# HM3 Nachkorrektur Erläuterungen

###### tags: `Dynexite` `HM3` `Klausur` `HöMa`

[Toc]

# SoSe24

## Allgemein

**Interne Leitlinien:**
- Für Folgefehler gibt es höchstens Teilpunkte (etwa 0.75 von 1 Punkt, oder 0.25 von 0.5 Punkten).
- Falls eine unzulässige Vereinfachung vorliegt, können **Folgefehler** nicht voll oder gar nicht anerkannt werden.
- Für Teilpunkte verwenden wir in der Regel Viertelpunktabstufungen. In manchen Ausnahmen haben wir für 0.25-Punkt-Lücken noch 0.15 Teilpunkte erteilt. Man kann auch über mehrere Lücken eine Viertelpunktabstufung finden.
- Verteilen sich die nachträglich erteilten Punkte über mehrere Lücken, bitte Aufschlüsselung der zusätzlich erteilten Punkte knapp in die Begründung schreiben, damit auch andere aus dem Korrekturteam die Entscheidung nachvollziehen können.
- Teilpunkte für ähnliche Ergebnisse oder Vorzeichenfehler sind kein Automatismus! Es liegt in unserem Ermessen, wie sehr ein Fehler die Antwort beeinträchtigt.

**Antworten:**
- Sie müssen genau erklären, wo Sie Teilpunkte für gerechtfertigt halten, ansonsten können wir leider keine Punkte vergeben.
- Sie müssen genau erklären, wo Sie Teilpunkte für gerechtfertigt halten. Für einen leeren Antrag können wir leider keine Punkte vergeben.
- Ihre Skizzenblätter spielen für die Bewertung keine Rolle.
- Sie haben bereits Teilpunkte erhalten.
- Wir können leider nur anhand Ihrer Eingaben bewerten.
- Sie verwechseln den Lösungsschlüssel (blau) mit Ihren fehlerhaften Eingaben (rot).
- Für **Folgefehler** gibt es in dieser Klausur nur Teilpunkte.
- 0 0 0 sind keine Folgefehler
- Von Folgefehlern kann man nur reden, wenn man auf exakt dem gleichen Weg zu anderen Ergebnissen kommt.
- Prinzipiell können wir für falsche Einträge keine Punkte geben, auch wenn Sie uns erklären, wie der Fehler zustande kam.
- Für Viertelpunkt-Lücken werden leider keine Teilpunkte vergeben.
- Sie müssen genau darstellen, wo Sie Folgefehler sehen.
Hier ist entgegen Ihrer Behauptung keine folgerichtige Lösung zu erkennen.

**Zwischenüberschrift:** Wir können nur Anträge zu konkreten Aufgaben bearbeiten.

Wir müssen unterschiedliche Aufgaben stellen, rein rechtlich sind es zwei Klausuren.
Die Durchschnittspunktzahlen sind trotzdem im Rahmen der statistischen Schwankungen im Nachkommabereich.
Kohorte 1 hatte abhängige Integrationsgrenzen, eine stärkere Herausforderung.
Das erste Integral bzgl. z hier war keine schwere Substitution, das hätte man noch schaffen können.

## Klausurteil I

### Lokale Extrema

(1,1) kommt nicht aus deinen Formeln.

h=0 ist eine unzulässige Vereinfachung. In Teil 3 wird einen GLOBALEN Max/Min gesucht, d.h. auf dem ganzen Definitionsbereich.

h(x) ist nicht bekannt, Sie haben es ja als 3*x^2 +16*x angegen. Allerdings weicht der Rest damit zu start von der Aufgabe ab und ist nicht mehr wirklich nachvollziehbar. Noch +0,25 für den Grenzwert.

Der Gradient ist nicht richtig, da der ganze exp() Term fehlt

### Optimierung

Sie hatten bereits Glück mit dem Teilpunkt für y_2,
denn die von Ihnen angegebene Stelle passt nicht zu Ihrem Ergebnis für g'.

Wir können nur das bewerten was eingegeben wurde.

1. Auch mit Ihrem g' bekommt man dasselbe P1
2. Der 2. Term des Gradienten 3+16*x^2*exp(2*y) = 0 ist nicht lösbar, da es immer positiv ist.

1. Trennung der Variablen ist eine Methode um bestimmte Differentialgleichungen zu lösten.
2. y-Wert und Funktionswert f(x,y) sind nicht dasselbe hier

### Gradientenverfahren und Fixpunktsatz

- Da die Jacobi-Matrix von F ein Vielfaches der Hesse-Matrix von f ist,
muss die Matrix symmetrisch sein.
- Den fehlenden Faktor 1/2 können wir hier nun erkennen.
- Da dieser Fehler an mehreren Stellen auftaucht, erhöhen wir die Punktzahl ein wenig.
- Die Bedingung müsste bei Ihnen auch für 6 und 7 gelten, was leider falsch ist.
- Hier y zu verwenden ist falsch, da die Bedingung dann nicht für alle a erfüllt wird. Daher sind wir von einem Flüchtigkeitsfehler ausgegangen haben deswegen noch Teilpunkte vergeben. Aber mehr Punkte können wir leider nicht hierfür geben.
- Das ist leider kein Folgefehler, da Sie y nicht abschätzen können, bzw eine Grenze berechnet haben, die noch von a abhängt.
- Hier hat man explizit eine Konraktion gezeigt (was stäker ist als Selbstabbildung)
- Die Bedingung muss für alle x und y erfüllt sein. Daher kann a nicht von y abhängen. Außerdem haben Sie hier bereits Teilpunkte erhalten
- Das ist zwar richtig, reicht aber für den Banachschen Fixpunktsatz nicht aus.
- Für die resultierende Funktion die Jacobimatrix zu bestimmen ist korrekt. Also der Ansatz scheint richtig zu sein, die Berechnung aber falsch.
- Bei der Doppelwinkelformel in der Lücke unten links ist das Vorzeichen falsch, aber Teilpunkte.
- Punkte gibt es hier nur, wenn beide Komponenten richtig sind.
- Die Kontraktion wird erst in Abschnitt 3 untersucht, die Selbstabbildung in Abschnitt 2.

