# Úlohy cvičenie 1

## Úloha 1 $\sqrt{n}$
$\sqrt{n}$ je iracionálne číslo
- riešim sporom
Vytvorím negáciu tvrdenia a dokazujem jeho nepravdivosť
Negácia:
$\sqrt{n}$ je z Q ⇒$\sqrt{n}$ =$p/q$.... $p$ je zo Z a $q$ je z N ($p,q$)=1

1. $\sqrt{n}$=$p/q$ ⇒ $n$=$p^2$/$q^2$ ⇒ $n$$q^2$=$p^2$ ⇒ $n$ delí $p^2$ ⇒ $n$ delí $p$ ⇒ p=nk
- z toho vyplíva že $p$ sa dá zapísať ako n násobok nejakého čísla

2. $q^2n$=$n^2$$k^2$ ⇒ $q^2$=$nk^2$ ⇒ n delí $q^2$ ⇒ $n$ delí $q$ ⇒ $q$=$n*l$
- tu nastáva spor pretože $q$ je deliteľné $n$ z čoho vyplíva že jediný spoločný deliteľ $q$ a $n$ nie je 1

## Úloha 2: Rast prvočísel

## Úloha 4: identita 1
- riešim pomocou matematickej indukcie
1. overenie pre 1:
$\sum_{i=1}^{1} \ 4i+5$= $4*1+5=9$
$2(1)^2+7*1=9$
- teraz nastáva indukčný krok: pokiaľ toto tvrdenie platí pre n=m tak platí aj pre n=m+1
2. overenie predpokladu:
$\sum_{i=1}^{m+1} \ 4i+5$ =$2(m+1)^2+7*m+1$
3. upravujem obidve strany:
$\sum_{i=1}^{m+1} \ 4i+5$ =$4(m+1)+5+ \sum_{i=1}^{m} \ (4i+5)$
$2(m+1)^2+7*m+1=2 m^2+4m+2+7m+7=2 m^2+7m+4m+9$
- viem že: $\sum_{i=1}^{m} \ (4i+5)$ = $2(m)^2+7m$ takže to nahradím v prvej časti rovnice a dostanem :
$2 m^2+7m+4(m+1)+5=2 m^2+7m+4m+9$
Tieto dve strany sa rovnajú takže rovnosť platí aj pre člen $m+1$

## Úloha 5 identita 2
$\prod_{i=2}^n\frac {i-1}{i}$=$\frac1n$
- znova overím pre n=2
1. $\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$
- platí to pre n=2 takže vytvorím indukčný predpoklad ,že ak tvrdenie platí pre n=m tak plati aj pre n=m+1
3. upravujem ľavú stranu:
$\prod_{i=2}^{m+1}\frac {i-1}{i}$=$(\prod_{i=2}^{m}\frac {i-1}{i})$+$\frac{(m+1)-1}{m+1}$=$\frac{1}{m}*\frac{(m+1)-1}{m+1}=\frac{1}{m+1}$
- za $(\prod_{i=2}^{m}\frac {i-1}{i})$ som dosadil $\frac{1}{m}$ na základe predpokladu
- pravá strana je $\frac{1}{m+1}$ takže rovnosť platí aj pre $m+1$
## Úloha 6 Distributivita prieniku a zjednotenia
- $\bigcap_{i =1}^n\bigcup_{j=1}^m A_{ij}$=$\bigcap_{i =1}^n$ $(A_{i,1} \cup A_{i,2}\cup A_{i,3}\cup ...\cup A_{i,m})$=$(A_{1,1} \cup A_{1,2}\cup A_{1,3}\cup ...\cup A_{1,m})$$\cap$ $(A_{2,1} \cup A_{2,2}\cup A_{2,3}\cup ...\cup A_{2,m})$$\cap$$(A_{3,1} \cup A_{3,2}\cup A_{3,3}\cup ...\cup A_{3,m})$$\cap$ $...$$\cap$ $(A_{n,1} \cup A_{n,2}\cup A_{n,3}\cup ...\cup A_{n,m})$
Tento problém som si predstavil ako prienik jednotlivých zjednotení takže som si najprv vypísal zjednotenia a potom som vytvoril ich prieniky.