# Ideen zur Klausur HM1 seit WiSe 2021/22
###### tags: `Dynexite`, `HöMa`

[TOC]

# Ideen

## Teil I

### Fibonacci-Reihe

[fibonacci series](https://austinrochford.com/posts/2013-11-01-generating-functions-and-fibonacci-numbers.html)

Gegeben:
$$
f_0 := 0, \quad f_1 := 1; \quad f_{n+1} := f_n + f_{n-1} \;\text{ für }n \in \mathbb{N}
$$

Erste Folgeglieder (1P)

$\qquad f_2 =$ ___[2]___
$\qquad f_3 =$ ___[3]___
$\qquad f_4 =$ ___[5]___
$\qquad f_5 =$ ___[8]___

#### Behauptung:

Es gilt folgende Formel für Partialsummen der Fibonnaci-Potenzreihe für $x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ und $n \in \mathbb{N}$,

$$
F_n(x) := \sum_{k=0}^{n-1} f_k \cdot x^k
= \frac{x}{x^2+x-1} \cdot \left(f_{n-1} \cdot x^n + f_n \cdot x^{n-1} - 1\right)
$$

#### Induktionsanfang:

(Ein Schritt genügt formal gesehen, aber Verständnis zeigt sich, wenn man auch $n = 2$ kann.)

$$
\begin{aligned}
n&=1 \colon&
\sum_{k=0}^0 f_k \cdot x^k = 0 \cdot x^0 &= 0
= \frac{x}{x^2+x-1} \cdot \left(0 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 - 1\right) \\
n&=2 \colon&
\sum_{k=0}^1 f_k \cdot x^k = 0 + 1 \cdot x &= x
= \frac{x}{x^2+x-1} \cdot \left(1 \cdot x^2 + 1 \cdot x^1 - 1\right)
\end{aligned}
$$

#### Induktionsschritt:

$$
\begin{aligned}
F_{n+1}(x)
&= \sum_{k=0}^{n} f_k \cdot x^k \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} f_k \cdot x^k + f_n \cdot x^n \\
&\stackrel{\text{IV}}{=} \frac{x}{x^2+x-1} \cdot \left(f_{n-1} \cdot x^n + f_n \cdot x^{n-1} - 1\right) + \frac{x}{x^2+x-1} \cdot \left(f_n \cdot x^{n+1} + f_n \cdot x^{n} - f_n \cdot x^{n-1}\right) \\
&= \frac{x}{x^2+x-1} \cdot \bigl(f_n \cdot x^{n+1} + \underbrace{(f_{n-1}+f_n)}_{= f_{n+1}} \cdot x^n - 1\bigr)
\end{aligned}
$$

#### Folgefragen oder alternative Fragestränge

Wie entwickelt sich die Folge $\left(F_n\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\right)_{n \in \mathbb N}$?
Wie entwickelt sich die Folge $\left(F_n\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\right)_{n \in \mathbb N}$?

(Wie entwickelt sich die Folge $\left(F_n\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\right)_{n \in \mathbb N}$?)

Konvergenzradius ist $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ wozu man aber wissen muss, dass
$$
\frac{f_{n+1}}{f_n} = 1 + \frac{f_{n-1}}{f_n}
\xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \,,
$$

der Rest folgt über das Quotientenkriterium.

Diese Folge lässt sich auch gut untersuchen, wir haben nämlich $f_{n} > 0$ für alle $n \in \mathbb N$ sowie $f_n \geq f_{n-1}$ für $n \in \N$, also ist
$$
1 \leq 1 + \frac{f_{n-1}}{f_n} \leq 2
$$

Wie können wir mit HM1-Mitteln zeigen, dass diese Folge konvergiert?
Es sollte möglich sein, eine geschlossene Formel für
$$
q_n := \frac{f_{n+1}}{f_n} = 1 + \frac{1}{q_{n-1}}
$$

zu zeigen. Diese ist allerdings alternierend um den Grenzwert.

# SoSe22

2 Kohorten

## Teil I

3 Aufgaben pro Kohorte

### 2 Induktionsaufgaben (7 Punkte)
- [x] HM1 Klausur, Teil I: Übersetzung Rekursion zu Summenformel via Induktion (Annuitäten-Formel)
- [ ] HM1 Klausur, Teil I: Induktion Ableitungen, Taylor-Reihe, Reihenkonvergenz
- [x] HM1 Klausur, Teil I: Induktion Summenformel, Majoranten-Kriterium, Grenzwert #2

#### Idee mit Reihen: → Jan

Wir könnten uns an einer alten Klausur-Aufgabe orientieren und einfach die Reihe ersetzen. Du kannst im folgenden Klon arbeiten:
- HM1 Klausur, Teil I: Induktion Summenformel, Majoranten-Kriterium, Grenzwert #2

Die folgenden Reihen konvergieren zumindest und "sollten" so ähnlich funktionieren.
$\displaystyle \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k^2-2k} = \frac{3n^2 - 7n + 2}{4n^2 - 4n} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{3}{4}$ (**Favorit**, da Koeffizienten klein, und quadratisch)
oder
$\displaystyle \ \sum_{k=a+2}^{n} \frac{1}{(k-a)(k-(a+1))} = 1 - \frac{1}{n - a} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1$ für einen festen Wert wie $a = 3$. (zu einfach?)
oder
$\displaystyle \sum_{k=5}^{n} \frac{1}{(k-2)(k-4)} = \frac{3n^2-19n+28}{4(n^2 - 5n + 6)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{3}{4}$

