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title: "泰勒展開式 ＆ 級數 (Taylor Series)"
path: "泰勒展開式 ＆ 級數 Taylor Series"
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# 泰勒展開式 & 級數 (Taylor Series)

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$$
\begin{aligned}
\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n &, where\ f^{(n)}\ 為\ 函數 f\ 在 a 點之\ n 次導數\\
&\ 當\ a = 0 時, 則稱為麥克羅琳級數\ (Maclaurin\ series)
\end{aligned}
$$

簡而言之就是一種

:::info
以多項式圖形逼近與描述其它連續函數的方法。
:::

**為什麼需要用多項式來描述其它連續函數？**

因為不論是多快的電腦實際上也無法計算 $\infty$，數學式子裡我們可以很輕鬆寫下 $\infty$，但電腦的運算是有限的，實際上我們在電腦上所有看到的圖形全都是「近似」值，包括最簡單的一條斜線，在有限解析度的螢幕上由近似值所呈現出來，正如沒有 $\frac{2}{3}$ 個像素 (pixel) 可用一樣，這也是離散數學的重要之處。而泰勒展開式也是相同的道理，在逼近的同時，也能計算誤差，數學則是確保誤差在一定範圍內的重要方法。

數無窮，人有窮。

## Plot (用數學來繪圖)

### 控制直線

$$
y = x
$$

可以畫成一斜線，我們想讓這條斜線平移，可以改成

$$
y = (x + b)
$$

就能讓原本的斜線向左平移 b 個單位。

若我們想控制這條斜線的斜度(率)，也可以改成

$$
y = ax
$$

來達成。組合起來，則可以寫成

$$
y = ax + b
$$

以這種型式，我們便能以 $a, b$ 的大小正負來控制這條線了。
如此簡單組合的型式，也就是多項式。

### 控制拋物線

同理，$y = x^2$ 是一條(倒)拋物線，我們想控制它也可以寫成

$$
\begin{aligned}
y &= a(x - b)^2\\
展開後\ y &= ax^2 - 2abx + ab^2\\
或寫成一般式\ y &= Ax^2 + Bx + C
\end{aligned}
$$

同理更高次的多項式也可以畫成各種基本圖形。

建議利用 [GeoGebra](https://www.geogebra.org/) 去試試，嘗試輸入以上例子，並調整 A, B, C，看到繪出的圖形會更有體會，這是現代科技的美妙之一，從前的人八成只能靠想像，現在只要敲敲鍵盤就能看到結果了。

## 由簡入繁

除了簡單的平移，控制大小外，還能以 $x, y$ 符號互換的方式來達到以 $y=x$ 這條線對稱的結果。比如原本 $y = x^2$，我們只要改成 $x = y^2$ 就能得到對稱的圖形了。

由以上例子知道，我們可以透過各種組合多項式與調整各項參數的方式來繪出更複雜的圖形。

於是乎，有沒有一種可能，那些連續函數的圖形也都能藉由多項式的方式來畫出來呢？
例如：$y = \sin{x},\ y=\cos{x},\ y = e^x$ 能否用以下多項式通用型式

$$
y = a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+c
$$

來表示或逼近呢？

答案是肯定的，這也是泰勒多項式的由來。

## 越細越好

既然要畫的像當然是越細越好，數學上最細的莫過於微分了，也就是說如果這些連續函數能夠被一直微分，就有二階、三階甚至無限多階導數。而我們只要將我們的多項式的同階導數弄成一樣，自然就像了，同一點的變化率都相同，又豈有不像之理？

$$
\begin{aligned}f(x) = \sin{x} \implies f^1(x) &= \cos{x}\\
f^2(x) &= -\sin{x}\\
f^3(x) &= -\cos{x}\\
f^4(x) &= \sin{x} = f(x)
\end{aligned}
$$

$f^5(x) = f^1(x)$，如此重覆循環無止。

假設我們 $x$ 取 0 來逼近 (即麥克羅琳級數),

$$
\begin{aligned}
f(0) &= sin(0) &= 0\\\\
f^1(0) &= cos(0) &= 1\\
f^2(0) &= -sin(0) &= 0\\
f^3(0) &= -cos(0) &= -1\\
f^4(0) &= sin(0) &= 0
\end{aligned}
$$

可知僅有奇次導數非 0，且變化很單純，一次為 +1，三次為 -1，五次為 +1，七次為 -1，不停反覆。我們即可以令一 $g(x)$ 來逼近，如下：

$$
g(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots
$$

其中各項之所以要除以 k! (k 為項次)，是因為 $x^k$ 微分後會變成 $kx^{k-1}$，再微又會變成 $k(k-1)x^{k-2}$，直到 $(k!)x^0$，而我們只想要 $f^k(0)$ 做為我們該項次的係數，則必須反除 $k!$ 以消除對係數的影響。

$\cos{x}$ 也是相同道理，單從圖形上看，$\cos$ 和 $\sin$ 只有移位的差別，但多次導數結果卻是偶次導數才會是 1 或 -1，與 $\sin$ 相反，$g(x)$ 結果如下：

$$
g(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots
$$

###### tags: `math` `Taylor` `plot`