### Logarithmische Spirale

- Die Ableitung ist ein Vektor. Sie haben die Komponenten summiert, was aber nicht der Norm entspricht.
- Nein, Sie müssen die Formel aus 2 benutzen (die Sie leider nicht haben). Damit können Sie dann die Länge bestimmen.
- Auch mit Ihrem eingesetzten Wert für a ist die Lösung nicht korrekt.
- Ein Vektor kann beliebig normiert werden. Daher ist eine Komponente wenig aussagekräftig. Hier kommt es auf die Richtung an.
- Nein, bei der zusätzlichen Abhängigkeit von t muss nochmals eine Produktregel angewendet werden. Wenn Sie Ihren Ansatz in die DGL einsetzen, stellen Sie fest, dass es keine Lösung ist.
- Die Struktur der Lösung wurde richtig erkannt. Es gab einen Rechnenfehler. Teilpunkte +0.25
- Ihre Antwort für die Frage nach offen/abgeschlossen ist falsch. Sie haben jedoch aus Kulanz bereits Teilpunkte erhalten.
- b ist hier eine feste Konstante, die durch den Integranden im Schritt zuvor definiert ist. Hier kann man das Vorzeichen nicht einfach beliebig vertauschen.
- Die Länge l ist bis auf eingesetzte Grenzen korrekt +0.25
- Hier sind leider mehrere Fehler in dem Ansatz. Dieser Ansatz ist eindimensional. Sie sollten aber einen Vektor angeben. Außerdem fehlt die genaue Bestimmung der Konstanten a, b, beta. Wieso ist x außerhalb von sin, cos? Zudem fehlt hier eine komplexwertige Konstante.

## Klausurteil II

### Taylor

Teilpunkt für 1/4 statt -1/8 nach Fortsetzung des VZ-Fehlers (schreiben Sie Brüche, nicht Dezimalzahlen!) +0.25P
Folgefehler für T_{1,f,a} anerkannt. +0.25
T_{2,f,a} unzulässig vereinfacht.

5/8 ist falsch. Die anderen Werte haben falsches Vorzeichen.
Für Folgefehler gibt es in dieser Klausur nur Teilpunkte.

Das t in der äußeren Funktion enthält nicht mehr den konstanten Term 1 der Ordnung 0 vom inneren Polynom,
dieser konstante Term wurde bereits berücksichtigt dadurch, dass wir h(t) = sqrt(1+t) schreiben und nicht h(t) = sqrt(t).
Wichtig ist auch: Nur wenn wir für t Terme von Ordnung 1 und höher einsetzen, können wir davon ausgehen, dass t³ nur Terme ab dritter Ordnung enthält!
Wenn Sie den Konstanten Term im Polynom falsch haben, kann der letzte Schritt nicht mehr funktionieren.

Wir berücksichtigen noch einen Folgefehler für den Koeffizienten von (x-2)*y.

`-14x^2 -x*(y-4)` wäre folgerichtig.

Die Taylor-Erweiterung von h(t) ist 1+ 1/2t +O(t^2). Im ersten Teil erhält man -8y, im zweiten Teil muss es durch 2 geteilt werden.

0.25p Abzug für falsche Sortierung der Ordnung.

Folgefehler (y-4)^2 Begriff fehlt.

(x-2)y sollte in T_2f und nicht in T_1f sein. Für Folgefehler gibt es in dieser Klausur nur Teilpunkte.

Leider können wir nur das bewerten was eingegeben wurde.

Es ist kein Folgefehler, weil sie vorher alles richtig hatten.

### Separable DGL

**Definitionsbereich**

Wir haben nur Teilpunkte für den Definitionsbereich gegeben, wenn erkennbar war,
dass Sie wissen, dass auch sin(pi)=0 ist.

sin(t) wird aber auch 0 für t=pi

Die fehlende k-Abhängigkeit hat den halben Punkte gekostet.
Die fehlende Skalierung mit 1/5 einen weiteren Viertelpunkt.

Es ging um die Stellen, wo die rechte Seite DEFINIERT ist.
Sie haben Stellen angegeben, wo die rechte Seite NICHT definiert ist.
Wir haben die Bewertung überdacht und geben Ihnen jetzt immerhin den halben Punkt auf die Lücke,
auch wenn Sie die Frage nicht formal korrekt beantwortet haben.

Es ist leider nicht erkennbar, dass Ihnen außer pi noch weitere Nullstellen des sin bekannt sind.

**Trennung und Integration**

Wenn Sie beim linken Integral eine Integrationskonstante c1 einführen,
beim rechten Integral eine Integrationskonstante c2,
dann können wir alles so umstellen, dass beide Integrationskonstanten rechts stehen,
und zwar steht dann auf der rechten Seite c2-c1.
Wir schreiben aber nur c = c2-c1 und haben damit die Gesamtheit aller Möglichkeiten erfasst.

Den Ansatz, zu integrieren, haben Sie nicht selbst entwickelt, der war vom Lückentext vorgegeben.
Sie haben objektiv gesehen nicht demonstriert, dass Sie diesen Aufgabentyp beherrschen.
Für eine positive Bewertung verlangen wir deutlich mehr Substanz.

Sie haben nicht korrekt separiert.
Dadurch erreichen Sie einen Punkt, wo nicht sinnvoll weitergerechnet werden kann.
Zu keinem Zeitpunkt wurde von Ihnen verlangt, 1/sin(4*y) zu integrieren.
Es ist auch nicht so leicht, wie Sie den Anschein machen.

**Auflösen für AWP**

Folgerichtig für c wäre c=1/2 gewesen, dividiert durch -4 hätte in der arccos(...)-Lücke dann -1/8 stehen müssen.

Die Bewertung der Lücke im arccos beruht darauf, dass Sie
- weder eine x-Abhängigkeit in der Lösung hatten,
- noch die Konstante c korrekt bestimmt wurde.
Den Viertelpunkt haben Sie dafür erhalten, dass erkennbar wurde,
dass beim Auflösen mit -5 multipliziert werden muss.

Sei haben beim AWP weder c bestimmt
noch beim Auflösen das arccos-Argument folgerichtig durch -4 dividiert.
Daher keine Punkte für das arccos-Argument.

t = arccos(s) ist nur eine mögliche Auflösung der Gleichung cos(t) = s nach t.

Ihnen fehlt die Konstante c, da fehlt ein halber Punkt.
Beim x²-Term haben Sie ein Vorzeichenfehler, also -0.25P für den Teil.