### 2 Geometrieaufgaben (6 Punkte)
- [ ] HM1 Klausur, Teil I: Minimalabstand von Punkt auf Wurzelfunktion zu gegebenem Punkt auf x-Achse 2.0
- [x] HM1 Klausur, Teil I: Maximales Dreieck innerhalb eines Halbkreises
- [x] HM1 Klausur, Teil I: Optimierung Dreiecksfläche mit Seite durch gegebenen Punkt und Koordinatenachsen

### 2 Abschätzungen (7 Punkte)
- [ ] HM1 Klausur, Teil I: Differenzierbarkeit & Mittelwertsatz
- [x] HM1 Klausur, Teil I: Abschätzung trigonometrische Funktionen (MWS)
- [x] HM1 Klausur, Teil I: Exponentialfunktion Abschätzung
- [ ] Differenzierbarkeit B
- [ ] HM1 Klausur, Teil I: Stetigkeit & Differenzierbarkeit B
- [ ] HM1 Klausur, Teil I: Differenzierbarkeit & Mittelwertsatz

## Teil II
ist im Prinzip schon abgedeckt.

## Teil III
5 Aufgaben pro Kohorte, da ist unsere Kreativität gefragt.

- Konvexe Funktion $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ist stetig (wahr)

# Neue Ideen für das WiSe21

## Teil I

#### Ideen Repetitoriumsklausur:

Schnellster Weg durch unterschiedliches Terrain (etwa Fahrrad auf Parkweg und Wiesenabschnitt überqueren): https://www.youtube.com/watch?v=5IwV4AMfe84

$$
T(x) = 5\sqrt{36 - x^2} + 4(20-x)
$$

#### Punkt auf Glockenkurve mit kürzestem Abstand zum Ursprung

$$ f_a(x) = e^{ax^2} > 0$$

Gesucht ist die Stelle $x \in \mathbb R$ mit dem geringsten Abstand zwischen $O$ und $(x,f_a(x))$ in Abhängigkeit von $a$.

Abstand von $O = (0,0)$ zu $(x,f(x))$ kann beschrieben werden durch Funktion
$$
d_a(x) := \sqrt{x^2 + \bigl(f_a(x)\bigr)^2}
$$

Existenz des Minimums
- $\inf\limits_{x} d_a(x) \leq d_a(0) =$ ___[1]___ $=: d_0$
- Für die Suche nach dem Infimum von $d_a$ auf $\R$ können wir $x$ auf das Intervall
$\qquad I_0 := \bigl[$ `-1, 1` $\bigr]$
einschränken, denn für $x \in \mathbb R \setminus I_0$ gilt $d_a(x) > d_0$.
- Da die Funktion $d_a$ ___[stetig]___ ist und die Menge $I_0$ ___[kompakt]___ , können wir den Satz von ___[Weierstrass]___ anwenden und schlussfolgern, dass die Funktion $d_a$ eingeschränkt auf $I_0$ ihr Minimum und Maximum annimmt. Das Minimum von $d_a$ auf $I_0$ ist gleichzeitig das Minimum von $d_a$ auf ganz $\mathbb R$.

Bestimmung des Minimums:
- Die Abbildung $q: [0,\infty) \to [0, \infty), t \mapsto t^2$ ist streng ___[monotonwachsend]___ , weshalb das globale Minimum von $g_a := q \circ d_a$ an der selben Stelle $x \in \mathbb R$ angenommen wird wie das Minimum von $d_a$.
- Wir untersuchen also nur noch die Funktion
$g_a(x) = x^2 + \bigl(f_a(x)\bigr)^2$,$\quad$ wobei $\;\bigl(f_a(x)\bigr)^2 = \exp\bigl($ ___[2axquadrat]___ $\bigr)$
- $g_a'(x) =$ `2*x` $+$ `4*a*x` $\cdot\,\bigl(f_a(x)\bigr)^2\qquad$ [0.5P + 0.5P]
- $g_a''(x) =$ `2` $+ \,\bigl($ `4*a + 16*a^2*x^2` $\bigr) \cdot\bigl(f_a(x)\bigr)^2\qquad$ [0.25P + 0.75P]
- Offensichtlich liegt unabhängig von $a$ immer ein kritischer Punkt in $x = 0$ vor.
Für $a \in$ `(-1/2, oo)` ist $g_a''(x) > 0$ und das Extremum ist ein lokales `Minimum`.
- Für $a \in$ `(-oo, -1/2)` existiert zudem ein kritischer Punkt in
$\qquad x = x_a := {\displaystyle\color{blue}{\sqrt{\frac{\log\left(-\frac{1}{2a}\right)}{2a}}}}>0\;$ sowie $\;x= -x_a$ .
- Wie zeigen, dass das ein Minimum sein muss und kein Sattelpunkt sein kann?

### Produktformeln (Reihengrenzwerte)

Vier interessante Variationen "unendlicher Wurzeln":
https://www.youtube.com/watch?v=ePIKlri8FYg
- $a_0 = 10$, $a_1 = 10 \cdot \sqrt{10}$, $a_2 = 10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{10}}$, $a_3 = 10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{10}}}$, ...
Was ist $10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt{\ldots}}}}}$?
Formulierung als Rekursionsproblem: $a_0 = 10$, $a_{n+1} = 10 \cdot \sqrt{a_n}$ .
Formulierung als Produktformel
$$
a_n = \prod_{k=0}^{n} 10^{\color{blue}{2^{-k}}}
$$ Induktionsbeweis für diese Übersetzung?
Dann Umformulierung
$$
a_n = 10^{\left(\sum\limits_{k=0}^n 2^{-k}\right)}
$$
- ganz ähnlich mit
$$
10 \cdot \sqrt[n]{10 \cdot \sqrt[n]{...}}
$$
- $a_1 = 10$, $a_2 = 10 \cdot \sqrt{10}$, $a_3 = 10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt[3]{10}}$, $a_4 = 10 \cdot \sqrt{10 \cdot \sqrt[3]{10 \cdot \sqrt[4]{10}}}$
Hier keine Formulierung als Rekursionsformel praktikabel.
Direkt Formulierung als Produkt
$$
\prod_{k=1}^{\infty} 10^{\frac{1}{k!}}
= 10^{\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}\right)}
= 10^{e-1}
$$ Induktionsbeweis für einen Teilschritt denkbar? (Endliche Produkte / Summen)

