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2022q1 Homework2 (quiz2)

contributed by < Risheng1128 >

作業說明

測驗題目

測驗 1

延伸問題:

  • 解釋上述程式碼運作的原理
  • 比較上述實作在編譯器最佳化開啟的狀況，對應的組合語言輸出，並嘗試解讀 (可研讀 CS:APP 第 3 章)
  • 研讀 Linux 核心原始程式碼 include/linux/average.h，探討其 Exponentially weighted moving average (EWMA) 實作，以及在 Linux 核心的應用 移動平均（Moving average)，又稱滾動平均值、滑動平均，在統計學中是種藉由建立整個資料集合中不同子集的一系列平均數，來分析資料點的計算方法。 移動平均通常與時間序列資料一起使用，以消除短期波動，突出長期趨勢或周期。短期和長期之間的閾值取決於應用，移動平均的參數將相應地設置。例如，它通常用於對財務數據進行技術分析，如股票價格、收益率或交易量。它也用於經濟學中研究國內生產總值、就業或其他宏觀經濟時間序列。

程式運作原理

首先，討論以下程式碼

#include <stdint.h>
uint32_t average(uint32_t low, uint32_t high)
{
    return low + (high - low) / 2;
}

思考思路

  • 在已知大小的情況下，這樣的寫法可以想像是在 low 的大小加上 high 到 low 之間距離的一半，因此可以得到一半的數字
  • 當然，也可以換個思考，改成減少 high 的大小，如以下程式碼 
    ​​uint32_t average(uint32_t low, uint32_t high)
​​{
​​    return high - (high - low) / 2;
​​}

接著討論下一個程式碼

uint32_t average(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return (a >> 1) + (b >> 1) + (EXP1);
}

思考思路

  • 這邊的話，可以先想成 a >> 1 和 b >> 1 分別為 a / 2 和 b / 2 ，接著會發現如果只有 a >> 1 + b >> 1 ，在某些情況下會有問題，例如: a = 3, b = 5 出來的結果不是 4 而是 3
  • 稍微研究一下發現當兩個數的 LSB 為 1 時，兩數相加的時候 LSB 的位置會進位，但本題的範例是直接先都往右平移 1 ，因此會把進位忽略掉，從這點可以推斷出 EXP1 是和進位有關，加上題目的提示，可以得到以下解答 EXP1 = a & b & 1

接下來是最後一種寫法

uint32_t average(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return (EXP2) + ((EXP3) >> 1);
}

思考思路

  • 這邊就比較難想，因此先看了題目下方的提示，得知 EXP2 和 EXP3 都是 a 和 b 的某種運算 (OR AND XOR)
  • 結果後來是用湊答案湊出來的QQ EXP2 = a & b EXP3 = a ^ b
  • 雖然答案是湊出來的，還是要理解一下為什麼會寫出這樣的怪招，這邊參考 laneser 的共筆
    1. 從共筆可以看到其實加法可以寫成 a + b = (a ^ b) + ((a & b) << 1) 的形式
    2. 得知了 a + b 的寫法後平均就不難了，可以寫成以下的形式 (a + b)/2 = ((a ^ b) + ((a & b) << 1)) >> 1 → (a & b) + ((a ^ b) >> 1)

組合語言輸出

參考 GCC Command Options ，裡面說明了 gcc 的各種最佳化及最佳化選項

採用以下的程式碼作為範例，希望可以探討編譯器不同優化產生的組合語言的差異

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

uint32_t average(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return (a + b) / 2;
}

uint32_t average1(uint32_t low, uint32_t high)
{
    return low + (high - low) / 2;
}

uint32_t average2(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return (a >> 1) + (b >> 1) + (a & b & 1U);
}

uint32_t average3(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return (a & b) + ((a ^ b) >> 1);
}

int main(void)
{
   uint32_t a = 3, b = 5;
   printf("test1 = %x\n", average(a, b));
   printf("test2 = %x\n", average1(a, b));
   printf("test3 = %x\n", average2(a, b));
   printf("test4 = %x\n", average3(a, b));
   return 0;
}

輸入命令 objdump -d -M att problem1.out > problem1.d 以下為各優化輸出的結果，由於只討論執行的指令並保持簡潔，這邊將地址的部份移除

編譯器 -O0 優化

-O0: 不做優化

Do not optimize. This is the default.













<average>:
    endbr64 
    push   %rbp      # 將 %rbp 加進 stack
    mov    %rsp,%rbp # 將 %rsp 複製到 %rbp
    mov    %edi,-0x4(%rbp) # 將 %edi 複製到 Mem[%rbp - 0x4]
    mov    %esi,-0x8(%rbp) # 將 %esi 複製到 Mem[%rbp - 0x8]
    mov    -0x4(%rbp),%edx # 將 Mem[%rbp - 0x4] 的值複製到 %edx
    mov    -0x8(%rbp),%eax # 將 Mem[%rbp - 0x8] 的值複製到 %eax
    add    %edx,%eax # a + b
    shr    %eax      # (a + b) >> 1
    pop    %rbp      # pop stack
    retq

首先會發現所有函式一開始都會有一樣的指令 endbr64 ，參考 What does the endbr64 instruction actually do? ，可以得知 endbr64 算是一種安全機制，用來判斷跳躍的地址是否為合法的地址，一般可以視為 NOP

The ENDBRANCH (see Section 73 for details) is a new instruction that is used to mark valid jump target addresses of indirect calls and jumps in the program. This instruction opcode is selected to be one that is a NOP on legacy machines such that programs compiled with ENDBRANCH new instruction continue to function on old machines without the CET enforcement. On processors that support CET the ENDBRANCH is still a NOP and is primarily used as a marker instruction by the processor pipeline to detect control flow violations. The CPU implements a state machine that tracks indirect jmp and call instructions. When one of these instructions is seen, the state machine moves from IDLE to WAIT_FOR_ENDBRANCH state. In WAIT_FOR_ENDBRANCH state the next instruction in the program stream must be an ENDBRANCH. If an ENDBRANCH is not seen the processor causes a control protection exception (#CP), else the state machine moves back to IDLE state.

接著討論 line 10 可以參考 x86 Instruction Set Reference — SHR ，不過要注意參考文件是 intel syntax ，上述測試則是 AT&T syntax

SHR r/m32: Unsigned divide r/m32 by 2, 1 time.
















