HM1-Klausur Teil 3-Aufgaben – WiSe2021 + SoSe2022

# HM1-Klausur Teil 3-Aufgaben – WiSe2021 + SoSe2022 ###### tags: `Dynexite` [toc] ## Allgemeines Setting Fünf Aufgaben pro Kohorte Pro Aufgabe eine Aussage gegeben: > Vorausgesetzt bla bla bla > Dann bla bla bla Jeweils 2 Punkte: - Erste Abfrage: Aussage wahr oder falsch? - Zweite Abfrage: Auswahl von drei Begründungen jeweils mit *`_Lücke_`*, mindestens eine Begründung, gelegentlich auch zwei Begründungen, sind zulässig ### Design-Ansatz für mehrere Kohorten: - Zu einem Thema ähnliche Aussagen, die sich im Detail unterscheiden → z.B. anderer Wahrheitswert oder andere Begründung - Teilweise gleiche Begründungsvorschläge in den verschiedenen Kohorten, aber wegen anderer Aussage nun andere Begründung erforderlich. ### Formulieren von Aussagen - Auf die Quantoren in der Aussage achten: - ⚠️ Wenn A, dann gilt B. ⚠️ → Wenn A, dann gilt **stets** B ### Möglichkeiten für die Lücke einer zulässigen Begründung - Angabe eines (Gegen-)Beispiels - Benennung einer für den Beweis entscheidenden Eigenschaft - Benennung eines verwendeten Theorems - Vervollständigung einer entscheidenden Rechnung - ... - Einmal pro Kohorte: Satz aus Vorlesung tatsächlich direkt anwendbar ### Ideen zur Erstellung von Fake-Begründungen - Quatsch-Beweis, der Details auslässt (schwierig!!!) - "Voraussetzungen implizieren *`_Lücke_`* (z.B. 'integrierbar $\Rightarrow$ stetig'), aus dieser Eigenschaft folgt ..." Vorteil: Der Quatsch entsteht erst nach Ausfüllen, der Bruch entsteht in der Lücke. „$A \Rightarrow$ *`_Lücke_`* $\Rightarrow B$“ Endweder nach Ausfüllen $A \not\Rightarrow$ *`_Lücke_`* oder *`_Lücke_`* $\not\Rightarrow B$ - Begründungen, die für eine andere Aussagenvariante korrekt wären - "Beweis" durch Beispiel, Spezialfall - Umkehrung beweisen - Verweis auf Nichtanwendbarkeit eines Satzes, deswegen gilt die Aussage des Satzes nicht - Angebliche Andwendbarkeit eines Satzes (wichtige Voraussetzung vergessen), also wahr - Begründung, warum manche Voraussetzungen notwendig sind, aber nichts über die eigentliche Aussage geschweige denn darüber, dass die Voraussetzungen hinreichend sind. Grundsätzlich: Eine Begründung muss nicht explizit erwähnen, dass sie zeigt, dass die Aussage wahr bzw. falsch ist. Man kann durchaus verlangen, dass die Studierenden das erkennen. Sätze, wie "dies zeigt die Aussage" oder so, kann man sich also sparen. - Oft hat man schon Schlüsselwörter wie etwa "Gegenbeispiel" als Teil der Begründung. - Möglicherweise zeigt erst das Ergebnis der Rechnung, ob die Rechnung für oder gegen die Aussage argumentiert. Dann ist das Ergebnis eine tolle Lücke und die Begründung kann für alles herhalten. - Beispiel aus der HM2: "**(1)** Es ist bekannt, dass die Summe zweier invertierbarer Matrizen im Allgemeinen *`_Lücke_`* ist." Dies vermeidet, dass sich Studierende in der Einsicht beschweren, dass sie die erste Abfrage mit dem Wahrheitswert falsch haben, aber doch die richtige Aussage gewählt haben. ### Design Mit jedem neuen Gedankenschritt einen Absatz. ### Hashtags **Alle:** `HM1`, `klausurteil3` `hm1ws22klausur`, später ersetzen durch `hm1ws22kohorte1` und `hm1ws22kohorte2` und `hm1ws22kohorte3` **Jeweils einer der Hashtags:** - `wahr` oder `falsch` - Schwierigkeit `leicht`, `mittel`, `schwer` - Gegebenenfalls Art der Begründung: `gegenbeispiel` - Autorenkürzel **Weitere Anmerkungen:** `vorlesungsbeispiel` ## 2022 WS Klausur ### Folgen → Laura #### WS 2016/17 III.1 e) & SS 2019 Klausur III.1 d) - [ ] **Hat eine konvergente Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ unendlich viele positive und unendlich viele negative Folgenglieder, so konvergiert sie gegen $0$.