### Summenformeln

#### Partialbruchzerlegung zweimal

$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{4} \\
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{2(2+n)(3+n)}
$$

https://www.youtube.com/watch?v=CaDkq0M2v-4

- Konvergenz mittels Leibnitz klar, aber sogar absolute Konvergenz direkt beweisbar mit Abschätzung gegen $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{c}{n^4}$ .
- Geschlossene Formel anbieten und Induktionsbeweis? Oder zerlegen in Summe über gerade und ungerade Teile und dort Partialbruchzerlegen → Partialsummenformel?

#### Gauß'sche Summenformel + Partialbruchzerlegung

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sum_{\ell=1}^{k} \ell} = 2
$$

- Induktiv Formel für endliche Summe beweisen?
- https://www.youtube.com/watch?v=Wl5UTB_HVLg

#### Partialsummen oder E-Funktion

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!} = 1
$$

https://www.youtube.com/watch?v=Rf_SxVjMEV4

- Partialsummen per Induktion: $S(n) = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$
- Alternativberechnung mittels Zerlegung:
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!}
= \sum_{k=1}^{\infty} \underbrace{\frac{k+1}{(k+1)!}}_{= \frac{1}{k!}} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}
= (e-1) + (e-1-1) = 1
$$

#### Teleskopsumme mit Wurzeln im Bruch

##### Erstes Beispiel mit bestimmter Divergenz

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1
$$

https://www.youtube.com/watch?v=9qYukRVbO6Q

Anwendung zur Abschätzung von $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ (Divergenz)?

##### Zweites Beispiel mit absoluter Konvergenz

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}}
&= \sum_{k=4}^{\infty} \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)} \cdot 1}
= \sum_{k=4}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}
= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
https://www.youtube.com/watch?v=xKjDY1mgeAc

Anwendung zur Abschätzung von $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\sqrt{k}}$?

# Alte Ideen

(Orientiert an Altklausuren)

## Teil I – Themenübergreifende Lückentexte inklusive Theoriewissen

Drei Aufgaben, jeweils 6 bis 7 Punkte (Auch gebrochene Punktzahlen für einige Lücken, solange einzelne Stationen in der Summe ganze Punkte bringen), in der Summe 20 Punkte

### Geeignete Themen:

#### Induktion

- Summen-/Produktformeln → 2 Bspe. mit anschließender Grenzwertbetrachtung für Reihe / unendl. Produkt umgesetzt,
- Summenformel ist hier etwas komplizierter
- Abschätzungen für Summen → 2 Bspe. mit Divergenz- und Konvergenzbetrachtung für Reihen umgesetzt
- Ableitungsformeln
- 2 Bspe. mit Anwendung Taylorreihe und Reihenkonvergenz umgesetzt
- 1 Bsp. mit Anwendung stetige Fortsetzbarkeit für alle Ableitungen (recht abstrakt, als Training freischalten oder Reserve?)
- Monotonie und Beschränktheit rekursiv definierter Folgen
- WiSe14: $a_1 = 2$, $\quad a_{n+1} = \frac{1+2a_n}{2+a_n}$
- WiSe16 Training: $a_1 = 0$, $\quad a_{n+1} = \frac{3a_n+1}{a_n^2+3}$ → halbparametrisiert umgesetzt ✓
- SoSe13 Training aus II.1: $a_1 = 1$, $\quad a_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{4} a_n^2 + 1}$ → halbparametrisiert umgesetzt ✓
- Abschätzungen zur Fakultät → 2 neue Ideen umgesetzt ✓
- SoSe13: $\prod\limits_{k=1}^n k^k \leq n^{\frac{n(n+1)}{2}}$ (irgendwie trivial)
- WS16: $n! \geq 2^{n-1}(n-2)^2$ für $n \geq 6$
- Etwas mit Binomialkoeffizienten? Etwa Monotonie von $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ und $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$?

### Optimierungsprobleme mit geometrischer Anschauung

→ Jan-Alexander Haja?
https://math24.net/optimization-problems-2d-geometry.html
Geometrische Argumente mit Analysis vorbereiten oder vorgeben (Symmetrieerwägungen etwa)

(Bereits eine Auswahl getroffen)

### Annuitäten-Formel

https://www.youtube.com/watch?v=eb7490j5hPM

Schulden $S_0 = x$ aufgenommen zur Zeit $t=0$.
Konstante Rückzahlungen $y$ zu Zeiten $t \in \N$.
Wegen Zinsrate $i > 0$ erhöht sich die Schuldenlast, $r := 1+i > 1$ (konkrete Werte einsetzen).
Rekursionsformel:
$$
S_{t+1} = r \cdot S_t - y
$$

Summenformel induktiv herleiten:
$$
S_t = x \cdot r^t - y \sum_{k=0}^{t-1} r^k
$$

Dann die geschlossene Formel abfragen?
$$
S_t = x \cdot r^t - y \cdot \frac{r^t-1}{r-1}
= \left(x-\frac{y}{r-1}\right) r^t + \frac{y}{r-1}
$$

Mögliche Abschlussfragen: Wie groß muss y sein, damit $S_n = 0$ für gegebenes $n$ (konkreter Wert, etwa mit $r=2$ dann bis $n=7$)?

