選修物理

測量

誤差:量測值-真值

$\mathrm{誤}\mathrm{差}\mathrm{百}\mathrm{分}\mathrm{率}:\frac{\mathrm{量}\mathrm{測}\mathrm{值}-\mathrm{真}\mathrm{值}}{\mathrm{真}\mathrm{值}}\times 100\mathrm{\%}$
最佳估計值

$x=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{i=n}{x}_i}}{N}$
A類不確定度(系統不確定度)

$u_A(x)$
定義:由於量測時某些原因(非人為)造成量測值之間有些許誤差(隨機),因此規定

$$\begin{gathered} u_A(x)=\frac{s}{\sqrt{N}} \\ \mathrm{其}\mathrm{中}s\mathrm{為}\mathrm{樣}\mathrm{本}\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{差} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{樣}\mathrm{本}\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{差}\mathrm{公}\mathrm{式}s=\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{i=n}(x_i-{\mu }_x{)}^2}}{N-1}} \\ \mathrm{其}\mathrm{中}{\mu }_x=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{i=n}{x}_i}}{N}=x \end{gathered}$$

B類不確定度(量測不確定度)

$u_B(x)$
定義:由於測量儀器不夠精準,造成誤差,此時規定

$u_B(x)=\frac{LC}{2\sqrt{3}}(LC\mathrm{為}\mathrm{儀}\mathrm{器}\mathrm{之}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{刻}\mathrm{度})$
組合不確定度

$u_C(x)$
定義:一量測之A類不確定度與B類不確定度之平方和的正平方根
即

$u_C(x)=\sqrt{{u_A}^2(x)+{u_B}^2(x)}$

相對不確定度

$\sigma (x)=\frac{u_C(x)}{|x|}$

表示法:
最佳估計值的有效數字與不確定度的最小位數切齊(通常為小數點後2位),若有效位數不足則補0,太多位則四捨五入
不確定度通常取到小數點後2位,採無條件進位(為了擴大誤差參考範圍)

一完整的量測應有

1. 最佳估計值
2. 組合不確定度
3. 單位

導出量的運算
有些值為導出量

$\mathrm{加}\mathrm{減}\mathrm{法}:Z=X\pm Y=x\pm y\pm \sqrt{u^2(x)+u^2(y)}$
乘除法較複雜
例

$F=ma$
量測物體質量與加速度
得到兩個含不確定度的值

$F=ma\pm ma\sqrt{(\frac{u(m)}{m}{)}^2+(\frac{u(a)}{a}{)}^2}$

$P=\frac{F}{A}$
量測力與表面積

$P=\frac{F}{A}\pm \frac{F}{A}\sqrt{(\frac{u(F)}{F}{)}^2+(\frac{u(A)}{A}{)}^2}$
推導

$$\begin{gathered} \mathrm{考}\mathrm{慮}\mathrm{兩}\mathrm{量}\mathrm{測}\mathrm{值}X,Y\mathrm{且}Z=XY \\ \{\begin{array}{l}X=x\pm u(x)\\ Y=y\pm u(y)\end{array} \\ \mathrm{且} \\ \{\begin{array}{l}\sigma (x)=\frac{u(x)}{|x|}\\ \sigma (y)=\frac{u(y)}{|y|}\end{array} \\ \mathrm{則} \\ \{\begin{array}{l}u(x)=\frac{\sigma (x)}{|x|}\\ u(y)=\frac{\sigma (y)}{|y|}\end{array} \\ \mathrm{可}\mathrm{得} \\ \{\begin{array}{l}X=x\pm \frac{\sigma (x)}{|x|}\\ Y=y\pm \frac{\sigma (y)}{|y|}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{又}Z=z\pm u(z)=z\pm \frac{\sigma (z)}{|z|} \\ \mathrm{且}\sigma (z)=\sqrt{{\sigma }^2(x)+{\sigma }^2(y)} \\ \to u(z)=z\sqrt{(\frac{u(x)}{|x|}{)}^2+(\frac{u(y)}{|y|}{)}^2} \\ \to Z=XY=xy\pm xy\sqrt{(\frac{u(x)}{|x|}{)}^2+(\frac{u(y)}{|y|}{)}^2} \end{gathered}$$

$\mathrm{若}\mathrm{兩}\mathrm{量}\mathrm{測}\mathrm{值}\mathrm{的}\mathrm{導}\mathrm{出}\mathrm{量}\mathrm{符}\mathrm{合}Z=\frac{X}{Y},\mathrm{以}\mathrm{同}\mathrm{理}\mathrm{證}\mathrm{之}$

因次分析

七大基準量

1. 質量(公斤kg)
2. 長度(公尺m)
3. 光度(燭光cd)
4. 粒子數(莫耳mol)
5. 時間(秒t)
6. 電流(安培A)
7. 溫度(克氏K)

一公斤的定義為

$\nu =\frac{(3\times {10}^8{)}^2}{6.626\times {10}^{-34}}$之光波的光子質量
一公尺的定義為光在真空中移動

$\frac{1}{299792458}\mathrm{秒}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{離}$
一秒的定義為銫原子基態的兩個超精细結構能階之間躍遷所對應的輻射的