** (wahr) - Betrachte beispielsweise $a_n :=$ *`_Lücke_`* (Vermeintliches Gegenbeispiel $a_n = (-1)^n$, aber die Folge ist NICHT KONVERGENT). Für die Teilfolge mit geraden Indices gilt $\underset{k \to \infty}{\lim} a_{2k} = 1$, für jene mit ungeraden Indices $\underset{k \to \infty}{\lim} a_{2k+1} = -1$. Somit gilt $\underset{k \to \infty}{\lim} a_{2k} \neq \underset{k \to \infty}{\lim} a_{2k+1}$, das heißt die Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ kann nicht konvergieren. - Widerspruchsbeweis: Angenommen es gilt $a := \underset{n \to \infty}{\lim} a_n \neq 0$. ... ![](https://i.imgur.com/DnamPWk.png) ![](https://i.imgur.com/LbR9AFa.jpg) - [ ] **Hat eine Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ unendlich viele positive und unendlich viele negative Folgenglieder, so divergiert sie.** (falsch und sehr leicht) - Gegenbeispiel `(-1)^n/n` $=\frac{(-1)^n}{n}=$ `cos(pi*n)/n` (Gegenbeispiel eingrenzen.) ### Potenzreihe → Wiebke & Frederik #### 2014 WS Trainings-Klausur, III.1 c) (Potenzreihe) - [ ] Ist $D = (a - R, a + R)$ und $f$ eine (streng) monoton wachsende Funktion mit Potenzreihendarstellung $f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k (x - a)^k$ und Konvergenzradius $R > 0$, so gilt stets $a_1 \geq 0$. (W) #### Vorschlag 1 - [ ] Ist $D = (a - R, a + R)$ und $f$ eine Funktion mit Potenzreihendarstellung $f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k (x - a)^k$, Konvergenzradius $R > 0$, und $a_1 > 0$. Dann gilt stets, dass $f$ streng monoton wachsend ist. (F) - Gegenbeispiel $\sin(x)$ um den Punkt $a = 0$ - Man könnte die Aussage auch wahr machen, wenn man nur strenge Monotonie auf einer Umgebung um $a$ folgert. #### Vorschlag 2 - [ ] Ist $D = (a - R, a + R)$ und $f$ eine streng monoton wachsende Funktion mit Potenzreihendarstellung $f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k (x - a)^k$ und Konvergenzradius $R > 0$, so gilt stets $a_1 > 0$. (F) - Gegenbeispiel $x^3$ um den Punkt $a = 0$ - Wir hatten eine ähnliche Aufgabe: **HM1 Klausur, Teil III: Strenge Monotonie und Ableitung (falsch, Vorlage 2 korrekt)** ### Konvex/Konkav → Friedrich #### 2016/17 WS Klausur, (Variante A) III.1 c) (konvex/konkav) - [ ] Sei $f : \R \to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit $f''(x) \neq 0$ für alle $x \in \R$, so ist $f$ konvex oder konkav. (ZWS) (W) #### 2016/17 WS Trainings-Klausur III.1, c) (Konvex) - [ ] Ist $f: \R \to \R$ eine monoton wachsende konvexe Funktion und ist $g : \R \to \R$ eine beliebige konvexe Funktion, so ist $f \circ g$ konvex. (W) ### Trigonometrische Funktionen → Wiebke #### 2014 WS Klausur, III.1 a) (A2) + (A3) (Trigonometrische Funktionen) - [x] Die Funktion $f : \R \setminus \{0\} \to \R, x \mapsto \frac{1}{x} (\sin\left(\frac{1}{x}\right) + \pi)$ hat in $0$ eine Polstelle. (W) - [ ] L'Hopital falsch angewendet - [x] Es gilt für alle $x \in \R$: $\sin\left(\frac{3771}{2}\pi + x\right) = \cos\left(\frac{1592}{4}\pi + x\right)$. (F) - [ ] Falscher Ansatz: Suche ein X wo Gleichheit gilt - [ ] eins Umformen, das andere als Lücke - [ ] ### Reihen → Frederik konkrete Reihe vorgeben, wo scheinbar Leibniz verwendet werden kann. - Nullfolgen-Kriterium missbrauchen - Leibniz nicht anwendbar aus verschiedenen Gründen - alternierend erst später (Falsch) - Beträge der Reihenglieder nicht monoton fallend - für absolute Konvergenz missbrauchen - Leibniz reicht nicht für absolute Konvergenz, also nicht absolut konvergent (Falsch) - (Quotienten-)Kriterium nicht anwendbar, also divergiert die Reihe. (Falsch) ## Alte Themen ### 2012 WS Klausur #### III.3 c) (Folgen) Es seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit jeweiligen Grenzwerten $a$ und $b$. - [x] :exclamation: Es existiert ein $n_0 \in \N$, so dass $|a_n - a| < \frac{1}{n}$ für alle $n \geq n_0$. (F) - [ ] Es gilt $\lim\limits_{n \to \infty} (b \cdot a_n) = b \cdot a$. (W) - [ ] Es gibt ein $M > 0$, so dass $|a_n - b_n| < M$ für alle $n \in \N$. (W) ### 2013 SS Wiederholungs-Klausur #### III.3 c) (Folgen) Es seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit jeweiligen Grenzwerten $a$ und $b$. - [ ] Die Folge $((a_n - b_n)^2)_{n \in \N}$ konvergiert gegen $(a - b)^2$. (W) - [ ] Es gilt $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 0$. (W) ### 2014 WS Klausur #### III.1 a) (A1) (Polynome) - [x] :exclamation: Sei $p : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ für ein $n \in \N$ und $a_i \in \mathbb{C}$ für alle $i \in \{1, \dots, n\}$. Dann ist $p$ genau dann ein reelles Polynom, wenn für alle $x_0 \in \mathbb{C}$ mit $p(x_0) = 0$ gilt: $p(\overline{x_0}) = 0$. (F) (Ws20) #### III.1 a) (A2) + (A3) (Trigonometrische Funktionen) - [x] Die Funktion $f : \R \setminus \{0\} \to \R, x \mapsto \frac{1}{x} (\sin\left(\frac{1}{x}\right) + \pi)$ hat in $0$ eine Polstelle. (W) - [x] Es gilt für alle $x \in \R$: $\sin\left(\frac{3771}{2}\pi + x\right) = \cos\left(\frac{1592}{4}\pi + x\right)$. (F) #### III.1 b) (A1) (konvexe Funktion) - [x] Eine Funktion $f : \R \to \R$ ist genau dann konvex, wenn $g : \R \to \R, x \mapsto f(-x)$ konkav ist. (F) #### III.1 b) (A3) (Potenzreihe) - [x] Ist $a \in \R$ und $f : (a - R, a + R) \to \R$ eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion mit Potenzreihendarstellung $f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k (x - a)^k$ und Konvergenzradius $R > 0$, so gilt stets $a_2 \geq 0$ (W) #### III.1 c) (konvexe Funktion) Sei $f : (a, b) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. - [x] Besitzt $f$ ein lokales Minimum, so ist dieses auch ein globales Minimum. (W) - [x] $f$ nimmt stets ein Maximum auf $(a, b)$ an. (F) - [x] $f$ nimmt stets ein Mimimum auf $(a, b)$ an. (F) #### III.1 d) (A1) (Summenformel) - [ ] Für alle $a, b \in \R$ und alle $n \in \N$ gilt: $(a^n - b^n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{n-k} (-1)^k a^{n^2 - kn} b^k$. (W) ### 2014 WS Trainings-Klausur #### III.1 a) (A1) (Reihen) - [ ] Ist $a_n = n^3 + 2n + 7$ für alle $n \in \N$, so konvergiert $\sum_{n=1}^\infty a_n (x - 3)^n$ für alle $x \in \R$ mit $|x - 3| < 1$. (W) #### III.1 b) (A1) (konvexe Funktion) - [ ] Ist $f: \R \to \R$ zweimal stetig differenzierbar, so ist $f$ stets konvex, wenn $f''(x) > 0$ für alle $x \in \R$. (W) #### III.1 b) (A2) (gerade Funktion) - [x] Ist $f: \R \to \R$ eine differenzierbare Funktion mit f'(x) = -f'(-x) für alle $x \in \R$, so ist $f$ stets gerade. (W) #### III.1 c) (Potenzreihe) Sei $f : D \to \R$ eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion und $a \in \R$. - [ ] Ist $D = \R, \alpha \in \R$ und $|f^{(n)}(x)| < \alpha$ für alle $x \in \R$ und alle $n \in \N$, so gilt stets $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$ für alle $x \in \R$. (W) - [x] Ist $D = (a - R, a + R)$ und $f$ eine streng monoton wachsende Funktion mit Potenzreihendarstellung $f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k (x - a)^k$ und Konvergenzradius $R$, so gilt stets $a_1 > 0$. (W) - [x] Ist $D = \R$ und $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(2n+1)}}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ für alle $x \in \R$, so ist $f$ stets eine ungerade Funktion. (W) #### III.1 d) (A1) (Stetige Fortsetzbarkeit) #### III.1 d) (A2) (Differenzierbarkeit) #### III.1 d) (A2) (Grenzwert) ### 2017 SS Wiederholungs-Klausur (Variante A) #### III.1 a) (gerade Funktion) - [x] Ist $f: \R \to \R$ eine differenzierbare gerade Funktion. Dann gilt $f'(x) = -f'(-x)$ für alle $x \in \R$. (W) #### III.1 b) (MWS) - [ ] Sei $f$ stetig auf $[a, \infty)$ und differenzierbar auf $(a , \infty)$ mit $f'(x) > k > 0$ für alle $x > a$, wobei $k$ eine Konstante ist. Falls $f(a) < 0$, dann ist die Gleichung $f(x) = 0$ auf dem Interval $(a, a - \frac{f(a)}{k})$ eindeutig lösbar. (W) #### III.1 c) (Folgen) - [ ] Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine komplexe Nullfolge und $(b_k)_{k \in \N}$ eine beschränkte reelle Folge, so ist $(a_k \cdot b_k)_{k \in \N}$ eine Nullfolge. (W) #### III.1 