#### Stetige Fortsetzbarkeit, Differenzierbarkeit, ZWS, Optimierung

- Abschnittsweise definierte Funktionen (mit Parameter?)
- WiSe14, I.2:
- SoSe17, I.2.:
- SoSe13 HM2, I.2.b)
- SiSe13 HM2 Wdh, I.3.b)
- Mehr als nur Polynom, siehe WiSe16, I.3: $\sin(x^2) - \frac{x^2}{2}$ auf $(-2,2)$.
- SoSe19: $e^x (x^2-3)$
- ZWS
- $\sin^2(x) = \exp(5-x)$

#### Konvergenzbereich von Potenzreihen (inklusive Leibniz am Rand)

- WiSe16: $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k \cdot 2^{k+2}}(x-2)^k$
- SoSe19: $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \cdot 5^k} \cdot (x-5)^k$
- SoSe13 HM2:
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$ → implementiert ✓
- $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^n}{3^{2n} n!} x^n$

#### Ungleichungen und Fallunterscheidungen

- WS16 Training: Mit Betrag und $\log$...
- Gleichungen wären dann für Teil II geeigneter:
- SoSe19: $|2x+4|+|x-3| = |x-1| + 5$

### Entnommen aus Altklausuren

#### *Zwischenwertsatz* → Klausur WS18/19, I.2

Sei $b > 1$ eine reelle Zahl. Zeigen Sie mit dem Zwischenwertsatz, dass die Funktion
$$
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
h \colon [0,\infty) \to \R, \quad x \mapsto h(x) = \frac{b^2}{(x+1)^5}-\frac{b}{x+2} - \frac{1}{2}
$$

eine Nullstelle $x_0 \geq 0$ besitzt.

------

- Die Abschätzung $h(0) > 0$ erfordert etwas Geschick. Man könnte verschiedene Vorschläge eines Beweises vorsetzen und fragen, welche Varianten korrekt sind. Oder Fehlersuche bei einem Vorschlag.
- $\lim\limits_{x \to \infty} h(x)$ abfragen (Ergebniseingabe im Textfeld als `-1/2` oder als Zahleneingabe `-0,5`)
- Argument im Stil des Zwischenwertsatzes vorlegen und abfragen, welcher Satz verwendet wurde (Texteingabe `Zwischenwertsatz`)
- Auch Abfrage, welche wichtige Eigenschaft von $h$ wichtig für das Argument ist (Texteingabe `stetig` oder `Stetigkeit` oder `stetigkeit`)

#### *Optimierung* → Klausur WS18/19, I.3 ✓ (leicht modifiziert und beim Intervall parametrisiert umgesetzt.)

Gegeben sei die Funktion $f\colon [-10,10] \to \R$,
$$
f(x) = \ln(x^2-x+1)+x
$$

1. Begründen Sie, dass die Funktion $f$ auf $[−10, 10]$ ein globales Maximum und ein globales Minimum annimmt.
2. Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion $f$ auf dem Intervall $(−10, 10)$.
3. Entscheiden Sie mit Methoden der Differentialrechnung, ob die in 2. bestimmten kritischen Punkte lokale Extremalstellen sind und um welche Art von Extremalstellen es sich handelt (lokale Maximalstelle oder lokale Minimalstelle).
4. Bestimmen Sie nun alle globalen Extremalstellen und Extrema von $f$ .

------

1. Abfragen:

- Welcher allgemeine Satz ist geeignet, die Existenz eines globalen Maximums und Minimums nachzuweisen, ohne Ableitungen zu verwenden?
(Texteingabe `Weierstraß` oder `Satz von Weierstraß`)
- Welche Eigenschaft von $f$ wird benötigt?
(Texteingabe `Stetigkeit` oder `stetig`)
- Abfrage: Welche Werte nimmt der Ausdruck $x^2-x+1$ an?
Für $\ln(z)$ sind Werte $z >$`0` erlaubt (gerne auch mit Auswahlfeld $\geq$ und $<$ und so als Fake-Antworten, zählt dann aber in den Multiple-Choice-Teil).
- Welche Eigenschaften des Definitionsbereiches $[-10,10]$ braucht es?
(Lückentext: Der Definitionsbereich $[-10,10]$ ist `beschränkt` und `abgeschlossen` [Gruppierte Textfelder], diese beiden Eigenschaften werden unter dem Begriff `Kompaktheit`/`kompakt` zusammengefasst)

2. evtl. Ableitung abfragen mit

- Struktur der Ableitung mit offenen Parametern (Achtung, zählt dann in den Multiple Choice-Teil)
- Eingabe der Parameter

Eingabe der kritischen Punkte mit der Forderung, dass diese sortiert sein mögen.

3. Man könnte die zweite Ableitung an den kritischen Punkten abfragen.
Braucht es aber wirklich die zweite Ableitung? Wenn man 4. zuerst bearbeitet?

4. Zwei Möglichkeiten:

- Funktionswerte $f(-10)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(10)$ sortieren?
Falls Leute nicht Erfolg mit den Abschätzungen haben, könnte man immerhin Teilpunkte bekommen für das Angeben der Funktionswerte in der Gestalt $f(x_1) = \ln($`3`$)+$`-1`
allerdings ist $f(0) = 0$ wesentlich einfacher.
- Maximalstelle und Minimalstelle abfragen (dann müssen die Leute noch von selbst auf die Idee kommen, die Randpunkte mit einzubeziehen)

### Aus Übungsaufgaben inspiriert

...