$9192631770$個周期的時間為一秒。
一莫耳的定義為12克的C-12所含的原子數
一安培的定義為在真空中，截面積可忽略的兩根相距1 m的無限長平行圓柱直導線内通以等量恆定電流時，若導線間相互作用力在每公尺長度上為2×10−7 N，則每根導線中的電流為一安培。
1K的定義為水的三相點與絕對零度相差的

$\frac{1}{273.15}$為1K
光度的定義為頻率

$540\times {10}^{12}$赫之光源發出之單色輻射，在一定方向每立弳之輻射通量為

${\displaystyle \frac{1}{683}}$瓦特之發光強度。

直線運動

使用到的數學工具們：三角，向量

三角

向量

直線等加速度運動的各種物理量
一質點沿直線做等加速度運動,加速度為

$a$,初速為

$V_0$
則符合三大等加公式

$\{\begin{array}{l}1.v=v_0+at\\ 2.\mathrm{\Delta }x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2\\ 3.v^2={v_0}^2+2ad\end{array}$

第1,2用在有時間時,第3用在沒有時間時

常見的直線運動：

自由落體

(「自由」二字已規定在不考慮任何阻力的情況下)
離地高度

$H$，質量

$m$的物體受到萬有引力垂直落下，重力加速度為

$g$，則：

1. $H={\displaystyle \frac{1}{2}}g{T}^2$
2. 所需時間
   $T=\sqrt{{\displaystyle \frac{2H}{g}}}$
3. 末速
   $v=\sqrt{2gH}$

設已下降高度

$h$，則

1. $h={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$
2. 耗時
   $t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2h}{g}}}$
3. 末速
   $v=\sqrt{2gh}$

證明：
代入等加公式即可得證

問距離且有給時間：

$h={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$
問距離但沒給時間只有給速度：

$v=\sqrt{2gh}$
問時間且只有給速度：

$v=\sqrt{2gh}$

速度或耗時與質量無關

鉛直上拋

由地面鉛直上拋一物質量

$m$，初速

$v_0$，重力加速度

$g$，則：

1. 物體和地面距離等高時，速率相同，速度方向相反(對稱性)
2. 最高點速度為0
3. 加速度為定值(重力)

證明：

第一點：

$pf:$

$$\begin{gathered} \mathrm{設}\overrightarrow{v_1}\mathrm{為}\mathrm{上}\mathrm{升}\mathrm{過}\mathrm{程}\mathrm{中}\mathrm{上}\mathrm{升}h\mathrm{的}\mathrm{高}\mathrm{度}，\overrightarrow{v_2}\mathrm{為}\mathrm{下}\mathrm{降}\mathrm{過}\mathrm{程}\mathrm{中}\mathrm{距}\mathrm{地}\mathrm{面}h\mathrm{的}\mathrm{高}\mathrm{度} \\ \mathrm{則}|\overrightarrow{v_1}|=\sqrt{|\overrightarrow{v_0}{|}^2-2gh} \\ |\overrightarrow{v_2}|=\sqrt{|\overrightarrow{v_1}{|}^2-2g(0)}(\mathrm{因}\mathrm{為}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{相}\mathrm{同}) \\ \therefore |\overrightarrow{v_1}|=|\overrightarrow{v_2}| \\ \mathrm{但}\mathrm{因}\mathrm{為}\overrightarrow{v_2}\mathrm{是}\mathrm{已}\mathrm{經}\mathrm{過}\mathrm{了}\mathrm{最}\mathrm{高}\mathrm{點}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{為}0\mathrm{時}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}，\mathrm{又}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{向}\mathrm{下}，\mathrm{故}\mathrm{可}\mathrm{得}\mathrm{知}\overrightarrow{v_2}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{向}\mathrm{下} \\ \mathrm{而}\overrightarrow{v_1}\mathrm{是}\mathrm{上}\mathrm{升}\mathrm{過}\mathrm{程}\mathrm{中}，\mathrm{還}\mathrm{未}\mathrm{到}\mathrm{最}\mathrm{高}\mathrm{點}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{為}0\mathrm{的}\mathrm{時}\mathrm{候} \\ ⟹\overrightarrow{v_1}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{向}\mathrm{上}，\therefore \overrightarrow{v_1}=-\overrightarrow{v_2} \end{gathered}$$

物理量：

1. 最高上升高度
   $H={\displaystyle \frac{{v_0}^2}{2g}}$
2. 上升至最大高度所需時間
   $T={\displaystyle \frac{v_0}{g}}$

平面運動

運用座標系的選定技巧,三角與向量之分解或加減法,將運動沿兩軸分開分析

運動獨立性

向量加法的定義延伸出之性質

斜向拋射

一物體在地面上以仰角

$\theta$，初速

$v_0$作斜向拋射，重力加速度為

$g$，不考慮地球弧度
以出發點為原點，

$\overrightarrow{v_0}$與地面向上的法向量

$\overrightarrow{n_{+}}$所決定的平面為

$xy$平面，向

$\overrightarrow{v_0}-{\displaystyle \frac{\overrightarrow{v_0}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}{|}^2}}\overrightarrow{n}$為

