# Differenzierbarkeit

###### tags: `HM1` `Dynexite`

Betrachten Sie folgende Funktion
$$
f(x)
= \begin{cases}
\frac{ax+b}{x-1} & \text{für } x < 0 \\
x^2\log(x) & \text{für } x > 0
\end{cases}
$$

Berechnen Sie die Ableitungen der einzelnen Abschnitte
$\qquad f_1'(x) =$ ___[df1]___
$\qquad f_2'(x) =$ ___[df2]___

Grenzwerte ausrechnen:
$\qquad \lim\limits_{x \nearrow 0} f(x) =$ ___[f10]___ ,
$\qquad \lim\limits_{x \nearrow 0} f'(x) =$ ___[df10]___ ,
$\qquad \lim\limits_{x \searrow 0} f(x) =$ ___[f20]___ , (Zwischenschritte für l'Hôpital?)
$\qquad \lim\limits_{x \searrow 0} f'(x) =$ ___[df20]___ . (Zwischenschritte für l'Hôpital?)

Für welchen Wert der Parameter $a$ und $b$ lässt sich $f$ stetig differenzierbar auf $x=0$ fortsetzen?

$\qquad a =$ ___[a]___
$\qquad b =$ ___[b]___

## Beispiel Aufgaben

### L'Hôpital mit Sinus bzw. Cosinus

Funktion $f$ für $x > 0$ als Potenzreihe schreiben, zumindest die ersten Reihenglieder.


Hier ist $f(0) = 1$ nötig
Stetigkeit, wenn $b = 256$ → Parametrisieren, andere Quadratzahl.
$1-\sqrt{b} + \sqrt{b-x}$

---


Hier ist $f(0) = 0$ nötig

Stetigkeit für $a = 1^2$, alternativ $-\sqrt{a} + \sqrt{a - x}$
Eingabe der Bedingung `a = 1`

### Übungsaufgabe mit Arcuscotangens und Tangens hyperbolicus


### Aufgaben, Parameter in der Abfrage noch einzufügen

Ableitung ist ganz interessant
(statisch implementieren)

Für $x < 0$ gilt
$\qquad f'(x) = g(x\tan x) \cdot \bigl($ ___[Produktregelluecke]___ $\bigr)$
wobei $g(u) =$ ___[1durch2malwurzel]___ .
Die Grobstruktur mit dem Produkt von $g$ und dem Klammerausdruck resultiert aus der Anwendung der ___[Ketten]___-Regel.
Um die Lücke zwischen den Klammern zu füllen, benötigen wir die ___[Produkt]___-Regel angewandt auf $x \tan x$.
($1 + 0.5 + 0.25 + 0.25$)

**Besser nur so abfragen:**

Mit Parametern $a,b \in \R$ sei folgende Funktion gegeben:
$$
f_{a,b} \colon (-\infty,\pi) \to \R, \qquad
f_{a,b}(x) = \begin{cases}
-x, & \text{für } x \leq 0, \\
\frac{a}{\sin(x)} - \frac{b}{x}, & \text{für } x \in (0, \pi).
\end{cases}
$$

Wir untersuchen den Limes $\lim\limits_{x \searrow 0} f_{a,b}(x)$.
Dazu schreiben wir
$$
\frac{a}{\sin(x)} - \frac{b}{x} = \frac{\text{ZÄHLER}_1}{x \sin x}
$$

**Bemerkung für den Lösungsweg:** *Für $a=b=0$ wäre der Grenzwert offensichtlich, auch wenn $a < 0 < b$ oder $a > 0 > b$ wäre, könnte man den Grenzwert $\infty$ bzw. $-\infty$ direkt an der ursprünglichen Form erkennen. Die Regel von de l'Hôpital ist dennoch für die Darstellung in Bruchform in allen Fällen anwendbar, weil wir stets die Struktur „$0/0$“ vorliegen haben.*

mit $\text{ZÄHLER}_1 =$ `a*x - b*sin(x)`.
*(Keine der beiden Lücken sollte mehr einen Bruch enthalten.)*
Wir können nun Regel von `l'Hôpital` anwenden und erhalten:
$$
\lim\limits_{x \searrow 0} \frac{\text{ZÄHLER}_1}{x \sin x} = \lim\limits_{x \searrow 0} \frac{\text{ZÄHLER}_2}{\text{NENNER}_2}
$$

mit $\text{ZÄHLER}_2 =$ `a - b*cos(x)` und $\text{NENNER}_2 =$ `sin(x) + x*cos(x)` .