### Wage Ideen gesammelt für die Probeklausur und nicht umgesetzt

#### Idee: *Quantoren* &rarr; ähnliches eher in Teil III

Eine Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ heißt *periodisch* (mit Periode $p > 0$), falls gilt:

$$
\exists p > 0 \; \forall x \in \mathbb{R} \; \forall k \in \mathbb{Z}:
\quad f(x) = f(x + k \cdot p).
$$

Wie lautet die korrekte Verneinung, d.h. welche der folgenden Aussagen ist die exakte Charakterisierung der Aussage, dass $f$ *nicht* periodisch ist?

$$
\exists p > 0 \; \forall x \in \mathbb{R} \; \forall k \in \mathbb{Z}:
\quad f(x) \neq f(x + k \cdot p), \\
\forall p > 0 \; \forall x \in \mathbb{R} \; \forall k \in \mathbb{Z}:
\quad f(x) \neq f(x + k \cdot p), \\
\forall p > 0 \; \exists x \in \mathbb{R} \; \exists k \in \mathbb{Z}:
\quad f(x) = f(x + k \cdot p), \\
\forall p > 0 \; \exists x \in \mathbb{R} \; \exists k \in \mathbb{Z}:
\quad f(x) \neq f(x + k \cdot p).
$$

(Multiple Choice? Ausfüllen?)

#### Idee: *rekursiv/explizit/Induktion/Inf/Min/Max/Sup*

Die Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sei rekursiv definiert durch

$$
a_1 = 1, \qquad a_{n+1} = a_n - \frac{n}{n+1}.
$$

1. Geben Sie eine explizite Formel an!
2. Existieren Infimum/Minimum/Supremum/Maximum? Ggf. angeben!

Lösung:

1. $a_n = 1/n$.
2. Inf = 0, Minimum existiert nicht, Sup = Max = 1.

## Teil II – Generische Aufgaben mit Fokus auf das Ergebnis

Hashtag: #klausurteil2

### Planung für Repetitorium:
- *Neue Betragsaufgaben?* &cross;
- Neue Trigonometrie? (&check; Ungleichung eine $\leq$ bzw. $\geq$-Variante)
- Neue Gleichung mit komplexer Zahl?
- Neue Potenz komplexer Zahl mit Betrag ungleich 0
- (*Standardgrenzwert mit Wurzeln im Bruch*, komplexer Grenzwert &cross;)
- **Wurzelgrenzwert Trick 3. Binomische Formel** &check; (sogar schöne )
- Folge mit $(-1)^n$ aber nicht im Bruch? → vllt. noch im Wurzelkriterium?
- Andere leichte Rekursion?
- nicht-quadratische Rekursion &cross;
- 3P-Aufgabe mit Monotonie-Argument &check;
- **Neue l'Hôpital-Beispiele** &check;
- **Reihenaufgaben mit Wurzelkriterium?**
- *Weitere Umkehrabbildung?*
- *Weitere Aufgabe zu Monotonieintervallen?*

### Altes Grundkonzept

- Kleine Rechenaufgaben &rarr; viele ganz leichte Aufgaben zu einem Thema in eine Aufgabe packen
- neu erstellen
- vgl. Logarithmusaufgabe in Probeklausur, nur größer
- Alexander Litvinenko fragen
- #einstieg
- Dynexite-Übungen umbauen &rarr; Frederik, Friedrich
- 2 bis 3 Punkte pro Aufgabe
- &#8291;1. oder auch 2. Punkt davon für Zwischenergebnisse
- Pro Lücke nie mehr als 1 Punkt
- #übung
- Dynexite-Übungen erweitern
- Altklausuren nach ähnlichen aber doch anderen Formulierungen abgrasen &rarr; Robert
- #altklausur
- komplexe Zahlen
- l'Hopital
- Konvergenzradius abfragen wie in ss19_wiederholung II.2, Aufgaben Quotientenkriterium verstehen oder Quotienten/Wurzel-kriterium mit e-Grenzwert (vereinfacht)
- Quotientenkriterium mit e-Grenzwert, x^n ergänzen, nach größtem offenen Intervall abfragen, für die die Reihe absolut konvergiert
- Potenz von Komplexen Zahlen mit Betrag ungleich 1
- Wurzelgrenzwert

Wichtig:
- wenn die Gefahr besteht, dass die Leute mit Taschenrechner schummeln, abfangen, dass Brüche nicht als Dezimalzahl darstellbar sind:

while True:
    sol = Rational(_(1,100),_(1,100))
    
    if (sol*1000).is_integer:
        continue
    
    break

## Teil III

Theoriefragen jeweils 2 Punkte:

- Erste Abfrage: Wahr oder falsch?
- Zweite Abfrage: Auswahl von Begründungen mit *`_Lücke_`*

5 Themen, je 4 bis 5 Varianten (bereits in Kohorten eingeteilt)
- #Bolzano
- #gerade
- #Faktorisierung
- #konvex
- #Teilfolge