<average1>:
        # %esi = high, %edi = low
        endbr64 
        push   %rbp      # 將 %rbp 加進 stack
        mov    %rsp,%rbp # 將 %rsp 複製到 %rbp
        mov    %edi,-0x4(%rbp)
        mov    %esi,-0x8(%rbp)
        mov    -0x8(%rbp),%eax
        sub    -0x4(%rbp),%eax # high - low
        shr    %eax      # (high - low) >> 1
        mov    %eax,%edx # 將 (low - high) >> 1 複製到 %edx
        mov    -0x4(%rbp),%eax 
        add    %edx,%eax # low + (high - low) >> 1
        pop    %rbp
        retq

line 9 可以參考 x86 Instruction Set Reference — SUB ，指令如下所示

operation src dest
sub -0x4(%rbp) %eax

dest = dest - src




















<average2>:
        # %edi = a, %esi = b
        endbr64 
        push   %rbp
        mov    %rsp,%rbp
        mov    %edi,-0x4(%rbp)
        mov    %esi,-0x8(%rbp)
        mov    -0x4(%rbp),%eax
        shr    %eax       # a >> 1
        mov    %eax,%edx  # %edx = a
        mov    -0x8(%rbp),%eax
        shr    %eax       # b >> 1
        add    %eax,%edx  # (a >> 1) + (b >> 1)
        mov    -0x4(%rbp),%eax 
        and    -0x8(%rbp),%eax # (a & b)
        and    $0x1,%eax  # (a & b & 1u)
        add    %edx,%eax  # (a >> 1) + (b >> 1) + (a & b & 1u)
        pop    %rbp
        retq

line 15 16 可以參考 x86 Instruction Set Reference — AND ，指令如下所示

line operation src dest
15 and -0x8(%rbp) %eax
16 and $0x1 %eax

dest = dest & src

<average3>:
        # %edi = a, %esi = b
        endbr64 
        push   %rbp
        mov    %rsp,%rbp
        mov    %edi,-0x4(%rbp)
        mov    %esi,-0x8(%rbp)
        mov    -0x4(%rbp),%eax
        and    -0x8(%rbp),%eax # a & b
        mov    %eax,%edx
        mov    -0x4(%rbp),%eax
        xor    -0x8(%rbp),%eax # a ^ b
        shr    %eax      # (a ^ b) >> 1
        add    %edx,%eax # a & b + (a ^ b) >> 1
        pop    %rbp
        retq

編譯器 -O1 優化

-O1: Optimizing compilation takes somewhat more time, and a lot more memory for a large function.

With -O, the compiler tries to reduce code size and execution time, without performing any optimizations that take a great deal of compilation time.

<average>:
    	endbr64 
      	lea    (%rdi,%rsi,1),%eax   # a + b
     	shr    %eax     # (a + b) >> 1
       	retq

可以發現 -O1 的程式比起 -O0 來的精簡許多，在 O0 時， a + b 是使用 ADD 執行，而 -O1 則是使用 LEA 作為算術運算使用， LEA 的說明可以參考 x86 Instruction Set Reference — LEA

<average1>:
        // %esi = high, %edi = low
        endbr64 
        mov    %esi,%eax
     	sub    %edi,%eax # high - low
       	shr    %eax      # (high - low) >> 1
       	add    %edi,%eax # low + (high - low) >> 1
       	retq   

<average2>:
        // %edi = a, %esi = b
       	endbr64 
      	mov    %edi,%eax
      	shr    %eax      # a >> 1
       	mov    %esi,%edx
      	shr    %edx      # b >> 1
       	add    %edx,%eax # (a >> 1) + (b >> 1)
      	and    %esi,%edi # (a & b)
       	and    $0x1,%edi # (a & b & 1U)
      	add    %edi,%eax # (a >> 1) + (b >> 1) + (a & b & 1U)
      	retq   

<average3>:
        // %edi = a, %esi = b
       	endbr64 
       	mov    %edi,%eax 
       	xor    %esi,%eax # a ^ b
       	shr    %eax      # (a ^ b) >> 1 
      	and    %esi,%edi # a & b
       	add    %edi,%eax # (a & b) + ((a ^ b) >> 1) 
       	retq

從編譯結果看來， -O1 比起 -O0 省略多餘的 stack 運算，全部的指令都使用暫存器執行，最後將結果存到 %eax 回傳

編譯器 -O2 優化

-O2: Optimize even more. GCC performs nearly all supported optimizations that do not involve a space-speed tradeoff. The compiler does not perform loop unrolling or function inlining when you specify -O2. As compared to -O, this option increases both compilation time and the performance of the generated code.

00000000000011c0 <average>:
    11c0:	f3 0f 1e fa          	endbr64 
    11c4:	8d 04 37             	lea    (%rdi,%rsi,1),%eax
    11c7:	d1 e8                	shr    %eax
    11c9:	c3                   	retq   
    11ca:	66 0f 1f 44 00 00    	nopw   0x0(%rax,%rax,1))

和 -O1 相比，兩者指令大致相同，但 -O2 在最後增加了指令 nopw 0x0(%rax,%rax,1) ，參考 What is the meaning of the data32 data32 nopw %cs:0x0(%rax,%rax,1) instruction in gcc inline asm? 後，得知加 NOP 的原因是為了 CPU pipeline 的最佳化，在 retq 後方增加沒有用的指令看起來像是浪費空間，但是這樣的操作可以讓 pipeline 直接執行而不需要清空再填滿，使執行速度上升

<average1>:
        # %esi = high, %edi = low
       	endbr64 
      	mov    %esi,%eax
       	sub    %edi,%eax # high - low
       	shr    %eax      # (high - low) >> 1
       	add    %edi,%eax # low + (high - low) >> 1
       	retq   
    11dd:	0f 1f 00             	      	nopl   (%rax)

<average2>:
        # %edi = a, %esi = b
        endbr64 
        mov    %edi,%eax 
        mov    %esi,%edx
        and    %esi,%edi # a & b
        shr    %eax # a >> 1
        shr    %edx # b >> 1
        and    $0x1,%edi # a & b & 1U
        add    %edx,%eax # (a >> 1) + (b >> 1)
        add    %edi,%eax # (a >> 1) + (b >> 1) + (a & b & 1U)
        retq   
    11f6:	66 2e 0f 1f 84 00 00 	        nopw   %cs:0x0(%rax,%rax,1)
    11fd:	00 00 00
    
<average3>:
        # %edi = a, %esi = b
        endbr64 
        mov    %edi,%eax 
        and    %esi,%edi # a & b
        xor    %esi,%eax # a ^ b
        shr    %eax      # (a ^ b) >> 1
      	add    %edi,%eax # a & b + (a ^ b) >> 1
      	retq   
    120f:	90                   	       	nop

根據上述的程式碼，可以看到每段程式的 retq 後都會接上不同長度的 NOP ，這邊可以發現每次加上 NOP 的長度可以讓每段程式的起始地址對齊 16 bytes

另外發現一見特別的事，相較於 O1 優化，在 O2 產生 memory reordering 的現象

編譯器 -O3 優化

-O3: Optimize yet more. -O3 turns on all optimizations specified by -O2 and also turns on the -finline-functions, -funit-at-a-time and -frename-registers options.

