# 大語言模型真的搞得懂人類的數學問題嗎？

作者： Jack OmniXRI 2024/10/31


今天剛好看了一個有趣的新聞[1]提到「**面試官問 3, 4, 5 組成最大數字是多少？ 博士神回答妙錄取**」，結果答案是「5的43次方 $5^{43} = 1.136*10^{30}$」，當然這是不用計算機的情況下最快的反應出的最佳答案，但如果仔細給計算機精算後會發覺最大數字應該是「3的(4的5次方)次方， $3^{(4^5)}$，即3的1024次方 $3^{1024} = 3.734*10^{488}$」才對，因為多了一個小括號就瞬間讓次方數達到最高。當然如果限制不能增加符號的話，那麼「4的53次方， $4^{53} = 8.112*10^{31}$」 才是最大值而不是「5的43次方」，所以這位面試官也不合格^-^。

以下我們就拿這個題目來問幾個LLM，包括Google Gemini, OpenAI ChatGPT, Claude, Perplexity, Microsoft Copilot，看看誰能答的比較好。依序分三次問下列問題。
1. 3，4,，5組成的最大數字是多少？
2. 如果這是腦筋急轉彎的問題，有更好的解法嗎？
3. 「3、4、5組成的最大數字」的答案好像不對，可以重新列出思考步驟，再給出正確答案嗎？

## Google Gemini

**Q：3，4,，5組成的最大數字是多少？**

A：這個問題很有趣，乍看之下似乎很簡單，但其實包含了一些有趣的數學概念。

一般人的直覺答案：

大多數人會直接想到將數字由大到小排列，得到543。這確實是使用這三個數字，在不考慮其他運算的情況下，能組成的最大三位數。

博士的巧妙解答：

這位博士給出的答案是4的53次方。這個答案乍看之下似乎天馬行空，但其實背後隱藏著更深層的數學概念。

指數運算： 指數運算是一種將數字重複相乘的運算。例如，4的53次方表示將4連乘53次，得到的結果將是一個非常大的數字。
數字的表示方式： 數字可以有各種不同的表示方式，不侷限於阿拉伯數字。例如，我們可以用羅馬數字、二進位等方式來表示數字。
數學的開放性： 數學是一個充滿創造力的學科，沒有唯一的標準答案。只要符合邏輯，我們可以從不同的角度去思考問題，得到不同的解答。
為什麼博士的答案會被讚賞？

跳脫框架： 博士的答案跳脫了傳統的思維框架，展現了創新的思維能力。
數學素養： 博士對數學概念的理解非常深入，能夠靈活運用數學知識。
解決問題的能力： 博士能夠從不同的角度去思考問題，找到更為廣泛的解法。
總結：

這個問題的答案並非單一，而是多樣的。543是我們直觀的答案，而4的53次方則展現了數學的豐富性和創造性。這個問題提醒我們，在解決問題時，我們應該跳脫固定的思維模式，從多個角度去思考，才能找到更為全面和創新的答案。

思考延伸：

如果沒有限制數字的使用次數，那麼用3、4、5能組成的最大數字是多少？
如果我們可以加入其他的數學運算符號（例如+、-、×、÷），那麼用3、4、5能表示的最大數字是多少？
結論：