### Ideensammlung

**Folgen** WiSe12 sowie SoSe13, jeweils III.3.c)
- Es sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $a$. Dann existiert ein $n_0 \in \N$, sodass $|a_n - a| < \frac{1}{n}$ für alle $n \geq n_0$.
- Laut Definition einer konvergenten Folge existiert für jedes $\varepsilon > 0$ ein $n_0 \in \N$, sodass für alle $n \geq n_0$ gilt, dass $|a_n - a| < \varepsilon$. In diesem Fall wenden wir die Definition für $\varepsilon =$ ___[Lücke]___ an.
- Sei zum Beispiel $a_n := \frac{1}{n \log(n+1)}$ mit $a = 0$. Dann können wir $n_0 =$ ___[Lücke]___ wählen.
- Betrachte zum Beispiel die Nullfolge $a_n =$ ___[Lücke]___ . (Dann lässt sich kein derartiges $n_0$ finden.)
- Es seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit den jeweiligen Grenwerten $a$ und $b$. Dann gibt es ein $M > 0$, sodass $|a_n - b_n| \leq M$ für alle $n \in \N$.
- Für $a_n = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} a = 0$ und $b_n = n \xrightarrow[n \to \infty]{} b = \infty$ beispielsweise findet man zu jedem $M > 0$ ein Gegenbeispiel durch Wahl eines beliebigen $n >$ ___[Lücke]___ .
- Sei beispielsweise $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ und $b_n = \frac{2}{n}$.
Mit $M = \frac{1}{n} > 0$ ist dann die Abschätzung nur für ___[Lücke]___ $n$ erfüllt.
- Laut Rechenregeln konvergiert auch $(c_n)_{n\in\N}$ mit $c_n:=a_n-b_n$. Damit ist $(c_n)_{n\in\N}$ beschränkt, sagen wir durch $S>0$. Mit $M:=$ ___[Lücke]___ ist man fertig.
- Wegen ihrer Konvergenz sind die gegebenen Folgen auch beschränkt, sagen wir durch $A>0$ bzw. $B>0$. Benutzt man die Dreiecksungleichung, ist man durch $M:=$ ___[Lücke]___ fertig.
- Es seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit den jeweiligen Grenwerten $a$ und $b$. Dann konvergiert auch $a_n^2-b_n^2$.
- Nach den Grenzwertsätzen gilt $a_n+b_n\to a+b$. Dadurch, dass $a_n^2-b_n^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)$ gilt, und $(a_n+b_n)(a_n-b_n)$ ebenfalls nach den Grenzwertsätzen gegen ___[Lücke]___ konvergiert, sind wir fertig.
- Aussagen vom Typ GWS mit konvergenten Folgen $a_n$ und $b_n$, etwa
- $(a_n-b_n)^2 \to (a-b)^2$
- $\frac{a_n}{n} \to 0$
- $b \cdot a_n \to b \cdot a$
- Sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $a$. Dann existiert ein $M > 0$, sodass $|a_n| < M$ für alle $n \in \N$.
- Laut Definition einer Nullfolge kann man für gegebenes $\varepsilon > 0$ nur sagen, dass $|a_n| < \varepsilon$ für $n \geq n_0$, wobei $n_0$ von $\varepsilon$ abhängt. Hier setzen wir $\varepsilon =$ ___[Lücke]___ .
- Für $a_n = n \xrightarrow[n \to \infty]{} a = \infty$ beispielsweise findet man zu jedem $M > 0$ ein Gegenbeispiel durch Wahl eines beliebigen $n >$ ___[Lücke]___ .
- Laut Definition existiert ein $n_0$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ gilt $|a_n-a|<1$. Jedes $M$ mit $M\ge\max_{n<n_0}|a_n|$ und $M\ge |a|+$ ___[Lücke]___ erfüllt dann $|a_n| < M$ für alle $n \in \N$.

