ça visuellement, en écrivant d'abord le 2/3 et le 0 séparés l'un de l'autre, puis encore un petit schéma de ce genre :

$$\frac{2}{3} \xrightarrow{\qquad\times 3\qquad} 2 \xrightarrow{\qquad-2\qquad} 0$$

En fait, les rationnels se sont toutes les fractions, les nombres qui s'écrivent sous la forme $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers.

3) les nombres qui (en plus de +-x/) ont besoin de puissances. C'est le cas de $\sqrt 3$ comme on l'a déjà vu, pour lequel on a besoin de carrés. C'est le cas aussi du nombre d'or par exemple, puisque si on prend son carré puis qu'on lui soustrait lui-même, puis 1, on revient à 0. Plus généralement, ces nombres sont ceux qui sont solutions d'une équation polynomiale (des équations qui s'écrivent juste avec les opérations +-×÷ et puissance). On peut donner quelques autres peut exemples et on montre qu'effectivement la forme du polynome n'utilise que les opérations annoncées (+-x/^). Ce sont les **nombres algébriques**.

4) Les autres, ceux qu'on ne peut pas ramener à zéro par ces opérations : ce sont les transcendants.

On peut peut-être conclure ici avec un petit dessin-patate et préciser que les nombres entiers sont des rationnels qui sont des algébriqueé. En revanche, les transcendants ne sont rien d'autre.

### Un peu d'histoire

De fait, les nombres transcendants apparaissent comme les plus compliqués à atteindre et à étudier, puisqu'il faut nécessairement d'autres outils que les opérations élémentaires pour les appréhender.

En fait, ils sont si complexes qu'il y a encore aujourd'hui beaucoup de nombres qu'on soupçonne d'être transcendants, mais sans savoir le démontrer.

Pour $\pi$ qui est connu et étudié sous toutes les coutures depuis l'antiquité, il a fallu attendre 1882 pour que Lindemann démontre qu'il est transcendant.

Et avant, ça, les tous premiers nombres transcendants qui ont été exhibés, datent de 1844. Ils ont été découverts par Joseph Liouville et ils portent son nom : les nombres de Liouville. L'un des plus célèbres c'est celui-ci, la constante de Liouville :

$$0,110001000000000000000001000...$$

(Bien prendre le temps ici d'écrire beaucoup de décimales du nombre au tableau, au moins jusqu'au quatrième 1 pour la définition qui vient)

### Définition de la constante de Liouville

Ce nombre a un développement décimal infini avec seulement des 0 et des 1. Et il est construit de la façon suivante : il n'y a presque que des zéro, sauf aux décimales qui sont des factorielles.

La factorielle d'un nombre n, c'est le produit de tous les entiers de 1 à n : $1\times 2\times 3 \times 4... \times n$.

Donc $1!=1$, il y a donc un 1 en premier chiffre après la virgule.
Puis $2!=1\times 2=2$, donc il y a un 1 en position 2.
Puis $3!=1\times 2\times 3=6$, donc il y a un 1 en position 6.
Puis $4!$ on multiple encore par 4, donc ça fait 24, c'est le dernier 1 écrit.
Et le suivant si on voulait écrire encore plus de décimales il serait 5 fois plus loin, en position 120 et ainsi de suite.

Alors pourquoi ce nombre-là est intéressant quand on cherche des nombres transcendants ? Parce qu'il a la propriété de pouvoir très bien s'approximer par des nombres rationnels.

Si j'écris juste 0,11, j'ai déjà une très bonne approximation de la constante de Liouville (parce qu'il y a beaucoup de zéro derrière) et ce nombre est rationnel (il vaut 11/100 c'est une fraction comme tous les nombres avec un développement décimal fini.)

Et si j'écris juste 0,110001 j'ai une encore meilleure approximation avec seulement 6 chiffres. Et ce qu'on va voir dans la suite c'est que ça, c'est la clef permettant de montrer que ce nombre est transcendant.

## Approximation par des rationnels

### Première approche naïve

Si on veut faire une approximation d'un nombre par un rationnel de la forme $p/q$, la première chose qu'on peut se dire c'est que plus q est grand, mieux on va y arriver.