-O3 輸出結果 
<average>:
     	endbr64 
      	lea    (%rdi,%rsi,1),%eax # a + b
      	shr    %eax # (a + b) >> 1
       	retq   
    	nopw   0x0(%rax,%rax,1)

<average1>:
        # %esi = high, %edi = low 
        endbr64 
        mov    %esi,%eax 
        sub    %edi,%eax # high - low 
        shr    %eax    # (high - low) >> 1
        add    %edi,%eax # low + (high - low) >> 1
        retq   
       	nopl   (%rax)

<average2>:
        # %edi = a, %esi = b
        endbr64 
     	mov    %edi,%eax 
       	mov    %esi,%edx
       	and    %esi,%edi # a & b
       	shr    %eax    # a >> 1
       	shr    %edx    # b >> 1
      	and    $0x1,%edi # a & b & 1U
       	add    %edx,%eax # (a >> 1) + (b >> 1)
       	add    %edi,%eax # (a >> 1) + (b >> 1) + (a & b & 1U)
      	retq   
     	nopw   %cs:0x0(%rax,%rax,1)

<average3>:
        # %edi = a, %esi = b
      	endbr64 
       	mov    %edi,%eax 
       	and    %esi,%edi # a & b
       	xor    %esi,%eax # a ^ b
       	shr    %eax # (a ^ b) >> 1
     	add    %edi,%eax # (a & b) + (a ^ b) >> 1
       	retq   
       	nop

-O3 和 -O2 的結果完全一樣，推論是程式碼不夠複雜，在 -O2 已經優化的差不多

研讀 Linux 核心原始程式碼 include/linux/average.h

什麼是 EWMA?

EWMA (指數加權移動平均)是一種取平均的統計手法，並且使經過時間越久的歷史資料的權重也會越低，以下為 EWMA 的數學定義:

\(S_t = \left\{ \begin{array}{l} Y_0& t = 0 \\ \alpha Y_t + (1 - \alpha)\cdot S_{t-1}& t > 0 \\ \end{array} \right.\)

  • \(\alpha\) 表示歷史資料加權降低的程度，介在 0 ～ 1 之間，越高的 \(\alpha\) 會使歷史資料減少的越快
  • \(Y_t\) 表示在時間 \(t\) 時的資料點
  • \(S_t\) 表示在時間 \(t\) 時計算出的 EWMA

接著將上述的數學式展開，可以得到以下的結果

\(\begin{split} S_t &= \alpha Y_t + (1 - \alpha)\cdot S_{t-1} \\ &= \alpha Y_t + (1 - \alpha)(\alpha Y_{t-1} + (1 - \alpha)\cdot S_{t-2}) \\ &= \alpha Y_t + (1 - \alpha)(\alpha Y_{t-1} + (1 - \alpha)(\alpha Y_{t-2} + (1 - \alpha)\cdot S_{t-3})) \\ &= \alpha (Y_t + (1 - \alpha)Y_{t-1} + (1 - \alpha)^2Y_{t-2} + \ldots + (1 - \alpha)^kY_{t-k} + \ldots + Y_0) \end{split}\)

從結果可以得知第前 \(k\) 筆資料為 \((1 - \alpha)^kY_{t-k}\) 其加權為 \((1 - \alpha)^k\) 為指數的模樣，這也是為何這樣的手法被稱為 EWMA

Linux 核心原始程式碼分析

/*
 * Exponentially weighted moving average (EWMA)
 *
 * This implements a fixed-precision EWMA algorithm, with both the
 * precision and fall-off coefficient determined at compile-time
 * and built into the generated helper funtions.
 *
 * The first argument to the macro is the name that will be used
 * for the struct and helper functions.
 *
 * The second argument, the precision, expresses how many bits are
 * used for the fractional part of the fixed-precision values.
 *
 * The third argument, the weight reciprocal, determines how the
 * new values will be weighed vs. the old state, new values will
 * get weight 1/weight_rcp and old values 1-1/weight_rcp. Note
 * that this parameter must be a power of two for efficiency.
 */

#define DECLARE_EWMA(name, _precision, _weight_rcp)			\
	struct ewma_##name {						\
		unsigned long internal;					\
	};								\
	static inline void ewma_##name##_init(struct ewma_##name *e)	\
	{								\
		BUILD_BUG_ON(!__builtin_constant_p(_precision));	\
		BUILD_BUG_ON(!__builtin_constant_p(_weight_rcp));	\
		/*							\
		 * Even if you want to feed it just 0/1 you should have	\
		 * some bits for the non-fractional part...		\
		 */							\
		BUILD_BUG_ON((_precision) > 30);			\
		BUILD_BUG_ON_NOT_POWER_OF_2(_weight_rcp);		\
		e->internal = 0;					\
	}								\
	static inline unsigned long					\
	ewma_##name##_read(struct ewma_##name *e)			\
	{								\
		BUILD_BUG_ON(!__builtin_constant_p(_precision));	\
		BUILD_BUG_ON(!__builtin_constant_p(_weight_rcp));	\
		BUILD_BUG_ON((_precision) > 30);			\
		BUILD_BUG_ON_NOT_POWER_OF_2(_weight_rcp);		\
		return e->internal >> (_precision);			\
	}								\
	static inline void ewma_##name##_add(struct ewma_##name *e,	\
					     unsigned long val)		\
	{								\
		unsigned long internal = READ_ONCE(e->internal);	\
		unsigned long weight_rcp = ilog2(_weight_rcp);		\
		unsigned long precision = _precision;			\
									\
		BUILD_BUG_ON(!__builtin_constant_p(_precision));	\
		BUILD_BUG_ON(!__builtin_constant_p(_weight_rcp));	\
		BUILD_BUG_ON((_precision) > 30);			\
		BUILD_BUG_ON_NOT_POWER_OF_2(_weight_rcp);		\
									\
		WRITE_ONCE(e->internal, internal ?			\
			(((internal << weight_rcp) - internal) +	\
				(val << precision)) >> weight_rcp :	\
			(val << precision));				\
	}