d) (Reihen) - [x] Seien $a_k, b_k \geq 0, k \in \N$, so dass die Reihen $\sum_{k=1}^\infty a_k$ und $\sum_{k=1}^\infty b_k$ divergent sind. Dann divergiert auch die Reihe $\sum_{k=1}^\infty c_k$ mit $c_k \coloneqq \min(a_k, b_k)$. (F) #### III.1 e) (Beschränkheit) - [x] :exclamation: Sei $M \subseteq \R$ eine beschränkte Menge. Dann besitzt $M$ stets ein Minimum. (F) ### 2019 SS Wiederholungs-Klausur (Variante A) #### III.1 a) (Stetige Fortsetzbarkeit) #### III.1 b) (Trigonometrische Gleichung) #### III.1 c) (Konvex) #### III.1 d) (Folge) - [ ] Wenn eine konvergente Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \N}$ unendlich viele positive und unendlich viele negative Folgenglieder besitzt, dann konvergiert sie gegen $0$. (W) #### III.1 e) (Differenzierbarkeit) ### 2016/17 WS Klausur (Variante A) #### III.1 a) (Wahrheitstafel) #### III.1 b) (Taylorpolynom) - [ ] Sei $f: (-1, 1) \to \R$ 4-mal stetig differenzierbar und $T_{3, 0}$ das Taylorpolynom vom Grad $3$ zu $f$ an der Entwicklungsstelle $0$. Sei die 4-te Ableitung von $f$ durch $\frac{1}{2}$ beschränkt. Dann ist für alle $x \in (-1, 1)$ der Approximationsfehler $|f(x) - T_{3, 0}(x)|$ höchstens $\frac{|x|^4}{48}$. (W) #### III.1 c) (konvex/konkav) - [x] Sei $f : \R \to \R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit $f''(x) \neq 0$ für alle $x \in \R$, so ist $f$ konvex oder konkav. (ZWS) (W) #### III.1 d) (Minimum/Maximum) - [x] Sind $a < b$ reelle Zahlen und ist $f: (a, b) \to \R$ eine stetige Funktion, die kein Maximum annimmt, dann ist $f$ unbeschränkt. (F) ### 2016/17 WS Trainings-Klausur #### III.1 a) (Reihe) - [x] :exclamation: Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine Folge komplexer Zahlen, so konvergiert die Reihe $\sum_{k=1}^\infty (a_k - a_{k+1})$ genau dann, wenn die Folge $(a_k)_{k \in \N}$ eine Nullfolge ist. (F) #### III.1 b) (Umkehrabbildung) - [ ] Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine Folge positiver reeller Zahlen, und ist $N \in \N$, so besitzt die Funktion $f : \R \to \R$ mit $f(x) = \sum_{k=0}^N a_k x^{2k+1}$ eine auf ganz $\R$ differenzierbare Umkehrfunktion. (W) #### III.1 c) (Konvex) - [x] Ist $f: \R \to \R$ eine monoton wachsende konvexe Funktion und ist $g : \R \to \R$ eine beliebige konvexe Funktion, so ist $f \circ g$ konvex. (W) #### III.1 d) (Stetigkeit) - [ ] Ist $f : \R \to \R$ in $x_0 \in \R$ unstetig, so ist auch $g : \R \to \R$ mit $g(x) = (f(x))^2$ in $x_0$ unstetig. (F) ### 2018/19 WS Klausur #### III.1 a) (Stetigkeit) - [ ] Es sei $f: (-1, 1) \to \R$ eine beliebige Funktion mit $|f(x)| \leq |x^2|$ für alle $x \in (-1, 1)$. Dann ist $f$ im Punkt $x_0 \coloneqq 0$ stetig. (W) #### III.1 b) (Folgen) - [x] Für alle Folgen reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ gilt Folgendes: Wenn weder $(a_n)_{n \in \N}$ noch $(b_n)_{n \in \N}$ konvergiert, dann ist die Folge (a_n \cdot b_n)_{n \in \N}$ auch nicht konvergent. (F) #### III.1 c) (Stetig Differenzierbar) - [x] Es sei $f : \R \to \R$ stetig differenzierbar. Ferner sei bekannt, dass $f(-1) = -1$, $f(0) = 1$ und $f(1) = 0$ gilt. Dann gibt es ein $x \in \R$ mit $f'(x) = 0$. (Weierstrass) (W) #### III.1 d) (Wahrheitstafel) #### III.1 e) (Monotonie) - [ ] Es seien $a_0, a_1 \geq 0$. Wir betrachten die Funktion $f : (0, \infty) \to \R, f(x) \coloneqq \ln(x) \cdot (x^2 + a_1 x + a_0)$. Dann ist $f$ auf $(0, \infty)$ monoton wachsend. (F) ## Alte Ideensammlung vom SoSe22 Jedem Thema auch **einen** hashtag geben ### Folgen → Laura - [x] Seien $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ Folgen reeller Zahlen und $(|a_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ monoton und unbeschränkt. Dann gilt: Wenn die Folge $(a_n \cdot b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert, so ist $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge. (Wahr) - [x] Seien $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ Folgen reeller Zahlen und $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ unbeschränkt. Dann gilt: Wenn die Folge $(a_n \cdot b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert, so konvergiert auch $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$. (Falsch) ### Gerade Funktion, Differenzierbarkeit → Friedrich - [x] Ist $f: \R \to \R$ eine differenzierbare gerade Funktion. Dann gilt $f'(x) = -f'(-x)$ für alle $x \in \R$. (2017 SS III.a) (Wahr) - Die Funktion $f(x) = $ `Lücke` ist gerade, aber es gilt $f'(x) \neq -f'(-x)$. - Sei $g(x) = f(-x)$. Da $g(x) = f(x)$ gilt, ist $g'(x) = f'(x)$. Unter Verwendung der `Kettenregel` in $(\ast)$ erhalten wir $$g'(x) = [f(-x)]' \overset{(\ast)}{=} f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x).$$ - TODO - [x] Ist $f: \R \to \R$ eine differenzierbare Funktion mit $f'(x) = -f'(-x)$ für alle $x \in \R$, so ist $f$ stets gerade. (2014 WS III.b A2) (Wahr) - Die Funktion $f(x) = $ `Lücke` ist ungerade, erfüllt aber $f'(x) = -f'(-x)$. - Sei $g(x) = f(-x)$. Dann gilt $g'(x) = [f(-x)]' = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x).$ Nach Vorraussetzung ist also $(f - g)'(x) = f'(x) - (-f'(-x)) = 0$, somit ist die Funktion $f - g$ `konstant`. Da $(f - g)(0) = 0$ ist, ist die Funktion $f - g$ die Nullfunktion. - TODO ### Maximum/Minimum einer Funktion, Unbeschränkt → Wiebke - [x] Sind $a < b$ reelle Zahlen und ist $f: (a, b) \to \R$ eine stetige Funktion, die kein Maximum annimmt, dann ist $f$ unbeschränkt. (Falsch) - [x] Sind $a < b$ reelle Zahlen und ist $f: (a, b) \to \R$ eine stetige Funktion, die ein Minimum annimmt, dann ist $f$ beschränkt. (Falsch) ### Reihen → Friedrich konkrete Reihe vorgeben, wo scheinbar Leibniz verwendet werden kann. - Nullfolgen-Kriterium missbrauchen - Leibniz nicht anwendbar aus verschiedenen Gründen - alternierend erst später (Falsch) - Beträge der Reihenglieder nicht monoton fallend - für absolute Konvergenz missbrauchen - Leibniz reicht nicht für absolute Konvergenz, also nicht absolut konvergent (Falsch) - (Quotienten-)Kriterium nicht anwendbar, also divergiert die Reihe. (Falsch) ### ZWS/MWS → Wiebke und Laura - [x] Jedes reelle Polynom dritten Grades besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. (Wahr) - [ ] Beweis über Zwischenwertsatz: Da jedes Polynom dritten Grades von der Form $f(x) = x^3 \left( a_3+\frac{a_2}{x}+\frac{a_1}{x^2}+\frac{a_0}{x^3} \right)$ ist und die letzten drei Terme Nullfolgen bilden, bestimmt der Term $a_3x^3$ das Vorzeichen des Polynoms für große $x$. Es gibt daher reelle Zahlen $a$ und $b$ mit $a<b$, so dass $f(a)<0<f(b)$. Da Polynome stetig sind, existiert nun nach dem _Lücke_ (zws) ein $x_0 \in (a,b)$ mit $f(x_0)=0$. - [ ] (Beweis durch Beispiel) Jedes Polynom der Form $p(x)=ax^3+bx^2+cx$ hat in $x=$ _Lücke_ eine Nullstelle. - [ ] Nach dem _Lücke_ (fda) lässt sich das Polynom wie folgt faktorisieren $p(x)=z(x-z_1)^{\nu_1}...(x-z_k)^{\nu_k}$, mit $z_l \in \C$, wobei $\nu_l$ die Vielfachheiten der Nullstellen sind, und es gilt $\sum_{l}\nu_l=3$, da das Polynom reell ist gilt, falls $z_l$ komplex ist, ist auch sein _Lücke_ (komplex konjugiertes) eine Nst und die Vielfachheiten stimmen überein. Somit muss mindestens eine Nst reell sein. - [x] Jedes reelle Polynom vierten Grades besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. (Falsch) - [ ] Gegenbeispiel, betrachte Polynom 4. Grades p = _Lücke_ mit der Eigenschaft p(0)=1 und $p(x) \geq 1$ für alle $x\in \R$. (mögliche Lösungen: $p(x) = x^4+ 1, p(x)=x^4 +x^2 +1$) - [ ] ZWS falsch anwenden: Polynome sind stetig. Laut dem Satz vom Weierstraß nimmt jedes Polynom vierten Grades daher seine Extrema auf Intervallen der Form $[a,b]$ für reelle Zahlen $a<b$ an. Laut dem _Lücke_ (ZWS) existiert ein $x_0 \in (a,b)$ mit Funktionswerten zwischen Minimum und Maximum, so dass $f(x_0)=0$ gilt. - [ ] Nach dem _Lücke_ lässt sich