$+x$，向上為

$+y$
則物體座標參數式：

$\{\begin{array}{l}x=v_{0}t\cos \theta \\ y=v_{0}t\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2\end{array}$
故物體軌跡方程式：

$y=x\tan \theta -{\displaystyle \frac{g{x}^2}{2{v_0}^2{\cos }^2\theta }}$

最高點時即

$v_y=0={\displaystyle \frac{d{S}_y}{dt}}$，故當

$v_0\sin \theta -gt=0$時有最高點
此時所經時間為

$T_{m.h}={\displaystyle \frac{v_0\sin \theta }{g}}$
最大高度為

$H=v_{0}T\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}g{T}^2={\displaystyle \frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{g}}-{\displaystyle \frac{g(v_0\sin \theta {)}^2}{2g^2}}={\displaystyle \frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g}}$
水平射程

$R$為當

$y=0$時

$x\ne 0$之解
即

$0=x\tan \theta -{\displaystyle \frac{g{x}^2}{2{v_0}^2{\cos }^2\theta }}=x(\tan \theta -{\displaystyle \frac{gx}{2{v_0}^2{\cos }^2\theta }})$

$\therefore x=R={\displaystyle \frac{2{v_0}^2{\cos }^2\theta \tan \theta }{g}}={\displaystyle \frac{2{v_0}^2\sin \theta \cos \theta }{g}}={\displaystyle \frac{{v_0}^2\sin 2\theta }{g}}$

牛頓運動定律

力學分析:
訂定座標系，先找超距力，再找接觸力，沒接觸不算數
常見力學分析:

斜面:

$\mathrm{假}\mathrm{設}\mathrm{一}\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{斜}\mathrm{角}\theta ,\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{質}\mathrm{量}m\mathrm{之}\mathrm{木}\mathrm{塊},\mathrm{重}\mathrm{力}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{為}g,\mathrm{則}\to$

$$\begin{gathered} \mathrm{下}\mathrm{滑}\mathrm{力}{F}_{\mathrm{下}}=mg\sin \theta \\ \mathrm{正}\mathrm{向}\mathrm{力}N=-mg\cos \theta \end{gathered}$$

張力:

$$\begin{gathered} \mathrm{一}\mathrm{段}\mathrm{繩}\mathrm{子}\mathrm{受}\mathrm{到}\mathrm{拉}\mathrm{扯}，\mathrm{必}\mathrm{產}\mathrm{生}\mathrm{一}\mathrm{指}\mathrm{離}\mathrm{物}\mathrm{體}\mathrm{之}\mathrm{張}\mathrm{力}T \\ \mathrm{若}\mathrm{繩}\mathrm{子}\mathrm{兩}\mathrm{端}\mathrm{皆}\mathrm{受}\mathrm{到}\mathrm{拉}\mathrm{扯}，\mathrm{必}\mathrm{產}\mathrm{生}\mathrm{一}\mathrm{向}\mathrm{內}\mathrm{收}\mathrm{縮}\mathrm{的}\mathrm{力} \end{gathered}$$

彈簧:

$F=kx,\mathrm{若}\mathrm{超}\mathrm{過}\mathrm{彈}\mathrm{性}\mathrm{限}\mathrm{度},\mathrm{彈}\mathrm{簧}\mathrm{伸}\mathrm{縮}\mathrm{量}\mathrm{與}\mathrm{合}\mathrm{力}\mathrm{不}\mathrm{成}\mathrm{正}\mathrm{比}$

$\sum F_x=m{a}_x$

$\sum F_y=m{a}_y$

$\sum F_z=m{a}_z$

$\sum F=\sum F_x+\sum F_y+\sum F_z$

週期性運動

等速率圓周運動

轉動：
何謂轉動？一質點相對於一個參考點的移動
各種物理量：

$\mathrm{角}\mathrm{速}\mathrm{度}\omega ={\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}$

$\mathrm{角}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{\Delta }\theta =\omega \mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{\Delta }x=r\sqrt{2(1-\cos (\omega \mathrm{\Delta }t))}$(餘弦定理)

$\mathrm{角}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\alpha =\frac{d\omega }{dt}$

等速率圓周運動即

$\omega$為定值的等角速度運動

等速圓周運動的各種物理量

$\mathrm{角}\mathrm{速}\mathrm{度}\omega =\frac{2\pi }{T}$

$\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{\Delta }x=r\sqrt{2(1-\cos (\omega \mathrm{\Delta }t))}$

$\mathrm{角}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{\Delta }\theta =\omega \mathrm{\Delta }t$

$\mathrm{速}\mathrm{率}v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}$

$\mathrm{向}\mathrm{心}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}{a}_c={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{v\cdot \mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}=\omega \cdot v={\omega }^{2}R=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}=\frac{v^2}{R}}$

利用牛二+萬有引力+圓周運動導克卜勒第三定律(行星繞同一中心時

$\frac{R^3}{T^2}=\mathrm{定}\mathrm{值}$)

$$\begin{gathered} \because \mathrm{\Sigma }F=ma=F_c=m(\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2})=\frac{GMm}{R^2} \\ \to \frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4{\pi }^2}(\because \frac{GM}{4{\pi }^2}\mathrm{的}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{受}\mathrm{到}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{星}\mathrm{球}\mathrm{質}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{影}\mathrm{響}\mathrm{因}\mathrm{此}\mathrm{才}\mathrm{規}\mathrm{定}\mathrm{要}\mathrm{繞}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{中}\mathrm{心}) \end{gathered}$$