To Do: 研讀中…

不懂的巨集及函式

這邊歸納了在分析上述 Linux 核心原始程式碼時，不懂的巨集及函式

巨集 BUILD_BUG_ON (位於 include/linux/build_bug.h)
/**
 * BUILD_BUG_ON - break compile if a condition is true.
 * @condition: the condition which the compiler should know is false.
 *
 * If you have some code which relies on certain constants being equal, or
 * some other compile-time-evaluated condition, you should use BUILD_BUG_ON to
 * detect if someone changes it.
 */
#define BUILD_BUG_ON(condition) \
	BUILD_BUG_ON_MSG(condition, "BUILD_BUG_ON failed: " #condition)

從註解的部份可以很清楚的知道， BUILD_BUG_ON 的功能主要是用來判斷是否中斷編譯，如果 condition 為 True 會中斷編譯，反之則會繼續進行編譯

函式 __builtin_constant_p()

參考 Library Functions Manual __BUILTIN_CONSTANT_P(3) ，可以得知 __builtin_constant_p() 是用來決定 value 是否在編譯時期為 constant 的 GUN extension ，該函數也用到了所謂的 constant folding 優化技術

原文: The __builtin_constant_p() is a GNU extension for determining whether a value is known to be constant at compile time. The function is closely related to the concept of "constant folding" used by modern optimizing compilers.

如果 value 為 compile-time constant 的話， __builtin_constant_p() 回傳 1 ，反之則回傳 0

巨集 BUILD_BUG_ON_NOT_POWER_OF_2()
/* Force a compilation error if a constant expression is not a power of 2 */
#define BUILD_BUG_ON_NOT_POWER_OF_2(n)			\
	BUILD_BUG_ON((n) == 0 || (((n) & ((n) - 1)) != 0))

可以得知 BUILD_BUG_ON_NOT_POWER_OF_2(n) 的功能是判斷 n 是否為 2 的次方，如果不是 2 的次方，則會中斷編譯，反之則是會繼續編譯

巨集 READ_ONCE() 及 WRITE_ONCE()
函式 ilog2() (位於 include/linux/log2.h)
/**
 * ilog2 - log base 2 of 32-bit or a 64-bit unsigned value
 * @n: parameter
 *
 * constant-capable log of base 2 calculation
 * - this can be used to initialise global variables from constant data, hence
 * the massive ternary operator construction
 *
 * selects the appropriately-sized optimised version depending on sizeof(n)
 */
#define ilog2(n) \
( \
	__builtin_constant_p(n) ?	\
	((n) < 2 ? 0 :			\
	 63 - __builtin_clzll(n)) :	\
	(sizeof(n) <= 4) ?		\
	__ilog2_u32(n) :		\
	__ilog2_u64(n)			\
 )

測驗 2

延伸問題:

  • 解釋上述程式碼運作的原理
  • 針對 32 位元無號/有號整數，撰寫同樣 branchless 的實作
  • Linux 核心也有若干 branchless / branch-free 的實作，例如 lib/sort.c: 
    ​​​​/*
​​​​ * Logically, we're doing "if (i & lsbit) i -= size;", but since the
​​​​ * branch is unpredictable, it's done with a bit of clever branch-free
​​​​ * code instead.
​​​​ */
​​​​__attribute_const__ __always_inline
​​​​static size_t parent(size_t i, unsigned int lsbit, size_t size)
​​​​{
​​​​    i -= size;
​​​​    i -= size & -(i & lsbit);
​​​​    return i / 2;
​​​​}
    請在 Linux 核心原始程式碼中，找出更多類似的實作手法。請善用 git log 檢索

程式運作原理

首先，討論以下程式碼，程式目的為回傳比較大的值

#include <stdint.h>
uint32_t max(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return a ^ ((EXP4) & -(EXP5));
}

思考思路

  1. 目的是要找到比較大的值，可以合理推論回傳值為 a 或 b ，首先看到回傳有一個 a ^ 的過程，從老師給的參考連結 That XOR Trick ，發現以下 XOR 的特性
    • a ^ 0 = a
    • a ^ a ^ b = b
  2. 有了以上的特性，可以得知 EXP4 和 -(EXP5) 經過 AND 後的結果
    • 如果 a ≥ b ,則 (EXP4) & -(EXP5) = 0
    • 如果 a < b ,則 (EXP4) & -(EXP5) = a ^ b
  3. 從以上的特性加上題目敘述(EXP4 為 a 和 b 進行某種特別 bitwise 操作)，可以先得出 EXP4 為 a ^ b
  4. 繼續思考，將 EXP4 = a ^ b 套回第 2 點的特性，可以得到更精簡的結果
    • 如果 a ≥ b ,則 EXP5 = 0
    • 如果 a < b ,則 EXP5 = 1
  5. 由上述的結論，可以推論 EXP5 = a < b EXP4 = a ^ b EXP5 = a < b

撰寫有號/無號 branchless 的實作

無號數的實作和題目的程式碼相同，而有號數之間比較和無號數之間的比較相同，因此兩者的程式碼實作相同，如以下所示

/** 
 * @fn     - max_uint32
 * @brief  - 找到無號整數比較大的數
 * 
 */
uint32_t max_uint32(uint32_t a, uint32_t b)
{
    return a ^ ((a ^ b) & -(a < b));
}

/** 
 * @fn     - max_int32
 * @brief  - 找到有號整數比較大的數
 * 
 */
int32_t max_int32(int32_t a, int32_t b)
{
    return a ^ ((a ^ b) & -(a < b));
}

如果是無號和有號的比較則需要特別注意，需要考慮到有號數會轉型成無號數，這邊參考了你所不知道的 C 語言: bitwise 操作，裡頭有更詳細的說明

在 Linux 核心原始程式碼中，找出更多類似的實作手法

在 Linux 中分別搜尋 branchless 及 branch-free ，以下為搜尋結果

/*
 * If CPL < 3, SMAP prevention are disabled if EFLAGS.AC = 1.
 *
 * If CPL = 3, SMAP applies to all supervisor-mode data accesses
 * (these are implicit supervisor accesses) regardless of the value
 * of EFLAGS.AC.
 *
 * This computes (cpl < 3) && (rflags & X86_EFLAGS_AC), leaving
 * the result in X86_EFLAGS_AC. We then insert it in place of
 * the PFERR_RSVD_MASK bit; this bit will always be zero in pfec,
 * but it will be one in index if SMAP checks are being overridden.
 * It is important to keep this branchless.
 */
unsigned long smap = (cpl - 3) & (rflags & X86_EFLAGS_AC);
int index = (pfec >> 1) +
        (smap >> (X86_EFLAGS_AC_BIT - PFERR_RSVD_BIT + 1));
bool fault = (mmu->permissions[index] >> pte_access) & 1;
u32 errcode = PFERR_PRESENT_MASK;