Sie müssen genau darstellen, wo Sie Folgefehler sehen.
Folgerichtig wäre c= 1/2 gewesen (bei Ihnen -7/2).
Der Faktor vorm cos(4y) ist falsch, x²/2 steht unterändert, was unzulässig vereinfacht ist.

Es gibt noch +0.25 für die falsch eingetragene additive Konstante mit Vorzeichenfehler.

Den VZ-Fehler im Arccos-Argument können wir als Folgefehler werten, +0.25P

**Existenzintervall**

Folgerichtig wäre (sqrt(15)/2, sqrt(19)/2)
Bei Ihnen: Geschlossenes Intervall ohne Faktor 1/2, daher nur +0.25/1P.

Folgerichtig wäre im positiven Bereich (sqrt(21/10), sqrt(29/10)).
Bei Ihnen steht nur die obere Intervallgrenze korrekt.
Leider ist die Anfangszeit x=sqrt(3)=sqrt(30/10) nicht enthalten.
+0.25P

Folgerichtig beim Existenzintervall wäre im positiven Bereich (sqrt(5), sqrt(9)).
Leider ist da die Anfangszeit x=sqrt(3)=sqrt(30/10) nicht enthalten.

Da der Wert 1 im arccos-Argument nicht erreicht wird,
in Ihrer Lösung konkret lediglich Werte aus (-1, 1/2],
stellt ihr folgerichtiges Existenzintervall eine Vereinfachung dar.
+0.5P

Da der Wert 1 im arccos-Argument nicht erreicht wird,
in Ihrer Lösung konkret lediglich Werte aus (-1, 0],
stellt ihr folgerichtiges Existenzintervall eine Vereinfachung dar.
Das Existenzintervall muss zudem offen sein.
Daher nur +0.25P

Folgerichtig beim Existenzintervall wäre (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Bei Ihnen: Geschlossenes Intervall ohne Faktor 1/2.
Da der Wert 1 im arccos-Argument nicht erreicht wird,
in Ihrer Lösung konkret lediglich Werte aus (-1, 0],
stellt selbst das folgerichtige Existenzintervall eine Vereinfachung dar.

Folgerichtig beim Existenzintervall wäre (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))
Bei Ihnen: Geschlossenes Intervall ohne negativen Bereich.
Da der Wert 1 im arccos-Argument nicht erreicht wird,
in Ihrer Lösung konkret lediglich Werte aus (-1, 0],
stellt selbst das folgerichtige Existenzintervall eine Vereinfachung dar.
Daher nur +0.25P

Das Existenzintervall
- muss offen sein,
- bezieht sich auf Werte für x, nicht Werte für das Argument von arccos.

Von Sie von den reellen Zahlen zwei Werte rausnehmen,
dann erhalten Sie eine Vereinigung von drei Intervallen.
Das maximale Existenzintervall muss aber (wie der Name schon sagt) ein Intervall sein.

### DGL höherer Ordnung

noch +0.5P für Ansatz y_p'' als Folgefehler aus y_p'.
Einsetzen des Ansatzes leider nicht folgerichtig.
Koeffizientenvergleich liefert nur für A folgerichtiges Ergebnis +0.25P Folgefehler (grundsätzlich nur Teilpunkt).

+0.25P für erste Lücke in Ansatz eingesetzt.
+0.5P Folgefehler für A
Für B wäre 11/147 folgerichtig.

Die Folgeergebnisse sind noch falsch.

Richtige Struktur für Fundamentalsystem ist wichtig.

### Satz von Gauß implizit

Folgerichtig wäre -8*sqrt(2)*pi gewesen.
In den Ergebnissen für die Integrale dürfen Parameter x und y oder r, phi, z, etc. nicht mehr auftauchen,
es geht um Ergebnisse!

Sie haben eben nicht das Integral richtig aufgestellt, sondern r statt r^3 eingegeben. Für den Rest - wir können nur das bewerten, was da steht.

Sie haben den Gradienten angegeben, nicht die Divergenz, die nie ein Vektor ist. Es handelt sich um ein Verständnisfehler.

Leider ist der Fehler nicht nachvollziehbar.

Mit Ihrem Integrand wäre das Integral 16*sqrt(2)*pi, also kein Folgefehler. Für -10pi wurden Teilpunkte schon vergeben.

Wir können nur das bewerten was eingegeben wurde. Wenn es nur um ein Eintragungsfehler handelt, müsste das Endergebnis ja trotztem stimmen.

Leider handelt es sicht nicht um ein Folgefehler. Im Teil 2 kann man nicht die Divergenz nutzen.

Das Ergebniss des Integrals muss in dem Fall ein Zahl sein und keine Variable wie x und y erhalten.

Der Term 3pi in der 3. Lücke ist richtig, der Rest ist nicht mehr nachvollziehbar.

Unzulässige Vereinfachung

## Klausurteil III

Punkte gibt es nur für das korrekte Füllen der Lücke,
vorausgesetzt die ausgewählte Vorlage ist sinnvoll.
Sonst würde das die Aufgabe auf Raten reduzieren.

Sie haben die Hälfte der Lücke geliefert, also gab es die Hälfte der Punkte.
Punkte gibt es nämlich nur für das korrekte Füllen der Lücke,
vorausgesetzt die ausgewählte Vorlage ist sinnvoll.

Die Vorlage zieht aber die falsche Schlussfolgerung, daher kann es da keine Punkte geben,
auch wenn Ihre Lücke zur (falschen) Argumentation passt.

Da Sie die Lücke nicht sinnvoll gefüllt haben, ist nicht erkennbar,
dass Sie die Begründung tatsächlich verstanden haben.
Für den falschen Wahrheitswert geben wir hier keine Punkt.
Wenn man sich unsicher ist, könnte man sonst auch Wahrheitswert und Begründung
widersprüchlich wählen, um sich ggf. in der Einsicht einen Punkt zu sichern.
Das wollen wir verhindern.

Sollte die Begründung komplett richtig ausgefüllt sein,
können wir für den falschen Wahrheitswert noch einen halben Punkt geben.
Dies können wir damit begründen,
dass auch früher die Gewichtung der Begründung höher war (75% der Aufgabe).

### Richtungsableitung

Die Abhängigkeit vom Vorzeichen von t macht hier aber alles kaputt.
Das fehlt Ihnen zum Verständnis.