**Funktionen**
- Gerader / ungerader Anteil
- Die als Taylorreihe $f(x) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n$ gegebene Funktion lässt sich in $x = -1$ nicht mehr zerlegen, weil zwar $f(-1)$ als alternierende harmonische Reihe gemäß ___[Lücke]___-Kriterium konvergiert, der gerade Anteil hingegen $g(x) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} x^{2k}$ für $x=-1$ als harmonische Reihe gegen $\infty$ divergiert, ähnliches gilt für den ungeraden Anteil $h(x) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} x^{2k-1}$, wobei hier für $x=-1$ die Reihe gegen $-\infty$ divergiert.
- Variante der Aufgabe: Zerlegung in konkaven und konvexen Anteil? :laughing:
- Als falsche Antwort Zerlegung gerade/ungerade demonstrieren
- Auch obiges Taylorreihenbeispiel
- WiSe14 III.1.b) (A1): Eine Funktion $f \colon \R \to \R$ ist genau dann konvex, wenn $g \colon \R \to \R$, $g(x) = f(-x)$ konkav ist.
- WiSe14 III.1.c) (A3): Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. Dann nimmt $f$ stets ein Minimum auf $(-1,1)$ an. (Falsch)
- Da $f$ in den Rändern nicht definiert ist, muss dort eine Polstelle vorliegen. Wegen der Konvexität kann dies nur jeweils $+\infty$ sein. Insbesondere existieren (nach dem Zwischenwertsatz) Stellen $-1 < x_1 < x_2 < 1$ mit $f(x_1) = f(x_2)$. Da die Funktion stetig differenzierbar ist, muss nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung eine Stelle $x_0 \in (-x_1,x_2)$ existieren, für die $f'(x_0) = 0$ gilt. Aufgrund der Konvexität von $f$ ist dies notwendigerweise ein Minimum.
- Die für $x \in (-1,1)$ durch $f(x) =$ ___[Lücke]___ gegebene Funktion nimmt ihr Infimum $\inf_{x \in (-1,1)} f(x) = 0$ nicht an.
- WiSe14 III.1.c) (A3): Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion mit $\lim\limits_{x \searrow -1} f(x) = \lim\limits_{x \nearrow 1} f(x) = \infty$. Dann nimmt $f$ stets ein Minimum auf $(-1,1)$ an. (Korrekt, Nachholtermin vom WS20/21)
- Aufgrund der Grenzwertdefinition gibt es ein $\delta > 0$, sodass $f(x) > f(0) + 1$ für alle $x \in (-1,-1+\delta)$ bzw. $x \in (1-\delta, 1)$, insbesondere für $x_1 := -1 + \frac{\delta}{2}$ und $x_2 := 1 - \frac{\delta}{2}$. Da $f$ stetig ist, existieren laut Zwischenwertsatz Stellen $x_1 < \xi_1 < 0$ und $0 < \xi_2 < x_2$ mit $f(\xi_1) = f(\xi_2) = f(0) + 1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass nimmt $f$ eingeschränkt auf $[\xi_1,\xi_2]$ sein Minimum an. Aufgrund der Konvexität von $f$ kann dieses außerhalb dieses Intervalles keinen kleineren Wert annehmen.
- Aufgrund der Grenzwertdefinition gibt es ein $\delta > 0$, sodass $f(x) > f(0) + 1$ für alle $x \in (-1,-1+\delta)$ bzw. $x \in (1-\delta, 1)$, insbesondere für $x_1 := -1 + \frac{\delta}{2}$ und $x_2 := 1 - \frac{\delta}{2}$. Da $f$ stetig ist, existieren laut Zwischenwertsatz Stellen $x_1 < \xi_1 < 0$ und $0 < \xi_2 < x_2$ mit $f(\xi_1) = f(\xi_2) = f(0) + 1$. Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein $\xi_0 \in (\xi_1,\xi_2)$ mit $f'(\xi_0) = 0$. Aufgrund der Konvexität von $f$ ist die Ableitung $f'$ wachsend, also ist $f'(x) \leq 0$ für $x < \xi_0$ und $f$ monoton fallend, sowie $f'(x) \geq 0$ für $x > \xi_0$ und $f$ monoton wachsend. Also liegt in $\xi_0$ ein globales Minimum vor.
- Es könnte $f''(x_0) = 0$ sein, für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion muss bei einem Minimum jedoch $f''(x_0)$ `>` $0$ gelten.
- *Idee für weiteren falschen Vorschlag:* Der Satz vom Minimum und Maximum lässt sich nicht anwenden, weil das Definitionsintervall nicht `abgeschlossen` ist.
- WiSe14 III.1.c) (A1): Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. Besitzt $f$ ein lokales Minimum, so ist dieses auch ein globales Minimum. (korrekt)
- Die konvexe Funktion $f(x) =$ *`_Lücke_`* [Beispielsweise `x^4`] nimmt in $x=0$ ein Minimum an mit $f(0) = 0$. Da jedoch $f''(0) = 0$, ist dieses nicht strikt und somit nicht global.
- Wir definieren abschnittsweise $f(x) = x^3$ für $x \in [0,1)$ und $f(x) = 0$ für $x \in (-1,0)$. Offensichtlich ist $f$ zweimal stetig differenzierbar. Jedoch ist $f(0)$ kein globales Minimum, weil etwa auch $f($ *`_Lücke_`* $) = 0$ gilt.
- korrekte Begründung fehlt.
- Umkehrung: Sei $f \colon (-1,1) \to \R$ eine zweifach stetig differenzierbare konvexe Funktion. Besitzt $f$ ein globales Minimum, so ist dieses auch ein striktes lokales Minimum. (falsch)
- Die konvexe Funktion $f(x) =$ *`_Lücke_`* [Beispielsweise `x^4`] nimmt in $x=0$ sein globales Minimum an mit $f(0) = 0$, da $f(x) > 0$ für $x\neq 0$. Da jedoch $f''(0) = 0$, ist dieses kein striktes lokales Minimum.
- Wir definieren abschnittsweise $f(x) =$ `x^3` für $x \in [0,1)$ und $f(x) = 0$ für $x \in (-1,0)$. Dieses $f$ ist zweimal stetig differenzierbar und nimmt in $x=0$ das globale Minimum $0$ sein. Offensichtlich liegt in $x=0$ jedoch kein striktes lokales Minimum vor, weil in jeder noch so kleinen $\varepsilon$-Nachbarschaft von $x=0$ existiert mit $x' := -\frac{\varepsilon}{2}$ ein Punkt mit $f(x') = 0 = f(0)$.
- vermeintlichen Beweis.
- WiSe16 III.c): Ist $f\colon \R \to \R$ eine (monoton wachsende / konvexe) Funktion und ist $g \colon \R \to \R$ eine beliebige konvexe Funktion, so ist $f \circ g$ konvex. (Aussagenvariante mit $g \circ f$?)
- Welche Varianten kriegen wir, wenn wir einen Teil der Voraussetzungen, etwa die Konvexität oder Monotonie von $f$, weglassen, oder $g \circ f$ betrachten?
- Welche korrekten Argumentationsmuster hätten wir in den jeweiligen Fällen? Anbieten, auch wenn sie akut nicht korrekt sind.

## Weitere Planung

**Hashtags:**
- #hm1ws20klausur
- #klausurteil1 #klausurteil2 #klausurteil3
- *später:* #kohorte1 #kohorte2 #kohorte3 ...
- *Themen (hier sammeln und referieren):* #induktion #supremum #stetigkeit #folgenkonvergenz ...

