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# 分治法(Divide&Conquer)

Introduction to Competitive Programming

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## 核心概念
- 分(divide):將大問題分成小問題
- 治(conquer):遞迴計算出小問題的答案
- 合(merge):將小問題的答案合併成大問題的答案
- 通常子問題的大小是大問題的分數倍 ($\frac{n}{b}$)

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將分治套用在序列上

- 分(divide):將大問題分成小問題
通常序列上的問題都會把序列分成兩半，左半&右半

- 治(conquer):遞迴計算出小問題的答案
分成左半序列&右半序列後，分別遞迴求出各自的答案

- 合(merge):將小問題的答案合併成大問題的答案
求出左右兩半各自的答案後，合併跨越兩半的答案

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## 套用分治法找序列最小值

給一個長度為 $N$ 的整數序列，找出最小值

如何套用分治 ?

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## 套用分治法找序列最小值

分(divide):將大問題分成小問題

把當前序列分成左右兩半
每半找最小值 直到序列大小變成只有一個元素

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## 套用分治法找序列最小值

治(conquer):遞迴計算出小問題的答案

左半右半分別遞迴找最小值

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## 套用分治法找序列最小值

合(merge):將小問題的答案合併成大問題的答案

當前序列的最小值為兩半分別的最小值中，比較小的

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## 套用分治法找序列最小值

int arr[100005];
int divide(int l, int r){
    if(l == r)    return arr[l];
    // 分
    int m = (l+r)/2;
    // 治
    int x = divide(l, m); 
    int y = divide(m+1, r);
    // 合
    int ret = min(x, y);
    return ret;
}

複雜度是多少呢 ?

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## 套用分治法找序列最小值

int arr[100005];
int divide(int l, int r){
    if(l == r)    return arr[l];
    // 分
    int m = (l+r)/2;
    // 治
    int x = divide(l, m); 
    int y = divide(m+1, r);
    // 合
    int ret = min(x, y);
    return ret;
}

每次分兩半: O(1)
遞迴下去: O(1)
合併答案: O(1)

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會發現每個子問題內都是 O(1) 複雜度
因此複雜度為所有子問題數量的總和

一開始原問題分成兩半
兩半再各自分成兩半
最後一層總共有 n 個子問題

$1+2+4+...+n\to n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}...=2n$

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$1+2+4+...+n\to n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}...=2n$

因此複雜度為 $O(N)$

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### Tiling Problem

給定一個 $2^{n}\times 2^{n}$ 的方格，其中有一格已經填滿了
你要使用很多 L 型的方塊填滿方格，求出一種符合的解

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考慮分治 ?
既然是二維的，那嘗試看看分四半?

左上、左下、右上、右下
會發現分的四半中只有其中一半有填滿一格，因此我們可以放一個方塊
讓其他三塊也恰好填滿一格

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如此一來會發現，每半都有一格被填滿，
對於每半又會變成原本的問題

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給定 $2^{n-1}\times 2^{n-1}$ 的 的方格，其中有一格已經填滿了
你要使用很多 L 型的方塊填滿方格，求出一種符合的解
   

然後繼續分四半，遞迴求解...

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遞迴到 $2\times 2$ 時會發現，每個 $2\times 2$ 的區域會剛好
- 一個已填滿的格子
- 一個 L 型的區域未填滿

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此時就是遞迴的中止條件，至於複雜度怎麼算呢?