### Auflösbarkeit

Es gilt aber F_{yy}(2,1) = 0 und nicht 6, siehe falsche Vorlage (1).
Aus F_{yy} kann man dabei natürlich nichts schlussfolgern für die Auflösbarkeit.

### Bernoulli-DGL

Ein Intervall der Form [1-b, 1+b] wäre gefragt gewesen:
- Es muss ein endliches Intervall sein, das Rechteck für den Satz von Picard-Lindelöf muss beschränkt sein.
- Der Startwert y0 = 1 muss im Inneren (1-b, 1+b) enthalten sein.
- Der Radius b darf nicht zu groß sein, sodass die Lipschitzkonstante wie gewünscht ist. Sie haben es sich hier aber besonders leicht gemacht.

Das Problem tritt allerdings nur bei y=0 auf, der Startwert war aber y(0)=1.

### Kein Green

Sie haben sich in der falschen Begründung auch noch verrechnet.
Schauen Sie sich bitte noch einmal genau an, wie man korrekt über einen Normalbereich integriert!
Es gibt mehr geometrische Formen als nur Rechtecke!

Ihre Eingabe für die Lücke mag zwar Ähnlichkeiten mit der korrekten Lösung aufweisen,
das Argument funktioniert aber nur mit der Angabe (0,0).

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# WiSe23

## Allgemein

**Interne Leitlinien:**
- Für Folgefehler gibt es höchstens Teilpunkte (etwa 0.75 von 1 Punkt, oder 0.25 von 0.5 Punkten).
- Falls eine unzulässige Vereinfachung vorliegt, können Folgefehler nicht voll oder gar nicht anerkannt werden.
- Für Teilpunkte verwenden wir in der Regel Viertelpunktabstufungen. In manchen Ausnahmen haben wir für 0.25-Punkt-Lücken noch 0.15 Teilpunkte erteilt. Man kann auch über mehrere Lücken eine Viertelpunktabstufung finden.
- Verteilen sich die nachträglich erteilten Punkte über mehrere Lücken, bitte Aufschlüsselung der zusätzlich erteilten Punkte knapp in die Begründung schreiben, damit auch andere aus dem Korrekturteam die Entscheidung nachvollziehen können.

**Antworten:**
- Sie müssen genau erklären, wo Sie Teilpunkte für gerechtfertigt halten, ansonsten können wir leider keine Punkte vergeben.
- Sie müssen genau erklären, wo Sie Teilpunkte für gerechtfertigt halten. Für einen leeren Antrag können wir leider keine Punkte vergeben.
- Ihre Skizzenblätter spielen für die Bewertung keine Rolle.
- Sie haben bereits Teilpunkte erhalten.
- Wir können leider nur anhand Ihrer Eingaben bewerten.
- Sie verwechseln den Lösungsschlüssel (blau) mit Ihren fehlerhaften Eingaben (rot).
- Für Folgefehler gibt es in dieser Klausur nur Teilpunkte.
- 0 0 0 sind keine Folgefehler
- Von Folgefehlern kann man nur reden, wenn man auf exakt dem gleichen Weg zu anderen Ergebnissen kommt.

**Zwischenüberschrift:** Wir können nur Anträge zu konkreten Aufgaben bearbeiten.

Wir müssen unterschiedliche Aufgaben stellen, rein rechtlich sind es zwei Klausuren.
Die Durchschnittspunktzahlen sind trotzdem im Rahmen der statistischen Schwankungen im Nachkommabereich.
Kohorte 1 hatte abhängige Integrationsgrenzen, eine stärkere Herausforderung.
Das erste Integral bzgl. z hier war keine schwere Substitution, das hätte man noch schaffen können.

## Klausurteil I

Wenn Sie beliebige Begriffe in die Lücken eintragen, hilft es nicht, wenn mal ein richtiger Begriff an falscher Stelle auftaucht.

### Kohorte 1: Implizite Funktion
→Laura

- 0,25 Teilpunkte für Fehler bei Verwendung der Kettenregel für die exp Funktion
- Sie haben bereits richtig erkannt, dass F stetig differenzierbar sein muss, also dass die Ableitung von F stetig sein muss.
- Dies wurde bereits abgefragt und es ist zusätzlich notwendig, dass die Ableitung nach y ungleich 0 ist.
- Sie haben p und q in -1 nicht vollständig ausgewertet und können daher keine Teilpunkte für Lücke 7 und 8 erhalten. Für die Angabe von g' erhalten Sie aber Teilpunkte als nicht ausgewerteter Folgefehler.
- Ihre Formel für p'(x) und q'(x) ist in diesem Kontext nicht zielführend.
- Die Stetigkeit der Ableitung in y ist entscheidend für die Verwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen. Daher können wir hier keine Teilpunkte vergeben.
- +0,25 Punkte für die fast richtige partielle Ableitung F_y
- Die Produktregel allein ist hier zum Ableiten nicht ausreichend, da sie nur in Kombination mit der Kehrwertregel bzw. Kettenregel für Quotienten gilt.
- Sie haben bereits Teilpunkte für p und die Folgefehler erhalten, mehr haben wir für diese Lücken auch bei Folgefehler nicht vergeben.
- Da das Endergebnis leider auch unter Verwendung der vorherigen Eingaben falsch ist, können wir dafür leider keine Punkte vergeben.
- Die Produktregel angewandt auf g*q setzt die Differenzierbarkeit von g' voraus. Wir wollen diese aber erst noch zeigen.
- Wenn Sie die Produktregel für p*1/q verwenden, benötigen Sie außerdem noch die Kettenregel für 1/q. Die Quotientenregel berücksichtigt alles.
- Die Stetigkeit von F ist als Bedingung deutlich zu schwach.
- Sie haben nirgends spezifiziert, dass die Ableitung von F an der Stelle (-1,0 ) ungleich 0 sein muss. "Vorhanden" kann auch 0 bedeuten.
- p' und q' sind stark vereinfacht durch Wahl von 0*g'(x), daher gibt es hier keine Teilpunkte.
- a=0 nicht berücksichtigt,
- Unzulässig vereinfacht, da g(-1) Teil der Auswertung p(-1) sein sollte.
- "Ableitungsregel" ist unspezifisch.
- Sie haben Teilpunkte für den Vorzeichenfehler bekommen.