/**
 * __vlan_hwaccel_copy_tag - copy hardware accelerated VLAN info from another skb
 * @dst: skbuff to copy to
 * @src: skbuff to copy from
 *
 * Copies VLAN information from @src to @dst (for branchless code)
 */
static inline void __vlan_hwaccel_copy_tag(struct sk_buff *dst, const struct sk_buff *src)
{
	dst->vlan_present = src->vlan_present;
	dst->vlan_proto = src->vlan_proto;
	dst->vlan_tci = src->vlan_tci;
}

上述程式碼看起來只是將 src 的資料複製到 dst ，從註解可以看到這樣的動作是要達到 branchless ，至於為什麼則還不清楚

測驗 3

延伸問題:

  • 解釋上述程式運作原理;
  • 在 x86_64 上透過 __builtin_ctz 改寫 GCD ，分析對效能的提升;
  • Linux 核心中也內建 GCD (而且還不只一種實作)，例如 lib/math/gcd.c，請解釋其實作手法和探討在核心內的應用場景。

程式運作原理

首先分析以下程式碼，並回答 COND 及 RET

#include <stdint.h>
uint64_t gcd64(uint64_t u, uint64_t v)
{
    if (!u || !v) return u | v;
    int shift;
    for (shift = 0; !((u | v) & 1); shift++) {
        u /= 2, v /= 2;
    }
    while (!(u & 1))
        u /= 2;
    do {
        while (!(v & 1))
            v /= 2;
        if (u < v) {
            v -= u;
        } else {
            uint64_t t = u - v;
            u = v;
            v = t;
        }
    } while (COND);
    return RET;
}

從老師附上的 GCD 演算法，讓我能更方便的拆解整個程式碼

  1. If both x and y are 0, gcd is zero gcd(0,0) = 0
  2. gcd(x,0) = x and gcd(0,y) = y because everything divides 0

上述敘述可以對應題目的程式碼

if (!u || !v) return u | v;
  1. If x and y are both even, gcd(x,y) = 2∗gcd(x/2,y/2) because 2 is a common divisor. Multiplication with 2 can be done with bitwise shift operator.

上述敘述表達如果兩數都是偶數的話，則可以先將公因數 2 提取出來，題目所對應的程式碼如下

for (shift = 0; !((u | v) & 1); shift++) {
    u /= 2, v /= 2;
}
  1. If x is even and y is odd, gcd(x,y) = gcd(x/2,y)
  2. On similar lines, if x is odd and y is even, then gcd(x,y) = gcd(x,y/2). It is because 2 is not a common divisor.

上述敘述則表達，如果兩數還有任一個是 2 的倍數的話，可以直接把該數的因數 2 除掉，且結果不會改變，對應的題目程式碼如下

while (!(u & 1))
    u /= 2;
do {
    while (!(v & 1))
        v /= 2;

最後則是輾轉相除法的實作，利用連續的減法直到餘數為 0










    if (u < v) {
        v -= u;
    } else {
        uint64_t t = u - v;
        u = v;
        v = t;
    }
} while (COND);
return RET;

分析到這，大致已經了解整個程式邏輯，首先 COND 為結束迴圈的條件，從上述的第 2 行和第 6 行，可以看到以下的特性

  • 如果 u < v ， 則 v -= u
  • 如果 u ≥ v ，則 v = u - v 由此可知 v 為每次迭代所產生的餘數，因此可以得知 COND = v 而 u 就是最大公因數，還要記得前面共同的公因數 2shift ，因此可以得知 RET = u << shift

透過 __builtin_ctz 改寫 GCD

參考 6.59 Other Built-in Functions Provided by GCC 裡有關於 __builtin_ctz() 的敘述，可以得知 __builtin_ctz() 回傳從 LSB 開始往左數，遇到第一個 1 bit 前一共有幾個 0 bit ， x = 0 則是未定義的情況

Built-in Function: int __builtin_ctz (unsigned int x) → Returns the number of trailing 0-bits in x, starting at the least significant bit position. If x is 0, the result is undefined.

以下為改寫的 gcd 程式碼

uint64_t gcd64_ctz(uint64_t u, uint64_t v)
{
    if (!u || !v) return u | v;
    // 如果兩數都是偶數的話，則可以先將公因數 2 提取出來
    int shift = __builtin_ctz(u | v);
    u >>= shift;
    v >>= shift;
    // 如果兩數還有任一個是 2 的倍數的話，可以直接把該數的因數 2 除掉
    u >>= __builtin_ctz(u);
    do {
        v >>= __builtin_ctz(v);
        if (u < v) {
            v -= u;
        } else {
            uint64_t t = u - v;
            u = v;
            v = t;
        }
    } while (v);
    return u << shift;
}

接著可以開始分析兩者之間的效能

首先實作隨機產生 64 bit 無號數的程式碼

uint64_t randu64()
{
    uint64_t res = 0;
    for (int i = 0; i < 64; i++) {
        res = (res << 1) | (rand() & 1); 
    }
    return res;
}

接著使用 gettime 計算時間，這邊新增以下的測試程式

  • 測試 50 次
  • 每次取隨機數 1000000 次後將分別將時間加總起來
int main(void)
{
    struct timespec start, end;
    long long res1 = 0, res2 = 0;
    srand(time(NULL));
    // 執行 50 次
    for (int i = 0; i < 50; i++) {
        // 量測取隨機數 1000000 次後計算 GCD 所花時間的總和
        for (int j = 0; j < 1000000; j++) {
            uint64_t a = randu64();
            uint64_t b = randu64();
            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &start);
            gcd64(a, b);
            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &end);
            res1 += elapse(&start, &end);
            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &start);
            gcd64_ctz(a, b);
            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &end);
            res2 += elapse(&start, &end);
        }
        printf("%lld %lld\n", res1, res2);
        res1 = 0;
        res2 = 0;
    }
    return 0;
}

