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title: "語言與維度的限制"
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{%hackmd @RintarouTW/About %}

(本文中皆以右手定則來描述轉動角度)

# 語言與維度的限制

$\vec{C} = \vec{A}\times\vec{B}$，究竟是什麼造成了 $C_y = -A_x B_z + B_x A_z$？

缺乏幾何的純代數形式思考沒問題嗎？

## 形式化思考之優與劣
* 避免直覺盲點，排列組合探究所有可能，更高維度抽象化思考。
* 但缺少直覺，又如瞎子摸象，無趣而死記硬背，理解尚不能，又談何開創？
* 現有純數學表達式本身也會造成盲點，例如 x, y, z 軸本身並無差別，何以繞 y 軸旋轉時正負相反？本來 $x\rightarrow y\rightarrow z\rightarrow x$ 為一完整循環(如下圖)，正是現有的矩陣/方程式表達式限制了 x 與 z 的先後順序而錯置，誤導了 y 軸似有特別之處的假像與誤解。

<center>
<img src="https://i.imgur.com/t0h9SDA.png"/>
</center>

## 計算工具的極限

$1000!/998!$ 是普通電腦沒法直接算給你的，但人腦卻能繞開死算法輕鬆算出，差別正是思考。

## 是思考還是計算？

計算只是思考的一部分，而不該是思考的大部分，在觀察、歸納、推論、驗證，探明每一步思考的邏輯與原由，才更應該是數學的本質，其實不只數學如此，所有科學也都如此。

另外，能夠證明是對的，並不等於知道為什麼是對的。
就像球丟上去人人皆知會落下來，也能用實驗證明是對的，但不代表人人都知道為什麼球丟上去會落下來。

# 維度 (Dimension)

想要了解維度究竟是什麼，最好的方法莫過於從根本理解二項式定理。

## Pascal 三角與二項式定理(Binomial Theorem)

$\begin{aligned}(x + 1)^2
&= {\color{red}{(x + 1)}} \times {\color{blue}{(x + 1)}}\\
&= {\color{red}{(x + 1)}}\times {\color{blue}{x}} + {\color{red}{(x + 1)}}\times {\color{blue}{1}}\\
&= {\color{red}{(x + 1)}}\times {\color{blue}{x}} + {\color{red}{(x + 1)}}\\
&= {\color{red}{(x + 1)\times x + (x + 1)}}
\end{aligned}$

$\begin{aligned} (x + 1)^3
&= (x + 1)^2\times {\color{blue}{(x + 1)}}\\
&= [{\color{red}{(x + 1)\times x + (x + 1)}}] \times {\color{blue}{(x + 1)}} \\
&= [{\color{red}{(x + 1)\times x + (x + 1)}}]\times {\color{blue}{x}} + [{\color{red}{(x + 1)\times x + (x + 1)}}]\times \color{blue}{1}\\
&= [{\color{red}{(x + 1)\times x + (x + 1)}}]\times {\color{blue}{x}} + [{\color{red}{(x + 1)\times x + (x + 1)}}]
\end{aligned}$

依此類推觀察規律，不難發現，
$$
\begin{aligned}
(x+1)^n &= (x+1)^{n-1}(x+1)\\
&= (x+1)^{n-1}\times x + (x+1)^{n-1} \times 1\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(x+1)^n = S_n &= S_{n-1}\times x + S_{n-1}\times 1\\
&= S_{n-1}\times x + S_{n-1}\\
\end{aligned}
$$
$$
令\ S_{n} = a_{n}x^{n}+...+a_1x^1+a_0x^0\\[3ex]
\begin{aligned}S_{n+1}
&= & x\times(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0x^0) & \\
&+ & (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0x^0) & \\ \hline
&= &a_nx^{n+1}+ (a_{n-1}x^{n}+a_{n-2}x^{n-1}+\cdots+a_0x^1) & \\
&+ &(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1) & + a_0x^0&\end{aligned}\\
= a_nx^{n+1}+(a_n+a_{n-1})x^n+(a_{n-1}+a_{n-2})x^{n-1}+...+(a_1+a_0)x^1+a_0x^0
$$