Par exemple, si on veut approximer un nombre quelconque sous la forme $p/2$, on sait qu'on peut le faire avec une erreur plus petite que 1/2.

Pour le visualiser on peut tracer un axe des réels. On place en rouge les points correspondant aux $p/2$, ils sont réguliers et espacés de 1/2, donc tout nombre sur cet axe se trouve à moins de 1/2 (et même 1/4) de distance de l'un des points rouges.

De la même façon, si on veut approcher un nombre par une fraction de la forme $p/10$, on peut le faire à $1/10$ près. On peut rajouter en vert sur l'axe les nombres de la forme $a/10$ et on voit que ça marche de la même manière.

Et plus généralement, on peut se dire qu'on peut approcher tout nombre par un rationnel de la forme $p/q$ avec une erreur de moins de $1/q$

Ça c'est notre point de départ. Maintenant, on peut se poser la question : est-ce qu'on peut faire mieux ? C'est-à-dire : est-ce qu'on peut trouver des valeurs particulières de $q$ pour lesquelles on a des bien meilleures approximations que ça ?

### L'approximation de Dirichlet

Pour trouver des bonnes approximations rationnelles d'un nombre, on peut essayer de regarder sa table de multiplication. Regardons pour $\pi$ par exemple, sa table jusqu'à 10 :

$$
0\times\pi = 0.00000\\
1\times\pi = 3.14159\\
2\times\pi = 6.28318\\
3\times\pi = 9.42477\\
4\times\pi = 12.56637\\
5\times\pi = 15.70796\\
6\times\pi = 18.84955\\
7\times\pi = 21.99114\\
8\times\pi = 25.13274\\
9\times\pi = 28.27433\\
10\times\pi = 31.41592\\
$$

On peut essayer de repérer le résultat qui est le plus proche d'un entier. Ici on a un bon candidat :

$$7\times\pi = 21.99114...$$

C'est presque 22. Donc ça veut dire qu'on va avoir une bonne approximation de $\pi$ si on fait $22/7$. En fait, c'est même une des plus célèbres approximations de $\pi$, elle était déjà connue d'Archimède il y a 2500 ans...

Avec un 7 au dénominateur, on aurait pu s'attendre à une erreur de l'ordre de 1/7, c'est-à-dire 0,14, mais on a beaucoup mieux. L'erreur est d'environ 1/790.

Alors là c'est vraiment très bon, mais il y a un théorème, le théorème d'approximation de Dirichlet, qui affirme qu'il sera toujours possible de trouver une fraction $p/q$ qui fournit une approximation de n'importe quelle nombre avec une erreur inférieure à $1/q^2$.

Revenons un peu en arrière, et faisons comme si on avait pas vu que $7\pi$ c'est presque 22. En fait, on va démontrer que dans cette table, et même si on avait fait la table de n'importe quel autre nombre à la place de $\pi$, en allant au plus jusqu'à 10 fois ce nombre, il y a forcément un nombre qui est un entier avec une erreur de moins de 1/10.

Pour ça on va regarder le chiffre des dixième de chacun des résultats : on lit (en les entourant au tableau) 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 1, 2, 4.

Il y en a onze au total. Et comme ils n'ont que dix valeurs possibles, il y en a forcément deux qui sont égaux.

C'est un principe qu'on appelle le principe des tiroirs, si vous avez onze chaussettes rangées dans dix tiroirs, vous avez forcément un tiroir qui contient au moins deux chaussettes.

Par exemple, pour $\pi$ il y a $1\pi$ et $8\pi$ qui ont tous les deux le chiffre 2 (il y a d'autres paires qui marchent mais une seule nous suffit).

Comme ils ont le même chiffre des dixième, ça signifie que si vous faite la différence, vous allez obtenir un nombre qui est proche d'un entier à un dixième près.

Or la différence entre $8\pi$ et $1\pi$ c'est justement $7\pi$. Donc on sait que $7\pi$ est proche d'un entier (en l'occurrence 22) à 1/10 près. Et en divisant par 7, $\pi$ est approché par 22/7 à 1/70 près. Et 1/70 c'est mieux que 1/49, c'est-à-dire $1/7^2$ comme annoncé par le théorème.