接著由於在 Homework3 fibdrv 的環境設定裡，已經將 CPU 0 設定為待命，這邊的測試就由 CPU 0 執行，輸入命令 taskset 0x1 ./problem3.out > out ，以下為部份輸出結果

gcd       gcd_ctz
577441660 242252937
591998041 247926236
604110268 251940484
576337952 241640778
578478482 242367267
571407680 239577407
576539913 241481436
575380717 241031820
582932782 244638676
574498365 240903752
575173008 241394324

可以看到 gcd_ctz 明顯比 gcd 快了非常多，使用上述的第一筆資料做計算， gcd_ctz 約為 gcd 的 41.9528％ ，提昇了將近 6 成的效能

接著使用 gnuplot 作圖

測驗 4

延伸問題:

  • 解釋上述程式運作原理，並舉出這樣的程式碼用在哪些真實案例中;
  • 設計實驗，檢驗 ctz/clz 改寫的程式碼相較原本的實作有多少改進？應考慮到不同的 bitmap density;
  • 思考進一步的改進空間; 閱讀 Data Structures in the Linux Kernel 並舉出 Linux 核心使用 bitmap 的案例;

程式運作原理

分析以下程式碼

#include <stddef.h>
size_t improved(uint64_t *bitmap, size_t bitmapsize, uint32_t *out)
{
    size_t pos = 0;
    uint64_t bitset;
    for (size_t k = 0; k < bitmapsize; ++k) {
        bitset = bitmap[k];
        while (bitset != 0) {
            uint64_t t = EXP6;
            int r = __builtin_ctzll(bitset);
            out[pos++] = k * 64 + r;
            bitset ^= t;                           
        }
    }
    return pos;
}

思考思路

  • 這題的思考主要是來自題目的提示

    其中第 9 行的作用是找出目前最低位元的 1，並紀錄到 t 變數。

  • 得知題目是要找到目前最低位元的 1 ，接著參考老師給的連結 Introduction to Low Level Bit Hacks ，裡頭剛好有提到方法，如以下所示

    Bit Hack #7. Isolate the rightmost 1-bit. y = x & (-x)

    ​​    10111100  (x)
​​  & 01000100  (-x)
​​    --------
​​    00000100

  • 由上述特性，可以得到 EXP6 = bitset & -bitset

接著可以開始分析程式碼，最關鍵的部份如下

while (bitset != 0) {
    // 將最低位元為 1 的數值儲存到 t
    uint64_t t = bitset & -bitset;
    // 回傳由低位往高位遇上連續多少個 0 才碰到 1
    int r = __builtin_ctzll(bitset);
    // 將計算出的位置存到 out 裡
    out[pos++] = k * 64 + r;
    // 把最低位元為 1 的 bit 改為 0
    bitset ^= t;
}

這邊使用 uint64_t bitmap[1] = 255 做測試

int main(void)
{
    uint64_t bitmap[1] = {0xFF};
    uint32_t* out = malloc(8 * sizeof(uint32_t));
    size_t pos = improved(bitmap, 1, out);
    for(size_t i = 0; i < pos; i++) {
        printf("%d\n", *(out + i));
    }
    free(out);
    return 0;
}

以下為結果，可以看到 255 為 1 的 bit 其位置都被儲存了起來，同時也可以得知，如果一個 bitmap 的 0 越多，則 improve 的執行會越快，呼應題目的敘述

若 bitmap 越鬆散 (即 1 越少)，於是 improved 的效益就更高。

gcc -O1 -g -Wall -Werror -IInclude -o problem4.out quiz2/problem4.c -lm
./problem4.out
0
1
2
3
4
5
6
7

相關應用

根據老師給的連結 bit array ，這邊可以找到一些應用

  • Priority queue

    Bit arrays are used for priority queues, where the bit at index k is set if and only if k is in the queue; this data structure is used, for example, by the Linux kernel, and benefits strongly from a find-first-zero operation in hardware.

在 Linux kernel 搜尋 bitmap 後，可以找到一些和 bitmap 有關的檔案，其中有一個標頭檔都是 bitmap 的應用 ，位於 include/linux/bitmap.h ，以下節錄一些程式碼

 *  bitmap_zero(dst, nbits)                     *dst = 0UL
 *  bitmap_fill(dst, nbits)                     *dst = ~0UL
 *  bitmap_copy(dst, src, nbits)                *dst = *src
 *  bitmap_and(dst, src1, src2, nbits)          *dst = *src1 & *src2
 *  bitmap_or(dst, src1, src2, nbits)           *dst = *src1 | *src2
 *  bitmap_xor(dst, src1, src2, nbits)          *dst = *src1 ^ *src2
 *  bitmap_andnot(dst, src1, src2, nbits)       *dst = *src1 & ~(*src2)
 *  bitmap_complement(dst, src, nbits)          *dst = ~(*src)
 *  bitmap_equal(src1, src2, nbits)             Are *src1 and *src2 equal?
 *  bitmap_intersects(src1, src2, nbits)        Do *src1 and *src2 overlap?
 *  bitmap_subset(src1, src2, nbits)            Is *src1 a subset of *src2?
 *  bitmap_empty(src, nbits)                    Are all bits zero in *src?
 *  bitmap_full(src, nbits)                     Are all bits set in *src?
 *  bitmap_weight(src, nbits)                   Hamming Weight: number set bits
 *  bitmap_set(dst, pos, nbits)                 Set specified bit area
 *  bitmap_clear(dst, pos, nbits)               Clear specified bit area

測驗 5

延伸問題:

  • 解釋上述程式碼運作原理，指出其中不足，並予以改進 例如，判斷負號只要寫作 bool isNegative = numerator < 0 ^ denominator < 0; 搭配研讀 The simple math behind decimal-binary conversion algorithms
  • 在 Linux 核心原始程式碼的 mm/ 目錄 (即記憶體管理) 中，找到特定整數比值 (即 fraction) 和 bitwise 操作的程式碼案例，予以探討和解說其應用場景

參考166. Fraction to Recurring Decimal

程式運作原理

首先，以下為題目用到儲存餘數的 linked list

/* Rem 結構 */
struct rem_node {
    int key;   // 紀錄餘數
    int index; // 紀錄位數
    struct list_head link;
};

程式碼主要架構是將所有的節點接在 hash table ，這樣在搜尋節點時速度較快

// 在這裡建立 hash table
size = 1333;
// 開啟大小為 size 的 hash table
struct list_head *heads = malloc(size * sizeof(*heads));
for (int i = 0; i < size; i++)
    INIT_LIST_HEAD(&heads[i]);