錐動擺

$\mathrm{質}\mathrm{量}\mathrm{為}m\mathrm{的}\mathrm{小}\mathrm{球}\mathrm{繞}\mathrm{半}\mathrm{徑}\mathrm{為}l\sin \theta \mathrm{的}\mathrm{圓}\mathrm{做}\mathrm{等}\mathrm{速}\mathrm{率}\mathrm{圓}\mathrm{周}\mathrm{運}\mathrm{動}$

$\mathrm{擺}\mathrm{角}\theta$
則：

$\mathrm{繩}\mathrm{張}\mathrm{力}\overrightarrow{F_T}=\frac{mg}{\cos \theta }=mg\sec \theta$

$\mathrm{向}\mathrm{心}\mathrm{力}\overrightarrow{F_c}=m{a}_c=\overrightarrow{F_T}\sin \theta =mg\tan \theta$

$\mathrm{其}\mathrm{中}{a}_c={\omega }^{2}l\sin \theta =\frac{4{\pi }^{2}l\sin \theta }{T^2}=\frac{v^2}{l\sin \theta }$

$\mathrm{若}\mathrm{求}\mathrm{週}\mathrm{期}$

$$\begin{gathered} \because m{a}_c=mg\tan \theta \\ \therefore \frac{4{\pi }^{2}l\sin \theta }{T^2}=g\tan \theta \\ \to T=\sqrt{\frac{4{\pi }^{2}l\sin \theta }{g\tan \theta }}=2\pi \sqrt{\frac{l\cos \theta }{g}} \end{gathered}$$

$\mathrm{若}\mathrm{求}\mathrm{速}\mathrm{率}$

$$\begin{gathered} \because \overrightarrow{F_T}=mg\sec \theta \\ \mathrm{又}\overrightarrow{F_T}\sin \theta =m{a}_c \\ \to mg\tan \theta =\frac{m{v}^2}{l\sin \theta } \\ \to v=\sqrt{lg\sin \theta \tan \theta }=\sqrt{\frac{lg{\sin }^2\theta }{\cos \theta }} \end{gathered}$$

簡諧運動(Simple Harmonic Motion, S.H.M)

何謂簡諧運動？
合力恆與位移方向相反的運動
利用數學表達：

$\sum \overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{x},k>0$

利用參考圓投影在

$x$軸上的點研究簡諧運動
可得

各種物理量(設振幅為R)

$\overrightarrow{x}=R\cos (\omega t+\varphi )$

$\overrightarrow{v}=-\omega R\sin (\omega t+\varphi )$

$\overrightarrow{a}=-{\omega }^{2}R\cos (\omega t+\varphi )$

$(\varphi \mathrm{稱}\mathrm{為}\mathrm{相}\mathrm{位}\mathrm{角})$

$pf:$

$\{\begin{array}{l}x(0)=R\\ x(t)=-{\displaystyle \frac{m}{k}}{\displaystyle \frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}}\\ \mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}⟹x(t)\in \mathbb{R}\end{array}$

令

$x(t)=\rho e^{\lambda t}$
則

$$\begin{gathered} {\lambda }^2={\displaystyle \frac{-m}{k}} \\ \therefore \lambda =\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}i \end{gathered}$$
設

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}$

$x(t)=\rho e^{\pm i\omega t}=\rho (\cos \omega t+i\sin \omega t)$
又

$x(t)\in \mathbb{R}⟹x(t)=\rho \cos \omega t$
且

$x(0)=R⟹\rho =R$
由此可得參考圓之概念

1. 參考圓半徑為
   $R$
2. 物體在複平面上做等速圓周運動，但位於現實世界的人只能看到其在實軸上的投影
3. 角速度為
   $\omega$(由週期得知)

故簡諧運動之位移參數式為

$x(t)=R\cos \omega t$
而當起始位置非端點，則有一相位角

$\varphi$
使得

$x(t)=R\cos (\omega t+\varphi )$

求速度與加速度即求一階與二階導函數
故

$\overrightarrow{v}=-\omega R\sin (\omega t+\varphi )$

$\overrightarrow{a}=-{\omega }^{2}R\cos (\omega t+\varphi )$

$$\begin{gathered} \mathrm{週}\mathrm{期}T: \\ \because \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi }{T} \\ \therefore T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{x}{a}} \end{gathered}$$

心得:

$\omega$之所以控制週期是因為根據函數的伸縮平移
可以得到

$f(t)=\cos (\omega t+\varphi )$即為

$\sin (t)$在

$t$方向伸縮

$\omega$倍，向左平移

$\varphi$
週期就會變成

$\frac{2\pi }{\omega }$

垂直簡諧

$\mathrm{設}\mathrm{一}\mathrm{彈}\mathrm{簧}\mathrm{懸}\mathrm{掛}\mathrm{於}\mathrm{天}\mathrm{花}\mathrm{板},\mathrm{彈}\mathrm{簧}\mathrm{原}\mathrm{長}\mathrm{為}{l}_0,\mathrm{一}\mathrm{質}\mathrm{量}m\mathrm{之}\mathrm{物}\mathrm{體}\mathrm{懸}\mathrm{掛}\mathrm{於}\mathrm{彈}\mathrm{簧}\mathrm{上},\mathrm{平}\mathrm{衡}\mathrm{時}\mathrm{彈}\mathrm{簧}\mathrm{增}\mathrm{長}l,\mathrm{今}\mathrm{將}\mathrm{物}\mathrm{體}\mathrm{向}\mathrm{下}\mathrm{拉}\mathrm{長}{l}^{\prime }\mathrm{後}\mathrm{放}\mathrm{手},\mathrm{求}$

1. 物體最大加速度
   $a_{max}$
2. 週期
3. 最大速度
   $v_{max}$

利用能量守恆

$$\begin{gathered} \because \mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{保}\mathrm{守}\mathrm{力}\mathrm{作}\mathrm{功}(\mathrm{彈}\mathrm{力},\mathrm{重}\mathrm{力})\therefore \mathrm{力}\mathrm{學}\mathrm{能}\mathrm{守}\mathrm{恆} \\ \mathrm{端}\mathrm{點}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{為}0,\to \mathrm{總}\mathrm{力}\mathrm{學}\mathrm{能}:\frac{1}{2}k(l-l^{\prime }{)}^2+mg2l^{\prime }=\frac{1}{2}k(l+l^{\prime }{)}^2 \\ \mathrm{又}l=\frac{mg}{k}\therefore \mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}{a}_{max}=g \\ \mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{速}\mathrm{度}v\mathrm{出}\mathrm{現}\mathrm{在}\mathrm{平}\mathrm{衡}\mathrm{點},\mathrm{力}\mathrm{學}\mathrm{能}E=mg{l}^{\prime }+\frac{1}{2}m{v}_{max}^2+\frac{1}{2}k{l}^2=\frac{1}{2}k(l+l^{\prime }{)}^2 \\ \therefore v_{max}=l^{\prime }\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega l^{\prime } \\ \therefore \mathrm{週}\mathrm{期}T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \end{gathered}$$

斜面簡諧

$$\begin{gathered} \mathrm{若}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{質}\mathrm{量}m\mathrm{之}\mathrm{物}\mathrm{體}\mathrm{放}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{光}\mathrm{滑}\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{上},\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{細}\mathrm{線}\mathrm{連}\mathrm{接}\mathrm{彈}\mathrm{簧},\mathrm{此}\mathrm{時}\mathrm{物}\mathrm{體}\mathrm{靜}\mathrm{止} \\ \mathrm{若}\mathrm{將}\mathrm{此}\mathrm{物}\mathrm{向}\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{底}\mathrm{移}\mathrm{動}x,\mathrm{使}\mathrm{之}\mathrm{作}S.H.M,\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{固}\mathrm{定}\mathrm{在}\mathrm{地}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{不}\mathrm{動},\mathrm{斜}\mathrm{角}\theta ,\mathrm{求} \end{gathered}$$

1. 物體最大加速度
   $a_{max}$
2. 週期
3. 最大速度
   $v_{max}$

$\mathrm{簡}\mathrm{稱}:\mathrm{等}\mathrm{效}\mathrm{重}\mathrm{力}\mathrm{場},\mathrm{將}\mathrm{地}\mathrm{球}\mathrm{的}\mathrm{重}\mathrm{力}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{改}\mathrm{為}g\sin \theta$

萬有引力

$\mathrm{兩}\mathrm{質}\mathrm{點}\mathrm{相}\mathrm{距}r,\mathrm{質}\mathrm{量}\mathrm{分}\mathrm{別}\mathrm{為}M,m\mathrm{則}\mathrm{之}\mathrm{間}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{萬}\mathrm{有}\mathrm{引}\mathrm{力}$

$|\overrightarrow{F}|={\displaystyle \frac{GMm}{r^2}},(G\mathrm{為}\mathrm{萬}\mathrm{有}\mathrm{引}\mathrm{力}\mathrm{常}\mathrm{數},\mathrm{值}\mathrm{為}6.6\times {10}^{-11}(m^{3}k{g}^{-1}{s}^{-2}))$

重力場

質量為

$M$的質點在其周圍會建立一重力場
此時若有一質點進入此重力場，則會受到一力

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{g}$
定義

$|\overrightarrow{g}|={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$，方向指向

$M$

等效重力場

由愛因斯坦提出
若一人被關在一密不透風的房間內，其無法感知外界相對於自身的變化，則房間帶著人以加速度

$\overrightarrow{a}$運動時，等同於房間位於一重力場為

$\overrightarrow{a}$內。

靜力平衡

摩擦力

摩擦力產生於兩物體之接觸面有相對運動勢，其本質為物質與物質間的靜電力

摩擦力到底是超距力還是接觸力?
A:接觸力，因為若沒有接觸，靜電力趨近0(距離太遠電量又太小)，可忽略

摩擦力大小與接觸面積無關

種類	靜摩擦力	最大靜摩擦力	動摩擦力
產生時機	合外力小於最大靜摩擦力且物體靜止	與合外力無關，只與物質本性、作用面所受之正向力有關	與合外力無關，只與物質本性、作用面所受之正向力有關
表示法	$f_s=-\sum \overrightarrow{F_e}$	$f_{s_{max}}={\mu }_s\cdot N$	$f_k={\mu }_k\cdot N$