Die Voraussetzung für den Satz über implizite Funktionen ist, dass diese STETIG partielle differenzierbar ist.
Im Mehrdimensionalen ist gar nicht klar, dass Differenzierbarkeit direkt stetige Differenzierbarkeit impliziert.
Da es in den Übungsaufgaben aber eine Aufgabe mit genau diesem Fehler gab, bekommen Sie dennoch den Punkt.

Dann hätten Sie für
"a ungleich ..."
nicht
1/...
sondern
(x-sin(y))/...
schreiben müssen, um wirklich allgemein zu bleiben.

Folgefehler für g'(-1) und p'(x) je +0.25
Auswertung von p'(-1) unzulässig vereinfacht, da g'(-1) wegfällt.
p(x) als dF/dx + dF/dy ist großer Quatsch.

Dass wir zur Berechnung von p' und q' die Kettenregel benötigen, spielt da für g'' noch keine Rolle.
Es geht nur um die formale Abhängigkeit von p, q, p' und q'.

### Kohorte 2 : AWP mit Taylorpolynom
→ Friedrich

Bei der Übung gab es in der Tat vier Lücken für y''', und zwar eine ohne Ableitungen von y.
Da dieser Term hier Null wurde, gab es keine Lücke dafür.
Sie müssen immer genau aufpassen, welche Lücken abgefragt werden.

+1,5: Anfangsbedingung zu früh eingesetzt
Sie haben hierfür bereits Teilpunkte erhalten.
Wir können nur anhand Ihrer Eingaben in den Lücken bewerten und die sind hier leider falsch.
Hier geht es darum, die Ableidungen konkret auszurechnen.

### Kohorte 1: Trennung der Variablen
→Robert

Der Unterschied zwischen der ersten Lücke [-1, 1] und der zweiten Lücke (-1, 1) besteht genau in den Klammern.
Sie haben nur ein Intervall korrekt.
Wer zweimal (-1,1) eingibt, sollte nicht 0,75 Punkte kriegen sondern höchstens 0,5 Punkte.
Dass die Klammern bei der zweiten Lücke offen waren, hat Ihnen bereits Teilpunkte gebracht.

Leider ist sqrt(1-y^2) für y=-2 ϵ (-oo, 1) nicht definiert.

Stetigkeit ist die Voraussetzung für den Existenzsatz von Peano.

Es gibt einen Satz von Lindelöf über asymptotische Werte beschränkter (oder normaler) holomorpher Funktionen in der Einheitskreisscheibe.

Nur ein Gedanke war in Lücke 5 gefragt: Monoton wachsend für POSITIVE x.

Die Auflösungsmethode ist eine Möglichkeit zur Optimierung unter Nebenbedingung.

Der Wertebereich für G(x) ist genau der Wertebereich von arcsin,
unabhängig von Fehlern in der Berechnung von G.

Beim Anfangswertproblem ist entscheidend, dass Sie c bestimmen,
der Term `pi*x^2/2` wurde bereits vorher bewertet.

Sie hatten x^2 vergessen und c war bis auf VZ-Fehler korrekt.
Da aber x^2 weiter oben vorhanden war, bekommen Sie noch den Viertelpunkt für c.

-1 ist nicht Resultat einer längeren Rechnung sondern einer grundsätzlichen Überlegung.

In der letzten Lücke sollte man verstehen, wie Monotonie Eindeutigkeit hervorruft.

Die Auflösungsmethode kommt aus der Optimierung.

### Kohorte 1: Satz von Green
→ Laura

- Die vorletzte Lücke wurde aufgrund eines technischen Fehlers nicht vollständig korrigiert. Die Bewertung wurde angepasst, sodass Sie den Punkt erhalten. Wir bitten um Entschuldigung für die Unannehmlichkeiten.
- Bei der Angabe von Gamma_2 haben Sie bereits Teilpunkte für einen Vorzeichenfehler erhalten. Bei der Ableitung von Gamma in der zweiten Komponente liegt allerdings kein Folgefehler wegen Vorzeichens vor.
- Gamma_2 bzw die Ableitung von Gamma ist in diesem Fall unzulässig vereinfacht, daher können Folgefehler nicht anerkannt werden.
- Sie bekommen in der ersten Lücke noch 0,25 Punkte, da Sie das halbe Intervall angegeben haben.
- Das Intervall für den Parameter t wurde auch für negative x-Werte angegeben, Sie erhalten hierfür noch 0,25 Teilpunkte.
- Für die letzte Lücke erhalten Sie 0,5 Punkte. Die Punktabzüge ergeben sich aus dem verminderten Rechenaufwand.
- Für die Vergabe von Teilpunkten in der zweiten Lücke muss die rechte Intervallgrenze zumindest "Pi" enthalten.
- Green ist der Spezialfall von Stokes in 2 Dimensionen. Sie sollten hier spezifisch wissen, wann der Spezialfall angewendet werden kann, daher gibt es nur Teilpunkte.
- In der ersten Lücke können nur für abgeschlossene Intervalle Teilpunkte vergeben werden, da die Ungleichung x^2 (x^2-1) =< 1 eine solche Form impliziert.
- +0,25 Punkte bei Betrachtung von x <= 1
- Für den Vorzeichenfehler beim Vektorfeld erhalten Sie noch die Hälfte der Punkte.
- Es war lediglich nach der allgemeinen Definition des Flächenintegrals über D_plus gefragt. Zudem wäre der Integrand rot(v) für das angebene v falsch.

### Kohorte 2, Methode von Lagrange
→ Robert + Pablo

In der Definition von h_±(x) darf kein y auftauchen,
da wir hier gerade die Auflösung nach y angeben wollen.

Der Definitionsbereich für h_±(x) lautet I_x = [-1,1],
aber in x=±1 sind die Funktionen h_±(x) nicht differenzierbar wegen der Wurzel.
Für den Satz von Weierstraß brauchen wir aber auch nur Stetigkeit.

Es sieht eher danach aus, dass Sie behaupten, dass die Funktionen h_±(x) beschränkt sind.
Das ist aber keine Voraussetzung für den Satz sondern eine Schlussfolgerung, auf die wir erst dank Weierstraß kommen.

Sie müssen die Begriffe den richtigen Objekten zuordnen.
Bei einem Intervall redet man nicht von Stetigkeit.

Auch R ist eine abgeschlossene Menge, aber nicht beschränkt.