das Polynom faktorisieren und komplexe Nullstellen treten immer in Paaren mit ihrem komplex konjugierten auf, da die Anzahl der Faktoren gerade ist, können die nur komplex sein - [ ] Nach dem _Lücke_ lässt sich das Polynom wie folgt faktorisieren $p(x)=z\prod_{i=1}^4 (a_i -x)$, da das Polynom reell ist, sind auch die Faktoren $a_i$ reell, diese sind genau die Nst des Polynoms. ## Alte Ideensammlung vom WiSe22 ### `monotonie` &check; → Laura - $f$ streng monoton wachsend $\Rightarrow$ $f' > 0$ `falsch`, `gegenbeispiel`, `leicht` - $f' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ streng monoton wachsend `wahr`, `MWS`, `mittel ### `potenzreihe` &check; → Harald - (un-)gerade Funktionen ### `reelle zahlen` &check; **Reelle Zahlen** - WiSe14III.1.d) (A2): Für jedes $x \in \R$ existiert eine Folge $(q_n)_{n \in \N} \subset \Q$, sodass $\sum_{n=1}^\infty q_n = x$. / $\sum_{n=1}^\infty q^n = x$ - Umordnungssatz mit alternierender harmonischer Reihe (korrekt) - `Binärdarstellung` (korrekt) - Geht nicht, weil wenn $x$ zu groß (blödsinn) - Geometrische Reihe, $x = \sum_{n=1}^{\infty} q^n =$ `q/(1-q)`, wenn $q$ rational, dann auch $x$, also funktioniert so eine Darstellung nicht, wenn $x$ irrational ist. (blödsinn) ### Zwischenwertsatz $f(a) < 0 < f(b)$. Dann hat f auf (a,b) eine ungeradzahlige Anzahl Nullstellen (falsch). Fake-Begründung aufbauend auf der falschen Vorstellung, dass es keine extrema auf 0 geben kann. Gegenbeispiel kann man gut abfragen, auch eine Funktion, die auf oo vielen Stellen null wird... ### Themen, wo wir noch keine Idee haben: → Anamika - Konvergenz (oder (bestimmte) Divergenz) mit epsilon oder Schwelle (Folge oder Reihe) - Supremum / Infimum Bemerkung: Im SoSe 2021 gab es Teil III Aufgaben zu Minimum/Maximum von Mengen - Konvex / konkav → Harald &check; ## Alte Ideensammlung vom Nachholtermin WiSe21 & SoSe21 **Folgen** WiSe12 sowie SoSe13, jeweils III.3.c) - [ ] Es seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit den jeweiligen Grenwerten $a$ und $b$. Dann gibt es ein $M > 0$, sodass $|a_n - b_n| \leq M$ für alle $n \in \N$. - Für $a_n = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} a = 0$ und $b_n = n \xrightarrow[n \to \infty]{} b = \infty$ beispielsweise findet man zu jedem $M > 0$ ein Gegenbeispiel durch Wahl eines beliebigen $n >$ ___[Lücke]___ . - Sei beispielsweise $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ und $b_n = \frac{2}{n}$. Mit $M = \frac{1}{n} > 0$ ist dann die Abschätzung nur für ___[Lücke]___ $n$ erfüllt. - Laut Rechenregeln konvergiert auch $(c_n)_{n\in\N}$ mit $c_n:=a_n-b_n$. Damit ist $(c_n)_{n\in\N}$ beschränkt, sagen wir durch $S>0$. Mit $M:=$ ___[Lücke]___ ist man fertig. - Wegen ihrer Konvergenz sind die gegebenen Folgen auch beschränkt, sagen wir durch $A>0$ bzw. $B>0$. Benutzt man die Dreiecksungleichung, ist man durch $M:=$ ___[Lücke]___ fertig. - [ ] Es seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit den jeweiligen Grenwerten $a$ und $b$. Dann konvergiert auch $a_n^2-b_n^2$. - Nach den Grenzwertsätzen gilt $a_n+b_n\to a+b$. Dadurch, dass $a_n^2-b_n^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)$ gilt, und $(a_n+b_n)(a_n-b_n)$ ebenfalls nach den Grenzwertsätzen gegen ___[Lücke]___ konvergiert, sind wir fertig. - [ ] Aussagen vom Typ GWS mit konvergenten Folgen $a_n$ und $b_n$, etwa - $(a_n-b_n)^2 \to (a-b)^2$ - $\frac{a_n}{n} \to 0$ - $b \cdot a_n \to b \cdot a$ - [ ] Sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $a$. Dann existiert ein $M > 0$, sodass $|a_n| < M$ für alle $n \in \N$. - Laut Definition einer Nullfolge kann man für gegebenes $\varepsilon > 0$ nur sagen, dass $|a_n| < \varepsilon$ für $n \geq n_0$, wobei $n_0$ von $\varepsilon$ abhängt. Hier setzen wir $\varepsilon =$ ___[Lücke]___ . - Für $a_n = n \xrightarrow[n \to \infty]{} a = \infty$ beispielsweise findet man zu jedem $M > 0$ ein Gegenbeispiel