接著在每次迭代的時候會先找餘數是否已經重複，如以下程式碼，其中 pos 表示這是第幾位小數

int pos = find(heads, size, remainder);
// 出現無窮小數的情況
if (pos >= 0) {

如果沒有重複餘數的話，直接創一個資料並加在 hash table

struct rem_node *node = malloc(sizeof(*node));
node->key = remainder; // 紀錄餘數
node->index = i; // 紀錄位數

list_add(&node->link, &heads[remainder % size]);

最後附上完整的程式碼分析結果

/* Rem 結構 */
struct rem_node {
    int key;   // 紀錄餘數
    int index; // 紀錄小數點位數
    struct list_head link;
};

/** 
 * @fn     - find
 * @brief  - 尋找資料 key 有沒有存在資料節點 rem_node 上
 * 
 * @attention 函式邏輯
 * 1. 利用 hash function 算出 hash table (hash) 的位置，這邊的 hash function 為 key % size
 * 2. 走訪整個 heads[hash] 接著的 linked list ，尋找資料 num 有沒有存在
 * 3. 如果存在則回傳該節點成員 index ，沒有則回傳 -1
 */
static int find(struct list_head *heads, int size, int key)
{
    struct rem_node *node;
    // 利用 hash function 算出 hash table (hash) 的位置
    int hash = key % size;
    // 走訪整個 heads[hash] 接著的 linked list，尋找資料 num 有沒有存在
    list_for_each_entry (node, &heads[hash], link) {
        if (key == node->key)
            // 如果存在則回傳該節點成員 index
            return node->index;
    }
    // 沒有則回傳 -1
    return -1;
}

/** 
 * @fn     - fractionToDecimal
 * @brief  - 回傳兩整數除完的數值 (利用字串表示小數)
 * 
 * @attention 函式邏輯
 * 1. 如果 denominator 為 0，回傳 '/0'
 * 2. 如果 numerator 為 0，回傳 "0"
 * 3. 如果 denominator 或 numerator 有負數，則先變回正數
 * 4. 先做第一次的除法，處理整數位，如果沒有餘數則直接回傳
 * 5. 開啟大小為 size 的 hash table
 * 6. 開始進行除法計算
 * 7. 如果整除則會離開迴圈，並把 decimal 的資料複製給 p
 * 8. 如果出現無限迴圈會進入 if(pos >= 0)
 */
char *fractionToDecimal(int numerator, int denominator)
{
    int size = 1024;
    char *result = malloc(size);
    char *p = result;
    
    // 如果 denominator 為 0，回傳 '/0'
    if (denominator == 0) {
        result[0] = '\0';
        return result;
    }
    
    // 如果 numerator 為 0，回傳 "0"
    if (numerator == 0) {
        result[0] = '0';
        result[1] = '\0';
        return result;
    }

    /* using long long type make sure there has no integer overflow */
    long long n = numerator;
    long long d = denominator;

    /* deal with negtive cases */
    if (n < 0)
        n = -n;
    if (d < 0)
        d = -d;

    bool sign = (float) numerator / denominator >= 0;
    if (!sign)
        *p++ = '-';
    
    // 先做第一次的除法，處理整數位
    long long remainder = n % d;
    long long division = n / d;

    sprintf(p, "%ld", division > 0 ? (long) division : (long) -division);
    if (remainder == 0)
        return result;

    p = result + strlen(result);
    *p++ = '.';

    /* Using a map to record all of reminders and their position.
     * if the reminder appeared before, which means the repeated loop begin,
     */
    char *decimal = malloc(size);
    memset(decimal, 0, size);
    char *q = decimal;

    size = 1333;
    // 開啟大小為 size 的 hash table
    struct list_head *heads = malloc(size * sizeof(*heads));
    for (int i = 0; i < size; i++)
        INIT_LIST_HEAD(&heads[i]);

    // 開始進行除法計算
    for (int i = 0; remainder; i++) {
        int pos = find(heads, size, remainder);
        // 出現無窮小數的情況
        if (pos >= 0) {
            // 先加上不是循環小數的部份
            while (pos-- > 0)
                *p++ = *decimal++;
            *p++ = '(';
            // 加上循環小數的部份 用 "()" 括住
            while (*decimal != '\0')
                *p++ = *decimal++;
            *p++ = ')';
            *p = '\0';
            return result;
        }
        struct rem_node *node = malloc(sizeof(*node));
        node->key = remainder; // 紀錄餘數
        node->index = i; // 紀錄位數

        list_add(&node->link, &heads[remainder % size]);
        *q++ = (remainder * 10) / d + '0'; // 新的小數點位數
        remainder = (remainder * 10) % d;  // 新的餘數
    }
    // 已經整除
    strcpy(p, decimal);
    return result;
}

可改進的地方

首先發現判斷是否為負數的程式碼使用了 branch ，這邊的想法是不管怎麼樣都要使用正數轉換，不如就直接用絕對值的方式做修改，參考以前學員的筆記

/* deal with negtive cases */
- if (n < 0)
-     n = -n;
- if (d < 0)
-     d = -d;
+ int mask = n >> 31;
+ n = (n + mask) ^ mask;
+ mask = d >> 31;
+ d = (d + mask) ^ mask;

接著是延伸問題有提示到的部份

判斷負號只要寫作 bool isNegative = numerator < 0 ^ denominator < 0;

- bool sign = (float) numerator / denominator >= 0;
+ bool sign = (numerator < 0) ^ (denominator < 0);

最後就是記憶體釋放的問題，這邊實作了函式 free_ht() 用來釋放 hash table

static void free_ht(struct list_head *heads, int size)
{
    struct rem_node *node, *next;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        list_for_each_entry_safe (node, next, &heads[i], link) {
            list_del(&node->link);
            free(node);
        }
    }
    free(heads);
}

接著修改函式 fractionToDecimal()

    // 開始進行除法計算
    for (int i = 0; remainder; i++) {
        int pos = find(heads, size, remainder);
        // 出現無窮小數的情況
        if (pos >= 0) {
+           q = decimal;
            // 先加上不是循環小數的部份
            while (pos-- > 0)
                *p++ = *decimal++;
            *p++ = '(';
            // 加上循環小數的部份 用 "()" 括住
            while (*decimal != '\0')
                *p++ = *decimal++;
            *p++ = ')';
            *p = '\0';
+           free_ht(heads, size);
+           free(q);
            return result;
        }
        struct rem_node *node = malloc(sizeof(*node));
        node->key = remainder; // 紀錄餘數
        node->index = i; // 紀錄位數

        list_add(&node->link, &heads[remainder % size]);
        *q++ = (remainder * 10) / d + '0'; // 新的小數點位數
        remainder = (remainder * 10) % d;  // 新的餘數
    }
    // 已經整除
    strcpy(p, decimal);
+   free_ht(heads, size);
+   free(decimal);
    return result;
}