Sie müssen die wesentliche Eigenschaft "abgeschlossen" trotzdem benennen.

Für den Satz von Weierstraß ist die Kompaktheit des Intervalls eine notwendige Bedingung.

Der Teilpunkt für sqrt(1-y) ist bereits gnädig, eigentlich war hier bereits ein bestimmter Wert gefragt.

In Zukunft: Einsetzprobe!

Es gibt acht Möglichkeiten einer Auswahl von P_0, P_1, P_2, wir suchen die richtige!

Möchte man Folgefehlerpunkte für y_{3,4} haben, muss man den Wert konkret ausrechnen.
Der Zusammenhang y = b(x) war bereits gegeben.

Von Folgefehlern kann man nur reden, wenn man auf exakt dem gleichen Weg zu anderen Ergebnissen kommt.
Sie haben aber nicht x als Lösung von dg/dx = 0 und g(x,y) = 0 nach Elimination von y bestimmt.

Unzulässige Vereinfachung.

### Kohorte 2, Satz von Stokes
→ Laura, Alex

- Der Aufwand bestand hier darin, das Integrationsintervall für t an die Substitution anzupassen. Da dies nicht der Fall ist und die unsubstituierten Grenzen bereits in der Aufgabe stehen, können wir leider keine Teilpunkte vergeben.
- Ihr do hat leider nicht nur falsches Vorzeichen, sondern ist falsch berechnet. Auch mit Ihrem Ergebnis für do und rot(F) kommt man allerdings nicht auf -2, sondern -2-4*cos^2(x). Daher gibt es hier keine Teilpunkte.
- Noch 0,25 Punkte für Verwendung falscher Integrationsgrenzen, obwohl die Strecke von A nach B auf 0<=x<=pi einschränkt.
- Wir können nur anhand Ihrer Eingaben bewerten und noch 0,25 Teilpunkte geben für den richtigen Teilfaktor.
- Für diesen Folgefehler gibt es nur Teilpunkte. Diese haben Sie bereits erhalten.
- Wir können nur anhand Ihrer Eingaben bewerten, bzw wenn sich Fehler aus vorherigen Eingaben ableiten lassen.
- Regulärer Bereich ist eine viel schwächere Bedingung. Ein Normalbereich ist regulär, aber nicht jeder regulärer Bereich muss ein Normalbereich sein. An der Stelle sind die Eigenschaften von Normalbereich entscheidend.
- Ihr Ergebnis macht in Verbindung mit dem zuvor berechneten a keinen Sinn. Außerdem wird hier das Wissen über die Stammfunktion von 1/(1+t^2) abgefragt.
- Ein Parameterbereich ist ein anderer mathematischer Begriff. Wir können nur anhand Ihrer Eingaben bewerten.
- Die Anwendbarkeit des Satzes von Stokes ist in dieser Lücke noch irrelevant. Es soll erkannt werden, dass man die Grenzen der geschachtelten Integrale so einfach wählen kann, da D ein Normalbereich ist.
- Es können hier leider keine Teilpunkte für Folgefehler vergeben werden, da sich die Folgefehler aus einer unzulässigen Vereinfachung für a ergeben haben.
- Mit a=1 kommt man tatsächlich auf arctan(1)-arctan(-1) = pi/2. Da Sie dies aber nicht ausgerechnet haben, bekommen Sie nur Teilpunkte.
- Mit a=1 kommt man tatsächlich auf arctan(1)-arctan(-1). Dies ist aber gleich pi/4-(-pi/4)= pi/2. Sie haben sich also leider verrechnet, weshalb wir keinen Folgefehler erkennen und bepunkten können.

## Klausurteil II

### Kohorte 1&2: Integration in Zylinderkoordinaten

#### Kohorte 1
→ Friedrich, Jonatan, Pablo

- Ihnen wurden schon Teilpunkte für diese Folgefehler vergeben.
- +0,25 : pi/4 enthalten.
- +0,25 : Für das Integral von g liegt ein Folgefehler vor, da durch die eingebenen Intervallgrenzen (spezielle Winkelfunktionswerte) keine unzulässige Vereinfachung vorliegt.
- Für einzelne Intervallgrenzen gibt es keine Punkte. Es gibt nur Teilpunkte für das Intervall wenn pi/4 enthalten ist.
- Bei dem Integral von g gibt es keine Punkte, wegen unzulässiger Vereinfachung durch zu einfache Funktionswerte für die eingegebenen Intervallgrenzen.
- Zu starke Vereinfachung mit den eingegebenen Werten für Z, R, a. Zu starke Abweichung von dem richtigen Lösungsweg. Es ist wichtig in dieser Aufgabe, dass Z ein konstanter Ausdruck und R ein von z abhängiger Ausdruck.
- Die Reihenfolge der Integrale stellt implizit die gewünschte Abhängigkeit von R,Z auf.
- +0,5 : geschachteltes Integral folgerichtig berechnet.
- +0,25 : Wurzel bei Z gezogen.
- +1,0: Potenz a falsch berechnet, geschachteltes Integral folgerichtig.

#### Kohorte 2
→ Friedrich, Jonatan, Pablo

- Es ist nicht zu erkennen, dass Sie ein Integral in Zylinderkoordinaten transformieren können.
Die folgenden Rechnungen sind somit hinfällig.
- Das Intervall [0,2pi] lässt nicht erkennen, dass Sie die Bedingungen an x & y berücksichtigt haben.
Das phi-Integral ist somit unzulässig vereinfacht.
- Zu starke Vereinfachung der Aufgabe mit dem eingegebenen Integrand. Zu starke Abweichung von dem richtigen Lösungsweg.
- +0,25 : Wurzel bei R fehlt
- In dieser Klausur vergeben wir für Folgefehler nur Teilpunkte und nie die volle Punktzahl.

Wir müssen unterschiedliche Aufgaben stellen, rein rechtlich sind es zwei Klausuren.
Die Durchschnittspunktzahlen sind trotzdem im Rahmen der statistischen Schwankungen im Nachkommabereich.
Kohorte 1 hatte abhängige Integrationsgrenzen, eine stärkere Herausforderung.
Das erste Integral bzgl. z hier war keine schwere Substitution, das hätte man noch schaffen können.