Wir erkennen hier bereits, dass $\lim\limits_{x \searrow 0} f_{a,b}(x) = \infty$, falls `a > b`.

Im Fall `a = b` hingegen müssen wir die oben verwendete Grenzwertregel nochmal anwenden und erhalten
$$
\lim\limits_{x \searrow 0} \frac{\text{ZÄHLER}_2}{\text{NENNER}_2} = \lim\limits_{x \searrow 0} \frac{\text{ZÄHLER}_3}{\text{NENNER}_3}
$$

mit $\text{ZÄHLER}_3 =$ `b*sin(x)` und $\text{NENNER}_3 =$ `2*cos(x) - x*sin(x)` .

**Vorbereitung**

Erste Glieder der Potenzreihe von $\sin^2(x) = \frac{1-\cos 2x}{2} = x^2 + ...$ bestimmen lassen?

Für $x > 0$ können wir die Ableitung schreiben als
$$
f'_{a,b}(x) = \frac{b x^2 \cos x - a \sin^2 x}{x^2\sin^2 x} \,.
$$

Wir wollen nun den Grenzwert $\lim\limits_{x \searrow 0} f'_{a,b}(x)$ bestimmen, indem wir sowohl für Zähler als auch Nenner die Taylorapproximation um den Entwicklungspunkt $x_0 = 0$ bestimmen.

Als Zwischenergebnis können wir die Taylorapproximation der folgenden unendlich oft stetig differenzierbaren Funktion für $x > 0$ angeben:
$\qquad g(x) := \sin^2 x =$ ___[xquadrat]___ $+ R(x)$
für $x > 0$ mit dem Lagrange-Restglied $R(x) = \frac{g^{(4)}(\xi)}{4!} \, x^4$, wobei $\xi \in$ ___[0bisxoffen]___ .
Weil nun $g^{(4)}$ eine ___[stetige]___ Funktion ist und das Intervall $[0, \pi]$ ___[kompakt]___ , lässt sich der Satz von ___[Weierstrass]___ anwenden, d.h. $g^{(4)}$ nimmt auf $[0, \pi]$ sein Minimum und Maximum an.
Es existiert also eine konstante $c > 0$ mit $|R_4(x)| \leq c x^4$ für $x \in [0,\pi]$.

Für den Zähler erhalten wir folgende Taylorapproximation:
$\qquad b x^2 \cos x - a \sin^2 x =$ ___[bminusa]___ $\cdot~x^2~+$ ___[2adrittelminusbhalbe]___ $\cdot~x^4~+~S_{a,b}(x)$,
wobei mit ähnlichen Argumenten zu oben eine Konstante $C_{a,b} > 0$ existiert, sodass für $x \in [0,\pi]$ für das Restglied $S_{a,b}(x)$ eine Abschätzung der folgenden Form gilt:
$$
|S_{a,b}(x)| \leq C_{a,b} \, x^6 \,.
$$

Für den Fall, dass $a$ und $b$ die Bedingungen zur Stetigkeit erfüllen, können wir den Grenzwert $\lim\limits_{x \searrow 0} f'_{a,b}(x)$ ermitteln, indem wir die Taylorapproximationen von Zähler und Nenner mit ___[1durchxhoch4]___ erweitern.

Wir stellen fest: Damit $f_{a,b}$ in $x=0$ differenzierbar ist, muss zusätzlich zu den Bedingungen für Stetigkeit noch `a = 6` / `b = 6` / `a = b = 6` gelten.

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Betrag wegen cosinus an $\frac{\pi}{2} + k\pi$ Problem, an $x=0$ l'Hôpital, vor allem aber Grenzwert interessant

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### Reihendarstellung würde auch hier noch helfen

(Aber dass beide Seiten der Funktion trigonometrisch sind, muss nicht sein)