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第一層 1 個 $2^n\times 2^n$
第二層 4 個 $2^{n-1}\times 2^{n-1}$
第三層 $4^2$ 個 $2^{n-2}\times 2^{n-2}$
...
總共 $n$ 層

對於每層都花 O(1) 的時間放 L 型方塊
複雜度為 $1 + 4 + 16 + ... +4^n = O(4^n)$

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### 分治法 v.s. DP
DP 屬於分治法的一種，而他們之間的差別在於 DP 會將子狀態的答案用空間儲存下來，以在重複呼叫時不用重複計算。而一般的分治法子問題不會被重複呼叫，因此不需要記錄所有答案。

 

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## 分治法的複雜度
分治法的複雜度通常能寫成遞迴函數
可用數學方式解出遞迴函數的一般項以得到複雜度(但很難很麻煩)

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### 遞迴樹法(Recursion-Tree Method)

把遞迴的狀態畫出來會發現長的就是一棵樹，
根節點為一開始的原問題，往下子節點為遞迴下去的子問題

把整棵遞迴樹畫出來後計算時間總和


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第一層為 1 個長度為 N 的問題，$O(N)$
第二層為 2 個長度為 $\frac{N}{2}$ 的問題，$O(\frac{N}{2})\times 2$
第三層為 4 個長度為 $\frac{N}{4}$ 的問題，$O(\frac{N}{4})\times 4$
...
總共 $O(\log N)$ 層

$T(N) = O(N) + O(\frac{N}{2})\times 2 + O(\frac{N}{4})\times 4$...
$= O(N\log N)$

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### 主定理(Master Method)

大多情況子問題是大問題的分數倍，且遞迴之外的部分為多項式複雜度:
$T(n)=aT(\frac{n}{b})+O(n^\alpha\log^kn)$,令$c=\log_ba$

1. 若 $c>\alpha$ 則複雜度為 $T(n)=O(n^c)=O(n^{\log_ba})$
2. 若 $\alpha>c$ 則複雜度為 $T(n)=O(n^\alpha\log^kn)$
3. 若 $c=\alpha$ 則複雜度為 $T(n)=O(n^\alpha\log^{k+1}n)$

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### 常見遞迴函數複雜度

| 遞迴式 | 時間複雜度 | 範例 |
| -------- | -------- | ----- |
| $T(n) = T(\frac{n}{b})+O(1)$ | $O(\log N)$ | 遞迴的二分搜 |
| $T(n) = 2 T(\frac{n}{2})+O(1)$ | $O(N)$ | 序列找最大值 |
| $T(n) = 2 T(\frac{n}{2})+O(N)$ | $O(N\log N)$ | Merge Sort |
| $T(n) = 2 T(\frac{n}{2})+O(N\log N)$ | $O(N\log^2 N)$ | 使用 std::sort 合併的 Merge Sort 作法

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### 其餘情況
- 如果只有一個子問題很好計算(與迴圈類似)
- 如果子問題的大小與大問題成線性關係($n-k$)則是指數複雜度
- 剩下的自己想通靈解遞迴函數

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## 範例

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### 合併排序(merge sort)
- 問題：將一個長度為 $n$ 的陣列排序
- 分：將此陣列切半，分成左半邊與右半邊
- 治：遞迴分別將左半邊與右半邊排序
- 合：將兩個已排序好的陣列合併成一個有序陣列
- 複雜度：$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n)$

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### 合併排序(merge sort)
- 問題：將一個長度為$n$的陣列排序
- 分：將此陣列切半，分成左半邊與右半邊
- 治：遞迴分別將左半邊與右半邊排序
- 合：將兩個已排序好的陣列合併成一個有序陣列

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### 合併排序(merge sort)

合：將兩個已排序好的陣列合併成一個有序陣列

使用內建函式 std::sort 每次複雜度為 $O(N\log N)$

$T(n) = 2 T(\frac{n}{2})+O(N\log N) = O(N\log^2 N)$

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### 合併排序(merge sort)

實際上合併兩個排序好的序列只需要 $O(N)$
使用雙指針分別指向兩半的開頭，每次把比較小的放進陣列裡

$O(N\log N)\to O(N)$

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### 合併排序(merge sort)

複雜度即可降低 !