### Kohorte 1: Taylorpolynom
→ Friedrich

- Ein Taylorpolynom gibt man immer um den Entwicklungspunkt an. Auszumultiplizieren ist an dieser Stelle nicht sinnvoll.
- Diese Lösung ist nicht nachvollziehbar.
- In dieser Klausur vergeben wir für Folgefehler nur Teilpunkte und nie die volle Punktzahl.
- Sie haben bereits Teilpunkte erhalten.
- Zu starke Vereinfachung.
- Das ist nicht genug für Teilpunkte.

### Kohorte 1: Lagrange
→ Friedrich

- +0,25 : Folgefehler für Abstand
- Keine sinnvolle Umformung.
- Das ist keine Vektoreingabe, was Sie in die vorletzte Lücke eingetippt haben. Deswegen ist die Rechnung für d2 nicht nachvollziehbar.
- Es ist nicht nachvollziehbar, wie z oder y berechnet wurden.
- Zu starke Vereinfachung und nicht nachvollziehbare Eingaben.
- Wir entscheiden nur auf Grundlage Ihrer Eingaben.
- Für einen einzelnen Vektoreintrag gibt es hier keine Punkte.

### Kohorte 2: Jacobi-Matrix

Die Inverse einer Matrix muss invertierbar sein.
Eine Matrix mit Nullzeile ist nicht invertierbar.

### Kohorte 2: Bernoulli DGL
→ Luca, Frederik

- Anfangswertproblem: 1. Lücke Folgefehler, 2. und 3. Lücke kein Folgefehler. Für Folgefehler gibt es höchstens Teilpunkte.
- In Lücke 2 ist nur die Nulllösung gültig
- In Lücke 3 hätte die negative Lösung aus Lücke 1 stehen müssen.
- Dass Sie die Rücksubstitution nicht berücksichtigt haben, stellt eine unzulässige Vereinfachung dar. Dennoch haben Sie für die 1. Lücke Teilpunkte erhalten. Für die weiteren geben wir allerdings keine Teilpunkte mehr.
- Für die erste Lücke des AWP haben Sie Teilpunkte erhalten. Die zwei folgenden Lücken sind jedoch auch mit Ihren Werten nicht richtig.
- In der dritten Lücke des AWP war das Vorzeichen das entscheidende. Daher können wir hier leider keine Teilpunkte geben.
- VZF 2. Lücke: +0,25 Punkte
- Zweite Lücke des AWP: Teilpunkte
- Leider können wir keine weiteren Punkte für falsche Lücken vergeben, auch wenn Sie uns sagen, warum sie falsch sind.
- Auch ohne die Rücksubstitution stimmen die angegebenen Werte nicht, deshalb können wir hier keine Punkte vergeben.
- Die Werte sind auch mit Ihrem Ansatz falsch. Daher gibt es leider keine Teilpunkte.
- Das sind zu viele Annahmen

### Kohorte 2: Jacobi-Matrix
→ Luca, Frederik

- Zeilen vertauscht. Probe rechen!
- Folgefehler im letzten Eintrag der Matrix: +0.25 Punkte
- Leider können wir keine weiteren Punkte für falsche Lücken vergeben, auch wenn Sie uns sagen, warum sie falsch sind.
- VZF: Teilpunkte
- Ihre Jacobimatrix ist nicht invertierbar, daher keine Teilpunkte für die Inverse
- Folgefehler bei letzter Matrix: +0.75 Punkte
- Die Werte sind auch mit Ihrem Ansatz falsch. Daher gibt es leider keine Teilpunkte.

### Kohorte 2: Lineares DGL-System
→ Luca, Frederik

- Beim AWP im cos-Eintrag muss (da zur Zeit t=0 der sin-Term Null ist) der Anfangsvektor x0 gegeben sein. Dies hätte erkannt werden können. Aber Teilpunkte für 2.Komponente.
- Bei 0,25 Punkte-Lücken gibt es keine Punkte für Folgefehler
- Sie haben bereits Teilpunkte erhalten. Für Folgefehler gibt es ebenfalls höchstens Teilpunkte.
- Folgefehler für beide Cosinus-Werte und Sinus-Werte
- Letzte Lücke ist Folgefehler +0,75 Punkte
- Sie haben die zweiten (vorgegebenen) Komponenten ignoriert. Daher hätte Ihnen beim Eigenvektor auffallen müssen, dass dieser nicht stimmt. Dennoch haben Sie für die Sinus-Werte bereits Teilpunkte erhalten.
- Teilpunkte Eigenvektor (nur um Faktor falsch)
- +0,25 Punkte für die korrekte zweite Komponente in Lücke 5
- Die Kohorten hatten nach der Korrektur im Rahmen von erwartbaren statistischen Abweichungen die gleiche Durchschnittspunktzahl. Statistische Abweichungen heißt hier: Der Unterschied war kleiner als ein Punkt.

### Kohorte 1: lineare DGL 3.Ordnung
→ Luca, Frederik

- Folgefehler bei Fundamentalsystem +0,75 P
- Teilpunkte bei Fundamentalsystem +0,75 P
- Eine Komponente des Fundamentalsystems ist richtig: +0,5 Punkte
- Folgefehler bei partikulärer Lösung +0,75 P
- VZF bei Ansatz
- Leider können wir keine weiteren Punkte für falsche Lücken vergeben, auch wenn Sie uns sagen, warum sie falsch sind.
- Hier ist das Entscheidende, dass das Fundamentalsystem reell ist
- Folgefehler für beide Ableitungen: +0,25 P
- Eingabefehler im Fundamentalsystem: +0,75 Punkte
- Ansatz Folgefehler +0,5 P
- Spätestens wenn Sie das Gleichungssystem lösen, hätte auffallen müssen, dass es nicht lösbar ist. Daher sind Folgefehler für die letzte Lücke ausgeschlossen
- Es gibt keinen Hinweis, dass wirklich ein Tippfehler vorlag, deshalb können wir hier keine weiteren Punkte vergeben.
- Für die 0,25 Punkte Lücke gibt es leider keine Teilpunkte

## Klausurteil III
→ Robert

Es ist in der Tat vernünftig, den Wahrheitswert zu raten, bevor man gar nichts angibt.
Teil der Spielregeln ist aber auch, dass man beim Raten keine unsinnigen Antworten gibt.
Teil der Spielregeln ist aber auch, dass dann nur richtige Angaben zählen.
Sie scheinen überall W angegeben zu haben.