這個看似簡單的問題，其實引發了我們對數字、運算、以及數學思維的深入思考。它告訴我們，數學不僅僅是計算，更是一種探索和發現的過程。

希望這個回答能幫助你更好地理解這個問題！

**Q：如果這是腦筋急轉彎的問題，有更好的解法嗎？**

A：是的，如果將「3、4、5組成的最大數字」這題視為一個腦筋急轉彎，那麼確實有許多更具創意且出乎意料的解法。以下是一些可能的思路：

1. 跳脫數字本身的限制
文字遊戲： 將數字轉換為文字，例如「三」字筆畫數最多，因此「三」可以被視為最大的。
單位換算： 將數字與單位結合，例如5公里顯然比4公尺大很多。
其他表示方式： 除了阿拉伯數字，還有羅馬數字、二進位等，在不同的表示法下，數字的大小關係可能改變。
2. 引入其他概念
數學運算： 利用各種數學運算符號（+、-、×、÷、指數、根號等）來組合數字，創造出更大的數。
集合概念： 將數字視為集合的元素，探討不同集合之間的大小關係。
幾何概念： 將數字與幾何圖形結合，例如用數字表示面積或體積。
3. 考慮情境與限制
現實生活應用： 在特定的情境下，數字的大小可能會有不同的意義。例如，在電話號碼中，開頭數字為8的號碼通常被認為比較好。
規則限定： 如果有額外的規則限制，答案可能會有變化。例如，如果限定只能使用一次加法，那麼答案就會不同。
4. 發揮想像力
創造新的數字系統： 設計一套全新的數字系統，其中3、4、5的相對大小與我們熟悉的數字系統不同。
引入抽象概念： 將數字與抽象概念連結，例如將數字視為一種能量或價值。
舉例來說，以下是一些腦筋急轉彎式的答案：

「五」這個字最長，所以「五」最大。
如果將數字視為樓層，那麼第五層比第四層高，所以5最大。
在羅馬數字中，V（5）比IV（4）大，所以5最大。
如果將數字與溫度對應，那麼5℃比4℃高，所以5最大。
總結

腦筋急轉彎的魅力就在於它的開放性和多樣性。沒有唯一的標準答案，只要你的答案有理有據，且能讓人眼前一亮，就是一個好答案。

提示： 在回答這類問題時，可以從以下幾個方面思考：

跳出框框： 不要被傳統的數學概念束縛。
發揮創意： 盡情發揮你的想像力。
考慮情境： 將問題置於不同的情境下思考。
希望這些思路能幫助你更深入地理解這道題，並激發你更多的創意！

**Q：「3、4、5組成的最大數字」的答案好像不對，可以重新列出思考步驟，再給出正確答案嗎？**

A：好的，我們一起來重新檢視這個問題。

問題：3、4、5組成的最大數字是多少？

常見誤區與分析：

直接排列： 大多數人會直覺地將數字由大到小排列，得到543。這個答案在限定三位數且只能使用一次每個數字的情況下是正確的。
指數運算： 有人提出4的53次方，這個答案從數學運算的角度來看是正確的，但它已經超出了一個簡單的數字組合的範疇，而是引入了更複雜的運算。
重新思考與正確答案：

如果我們將問題限制在只使用一次3、4、5這三個數字，且不進行任何運算，那麼543確實是所能組成的最大三位數。

但如果我們放寬限制，那麼答案將會變得多元化：

引入運算：
加法： 5 + 4 + 3 = 12
乘法： 5 × 4 × 3 = 60
指數： 5^4^3 或 4^5^3（這兩個數字都非常大，具體大小取決於運算的優先順序）
改變數字的表示方式：
羅馬數字： VIVIII（相當於9）
二進位： 將3、4、5轉換為二進位後進行組合
其他表示方式：
科學記數法： 將數字表示成a × 10^n的形式
分數： 將數字表示成分數的形式
結論：

「3、4、5組成的最大數字」這個問題的答案並非唯一，取決於我們對「數字」和「組成」的定義，以及是否允許使用運算。如果沒有明確的限制條件，那麼這個問題可以有無限多種解法。

因此，在回答這類問題時，我們需要先明確以下幾個方面：

數字的定義： 我們所指的數字是阿拉伯數字、羅馬數字，還是其他表示方式？
組成的方式： 我們可以對數字進行哪些操作？是簡單的排列組合，還是可以進行運算？
大小的比較： 我們如何比較不同形式的數字的大小？
只有在明確了這些條件之後，我們才能給出一個準確的答案。