$T(n) = 2 T(\frac{n}{2})+O(N) = O(N\log N)$

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### 快速排序(quick sort)
- 問題：將一個長度為 $n$ 的陣列排序
- 分：找一個 pivot，將陣列分成小於/大於 pivot 兩類(小於的丟左邊，大於的丟右邊)
- 治：遞迴分別將分出來的兩段排序
- 合：將兩陣列合併，由於左右邊皆有序，且右邊大於左邊，因此不用做動作
- 平均複雜度：$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n)$
- 最差複雜度：$T(n)=T(n-1)+O(n)=O(n^2)$

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## 逆序數對

- 問題：給你一個陣列，求有多少組 $(i,j)$ 符合 $i<j, a_i>a_j$，也就是前項大於後項(此問題等價 bubble sort 最少交換次數)

input

5
2 1 5 4 2

output

4

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考慮分治法

分: 將序列分成前半與後半

治: 遞迴分別算出前半與後半的逆序數對

合: 計算橫跨兩半邊的逆序數對數量，也就是 $i$ 在左半邊，$j$ 在右半邊
- 對於左半邊的每一項，右半邊有多少項比它小

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- 簡單的作法：
- 將右半邊排序就可以用 lower_bound 計算，$O(n\log n)$

- 難一點點的作法：
- 將兩半邊分別排序就可以用雙指針計算，然而瓶頸在排序，$O(n\log n)$

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回想 merge sort，既然你都遞迴分別處理了左半邊與右半邊，
不如用 merge sort 在計算完後順便把它排序好，
那麼就不需要重新排序了，$O(n)$

- 複雜度：$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n)$

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## 最大連續和

給一長度為 n 的陣列，詢問陣列中的最大連續元素總和

- $1\le n\le 2\cdot 10^5$

input

5
1 1 -3 4 5

output

9

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考慮分治法

分: 將陣列分成前半與後半

治: 遞迴分別算出前半與後半各自範圍內的最大連續和

合: 計算橫跨兩半邊的最大連續和
- 從切的位置往左找最大後綴和，往右找最大前綴和
加起來即為橫跨區間的最大連續和

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### 最近點對
- 問題：座標平面上給你 $n$ 個點，求最近兩個點的距離

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- 分治：先把 $n$ 個點用 $x$ 排序，再分成左右兩半邊
- 遞迴分別找出左右兩半的最近距離，剩下就是兩邊各選一點的情況
- 假設遞迴出來的最近距離是 $d$，很直觀的可以知道只需考慮分割線左右各 $d$ 距離內的點
- 窮舉範圍內的點計算最近距離，最差仍是$O(n^2)$

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- 經由[證明](https://oi-wiki.org/geometry/nearest-points/)可以發現，若將這些點以 $y$ 排序，那麼每個點只需要考慮後 4 個點而已
- 因此可以做到 $O(n\log n)$ 合併，若用 merge sort 的概念，在遞迴時順便對 $y$ 排序，那麼就能做到$O(n)合併$
- 複雜度：$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n)$
</br>
<font color="#272727"><small>然而這個問題唬爛才是正解</small></font>

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### 分治困難點

- 想到可以用分治解
- 合併通常是最難的，分與治通常都很制式

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### 優化
- 由於分治法使用遞迴，因此常數偏大
- 如果仔細去解遞迴函數會發現主定理省掉的常係數其實很大
- 因此一個常見的常數優化方法是：當遞迴到 $n$ 很小時改用暴力計算
- 例如最近點對遞迴到 $n<10$ 時改用暴力計算
- 例如 merge sort 遞迴到 $n<50$ 時改用 insertion sort

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### 總結

今天的內容為基礎的分治，之後還有很多很難的應用，
如計算符合的區間數量、樹上分治、圖上分治等等。

分治可能對於初學者來說是一個很大的檻，
但熟悉後對於你的基礎功、計算遞迴複雜度，
都會有很大的進步、以及往後的一些算法 (線段樹、CDQ 分治、DP優化)
也是建立在分治之上

而分治往往也能在很難的題目應用，如果熟悉的話也能應用在很多題目上
往往可以在比賽中為你找到另一條出路。

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### Question Time and Practice

[Problem Set](https://vjudge.net/contest/679032)