力矩

定義：
某一由參考點指向端點的向量

$\overrightarrow{r}$

$\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$

靜力平衡

若一系統滿足

$\{\begin{array}{l}\sum \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}\\ \sum \overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{0}\end{array}$
則稱此系統達成靜力平衡

質心Center of Mass

定義：
質心位置：

${\overrightarrow{x}}_{cm}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i\overrightarrow{x_i}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}}$

質心速度：

${\overrightarrow{v}}_{cm}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i\overrightarrow{v_i}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}}$

質心加速度：

${\overrightarrow{a}}_{cm}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i\overrightarrow{a_i}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}}$

均勻連續剛體，質量為

$M$之質心位置：

$\overrightarrow{x_{cm}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{M}}\int \overrightarrow{x}dm}$

$\overrightarrow{x_{cm}}=({\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \int xdm,{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \int ydm,{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \int zdm)}}}$

動量Momentum

動量的意義:改變物體運動的難易程度
定義:

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$
由此式可以推出動量-衝量定理

$$\begin{gathered} pf:\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{p} \\ \therefore \overrightarrow{F}dt=d\overrightarrow{p} \\ \to {\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_1}\overrightarrow{F}dt={\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_1}d\overrightarrow{p}}} \\ \mathrm{即}\mathrm{動}\mathrm{量}-\mathrm{衝}\mathrm{量}\mathrm{定}\mathrm{理} \\ \overrightarrow{F}\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p} \end{gathered}$$

動量守恆：
在合外力為

$0$之情況下，

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}$恆成立

角動量Angular Momentum

定義：
某一由參考點指向端點的向量

$\overrightarrow{r}$
則角動量

$\overrightarrow{l}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}$
由動量

$-$衝量定理可得

$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}\mathrm{\Delta }t=\overrightarrow{r}\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\tau }\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }l$
角動量時變率則為

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }l}{\mathrm{\Delta }t}}=\overrightarrow{\tau }$

角動量守恆：
在合外力矩為

$0$之情況下，

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{l}=\overrightarrow{0}$恆成立

能量

作功

定義：

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{x}$
功率：

$P={\displaystyle \frac{dW}{dt}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{x}}{dt}}=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$

動能

一物體的動能

$K={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$
推導：

$W={\displaystyle \int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{x}=\int m{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}\cdot d\overrightarrow{x}=m\int \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}$

重力位能

設無窮遠處為零位面，兩質點

$M$與

$m$相距

$r$
則重力位能之一般式

$U=-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$
推導：

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }U=U_{\mathrm{\infty }}-U_a=-U_a={\displaystyle {\int }_{r_a}^{\mathrm{\infty }}{F}_{g}dr} \\ =GMm{\displaystyle {\int }_{r_a}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dr}{r^2}}} \\ =GMm({\displaystyle \frac{-1}{\mathrm{\infty }}}-{\displaystyle \frac{-1}{r_a}})={\displaystyle \frac{GMm}{r_a}} \\ \therefore U_a=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_a}} \end{gathered}$$

近地表重力位能可寫為

$U=mgh$，其中

$h$為物體離地高度，

$g$為重力加速度

保守力

定義：若一力

$F$對一物體所作之功只與物體的位移有關，則

$F$為保守力
即：

${\displaystyle \sum W=\sum _{i=1}^n(\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{x_i})=\overrightarrow{F}\cdot \sum _{i=1}^n(\overrightarrow{x_i})}$

例：重力，彈力，電磁力

一維碰撞

彈性碰撞

定義：碰撞前後動能和始終保持恆定

設有兩物體分別具有

$m_1,m_2$的質量，

$v_1,v_2$的速度
設其末速分別為

${v_1}^{\prime },{v_2}^{\prime }$
則：

$\{\begin{array}{l}{m}_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v_1}^{\prime }+m_2{v_2}^{\prime }\\ m_1{v_1}^2+m_2{v_2}^2=m_1{{v_1}^{\prime }}^2+m_2{{v_2}^{\prime }}^2\end{array}$

可得

$\{\begin{array}{l}{v_1}^{\prime }=2{\displaystyle \frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}}-v_1=2v_c-v_1\\ {v_2}^{\prime }=2{\displaystyle \frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}}-v_2=2v_c-v_2\end{array}$

完全一維非彈性碰撞

定義：碰撞前後動能有所損失，且兩物碰撞後結為一體
則有：

$v_1^{\prime }=v_2^{\prime }=v_c$
而此碰撞將會導致內動能完全消耗完畢

$\mathrm{\Delta }K=-K_{int}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}}{v_{12}}^2$，其中