所以，如果你能提供更詳細的限制條件，我就能給你一個更具體的答案。

例如，你可以問：

「如果只能用一次3、4、5，且只能進行加法運算，那麼最大數字是多少？」
「如果可以用任意次數的3、4、5，且可以進行任何運算，那麼最大數字是多少？」
這樣我就能針對你的問題，給你一個更精確的解答。

## OpenAI ChatGPT
**Q:3，4,，5組成的最大數字是多少？**

A:用數字 3、4 和 5 組成的最大數字是 543。

**Q:如果這是腦筋急轉彎的問題，有更好的解法嗎？**

A:如果把這當成腦筋急轉彎，可以更有創意地解釋，例如：

「用 3、4 和 5 組成的最大數字是 9，因為 3 + 4 + 5 = 12，然後將 1 和 2 相加得到 9。」

這樣的答案會跳出常規，並符合腦筋急轉彎的思路。

**Q:「3、4、5組成的最大數字」的答案好像不對，可以重新列出思考步驟，再給出正確答案嗎？**

A:當然！讓我們重新來看這個問題：

題目是「用數字 3、4、5 組成的最大數字」。

思考步驟
我們可以用數字 3、4 和 5 組成不同的排列，以得到最大數字。
所有排列方式包括：
543
534
453
435
354
345
從這些排列中，最大的數字是 543。
最終答案
所以，用數字 3、4 和 5 組成的最大數字是 543。

## Claude

Q：3，4,，5組成的最大數字是多少？

A：讓我思考一下這個問題。
要用數字3、4、5組成最大的數字，只需要將這些數字按照從大到小的順序排列。
所以：
5 > 4 > 3
因此最大的數字是: 543

Q：如果這是腦筋急轉彎的問題，有更好的解法嗎？

A：啊!讓我從另一個角度思考這個問題。
如果這是腦筋急轉彎的問題，我們可以考慮:

把這些數字拿來做運算,而不是單純排列
可能有特殊的數學技巧可以運用

思考了一下,我發現:
5³ + 4 = 129
這比單純排列成 543 要大得多!
所以答案是 129
這就是典型的腦筋急轉彎題目,表面上看起來很簡單,但需要跳出常規思維,用不同的方式思考才能找到更好的解答。
您覺得這個解法如何?或者您有想到其他可能的解法嗎?

Q：「3、4、5組成的最大數字」的答案好像不對，可以重新列出思考步驟，再給出正確答案嗎？

A：好的,讓我重新仔細思考這個問題。
思考步驟：

題目要求「3、4、5組成的最大數字」
有兩種可能的解讀方式：
a. 直接排列這三個數字
b. 用這三個數字做運算

方案 a：排列

將3、4、5從大到小排列 = 543

方案 b：運算

可以使用乘方：5³ = 125
可以使用乘法：5 × 4 × 3 = 60
可以使用加法：5 + 4 + 3 = 12
可以使用其他組合...

比較所有結果：

543 (排列)
125 (5的3次方)
60 (相乘)
12 (相加)

答案是：543
我剛才的回答錯了,因為：

題目要求的是「數字」而不是「算式的結果」
5³ + 4 = 129 雖然數值較大,但已經不符合「由3、4、5組成」的條件

抱歉之前的答案有誤,希望這次的思考過程和答案更清楚準確。

## Perplexity

**Q：3，4,，5組成的最大數字是多少？**

A：要用數字 3、4 和 5 組合成的最大數字是 543。這個結果是通過將這三個數字按從大到小的順序排列而得出的。

**Q：如果這是腦筋急轉彎的問題，有更好的解法嗎？**

A：如果將“3、4、5”作為腦筋急轉彎的問題，可以考慮更具創意的解法。例如，可以將這三個數字視為代表某種事物，而不是單純的數字排列。以下是幾個可能的思路：
組合意義：可以詢問“3、4、5分別代表什麽？”比如，3代表三角形，4代表四邊形，5代表五邊形，這樣的組合可以引導到幾何圖形的討論。
數學運算：可以將它們看作數學運算的結果，比如“3 + 4 + 5 = 12”，然後問“這個結果能組成什麽？”引導思考更深層次的數學概念。
時間和日期：可以將這三個數字視為時間或日期的組成部分，例如“3月4日和5日有什麽特別的活動？”這樣的問題可以引發對特定事件或節日的討論。
通過這些方式，可以使問題更具趣味性和深度，而不僅僅是簡單的數字排列。