**Termine:**
- 14. Januar: Erste Zwischenbilanz
- 2. Februar 2021: Alle Aufgaben beisammen
- 16./17. Februar 2021: Klausur

## Klausurübersicht Teil II:

insgesamt 34

- #grundlagen : 5
- (2) Gleichung mit Betrag (ließ sich irgendwie nicht verwerten)
- (3) Ungleichung mit Betrag
- (2) produkt, teleskop (Probeklausur)
- (2) supremum, epsilon (diesmal noch nicht)
- #trigonometrie : 3
- (2) Ungleichung, sin(2x)
- (2) Gleichung, Tangens
- (2) Gleichung, cos(2x)
- #komplexe_zahlen : 6
- (2) Gleichung, Produkt, Bruch
- (3) Potenz, Bruch, Winkel pi/4, Betrag sqrt(6)
- (3) Potenz, Bruch, Winkel pi/6, Betrag 1
- (3) hohe Potenz, Winkel pi/6, Betrag 1 (Ausschuss???)
- (2) hohe Potenz, Winkel pi/4, Betrag 1 (Ausschuss???)
- (3) Wurzel, spezielle Winkel
- #polynomdivision : 2
- (2) komplexe Nullstellen, Grad 3
- (3) komplexe Nullstellen, Grad 4
- #folge : 7
- (2) 5x oszillatorische Folge
- (2) komplexe Folge
- (2) quadratische Rekursion, erste 3 Werte
- #reihe : 5
- (2) geom. Reihe, Indexverschiebung
- (3) geom. Reihe mit (-1)^n, Zerlegung
- (2) Konvergenzradius, Quotientenkriterium, exp-Wert (&rarr; leichtere Beispiele ohne exp-Wert?)
- (2) exp-Reihe, Indexverschiebung
- (3) Partialbruchzerlegung
- #l'hospital : 3
- (2) zwei-mal anwenden, exp, grenzwert 0
- (2) einmal anwenden, trigonometrisch, grenzwert p/q
- (2) einmal anwenden, log, grenzwert p/q
- Funktionen : 4
- (2) umkehrabbildung, quadrat, wurzel
- (2) Bild, Urbild mit Betrag
- (2) stetige fortsetzbarkeit
- (2) monotonieintervalle, ableitung

Aufgabengruppen und Pools:
- Verschiedenes: (5 Punkte)
- Immer Ungleichung mit Betrag (3P)
- eine aus drei Trigonometrieaufgaben (2P)
- Anmerkung: Es wäre toll, eine 3P-Gleichung mit Betrag zu haben mehr Beträge, mehr Fallunterscheidungen oder so, dann könnte man das mit der trigonometrischen Ungleichung paaren und hätte mehr Vielfalt...
- Komplexe Zahlen: 5 Punkte in folgenden Paarungen denkbar
- 3P-Potenz + NullstellenGrad3
- 2P-Potenz + NullstellenGrad4
- Gleichung (2P) + komplexe Wurzel (3P)
- Grenzwerte: (6 Punkte)
- Jede Kohorte zwei Aufgaben für Folgen (2P + 2P)
- Jede Kohorte eine l'Hospital-Aufgabe (2P)
- Reihen: (5 Punkte)
- Jede Kohorte eine 2P-Aufgabe für Reihen und eine 3P-Aufgabe
- Funktionen: (4 Punkte)
- Umkehrabbildung oder Bild/Urbild (2P)
- Stetige Fortsetzbarkeit oder Monotonieintervalle (2P)
- Kettenregel

## Erfahrungen aus der Online-Klausur

### Fragen
- Welche Aufgaben sind besonders schlecht gelaufen?
- Trigonometrische Ungleichung mit sin(2x) (0.1 von 2 Punkten); dagegen waren besser:
- Gleichung mit Sinus und Cosinus #2 (cos-Doppelwinkelformel) (0.6 von 2)
- Gleichung mit Sinus und Cosinus #3 (exakt, mit Tangens-Werten) (Koh. 2: 0.9 von 2; Koh 3: 0.7 von 2)
- Gleichung mit verschachtelten Beträgen (Koh. 2: 1.4 von 3; Koh. 3: 1.5 von 3)
- Ungleichung Lineare Terme mit Beträgen (Koh. 1: 1.1 von 3; Koh. 4: 1.3 von 3)
- Konvergenzradius, Quotientenkriterium mit e-Grenzwert (Koh. 1: 0.1 von 2 Punkten; Koh. 4: 02. von 2 Punkten)
- Noch einen Faktor entfernen, damit es leichter wird?

- Welche Aufgaben waren besonders hässlich bei der manuellen Zweitkorrektur (zu viele Varianten)?
- Aufgaben mit Mengeneingaben, die komplexer als ein Intervall sind (z.B. Ungleichung Lineare Terme mit Beträgen)
- Idee: Mit Fallunterscheidung Punkte abfragen, wo Gleichheit herrscht (mit `n.ex.`, dort wo kein Punkt ist, oder Punkt als lösung der linearen Gleichung akzeptieren, auch wenn er außerhalb des Intervalls liegt), diesen Punkten Namen geben, also `a`, `b`, `c`.
- Lösungsintervall der Ungleichung dann unter Verwendung von diesen Buchstaben angeben lassen und Leerzeichen ignorieren.
- Pi-Eingaben (eventuell hat einfach die Übung gefehlt)
- Funktionseingaben (z.B. l'Hôpital (oo* 0) (trigonometrisch))
- Was könnte man also dort besser machen?
- bei Mengenangaben die Aufgabenstellung anpassen
- bei Pi-Eingaben Pi vorgeben und nur z.B. 3/4 statt 3/4* Pi eingeben
- Funktionseingaben sollten trotz höherem Korrekturaufwand beibehalten werden (eventuell Leerzeichen automatisch ignorieren?)

### Allgemein

- Eventuell bei Lückentexten zwischendurch mehr Fragen formulieren, auf die dann ein Satz mit Lücke die Antwort darstellt?

### Probleme bei speziellen Aufgaben