$v_{12}$表

$m_1$與

$m_2$之相對速度。

定律：質心動能守恆

${K_c}^{\prime }=K_c$

熱學

氣體動力論

設一正方體容器內部充滿理想氣體，粒子數

$N$，邊長

$L$
每氣體質量

$m_i$

假設氣體粒子碰撞器壁為彈性碰撞
氣體粒子在碰撞到其中一個器壁後，以原速反彈
又因為每個器壁都可以寫成

$x=a,y=b,z=c$
因此碰撞到任一器壁時，只有其中一個分量改變
以

$x=0$為例

$F_{x}dt=d\overrightarrow{p_x}=m_i(2v_{i_x})$
氣體粒子反彈後，行經

$2L$之距離又回到

$x=0$

$$\begin{gathered} v_x={\displaystyle \frac{2L}{\mathrm{\Delta }t}} \\ \therefore \mathrm{\Delta }t={\displaystyle \frac{2L}{v_{i_x}}} \\ \to \overline{F_x}={\displaystyle \frac{2m_i{v}_{i_x}}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{2m_i{v}_{i_x}}{{\displaystyle \frac{2L}{v_{i_x}}}}}={\displaystyle \frac{m_i{v_{i_x}}^2}{L}} \\ \mathrm{又}P={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^N{F}_x}}{A}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{m_i{v_{i_x}}^2}{L}}}{L^2}}={\displaystyle \frac{m_i{v_{i_x}}^2}{L^3}} \end{gathered}$$

$\therefore PV=m_i{v_{i_x}}^2$

每一氣體粒子之速度

$v_i$可以寫為

$\overrightarrow{v_i}=v_{i_x}\hat{i}+v_{i_y}\hat{j}+v_{i_z}\hat{k}$
又因為

$N$極大，所以每一粒子在各個方向的運動機率相等
依據三維向量之觀點

${\displaystyle \sum _{i=1}^N|\overrightarrow{v_i}|={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N|v_{i_x}\hat{i}|={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N|v_{i_y}\hat{j}|={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N|v_{i_z}\hat{k}|}}}}$

$\therefore {\displaystyle \sum _{i=1}^N{v_i}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{v_{i_x}}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{v_{i_y}}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{v_{i_z}}^2}}}}$

$\therefore PV={\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i{v_{i_x}}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \frac{1}{3}}{m}_i{v_i}^2}}$

方均根速率:

$v_{rms}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^N{v_i}^2}}{N}}}$

$$\begin{gathered} PV={\displaystyle \frac{m{\displaystyle \sum _{i=1}^N{v_i}^2}}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}Nm{v_{rms}}^2=nRT \\ \therefore v_{rms}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3nRT}{Nm}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3k_{B}T}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3RT}{M}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3PV}{Nm}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3P}{\rho }}} \end{gathered}$$

每一氣體粒子動能為

$K_{avg}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v_i}^2$

$K_{avg}=\overline{E_k}={\displaystyle \frac{3}{2}}{k}_{B}T$

$K_T=N\overline{E_k}={\displaystyle \frac{3}{2}}nRT={\displaystyle \frac{3}{2}}N{k}_{B}T$

氣體粒子內能為

$$\begin{gathered} N{K}_T={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \frac{m_i{v_i}^2}{2}}} \\ \therefore PV={\displaystyle \frac{2}{3}}N{K}_T=N{k}_{B}T \end{gathered}$$

(理想氣體粒子之間無作用力)

$$\begin{gathered} \mathrm{令}{k}_B={\displaystyle \frac{R}{N_0}} \\ \therefore PV=nRT \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} note: \\ \mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{總}\mathrm{動}\mathrm{量}\mathrm{和}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\overrightarrow{p}}_i=\overrightarrow{0}} \\ ⟹{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\overrightarrow{v}}_i=\overrightarrow{0}} \end{gathered}$$

波動

名詞定義

• 波動能夠傳遞能量
• 力學波用以傳遞能量的物質稱為介質

力學波(需介質)

$\{\begin{array}{l}\mathrm{橫}\mathrm{波}\to \mathrm{有}\mathrm{偏}\mathrm{振}\mathrm{現}\mathrm{象}\\ \\ \mathrm{縱}\mathrm{波}\to \mathrm{無}\mathrm{偏}\mathrm{振}\end{array}$

非力學波(不需介質)

$\{\begin{array}{l}\mathrm{電}\mathrm{磁}\mathrm{波}\to \mathrm{電}\mathrm{場}\mathrm{與}\mathrm{磁}\mathrm{場}\mathrm{交}\mathrm{互}\mathrm{作}\mathrm{用}\mathrm{產}\mathrm{生}\mathrm{之}\mathrm{波}\mathrm{動}\\ \\ \\ \mathrm{物}\mathrm{質}\mathrm{波}\to \mathrm{機}\mathrm{率}\mathrm{分}\mathrm{布}\end{array}$