Alors en l'occurrence cette approximation est encore meilleure, mais ce qui compte ici c'est le raisonnement qui est valable pour n'importe quel nombre (pas seulement $\pi$) et n'importe quelle table (pas seulement 10).

Ça vaut sans doute le coup ici, de donner rapidement la démonstration générale (si c'est trop long on peut peut-être la mettre en bonus pour ceux qui veulent aller plus loin), maintenant qu'on s'est entraîné sur un exemple. Soit $x$ un nombre quelconque et $N$ un nombre entier, on montre qu'il existe un $q<N$ telle qu'on peut approximer $x$ par une fraction à $1/q^2$ près.

On fait la liste : $0x$, $1x$, ... jusqu'à $Nx$. On regarde leur partie décimale et on les classe dans des tiroirs : tiroir 1 de 0 à $1/N$, tiroir 2 de $1/N$ à $2/N$ etc. Comme on a $N$ tiroirs et $N+1$ multiples, on en a deux dans le même tiroir et leur différence est donc un multiple de $x$ qui est proche d'un entier à $1/N$ près. Notons le $qx \approx p$ à $1/N$ près. En divisant par $q$ : $x \approx p/q$ à $1/Nq$ près et comme $q \leq N$ c'est mieux que $1/q^2$.

Pour tout nombre il existe donc une infinité de $q$ tels que ce nombre s'approche par une fraction de la forme $p/q$ à $1/q^2$ près.

### Peut-on faire mieux ?

En fait on peut se poser la question comme ça : pour un nombre $x$ donné, quel est le plus grand nombre $\alpha$ tel qu'on peut trouver une infinité de fractions $p/q$ qui approximent $x$ avec une erreur de $1/q^\alpha$.

Ce nombre $\alpha$ on l'appelle la mesure d'irrationalité du nombre $x$.

Est-il possible de faire mieux que $q^2$ : en général non. Il y a des nombres pour lesquels ce n'est pas possible. Et en particulier, il y a le théorème de Roth qui date de 1955, qui affirme que pour les nombres algébriques non rationnels, c'est le mieux qu'on peut faire.

Peut-être écrire ici au tableau l'énoncé exact du théorème ?

C'est un résultat vraiment important, Klaus Roth a obtenu la médaille Fields en 1958 pour sa démonstration.

### Le premier des transcendants

C'est un peu compliqué de montrer ce résultat de manière générale, mais on peut essayer de donner une idée avec les mains, de pourquoi ça marche dans le cas des nombres comme la constante de Liouville.

Ce qu'il faut comprendre, c'est que la propriété d'être très bien approximable par des rationnels (c'est-à-dire mieux que en $q^2$) il est très dur de la perdre.

Si par exemple on prend la constante de Liouville et qu'on lui additionne un autre nombre du même genre, par exemple :

$$0,0300700000020000000000000000000000005...$$

(C'est juste un nombre avec des chiffres au hasard mais dont la densité est proche de celle des nombres de Liouville en $n!$)

Si on additionne ces deux nombres, on obtient :

$$0,1400710000020000000000010000000000005...$$

Les chiffres se superposent, mais dans le fond ça ne va rien changer : on obtient toujours un nombre qui est très proche d'un rationnel.

De la même façon si on soustrait, multiplie, divise ou prend des puissances de ces nombres qui sont très proche des rationnels, sans être rationnels, on tombe toujours sur des nombres ayant cette propriété.

Donc si on essaie de construire une suite d'opération partant de la constante de Liouville et en faisant toutes ces opérations les unes après les autres, on ne tomberait que sur des nombres qui ont cette propriété. Et donc on ne tomberait jamais sur 0, puisque 0 n'a pas cette propriété. 0 c'est un nombre rationnel, il n'a pas ces tous petits écarts par rapport au rationnels qu'on tous les dérivés du nombre de Liouville.

Autrement dit, un nombre qui est trop bien approximable par des rationnels ne peut pas être algébrique. Et par contraposé on a le théorème de Roth : un nombre algébrique ne peut pas être trop bien approximé par des rationnels.

Le fait que le nombre de Liouville soit aussi bien approximable par des rationnels avec tous ses zéros dans son écriture en faisait donc un très bon candidat pour devenir le premier nombre transcendant à être exhibé !