可以注意到，n + 1 次可以用 n 次的結果進位後再加本身的概念推導出來，例如：
$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1^2$
$$
\begin{aligned}
(x+1)^3
&= & x & \times & ( & x^2 + 2x + 1^2)\\
&+ & & & ( & x^2 + 2x + 1^2)\\
\hline
& & & & x^3 + 2 & x^2 + x \\
& & & & & x^2 + 2x + 1^2 \\
\hline
&= & & & x^3 + 3 & x^2 + 3x + 1^2
\end{aligned}
$$
$$ 再簡化如下規律\\
\begin{aligned}
& & & 1 1\\
& + & 1 & 1\\ \hline
& & 1 & 2 1\\
& + & 1 2 & 1\\ \hline
& & 1 3 & 3 1\\
& + & 1 3 3 & 1\\ \hline
& & 1 4 6 & 4 1\\
&&\vdots\\
&&(依此類推)
\end{aligned}
$$

數學裡其實有不少東西一開始根本沒人在意，然而卻有許多偉大的數學都是從這看似不起眼的嘗試、整理、歸納中推演而出的。

關於二項式，其實還有許多特性，牛頓整理過、Euler 亦然，連

$$
e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$$

也與此脫不了關係，光是[研究二項式](/ptUX-95qQsa00Iv8CWNw_A)其實可以學到排列 (permutation) 和組合 (combination)，從排列的結果可知為什麼二項式的係數合為 $2^n$，從「組合」的過程也可了解為什麼係數是對稱的，而從 n 次方又更能理解為什麼微分裡
$$
\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} = nx^{n-1}
$$

但我們的數學教育只在意計算，而非觀察、歸納、推演，實在是讓人有如入寶山空手而回，捨本逐末之嘆。

# 錯覺
## 上下、左右、前後
你的上下是地球另一端人的「下上」，你的前後左右是正面對你的人的「後前右左」。

## 鏡像
鏡像並沒有左右巔倒，光並不會區分你的上下左右。

## 不同維度中的比例數字
* $100^3 = 1,000,000$
* $1,000^2 = 1,000,000$
* $1,000,000^1 = 1,000,000$

## 數字單位造成的假像
* 西方習慣, $10^3$ 為一組，(個、十、百),(千、十千，百千),(million, 10 million, 100 million),(billion, 10billion, 100billion) etc...
* 東方習慣, $10^4$ 為一組，(個、十、百、千)(萬，十萬，百萬，千萬)(億，十億，百億，千億)（兆，十兆，百兆，千兆）etc...
* 公制：米($10^0m$)，毫米($10^{-3}m/mm$)，微米($10^{-6}m/\mu m$)，奈米($10^{-9}m/nm$)，皮米($10^{-12}m/pm$)，飛米($10^{-12}m/fm$)，阿米($10^{-15}m/am$)，介米($10^{-18}m/zm$)，攸米($10^{-21}m$/ym)
* 人類技術從毫米到奈米只走了 $10^{-6}$，奈米之下果然如費曼所言 $-$ *There’s plenty of room at the bottom.*
* 大陽是地球百萬倍大，究竟是多大？其實長寬高各為 100 倍，體積就是百萬倍，也就是說假設地球直徑為 1 公分，太陽直徑則約為 1 公尺，有了正確的幾何比例概念，才不容易被動輒百萬倍數字迷惑。

# 極限 ($x = 0$ 與 $x\rightarrow0$)
* 無限多個 0 還是 0
* $x\rightarrow0$ 卻不是 0，有與無之間又有些什麼？
* $0 \rightarrow 1$ 之間足以對應 $1 \rightarrow \infty$
* $\lim\limits_{\theta\to 0}sin\theta=0$
* $\lim\limits_{\theta\to 0}cos\theta=1$
* $\lim\limits_{\theta\to 0}\frac{sin\theta}{\theta}=1$
半弦長與半弧長近乎相等
* $\lim\limits_{\theta\to 0}\frac{cos\theta-1}{\theta}=0$

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