• 固定端：
• 自由端：

波的疊加原理

繩波的反射

繩波的透射

繩波的傳遞速度

一均勻彈性繩，兩端點固定

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{T}{\mu }}}$

司乃耳定律

每個介質對於光波都有一折射率
其定義為真空中光速與介質中的光速的比值

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}$，其中

$v$是介質中的光速

由介質

$1$入射介質

$2$，入射角為

${\theta }_1$，折射角為

${\theta }_2$
則

$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_{2}4$

水波干涉

同相波源
反相波源

幾何光學

電磁學

庫倫定律

空間中二點電荷彼此間會有交互作用，稱為靜電力
電性分為正負二種，同性電相斥，異性電相吸

庫倫定律：

$F_e={\displaystyle \frac{kQq}{r^2}}$
其中

$k$為庫倫常數，

$Q$與

$q$為電荷帶電量，具正負之分，

$r$為點電荷之間之距離。

若非點電荷時，可能受到靜電感應之影響，導致其出現偏差。

電場

在空間中，一點電荷

$Q$會在其周圍建立之電場

若為正電荷，則電場方向恆指離電荷
若為負電荷，則電場方向恆指向電荷

$\overrightarrow{E}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{F}}{q}}$

$|\overrightarrow{E}|=|{\displaystyle \frac{kQ}{r^2}}|$

球殼定律

一半徑

$R$之孤立帶電金屬球，靜電荷

$Q$平均分布在其表面上。則距其球心

$r$處之電場強度：

$\{\begin{array}{l}E=0,r<R\\ E={\displaystyle \frac{kQ}{R^2}},r=R\\ E={\displaystyle \frac{kQ}{r^2}},r>R\end{array}$

距環心x處之電場強度

設有一均勻帶電量為

$Q$，半徑

$R$之圓環，則垂直環面，通過圓心之軸上且距圓心

$x$處

$A$點之電場為

$E={\displaystyle \frac{kQx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}}$

$pf:$
設圓環上之電荷密度為

$\lambda ={\displaystyle \frac{Q}{2\pi R}}$

$dQ=\lambda dl$

$dl=Rd\theta$，

$\theta$表

$A$點與

$dQ$連線段逆時針旋轉所經角度。
因為平行於環面之電場分量將抵銷，故可只積分垂直環面之電場
令

$\varphi$為過圓心，垂直環面之軸與

$A$點和

$dQ$之連線段之銳夾角
則

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}}$

依條件可列式

$dE={\displaystyle \frac{k(dQ)}{R^2+x^2}}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}}$

${\displaystyle \int dE={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{kRQxd\theta }{2\pi R(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}}={\displaystyle \frac{kQx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}}}}$

平行帶電板間之電場強度

設空間中有二無限大之平行帶電板，且分別帶異性電

則其間電場強度為

$E=4k\pi \sigma$，

$k$為庫倫常數，

$\sigma ={\displaystyle \frac{dQ}{dA}}$

$pf:$
設電板相距

$x$
在其中一電板上取固定點為圓心，半徑

$r$之圓環
在過圓心且垂直電板之軸與另一電板之交點所生之電場

$dE={\displaystyle \frac{kdQx}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}}$

$dQ=\sigma dA=\sigma d(\pi r^2)=2\pi \sigma rdr$

$E=2{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{kdQx}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}}=2{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{k2\pi \sigma rdrx}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}}}}$
令

$r=x\tan \theta ,dr=x{\sec }^2\theta d\theta$

$E=4k\sigma {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{x^3\tan \theta {\sec }^2\theta d\theta }{(x\sec \theta {)}^3}}=4k\pi \sigma {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta d\theta =4k\pi \sigma }}$

電位能

電位能定義為等速使電荷

$q$由距離

$Q$無窮遠處移至

$r_0$處所需做之功

$$\begin{gathered} W=-U_e={\displaystyle {\int }_{\mathrm{\infty }}^{r_0}{\displaystyle \frac{kQq}{r^2}}dr=-{\displaystyle \frac{kQq}{r_0}}} \\ \therefore U_e={\displaystyle \frac{kQq}{r}} \end{gathered}$$

電位能不具方向性，故此時對於多質點系統而言，任意點上之電位能等於此點分別關於所有電荷之電位能總和。

電位

電位定義為單位電荷在電場中所具有的電位能

$V={\displaystyle \frac{U_e}{q}}$

$\mathrm{\Delta }V$為電位差。固定電場中，兩定點間之電位差不因參考點之選定而有所改變。

$\mathrm{\Delta }V=-\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{d}$，

$\overrightarrow{d}$為位移。

必歐沙伐定律

$d\overrightarrow{B}={\displaystyle \frac{{\mu }_0\cdot i\cdot d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}}{4\pi |\overrightarrow{r}{|}^3}}$

無限長直導線在其周圍所形成的磁場為：

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_0\cdot i}{2\pi R}}$，其中

$R$是空間中某點至此導線之距離。

$pf:$
給定空間中一點

$P$，與此導線距離為

$R$，導線上某點

$Q$以及

$P$在導線上之投影點

$H$，令

$\mathrm{\angle }HPQ=\theta$，則

$Q$對

$P$所產生之磁場為：

$dB={\displaystyle \frac{{\mu }_0\cdot i\cdot dl\cos \theta }{4\pi R^2{\sec }^2\theta }}$

而設

$l=\overline{HQ}=R\tan \theta$，則

$dl=R{\sec }^2\theta d\theta$
故總磁場量值

$B=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dB=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{{\mu }_0\cdot i\cdot R{\sec }^2\theta d\theta \cos \theta }{4\pi R^2{\sec }^2\theta }}={\displaystyle \frac{{\mu }_0\cdot i}{2\pi R}}}$

而方向由右手定則判定。