至於 result = malloc(size) 的部份，在主函式 main() 進行釋放記憶體的動作

void Comput_and_Display(int numerator, int denominator)
{
    char* res = fractionToDecimal(numerator, denominator);
    printf("res = %s\n", res);
    free(res);
}

int main(void)
{
    Comput_and_Display(1, 2);
    Comput_and_Display(4, 333);
    return 0;
}

以下為輸出結果，使用的範例參考 166. Fraction to Recurring Decimal

gcc -O1 -g -Wall -Werror -IInclude -o problem5.out quiz2/problem5.c -lm
./problem5.out
res = 0.5
res = 0.(012)

測驗 6

延伸問題:

  • 解釋上述程式碼運作原理
  • 在 Linux 核心原始程式碼中找出 __alignof__ 的使用案例 2 則，並針對其場景進行解說
  • 在 Linux 核心源使程式碼找出 ALIGN, ALIGN_DOWN, ALIGN_UP 等巨集，探討其實作機制和用途，並舉例探討 (可和上述第二點的案例重複)。思索能否對 Linux 核心提交貢獻，儘量共用相同的巨集

程式運作原理

首先解析以下的巨集

#define ALIGNOF(t) \
    ((char *)(&((struct { char c; t _h; } *)0)->M) - (char *)X)
  1. ((struct { char c; t _h; } *)0 表示將地址 0x0 轉型成 (struct { char c; t _h; } *) 的型態
  2. (&((struct { char c; t _h; } *)0)->M) 表示取得成員 M 的地址
  3. (char *)(&((struct { char c; t _h; } *)0)->M) 將 M 的地址轉型成 (char *) ，目的在於等等計算時會以 1 為單位做計算
  4. (char *)(&((struct { char c; t _h; } *)0)->M) - (char *)X 最後減去 X ，得到 alignment

這邊的話，M 很明顯不是 c 就是 _h ，由於這邊如果是選 c 的話， (char *)(&((struct { char c; t _h; } *)0)->c 這整串永遠都會是 0 ，因此答案只能是 _h

得知了 M 為 _h ， 我們可以得知 (char *)(&((struct { char c; t _h; } *)0)->_h) ，為成員 _h 的地址，如果要計算需要的 alignment ，只要將該地址減去 struct 的 base address 即可，接著，可以看到巨集以 0x0 作為 struct 的 base address ，因此 X 可以合理推論為 0

M = _h X = 0

測驗 7

延伸問題:

程式運作原理

在解題之前可以先大致看一下整個程式運作的流程，首先就從變數 M3 M5 及函式 is_divisible() 開始

/** 
 * @fn     - is_divisible
 * @brief  - 回傳是否可以整除，可以回傳 true, 反則回傳 false
 */
static inline bool is_divisible(uint32_t n, uint64_t M)
{
    return n * M <= M - 1;
}

static uint64_t M3 = UINT64_C(0xFFFFFFFFFFFFFFFF) / 3 + 1; // 0x5555555555555556
static uint64_t M5 = UINT64_C(0xFFFFFFFFFFFFFFFF) / 5 + 1; // 0x3333333333333334

單從函式 is_divisible() 的實作，不好看出為什麼要這麼寫，不過搭配上 M3 和 M5 的宣告，我們可以得出題目是如何判斷是否整除

M3 和 M5 的手法一樣，都是用來分別判斷是否能被 3 和 5 整除

分析結果

  • M3 除以 3 表示以 3 為循環，而 +1 是為了要讓乘上 3 的倍數時會 overflow ，而產生一個很小的數
  • M5 除以 5 表示以 5 為循環，而 +1 是為了要讓乘上 5 的倍數時會 overflow ，而產生一個很小的數
  • 搭配以上兩點，我們可以得知 is_divisible() 的實作手法，利用 overflow 判斷是否可以整除
    1. 當 M 為 M3 時，如果 n * M 產生 overflow 時，表示 n 可以被 3 整除，此時 n * M 是一個很小的數，因此 n * M <= M - 1 也就成立，回傳 true
    2. 當 M 為 M5 時，如果 n * M 產生 overflow 時，表示 n 可以被 5 整除，此時 n * M 是一個很小的數，因此 n * M <= M - 1 也就成立，回傳 true
    3. 其他的情況則回傳 false

接著可以來解題啦，開始分析 bitwise 的實作

發現這邊的題目有誤

- strncpy(fmt, &"FizzBuzz%u"[(9 >> div5) >> (KK3)], length);
+ strncpy(fmt, &"FizzBuzz%u"[(8 >> div5) >> (KK3)], length);

void bitwise(void)
{
    for (size_t i = 1; i <= 100; i++) {
        uint8_t div3 = is_divisible(i, M3);
        uint8_t div5 = is_divisible(i, M5);
        unsigned int length = (2 << div3) << div5;

        char fmt[9];
        /** 
         * (8 >> div5) >> (div3 << 2) 有四種可能
         * 1, 為 0 時，如果 length 為 8 ，印出 FizzBuzz
         * 2. 為 0 時，如果 length 為 4 ，印出 Fizz
         * 3. 為 4 時，印出 Buzz
         * 4. 為 8 時，此時 fmt = "%u"，並利用 printf(fmt, i) 印出 i (當前數字)
         */
        strncpy(fmt, &"FizzBuzz%u"[(8 >> div5) >> (div3 << 2)], length);
        fmt[length] = '\0';

        printf(fmt, i);
        printf("\n");
    }
}

從整個程式邏輯來看可以推論出 length 為需要印出的字串長度，加上題目的敘述對應函式的實作

整數格式字串 "%u" : 長度為 2 B "Fizz" 或 "Buzz" : 長度為 4 B "FizzBuzz" : 長度為 8 B

string literal: "fizzbuzz%u"
        offset:  0   4   8

可以間單歸類出下面的表格

div3 div5 length (bytes) (8 >> div5) >> (KK3)
0 0 2 8
0 1 4 4
1 0 4 0
1 1 8 0

有了以上表格可以得到題目的答案

KK1 = div3 KK2 = div5 KK3 = div3 << 2 但經過觀察後，發現 KK1 和 KK2 對調也是可行的

參考資料

x86 and amd64 instruction reference

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