# OSA Beispiele

>[name=PTC]
>Kommentar: I have never used this so far, but this sounds like a good way to go forward
>
In diesem kollaborativen Markdown File können die Beispiele für OSA gemeinsam editiert und erstellt werden.

Innerhalb des Markdown-Files kann jeder Kommentare zu Beispielen hinterlassen, mit folgender Syntax:
> [name=Peter Poier]
> Kommentar...

Zusätzlich ist es möglich in dem Bereich wo der Markdown Text gerendert, also *schön* dargestellt, wird, Kommentare zu hinterlassen und theoretisch auch Diskussionen zu führen: Dazu einfach eine Textpasage markieren und dann auf den Kommentar-Button klicken. Wenn man sich nicht einloggt bekommt man dabei aber nur einen zufälligen Namen zugewiesen. Diese Kommentare und Diskussionen sind dann nicht Teil vom Markdown Text und werden nur online gespeichert.

$L^aT_eX$-Formeln werden mit der üblichen Syntax unterstützt:
$a^2+b^2=c^2$

Hinweisfelder können wie folgt definiert werden:
:::info
:bulb: Sollte es zu seltsamen Problemen mit dem Editor kommen, hilft es eventuell die Seite im Browser neu zu laden (üblicherweise mit der Funktionstaste `F5`).
:::

Für detaillierte Informationen darüber, was im Markdown Format auf HackMD alls möglich ist, gibt es diesen umfassenden [Überblick](https://hackmd.io/features?both). Wenn man auf `?` oben klickt, bekommt man außerdem eine Kurzübersicht zur wichtigsten Syntax.

## Schwarzes Loch
> [name=Peter Poier]
> Beispiel 3 von Stefan Fredenhagen

### Aufgabenstellung

Ein schwarzes Loch besitzt einen Horizont, jenseits dessen nicht einmal Licht nach außen dringen kann. Trotzdem gehen wir davon aus, dass ein schwarzes Loch, auf Grund quantenmechanischer Prozesse, eine schwache Strahlung (_Hawking-Strahlung_) aussendet, durch die es nach und nach Energie verliert.

Für ein nichtrotierendes schwarzes Loch entspricht die Strahlung der Wärmestrahlung eines Körpers mit der Temperatur $T=\frac{\hbar c^3}{8\pi G k M}$ ($\hbar=\frac{h}{2\pi}$, $h$: Planksches Wirkungsquantum, $M$: Masse des schwarzen Lochs, $c$: Lichtgeschwindigkeit, $k$: Boltzmann-Konstante), das entspricht einer Strahlung mit einer Leistung pro Fläche von $j=\sigma T^4$ ($\sigma$: Stefan-Boltzmann-Konstante, $\sigma=\frac{\pi^2 k^4}{60c^2\hbar^3}$).

Die Oberfläche des Horizonts ist $A=16\pi \frac{G^2 M^2}{c^4}$.

1. Drücke die Leistung $P$ durch die Masse $M$ aus.

2. Durch die Abstrahlung verliert das schwarze Loch wegen $E=M c^2$ Masse, die zeitliche Ableitung der Masse erfüllt daher $\dot{M} = -\frac{1}{c^2} P$. Mache den Ansatz $M(t) = M_0 \left(1-\frac{t}{t_L}\right)^\beta$, setze ihn in die obige Gleichung ein und bestimme daraus die Konstanten $t_L$ und $\beta$.

### Lösung

#### Aufgabe 1

$P= j A = \sigma T^4 16 \pi \frac{G^2 M^2}{c^4} = \sigma \frac{\hbar^4 c^8}{256\pi^3 G^2 k^4} \frac{1}{M^2} = \frac{\hbar c^6}{256 \cdot 60 \pi G^2} \frac{1}{M^2}$

#### Aufgabe 2
$M(t)= -M_0 \frac{1}{t_L} \beta \left(1-\frac{t}{t_L}\right)^{\beta -1}$
$-\frac{1}{c^2} P = - \frac{\hbar c^4}{256 \cdot 60 \pi G^2} \frac{1}{M_0^2} \left(1-\frac{t}{t_L}\right)^{-2\beta}$

Vergleich liefert:

* $\beta-1=-2\beta \rightarrow \beta = 1/3$
* $\frac{M_0}{3 t_L} = \frac{\hbar c^4}{256\cdot 60 \pi G^2} \frac{1}{M_0^2} \rightarrow t_L = \frac{5120\pi G^2 M_0^3}{\hbar c^4}$

> [name=PTC] [proposal for multiple choice answers:] beta = 1; beta =1/3; beta cannot be determined;
>
> t_L proportional to M_0; t_L proportional to M_0^3; t_L cannot be determined
## Einstein Äquivalenzprinzip
> [name=Peter Poier]
> Beispiel 2b von Stefan Fredenhagen

### Aufgabenstellung

Eine Folge des *Einsteinschen Äquivalenzprinzip* ist, dass ein lokaler Beobachter in einem kleinen abgeschlossenen Labor Gravitationskräfte nicht von Scheinkräften unterscheiden kann: Ein Beobachter in einem Labor auf der Erde kann keinen Unterschied feststellen, zu einer Beobachterin in einem Raumschiff, das mit Erdbeschleunigung beschleunigt. Genauso kann ein Beobachter in einem frei fallenden Fahrstuhl keinen Unterschied zu einer Beobachterin in einem unbeschleunigten Raumfschiff feststellen.

Analysiere folgende Aussage:
> Ein Helium-Luftballon, der mit einer Schnur am Boden einer bremsenden Straßenbahn befestigt ist, erfährt wie alles andere eine Scheinkraft, die ihn nach vorne drückt. Daher bewegt er sich beim Bremsen nach vorne.


__Ist diese Aussage korrekt?__

> [name=PTC] [Clickable answers] Ja; Nein

### Lösung

Nein. Nach dem Einsteinschen Äquivalenzprinzip ist die Situation nicht zu unterscheiden von einer ruhenden, nach vorne geneigten Straßenbahn in einem homogenen Gravitationsfeld. In dieser Situation zeigt der Ballon nach oben, also aus Sicht der Straßenbahn nach hinten. Probier es aus!