**Q：「3、4、5組成的最大數字」的答案好像不對，可以重新列出思考步驟，再給出正確答案嗎？**

A：當然可以！我們可以重新思考“3、4、5”組合成的最大數字的問題。以下是詳細的思考步驟：
思考步驟
理解題目：題目要求用數字3、4和5組合成一個最大數字。
排列數字：為了得到最大數字，我們需要將這三個數字按從大到小的順序排列。
排列組合：
可能的排列組合有：
543
534
453
435
354
345
找出最大值：通過比較這些組合，發現最大的組合是 543。
正確答案
因此，用數字 3、4 和 5 組合成的最大數字是 543。如果之前的回答讓您產生困惑，我深表歉意！希望這次的解釋更加清晰。

## Microsoft Copilot

Q：3，4,，5組成的最大數字是多少？

A：簡單！把這三個數字按降序排列，我們得到 543，這就是用 3、4 和 5 組成的最大數字。你會用這些數字組成其他有趣的組合嗎？

Q：如果這是腦筋急轉彎的問題，有更好的解法嗎？

A：好的，腦筋急轉彎通常會玩一些文字遊戲或者利用數字的特性。如果用 3，4，5 組成的最大數字不是 543，那麼這可能涉及數字的特殊排列或含義。假設我們解釋為「最大」涉及數字總和，我們可以考慮將數字進行排列和連接，比如：

5 * 4 * 3 = 60

Q：「3、4、5組成的最大數字」的答案好像不對，可以重新列出思考步驟，再給出正確答案嗎？

A：當我們講到“用3、4、5組成的最大數字”時，如果不只是簡單地按降序排列，可以有更多角度去思考。例如，如果我們說的是排列和組合，那麽以任意排列的方式，有可能形成不同的數值：

543、534、453、435、354、345

## 小結

這個問題從人類思路大致上會幾個方向完成，一是從單一數字重新排列，二是增加數學式來改變（如乘法、指數），三是如何讓指數最大化。而從以上大語言模型回答來看，並沒有一個模型可推論出「**增加括號**」來試圖讓答案更厲害（數字更大）。 Gemini 第一擊就直接翻出新（舊）聞來回答，算是不會落入訓練資料過時問題，而是整合大語言模型及搜尋引擎的優勢。而提到使用指數讓數字變大的只有 Gemini 和 Perplexity ，但只有 Gemini 回答上較接近人類回答，但可惜它並未真的去計算，所以答案也不是最佳的。

以上只是簡單測試一下，或許是中文比起英文更難理解，因為話中有話，也或者這樣複雜的思路沒人放在網路上，所以沒有相關數學解題資料集可參考。不管如何現階段的大語言模型已有不錯的表現了，但我們得到答案後還是得仔細排查，而非照單全收，不然就失去自我判斷能力了。不知大家更喜歡哪家給出來的解法呢？還是你有更厲害的答案呢？歡迎一起來交流一下。

## 參考文獻

[1] 中時新聞網，面試官問「3、4、5組成最大數字是多少？」 博士神回答秒錄取
https://www.chinatimes.com/realtimenews/20241030000016-260405

## 延伸閱讀

[A] 許哲豪，大型語言模型真的能解所有疑難雜症了嗎？
https://omnixri.blogspot.com/2024/09/blog-post.html

[B] 許哲豪，黑箱AI真的能被解釋？
https://omnixri.blogspot.com/2020/05/ai.html