Von einem Folgefehler spricht man, wenn ein falsches Zwischenergebnis korrekt weiterverwendet wurde.
Hier gab es keine Zwischenergebnisse.

Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie eine korrekte Antwort ausgewählt und die Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben.
Es nützt nichts, eine falsche Begründung mit der suggerierten Lücke zu ergänzen.

Es ist natürlich so, dass es etwas mehr Nachdenken erfordert,
die Lücke der richtigen Begründung korrekt zu füllen.
Andererseits ist auch da nicht auszuschließen,
dass eine naheliegende Antwort ohne umfassendes Verständnis
der Begründung gefunden wurde.
Zum Verständnis der Begründung gehört eben auch,
dass man erkennt, welchen Wahrheitswert diese begründet.
Nichtsdestotrotz zeugt das korrekte Ausfüllen der Begründung
von mehr Verständnis als wenn man etwa den Wahrheitswert rät,
weswegen wir Ihnen hier noch einen halben Punkt zuschreiben.

### Topologie

**Kohorte 1:**
Wir legen Wert darauf, dass Sie ganz genau wissen, was der Rand ist.
Es ging hier nicht um ein Intervall sondern um eine endliche Menge mit zwei Elementen.

**Kohorte 2:**
Es mag verwirren, wenn nun D^c die Rolle einnimmt, die vorher von D in der Definition eingenommen wurde.
Wenn Sie das verwirrt, dann müssten Sie einen neuen Buchstaben einführen, also etwa E=D^c und dann die Definition des Randes von E mit E^c und E formulieren. Diese Schwierigkeit wurde Ihnen abgenommen, indem bereits (D^c)^c die Anwendung der Definition für D^c statt D vorweg genommen hat. Was auf keinen Fall passieren darf, ist dass Sie eine falsche Identität hinschreiben, "(D^c)^c = D^c" ist in jedem Fall falsch.

### Stetigkeit

**Kohorte 1:**
r → oo ist für Stetigkeit im Nullpunkt nicht zielführend.

Der Betrag macht alles positiv.

Der Bezug zur Problemfunktion ist unklar, aber mit 0 < r < 1 als speziellen Bereich haben Sie eine sinnvolle Einschränkung geliefert, dass sqrt(r) zumindest nicht falsch ist.

**Kohorte 2:**
In der Tat ein Schreibfehler, der aber nichts am Wahrheitswert ändert und auch während der Klausur von niemandem angemerkt wurde.
Sie haben die Frage offenbar im Sinne der Aufgabenstellung bearbeitet, nur dass Ihre Begründung falsch ist.
Sie haben die Aufgabe offenbar problemlos bearbeiten können, nur dass f(x_n,y_n) bei Ihnen 1/2 ist.
Antwortmöglichkeit (2) ließ keinen Zweifel offen, dass nach einer Nullfolge im R² gefragt war.

Sie haben keine Nullfolge angegeben.
Die Schwierigkeit besteht darin, eine Nullfolge im R² zu finden.
Ihr Antwort passt auch nicht mit dem angegebenen Wahrheitswert zusammen.

### Kohorte 1: Fixpunkt

x = x/2 + 1 scheinen Sie verstanden zu haben, dafür noch 0.25P

16 ist keine Lipschitz-Konstante für eine Kontraktion.

Wenn ich die Schraube nicht mit dem Hammer in die Wand kriege, heißt das nicht, dass die Schraube kaputt ist.
Der Hammer ist der Banach'sche Fixpunktsatz.
Die Schraube ist die Fixpunktgleichung f(x,y) = (x,y).
Wählen Sie das geeignete Werkzeug.

### Kohorte 2: Globales Minimum

Es ist plausibel, dass Sie "(2) positiv definit" meinten.
Das wäre aber eine falsche Begründung gewesen, weil (2) zu viel an g und h voraussetzt.

(2) ist eine falsche Begründung, weil diese Begründung u.a. zu viel an g und h voraussetzt.
"Positiv" war die korrekte Lücke für (3).

Oberflächliche Ähnlichkeit ist kein mathematisches Argument.

Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie eine korrekte Antwort ausgewählt und die Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben.
Hier müssen Sie verstehen, unter welchen Voraussetzungen Abschätzungen vorgenommen werden können.

### Kohorte 1: DGL-System

Die Matrix-Exponentialfunktion ist für quadratische Matrizen definiert, nicht für Vektoren.

(x, x^2) ist hier keine Lösung und auch nicht beschränkt.

exp(x) * (1,0) wäre eine Lösung, aber nicht beschränkt.

Die Lösung eines mit 2x2-Matrix gegebenen DGL-Systems ist eine Funktion mit zwei Komponenten.
Es war nicht nach Fundamentallösungen gefragt.

### Kohorte 2: AWP

Den Punkt gibt es genau dann, wenn Sie eine korrekte Antwort ausgewählt und die Lücke inhaltlich sinnvoll gefüllt haben.
0 ist hier keine Lösung (Einsetzprobe: 0 = x passt nicht)

Die Lösung y(x)=x war aber bereits in der Aufgabenstellung verraten.
Somit haben Sie nichts neues beigesteuert und die Begründung nicht richtig verstanden.

Wenn -x gefragt war, hätten Sie beim Vertippen -y eingeben müssen.

### Kohorte 1: Gauß

Besagter Fehler befand sich im Voraussetzungsteil (V) der Aussage.
Die Schlussfolgerung (S) kann man dann interpretieren, wie man mag.
Es lag also eine Aussage der Form "V => S" vor.
Wenn V falsch ist, dann ist "V => S" immer korrekt.

Es gab zudem während der Klausur eine Ansage, die diesen Fehler korrigiert hat,
plus 1 Minute extra für alle als Ausgleich für die Unterbrechung durch die Ansage.
Sämtliche Begründungsmöglichkeiten lassen nur die Interpretation zu,
dass die übliche Kugelfläche gemeint war.

### Kohorte 2: Wirbelfreiheit

Es ist hier ein skalares Potential gefragt.
Ihre Angabe erklärt sich wohl dadurch, dass Sie komponentenweise integriert haben.
Das ist ein falsches Konzept.
Nur wenn ich das Potential konkret angebe, kann ich ohne Prüfung der Integrabilitätsbedingungen behaupten, dass eine Stammfunktion existiert. Es genügt nicht, eine korrekte Vorlage auszuwählen.

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