durch Wahl eines beliebigen $n >$ ___[Lücke]___ . - Laut Definition existiert ein $n_0$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ gilt $|a_n-a|<1$. Jedes $M$ mit $M\ge\max_{n<n_0}|a_n|$ und $M\ge |a|+$ ___[Lücke]___ erfüllt dann $|a_n| < M$ für alle $n \in \N$. **Funktionen** - Gerader / ungerader Anteil - Die als Taylorreihe $f(x) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n$ gegebene Funktion lässt sich in $x = -1$ nicht mehr zerlegen, weil zwar $f(-1)$ als alternierende harmonische Reihe gemäß ___[Lücke]___-Kriterium konvergiert, der gerade Anteil hingegen $g(x) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} x^{2k}$ für $x=-1$ als harmonische Reihe gegen $\infty$ divergiert, ähnliches gilt für den ungeraden Anteil $h(x) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} x^{2k-1}$, wobei hier für $x=-1$ die Reihe gegen $-\infty$ divergiert. - Variante der Aufgabe: Zerlegung in konkaven und konvexen Anteil? :laughing: - Als falsche Antwort Zerlegung gerade/ungerade demonstrieren - Auch obiges Taylorreihenbeispiel - WiSe14 III.1.b) (A1): Eine Funktion $f \colon \R \to \R$ ist genau dann konvex, wenn $g \colon \R \to \R$, $g(x) = f(-x)$ konkav ist. - WiSe14 III.1.c) (A3): Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. Dann nimmt $f$ stets ein Minimum auf $(-1,1)$ an. (Falsch) - Da $f$ in den Rändern nicht definiert ist, muss dort eine Polstelle vorliegen. Wegen der Konvexität kann dies nur jeweils $+\infty$ sein. Insbesondere existieren (nach dem Zwischenwertsatz) Stellen $-1 < x_1 < x_2 < 1$ mit $f(x_1) = f(x_2)$. Da die Funktion stetig differenzierbar ist, muss nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung eine Stelle $x_0 \in (-x_1,x_2)$ existieren, für die $f'(x_0) = 0$ gilt. Aufgrund der Konvexität von $f$ ist dies notwendigerweise ein Minimum. - Die für $x \in (-1,1)$ durch $f(x) =$ ___[Lücke]___ gegebene Funktion nimmt ihr Infimum $\inf_{x \in (-1,1)} f(x) = 0$ nicht an. - WiSe14 III.1.c) (A3): Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion mit $\lim\limits_{x \searrow -1} f(x) = \lim\limits_{x \nearrow 1} f(x) = \infty$. Dann nimmt $f$ stets ein Minimum auf $(-1,1)$ an. (Korrekt, Nachholtermin vom WS20/21) - Aufgrund der Grenzwertdefinition gibt es ein $\delta > 0$, sodass $f(x) > f(0) + 1$ für alle $x \in (-1,-1+\delta)$ bzw. $x \in (1-\delta, 1)$, insbesondere für $x_1 := -1 + \frac{\delta}{2}$ und $x_2 := 1 - \frac{\delta}{2}$. Da $f$ stetig ist, existieren laut Zwischenwertsatz Stellen $x_1 < \xi_1 < 0$ und $0 < \xi_2 < x_2$ mit $f(\xi_1) = f(\xi_2) = f(0) + 1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass nimmt $f$ eingeschränkt auf $[\xi_1,\xi_2]$ sein Minimum an. Aufgrund der Konvexität von $f$ kann dieses außerhalb dieses Intervalles keinen kleineren Wert annehmen. - Aufgrund der Grenzwertdefinition gibt es ein $\delta > 0$, sodass $f(x) > f(0) + 1$ für alle $x \in (-1,-1+\delta)$ bzw. $x \in (1-\delta, 1)$, insbesondere für $x_1 := -1 + \frac{\delta}{2}$ und $x_2 := 1 - \frac{\delta}{2}$. Da $f$ stetig ist, existieren laut Zwischenwertsatz Stellen $x_1 < \xi_1 < 0$ und $0 < \xi_2 < x_2$ mit $f(\xi_1) = f(\xi_2) = f(0) + 1$. Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein $\xi_0 \in (\xi_1,\xi_2)$ mit $f'(\xi_0) = 0$. Aufgrund der Konvexität von $f$ ist die Ableitung $f'$ wachsend, also ist $f'(x) \leq 0$ für $x < \xi_0$ und $f$ monoton fallend, sowie $f'(x) \geq 0$ für $x > \xi_0$ und $f$ monoton wachsend. Also liegt in $\xi_0$ ein globales Minimum vor. - Es könnte $f''(x_0) = 0$ sein, für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion muss bei einem Minimum jedoch $f''(x_0)$ `>` $0$ gelten. - *Idee für weiteren falschen Vorschlag:* Der Satz vom Minimum und Maximum lässt sich nicht anwenden, weil das Definitionsintervall nicht `abgeschlossen` ist. - WiSe14 III.1.c) (A1): Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. Besitzt $f$ ein lokales Minimum, so ist dieses auch ein globales Minimum. (korrekt) - Die konvexe Funktion $f(x) =$ *`_Lücke_`* [Beispielsweise `x^4`] nimmt in $x=0$ ein Minimum an mit $f(0) = 0$. Da jedoch $f''(0) = 0$, ist dieses nicht strikt und somit nicht global. - Wir definieren abschnittsweise $f(x) = x^3$ für $x \in [0,1)$ und $f(x) = 0$ für $x \in (-1,0)$. Offensichtlich ist $f$ zweimal stetig differenzierbar. Jedoch ist $f(0)$ kein globales Minimum, weil etwa auch $f($ *`_Lücke_`* $) = 0$ gilt. - korrekte Begründung fehlt. - Umkehrung: Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. Besitzt $f$ ein globales Minimum, so ist dieses auch ein striktes lokales Minimum. (falsch) - Die konvexe Funktion $f(x) =$ *`_Lücke_`* [Beispielsweise `x^4`] nimmt in $x=0$ sein globales Minimum an mit $f(0) = 0$, da $f(x) > 0$ für $x\neq 0$. Da jedoch $f''(0) = 0$, ist dieses kein striktes lokales Minimum. - Wir definieren abschnittsweise $f(x) =$ `x^3` für $x \in [0,1)$ und $f(x) = 0$ für $x \in (-1,0)$. Dieses $f$ ist zweimal stetig differenzierbar und nimmt in $x=0$ das globale Minimum $0$ sein. Offensichtlich liegt in $x=0$ jedoch kein striktes lokales Minimum vor, weil in jeder noch so kleinen $\varepsilon$-Nachbarschaft von $x=0$ existiert mit $x' := -\frac{\varepsilon}{2}$ ein Punkt mit $f(x') = 0 = f(0)$. - vermeintlichen Beweis. - WiSe16 III.c): Ist $f\colon \R \to \R$ eine (monoton wachsende / konvexe) Funktion und ist $g \colon \R \to \R$ eine beliebige konvexe Funktion, so ist $f \circ g$ konvex. (Aussagenvariante mit $g \circ f$?) - Welche Varianten kriegen wir, wenn wir einen Teil der Voraussetzungen, etwa die Konvexität oder Monotonie von $f$, weglassen, oder $g \circ f$ betrachten? - Welche korrekten Argumentationsmuster hätten wir in den jeweiligen Fällen? Anbieten, auch wenn sie akut nicht korrekt sind. **Reelle Zahlen** - WiSe14III.1.d) (A2): Für jedes $x \in \R$ existiert eine Folge $(q_n)_{n \in \N} \subset \Q$, sodass $\sum_{n=1}^\infty q_n = x$. - Umordnungssatz mit alternierender harmonischer Reihe (korrekt) - `Binärdarstellung` (korrekt) - Geht nicht, weil wenn $x$ zu groß (blödsinn) - Geometrische Reihe, $x = \sum_{n=1}^{\infty} q^n =$ `q/(1-q)`, wenn $q$ rational, dann auch $x$, also funktioniert so eine Darstellung nicht, wenn $x$ irrational ist. (blödsinn) ### `mittelwertsatz` (Idee von `rjk`) - Sei $f\colon \R \to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion und $x<y$. Dann gilt $$ \frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'\left(\frac{x+y}{2}\right) \,. $$ (Falsch!) - Fake: Dies ist der `Mittelwert`-Satz der Differentialrechnung. - Unvollständig: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung sagt nur die Existenz eines $\xi \in (x,y)$ voraus, sodass $\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(\xi)$ - Gegenbeispiel: $f(x) =$ `x^3`, $x= 0 < y=2$, dann ist $$ \frac{f(y) - f(x)}{y - x} = 4 \neq f'\left(\frac{x+y}{2}\right) = 3\,. $$ - Fake-Beispiel: Betrachte z.B. $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a,b,c \in \R$. Dann ist $$ \frac{f(y) - f(x)}{y - x} = \color{blue}{a(x+y) + b} = f'\left(\frac{x+y}{2}\right)\,. $$ ### Bereits umgesetzt #### `konvergenz` - Es sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $a$. Dann existiert ein $n_0 \in \N$, sodass $|a_n - a| < \frac{1}{n}$ für alle $n \geq n_0$. - Laut Definition einer konvergenten Folge existiert für jedes $\varepsilon > 0$ ein $n_0 \in \N$, sodass für alle $n \geq n_0$ gilt, dass $|a_n - a| < \varepsilon$. In diesem Fall wenden wir die Definition für $\varepsilon =$ ___[Lücke]___ an. - Sei zum Beispiel $a_n := \frac{1}{n \log(n+1)}$ mit $a = 0$. Dann können wir $n_0 =$ ___[Lücke]___ wählen. - Betrachte zum Beispiel die Nullfolge $a_n =$ ___[Lücke]___ . (Dann lässt sich kein derartiges $n_0$ finden.)

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