# LeetCode 1584. Min Cost to Connect All Points

https://leetcode.com/problems/min-cost-to-connect-all-points/description/

## 題目大意

給一個陣列 `points` 裡面裝著點不重複的二維座標資料
定義連結兩點的成本 (cost) 為兩點之曼哈頓距離 (Manhattan distance)：
$$d(x,y) = |x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$
回傳使所有點相連的最小成本。只要任意兩點之間恰存在一條 simple path，所有點就被視為相連。

## 思考

首先我們要搞懂題目想問的是什麼
題目有兩個關鍵線索：
1. Return the minimum cost
2. All points are connected if there is exactly one simple path between any two points

如果我們把圖畫出來就會發現，第二點就代表若視連線為圖上的邊，那個我們連線出來的結果不應該會有 cycle

這下應該就能想到本題其實要考的就是最小生成樹 (minimum spanning tree)

提到 MST 就會想到大名鼎鼎的兩個演算法：Kruskal's algorithm 與 Prim's algorithm。兩者皆是採取 greedy 的策略，前者每次選取 weight 最小的邊加入 MST；後者則可以想成是每次選能使連出去的 weight 最小的那個點

本題我們採用 Kruskal's algorithm 結合 disjoint-set，其 pseudocode 可參考下方：

<img src="https://i.stack.imgur.com/RN7h3.jpg" style="display:block;margin:auto;width:70%;height:auto;">

我們初始條件為對 $G$ 中每個點都建一個 set ($\text{Make-Set}(v)$, $\forall v\in V$)，若要檢查 $\text{edge} (u, v)$在加入 $A$ (用來蒐集 MST 的邊)後是否會產生 cycle，相當於判斷 $u$ 跟 $v$ 是否在同一個 set 中，如果兩者不屬於同個 set ($\text{Find-Set} (u) \neq \text{Find-Set} (v)$)，那麼我們就可以安心將 $\text{edge} (u, v)$ 加入 $A$ ($A = A\cup \{(u, v)\}$)。最後我們再使用 $\text{Union (u, v)}$ 將兩個 set 作聯集

下面提供本題我的寫法：

### Algo 1

class Edge
{
public:
    int cost;
    int x;
    int y;

    Edge() : cost(0), x(0), y(0) {}
    Edge(int cost, int x, int y) : cost(cost), x(x), y(y) {}

    bool operator<(const Edge &e) const { return cost < e.cost; }
    Edge &operator=(const Edge &e)
    {
        if (this != &e)
        {
            cost = e.cost;
            x = e.x;
            y = e.y;
        }
        return *this;
    }
};

class Solution
{
public:
    int minCostConnectPoints(vector<vector<int>> &points)
    {
        size_t n = points.size();
        vector<Edge> edge(n * (n - 1) / 2);

        for (int i = 0, k = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
            {
                int x1 = points[i][0], x2 = points[j][0];
                int y1 = points[i][1], y2 = points[j][1];
                int d = abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2);
                edge[k++] = Edge(d, i, j);
            }
        }

        sort(edge.begin(), edge.end());

        vector<int> p(n), rank(n, 0);
        iota(p.begin(), p.end(), 0); // 填入遞增
        int ans = 0, count = 0;

        for (auto &e : edge)
        {
            int rx = find(p, e.x), ry = find(p, e.y);

            if (rx == ry)
                continue;
            ans += e.cost;

            if (rank[rx] < rank[ry])
                swap(rx, ry);
            p[rx] = ry; // 合併
            rank[ry] += (rank[rx] == rank[rx]);

            if (++count == n - 1)
                break;
        }

        return ans;
    }

private:
    // Disjoint Set Union -- find()
    int find(vector<int> &parent, int x)
    {
        while (parent[x] != x) // 當 x 並非集合之根元素
        {
            int temp = parent[x];
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = temp;
        }

        return x;
    }
};

***

### Algo 2

一樣的核心精神，不過這個寫法可能會再更平易近人些

class Solution
{
public:
    int dist(int x1, int y1, int x2, int y2)
    {
        return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2);
    }

    int minCostConnectPoints(vector<vector<int>> &points)
    {
        size_t n = points.size();
        vector<int> edge(n, 0);

        int ans = 0;
        edge[0] = INT_MAX;

        for (auto i = 1; i < n; i++)
            edge[i] = dist(points[0][0], points[0][1], points[i][0], points[i][1]);

        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            auto it = min_element(edge.begin(), edge.end());
            ans += *it;
            int index = it - edge.begin();
            *it = INT_MAX;
            for (auto i = 0; i < n; i++)
            {
                if (edge[i] == INT_MAX)
                    continue;
                edge[i] = min(edge[i], dist(points[i][0], points[i][1], points[index][0], points[index][1]));
            }
        }
        return ans;
    }
};

## 簡單補充

### 最小生成樹 (Minimum Spanning Tree)

【定義】

給定 $G = (V,E)$ 為一個 undirected weighted graph

1. 若 $H$ 為 $G$ 之一 spanning subgraph 且 $H$ 為 tree，則稱 $H$ 為 $G$ 之 spanning tree
2. 假設 $T = (V,E')$ 為 $G$ 之一 spanning tree，定義 $T$ 之 weight $w(T) = \sum\limits_{e\in E'}w(e)$，其中 $w(e)$ 為 $e$ 之 weight
3. 若 $T$ 為 $G$ 的 spanning tree 中具有最小權重者，則稱 $T$ 為 $G$ 之 minimum spanning tree